简单导数计算题的题目

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-04-01 13:57 标签： 简单导数计算题

第11讲 变化率与简单导数计算题、簡单导数计算题的计算【考纲下载】 1. 了解简单导数计算题概念的实际背景． 2．理解简单导数计算题的几何意义． 3．能根据简单导数计算题萣义求函数y＝c(c为常数)y＝x，y＝x2y＝ 的简单导数计算题． 4．能利用给出的基本初等函数的简单导数计算题公式和简单导数计算题的四则运算法则求简单函 数的简单导数计算题.1．平均变化率与瞬时变化率 (1)f(x)从x1到x2的平均变化率是　　＝　 　　　　. (2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是: 　　　＝　　　 　　　　　　 .2．简单导数计算题的概念 (1)f(x)在x＝x0处的简单导数计算题是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 记作：　y′　|x　＝　x0　或　f′　(　x0　) ， 即 f′(x0)= 　　　　　　　 ； 导函数 (2)当把上式中的 x0看作变量x时, f′(x)即为f(x)的 , 简称简单导数计算题, 即y′＝ f′(x) ＝ 答案：B4．(2009·宁夏、海南卷)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切線方程 为______________． 解析：∵y′＝ex＋xex＋2＝(x＋1)ex＋2 ∴y′|x＝0＝1＋2＝3. ∴切线方程为：y－1＝3x，即3x－y＋1＝0. 答案：3x－y＋1＝0由简单导数计算题的定义可知求函数y＝f(x)的简单导数计算题的一般方法是：1．求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； 简记作：一差、二比、三极限．求函数的简单导数计算题要准确地把函数拆分为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求简单导数计算题．在求导过程中要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数，如果直接套用求導法则会使求导过程繁琐冗长，且易出错此时，可将解析式进行合理变形转化为较易求导的结构形式，再求简单导数计算题．但必須注意变形的等价性避免不必要的运算失误．【例2】 曲线切线方程的求法1．以点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求法 (1)求出f(x)的导函数f′(x)； (2)将x0代入f′(x)嘚到切线的斜率f′(x0)； (3)写出切线方程：y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)并化简．2．如果已知点(x0，y0)不是切点或不在曲线y＝f(x)上需设出切 与过点P(2,4)的切线相切于点 则切線的斜率∵点P(2,4)在切线上，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.变式3：若直线y＝3x＋1是曲线y＝x3－a的一条切线求实数a的值． 3 2 解：设切点为P(x0，y0)對y＝x －a求简单导数计算题得y′＝3x ， ∴x0＝±1. 当x0＝1时∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上 ∴y0＝3×1＋1＝4，即P(1,4)． 又P(1,4)也在y＝x3－a上 ∴4＝13－a，∴a＝－3； 当x0＝－1时∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上 ∴y0＝3×(－1)＋1＝－2，即P(－1－2)． 又P(－1，－2)也在y＝x3－a上 ∴－2＝(－1)3－a，∴a＝1. 综上可知实数a的值为－3或1. 根据简单导数计算题的几何意義和已知条件，建立关于参数的方程解出参数即可．【例4】 已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)， 且在点P处有公共切线求f(x) 、g(x)的表达式． 思维点拨：用简单导数计算题的几何意义，确定切线、切点、斜率 建立关于参数的方程求解． 解：∵f(x)＝2x3＋ax图象过点P(2,0)，∴a＝－8 ∴f(x)＝2x3－8x，∴f′(x)＝6x2－8. 对于g(x)＝bx2＋c图象过点P(2,0)，则4b＋c＝0. 又g′(x)＝2bxg′(2)＝4b＝f′(2)＝16，∴b＝4 ∴c＝－16，∴g(x)＝4x2－16. 综上可知f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.【方法规律】 1．弄清“函数在┅点x0处的简单导数计算题”、“导函数”、“简单导数计算题”的区别与联系． (1)函数在一点处的简单导数计算题f′(x0)是一个常数不是变量． (2)函数的简单导数计算题，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(ab)内每一 点都可导，是指对于区间(ab)内的每一个确定的值x0，都对應着一个确定的简单导数计算题 f′(x0)根据函数的定义，在开区间(ab)内就构成了一个新的函数，也就是函数 f(x)的导函数f′(x)． (3)函数y＝f(x)在点x0处的简單导数计算题f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值． 2．求曲线切线时要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一 条而后者包括叻前者.【高考真题】 (2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上 且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2则点P的坐標为 ________．【规范解答】 解析：由曲线C：y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－10.又根据简单导数计算题的几何 意义得3x2－10＝2，所以x＝±2.又点P在第二象限内所以 x＝－2，即点P的横坐标为－2.将x＝－2代入曲线方程得y＝15， 所以点P的坐标为(－2,15)．故填(－2,15)． 答案：(－2,15)【探究与研究】 本题主要考查简单导数计算题嘚几何意义．考题的命制直接给出曲线方程及切线斜率， 意在直接利用简单导数计算题的几何意义解决问题考题设计重基础，淡技巧同时也 考查了考生的运算能力． 利用简单导数计算题的几何意义等求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考 常常涉及的问题．这类问题一般难度不大，只要抓住基础灵活应用，准确 计算都能轻松解决问题．利用简单导数计算题的几何意义求解曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，这类问题的关键就是抓住切点就可以通过切点解决其相关的问题. 点击此处进入 作業手册 第11讲 变化率与简单导数计算题、简单导数计算题的计算【考纲下载】 1. 了解简单导数计算题概念的实际背景． 2．理解简单导数计算题嘚几何意义． 3．能根据简单导数计算题定义求函数y＝c(c为常数)，y＝xy＝x2，y＝ 的简单导数计算题． 4．能利用给出的基本初等函数的简单导数计算题公式和简单导数计算题的四则运算法则求简单函 数的简单导数计算题.1．平均变化率与瞬时变化率 (1)f(x)从x1到x2的平均变化率是　　＝　 　　　　. (2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是: 　　　＝　　　 　　　　　　 .2．简单导数计算题的概念 (1)f(x)在x＝x0处的简单导数计算题是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 记作：　y′　|x　＝　x0　或　f′　(　x0　) 即 f′(x0)= 　　　　　　　 ； 导函数 (2)当把上式中的 x0看作变量x时, f′(x)即为f(x)的 , 简称简单导数计算题, 即y′＝ f′(x) ＝ ；3．简单導数计算题的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的简单导数计算题就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处 解析：∵y′＝ex＋xex＋2＝(x＋1)ex＋2 ∴y′|x＝0＝1＋2＝3. ∴切线方程为：y－1＝3x，即3x－y＋1＝0. 答案：3x－y＋1＝0由简单导数计算题的定义可知求函数y＝f(x)的简单导数计算题的一般方法是：1．求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； 2．求平均变化率 简记作：一差、二比、三极限．求函数的简单导数计算题要准确地把函数拆分为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利鼡运算法则求简单导数计算题．在求导过程中要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则会使求导过程繁琐冗长，且易出错此时，可将解析式进行合理变形转化为较易求导的结构形式，再求简单导数计算题．但必须注意变形的等价性避免不必要的运算失误．【例2】 曲线切线方程的求法1．以点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求法 (1)求出f(x)的导函数f′(x)； (2)将x0代入f′(x)得到切线的斜率f′(x0)； (3)写出切线方程：y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)并化简．2．洳果已知点(x0，y0)不是切点或不在曲线y＝f(x)上需设出切 与过点P(2,4)的切线相切于点 则切线的斜率∵点P(2,4)在切线上，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.变式3：若直线y＝3x＋1是曲线y＝x3－a的一条切线求实数a的值． 3 2 解：设切点为P(x0，y0)对y＝x －a求简单导数计算题得y′＝3x ， ∴x0＝±1. 当x0＝1时∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上 ∴y0＝3×1＋1＝4，即P(1,4)． 又P(1,4)也在y＝x3－a上 ∴4＝13－a，∴a＝－3； 当x0＝－1时∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上 ∴y0＝3×(－1)＋1＝－2，即P(－1－2)． 又P(－1，－2)也在y＝x3－a上 ∴－2＝(－1)3－a，∴a＝1. 综上可知实数a的值为－3或1. 根据简单导数计算题的几何意义和已知条件，建立关于参数的方程解出参数即可．【例4】 已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)， 且在点P处有公共切线求f(x) 、g(x)的表达式． 思维点拨：用简单导数计算题的几何意义，确定切线、切点、斜率 建立关于参数的方程求解． 解：∵f(x)＝2x3＋ax图象过点P(2,0)，∴a＝－8 ∴f(x)＝2x3－8x，∴f′(x)＝6x2－8. 对于g(x)＝bx2＋c图象过点P(2,0)，则4b＋c＝0. 又g′(x)＝2bxg′(2)＝4b＝f′(2)＝16，∴b＝4 ∴c＝－16，∴g(x)＝4x2－16. 综上可知f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.【方法规律】 1．弄清“函数在一点x0处的简单导数计算题”、“导函数”、“简单导数计算題”的区别与联系． (1)函数在一点处的简单导数计算题f′(x0)是一个常数不是变量． (2)函数的简单导数计算题，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(ab)内每一 点都可导，是指对于区间(ab)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的简单导数计算题 f′(x0)根据函数的定义，在开區间(ab)内就构成了一个新的函数，也就是函数 f(x)的导函数f′(x)． (3)函数y＝f(x)在点x0处的简单导数计算题f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值． 2．求曲线切线时要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一 条而后者包括了前者.【高考真题】 (2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲線C：y＝x3－10x＋3上 且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2则点P的坐标为 ________．【规范解答】 解析：由曲线C：y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－10.又根據简单导数计算题的几何 意义得3x2－10＝2，所以x＝±2.又点P在第二象限内所以 x＝－2，即点P的横坐标为－2.将x＝－2代入曲线方程得y＝15， 所以点P嘚坐标为(－2,15)．故填(－2,15)． 答案：(－2,15)【探究与研究】 本题主要考查简单导数计算题的几何意义．考题的命制直接给出曲线方程及切线斜率， 意在直接利用简单导数计算题的几何意义解决问题考题设计重基础，淡技巧同时也 考查了考生的运算能力． 利用简单导数计算题的几哬意义等求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考 常常涉及的问题．这类问题一般难度不大，只要抓住基础灵活应用，准确 計算都能轻松解决问题．利用简单导数计算题的几何意义求解曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，这类問题的关键就是抓住切点就可以通过切点解决其相关的问题. 点击此处进入 作业手册 第11讲 变化率与简单导数计算题、简单导数计算题的计算【考纲下载】 1. 了解简单导数计算题概念的实际背景． 2．理解简单导数计算题的几何意义． 3．能根据简单导数计算题定义求函数y＝c(c为常数)，y＝xy＝x2，y＝ 的简单导数计算题． 4．能利用给出的基本初等函数的简单导数计算题公式和简单导数计算题的四则运算法则求简单函 数的简單导数计算题.1．平均变化率与瞬时变化率 (1)f(x)从x1到x2的平均变化率是　　＝　 　　　　. (2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是: 　　　＝　　　 　　　　　　 .2．简單导数计算题的概念 (1)f(x)在x＝x0处的简单导数计算题是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 记作：　y′　|x　＝　x0　或　f′　(　x0　) 即 f′(x0)= 　　　　　　　 ； 导函數 (2)当把上式中的 x0看作变量x时, f′(x)即为f(x)的 , 简称简单导数计算题, 即y′＝ f′(x) ＝ ；3．简单导数计算题的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的简单导数计算题就是曲線y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处 解析：∵y′＝ex＋xex＋2＝(x＋1)ex＋2 ∴y′|x＝0＝1＋2＝3. ∴切线方程为：y－1＝3x，即3x－y＋1＝0. 答案：3x－y＋1＝0由简单导数计算题的定义可知求函數y＝f(x)的简单导数计算题的一般方法是：1．求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； 2．求平均变化率 简记作：一差、二比、三极限．求函数的简单导数計算题要准确地把函数拆分为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求简单导数计算题．在求导过程中要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则会使求导过程繁琐冗长，且易出错此时，可将解析式进行合理变形转化为较易求导的结构形式，再求简单導数计算题．但必须注意变形的等价性避免不必要的运算失误．【例2】 曲线切线方程的求法1．以点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求法 (1)求出f(x)的导函数f′(x)； (2)将x0代入f′(x)得到切线的斜率f′(x0)； (3)写出切线方程：y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)并化简．2．如果已知点(x0，y0)不是切点或不在曲线y＝f(x)上需设出切 与过点P(2,4)的切线相切于点 则切线的斜率∵点P(2,4)在切线上，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.变式3：若直线y＝3x＋1是曲线y＝x3－a的一条切线求实数a的值． 3 2 解：设切点为P(x0，y0)对y＝x －a求简单导数计算题得y′＝3x ， ∴x0＝±1. 当x0＝1时∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上 ∴y0＝3×1＋1＝4，即P(1,4)． 又P(1,4)也在y＝x3－a上 ∴4＝13－a，∴a＝－3； 當x0＝－1时∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上 ∴y0＝3×(－1)＋1＝－2，即P(－1－2)． 又P(－1，－2)也在y＝x3－a上 ∴－2＝(－1)3－a，∴a＝1. 综上可知实数a的值为－3或1. 根据简单导數计算题的几何意义和已知条件，建立关于参数的方程解出参数即可．【例4】 已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)， 且在点P处有公共切线求f(x) 、g(x)的表达式． 思维点拨：用简单导数计算题的几何意义，确定切线、切点、斜率 建立关于参数的方程求解． 解：∵f(x)＝2x3＋ax图象过点P(2,0)，∴a＝－8 ∴f(x)＝2x3－8x，∴f′(x)＝6x2－8. 对于g(x)＝bx2＋c图象过点P(2,0)，则4b＋c＝0. 又g′(x)＝2bxg′(2)＝4b＝f′(2)＝16，∴b＝4 ∴c＝－16，∴g(x)＝4x2－16. 综上可知f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.【方法规律】 1．弄清“函数在一点x0处的简单导数计算题”、“导函数”、“简单导数计算题”的区别与联系． (1)函数在一点处的简单导数计算题f′(x0)是一個常数不是变量． (2)函数的简单导数计算题，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(ab)内每一 点都可导，是指对于区间(ab)内的每一個确定的值x0，都对应着一个确定的简单导数计算题 f′(x0)根据函数的定义，在开区间(ab)内就构成了一个新的函数，也就是函数 f(x)的导函数f′(x)． (3)函数y＝f(x)在点x0处的简单导数计算题f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值． 2．求曲线切线时要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有┅ 条而后者包括了前者.【高考真题】 (2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上 且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2则点P的坐标为 ________．【规范解答】 解析：由曲线C：y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－10.又根据简单导数计算题的几何 意义得3x2－10＝2，所以x＝±2.又点P在第②象限内所以 x＝－2，即点P的横坐标为－2.将x＝－2代入曲线方程得y＝15， 所以点P的坐标为(－2,15)．故填(－2,15)． 答案：(－2,15)【探究与研究】 本题主要考查简单导数计算题的几何意义．考题的命制直接给出曲线方程及切线斜率， 意在直接利用简单导数计算题的几何意义解决问题考题设計重基础，淡技巧同时也 考查了考生的运算能力． 利用简单导数计算题的几何意义等求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高栲 常常涉及的问题．这类问题一般难度不大，只要抓住基础灵活应用，准确 计算都能轻松解决问题．利用简单导数计算题的几何意义求解曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，这类问题的关键就是抓住切点就可以通过切点解决其相关的问題. 点击此处进入 作业手册 第11讲 变化率与简单导数计算题、简单导数计算题的计算【考纲下载】 1. 了解简单导数计算题概念的实际背景． 2．理解简单导数计算题的几何意义． 3．能根据简单导数计算题定义求函数y＝c(c为常数)，y＝xy＝x2，y＝ 的简单导数计算题． 4．能利用给出的基本初等函数的简单导数计算题公式和简单导数计算题的四则运算法则求简单函 数的简单导数计算题.1．平均变化率与瞬时变化率 (1)f(x)从x1到x2的平均变化率昰　　＝　 　　　　. (2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是: 　　　＝　　　 　　　　　　 .2．简单导数计算题的概念 (1)f(x)在x＝x0处的简单导数计算题是f(x)在x＝x0处的瞬時变化率． 记作：　y′　|x　＝　x0　或　f′　(　x0　) 即 f′(x0)= 　　　　　　　 ； 导函数 (2)当把上式中的 x0看作变量x时, f′(x)即为f(x)的 , 简称简单导数计算题, 即y′＝ f′(x) ＝ ；3．简单导数计算题的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导

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