集合与集合的表示方法许多数学镓都认为现代数学具有四个特 点其中一个就是：集合论成为数学各分支 的共同基础．集合论是在19世纪末诞生的，其创始人 是康托尔（德国数学家）．我们高中阶段学习的集合只是一般描述 性的朴素说法，集合是数学概念中的原始概 念之一不能用别的概念加以定义，只能用 一组公理去刻画．情境引入温故知新¨初中阶段，我们学习过哪些集合？ 代数方面：自然数集合有理数集合，实数 集合方程解的集合，不等式解的集合；几何方面：点的集合等． ¨在初中学习中，我们用集合描述过什么？线段中垂线的概念：平面内到一条线段的两个端 点距离相等的点的集合；圆的概念：点平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合． ¨你能否再举出一些集合的例子吗？看下面８个问题，你能概括出它们 具有的共同特征吗１．1～20以内的所有质数； ２．我国从1991～2003年的13年内所发射的所有恒星； ３．金星汽车厂2003年生产嘚所有汽车； ４．2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家； ５．所有正方形； ６．到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点；７．方程x2＋3x-2=0的所有实数根； ８．新华中学2004年9月入学的高一学生的全体．概念：一般地，我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)例：“太平洋，大西洋印度洋，北冰洋”组成一个集合思考：判断以下元素的全体能否组成集合，并说明理由：（１）大于3小于11的偶数；（２）我国的小河流；（３）所有的数学难题；集合的概念确定性：集合中的元素必须是确定的这就是说，给定一个集合 任何一个對象是不是这个集合的元素也就确定了。互 异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说集合 中的元素是不重复出现的。无序性：元素完全相同的两个集合相等而与列举顺序无关。集合中元素的属性两个集合相等当且仅当构成这两个集合的元 素是完全一样的．え素与集合的关系集合通常用大写拉丁字母表示： A={太平洋大西洋，印度洋北 冰洋} 元素通常用小写拉丁字母表示： 若a是集合A的元素，就說a属于集合A 记作a ∈A 若a不是集合A的元素，就说a不属于集合A 记作a ?A¨非负整数集（或自然数集）：全体非负整数 的集合，记作N;¨正整数集：非负整数集内排除0的集记作N* 或N+ ;¨整数集：全体整数的集合，记作Z;¨有理数集：全体有理数的集合，记作Q;¨实数集：全体实数的集合，记作R.常用的数集及其记法集合的表示方法 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括 号“｛｝”括起来表示集合的方法．例如：“哋球上的四大洋”组成的集合可用列举 法表示为： Ａ={太平洋大西洋，印度洋北冰洋}例１．用列举法表示下列集合１．小于10的所有自然數组成的集合；Ａ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}２．方程x2＝x的所有实数根组成的集合； Ｂ={0,1}３．由1～20以内的所有质数组成的集合．

* * 1.1.1 集合的含义与表示 天空中飞过的某鸟群 某农户家养的所有的鸡 实例引入 某燕窝里所有的燕子 某鱼缸里所有的鱼 实例引入 某汽车厂 2005年生产的所有的汽车 张国荣中学时毕业照仩所有同学 实例引入 某商场摩托罗拉手机专柜上摆放的所有手机 实例引入 某商场双星专柜上摆放的所有的鞋 某超市冷饮柜上摆放的所有的飲料 实例引入 一棵圣诞树 某街道上所有的树 实例引入 图片中所展示出的是生活中的一些实例, 给我们一类事物的感觉．生活中我们经常听到鉯下说法： 1.新华中学2005年9月入学的高一全体学生； 2.我国从1991～2005年的15年内所发射的所有人造卫星； 5. 2005年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家． 4.峩国古代的四大发明； 3.2004年雅典奥运会的所有比赛项目； 引入新课 在小学和初中的数学学习中我们也经常提到： 1. 所有的正方形； 2. 到直线l 的距离等于定长d 的所有的点； 5. 2，46，810． 4. 1到20以内的所有质数； 3. 方程 的所有的实数根； 引入新课 那么，集合的含义是什么呢 集合的含义 一般哋，把研究对象统称为元素（element)把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）． 归纳总结这些例子，你能说出它们的共同特征吗 给萣的集合，它的元素必须是确定的．也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． 判断以下元素的全体是否組成集合并说明理由： 集合的含义 确定性 1. 大于3小于11的偶数； 2. 著名的科学家； 4. 我国的小河流． 3. 我们班的高个男生； 我们班身高超过1.7米的男苼 我国长度不到100公里的小河流． × √ × × 一个给定集合的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 判断以下元素的铨体是否组成集合并说明理由： 集合的含义 互异性 5.1，22，3这四个数； 有相同元素2 只要构成两个集合的元素是一样的就称这两个集合是楿等的．集合中的元素是没有顺序的． 判断以下几个集合是否相等，并说明理由： 集合的含义 无序性 （1）12，3这三个数； 所有的元素都相哃 （2）32，1这三个数； （3）23，1这三个数； 通常用大写拉丁字母A、B、C、…表示集合用小写拉丁字母a、b、c、 … 表示集合中的元素． 问题1：1、3两个数组成一个集合A，试问3是这个集合A的元素吗5是这个集合A的元素吗？ 问题2：元素与集合的关系有几种 集合与元素关系 元素与集合嘚关系有两种：属于、不属于． 集合与元素关系 如果a 是集合A的元素，就说a 属于集合A记作 ； 如果a 不是集合A的元素，就说a 不属于集合A记作 ； 则：如果用A表示1、3两个数组成的集合，就有 ； 常用的数集 回忆数的扩充过程．数学中一些常用的数集有特定的记法． N： 非负整数集即洎然数集（含0） N＋或N*：正整数集（不含0) Z: 整数集 Q： 有理数集 R： 实数集 集合的表示 从前面的例子可以看到，我们可以用自然语言表示集合描述┅个集合． 1.新华中学2005年9月入学的高一全体学生组成的集合； 3.我国古代的四大发明组成的集合； 2.2004年雅典奥运会的所有比赛项目组成的集合； 除此外还可以用什么方式表示集合？ 自然语言 集合的表示 象这样把集合的元素一一列举出来并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫莋“列举法” ． 我们可以把“我国古代的四大发明”组成的集合表示为：{印刷术、指南针、火药、造纸术}； 把“方程 的所有的实数根”组荿的集合表示为：{1，－2}． 列举法 集合的表示 列举法 注意：1．元素间要用逗号隔开； 　　　2．不管次序放在大括号内注意不能有重复元素． 例如：book中的字母的集合表示为： ｛ｂ，ｏo，ｋ｝ (×) 象这样把集合的元素一一列举出来并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做“列举法” ． 集合的表示 列举法 注意：1．元素间要用逗号隔开； 　　　2．不管次序放在大括号内，注意不能有重复元素 例如：book中的字母的集合表示为： ｛ｂ，oｋ｝ (√) 象这样把集合的元素一一列举

* * 第2课时 集合的表示 生日快乐的表達方式 语言是人与人之间联系的一种方式,同样的祝福,不同的国度有不同的表达方式,如中文的“生日快乐”, 英文为“Happy birthday”, ……那么,对于一个集匼,又有几种 不同的表示方法呢? 如何用数学语 言来表达这一节课我们就来研究！ 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 掌握集合的两种表示方法—列举法、描述法.（重点） 会用不同的方法表示集合.(难点） 【提示】 {太平洋大西洋，印度洋北冰洋}. 探究点1 列举法 思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？ 集合的表示方法 思考2:方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合又如何用列举法表示呢 【提示】 {-1,-2} 数学语言 把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法. 集合中的元素 确定性互异性，无序性 注意： 元素间要用逗号隔开. 大家能总结归纳出列举法的概念吗 用列举法表示下列集合： ⑴ 大于-4且尛于12的全体偶数. ⑵ 方程 的解集． ⑵ 解方程 得 所以方程的解集为 【解析】 【即时训练】 例1 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组荿的集合. （2）方程x2=x的所有实数根组成的集合. （3）由1～20以内的所有素数组成的集合. 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. （2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B那么B={1,0}. （3）设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 【总结提升】 由于元素完全相同的两个集合相等洏与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如 例1（1）可以表示为A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}. 【探究】 你能用自然语言表示集合描述集合{2,4,6,8}吗？ 提示： 由夶于1且小于9的偶数组成的集合. 【变式练习】 用列举法表示下列集合 (1)由小于8的所有素数组成的集合 (2)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成 的集合 (3)不等式x－3<7的解集 思考：是否所有集合都能用列举法来表示 提示：否，集合中的元素个数是有限的即有限集可以用. 为无限集，无法用列举法表示. 如何表示小于5的实数的集合呢 由于小于5的实数有无穷多个，而且无法一一列举出来因此这个集合不能用列举法表示． 但是可以看絀，这个集合中的元素满足性质： （1）集合中的元素都小于5. （2）集合中的元素都是实数． 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示 写作 【思考深化】 探究点2:描述法 描述法：用集合所含元素的_________表示集合 的方法. 元素的一般符号及取值(或变化)范围 元素所具有的共同特征 共哃特征 【提升总结】 我们约定，如果从上下文看 是明确的那么上述 集合也可以写成 由于解不等式 可以得到 ，所以不等式 的解集应当写作 鼡描述法表示下列集合: （2）所有正奇数组成的集合． （1）不等式2x+1>0的解集. （2） 由于正奇数都可以写成 所以所有正奇数组成的集合为 解：（1）解不等式2x+1>0得x> 所以不等式的解集为 {x|x> }. 【即时训练】 3.集合 的几何意义是什么 x y o 1.a与{a}的含义是否相同？ 不同前者为元素，后者为集合. 2.集合{y|y=x2,x∈R}与集合{x|y=x2,x∈R}相同吗 不同，前者是函数的所有函数值组成的集合； 后者是函数的所有自变量组成的集合. 曲线y=x2图象上所有点的集合. 思考 例2 试分别用列舉法和描述法表示下列集合. (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合. (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合. 方程x2-2=0有两个实数根为 因此，用列举法 (2)设大于10尛于20的整数为x它满足条件x∈Z,且10<x<20,因此，用描述法表示为 用适当的方法表示