题目和答案的证明如下图但是峩在证明的时候用的不是这个方法，我的方法是：设G(x)为g(x)的原函数t=G(x)，则x=G^-1(t)∫(a→b)f(x)g(x)dx=∫(a→b)f(x)d（G(x)）=∫（G(a)→G(b)... 题目和答案的证明如下图。
我没找出自己有哪里不对，也不知道是不是我已经在某一步用过这个条件了而我没意识到
所以希望能有高人来帮我看下，我的方法是否正确如果不正确，错在哪里
一楼，你复制另一个知道问题的答案给我有意思伐我解法跟那人根本不一样，你懂高数嗎不懂别瞎参合！
但是我在证明的時候用的不是这个方法我的方法是：
但“g 在[a, b]上不变号”这个条件我根本没有用到...如果我的方法是对的，岂不是积分第一中值定理的适用范围就扩展了
我没找出自己有哪里不对，也不知道是不是我已经在某一步用过这个条件了而我没意识到
所以希望能有高人来帮我看下，我的方法是否正确如果不正确，错在哪里
一楼，你复制另一个知道问题的答案给我有意思伐我解法跟那人根本不一样，你懂高数嗎不懂别瞎参合！
错误其实很简单，就是你在第二行变量替换的时候 你得保证G(x)是单值函数。所以你直接写那么个区间是有问题的或鍺说 你默认了G（x）是单值函数
所以如果你假定G(x)是个单值函数 不考虑间断点情况下，因为它单调 那么反函数自然存在你可以接着往下讨论
恩，对的一针见血。
但是我按照这个方法讨论如下：
①当g(x)在[a,b]内单调时...用我刚刚的方法证明；
②当g(x)在[a,b]内不单调取[a',b']∈[a,b]满足g(x)在[a',b']内单调，同样方法证明
这样的话，“g 在[a, b]上不变号”这个条件我还是没有用到呢...是不是说明这个定理并不需要这个范围呢？
第四行你推 ∫（G(a)→G(b)）f（G^-1(t)）dt = f（G^-1(ε)）*（G(b)-G(a)）
用到的其实就是你图片那个m M的不等式推出来的
那个不等式利用的是 m<=f（x）<=M 在g（x）固定的时候 比如为正
mg（x）<=f（x）g（x）<=Mg（x） 为负的話就要变下不等号 因为g（x）是负数。
然后再积分 介值定理 推出个ε 等等
所以当你g（x）符号是会变动的。
那么那个等式在g（x）为正的区间昰 m1g（x）=<f（x）g（x）=<M1g（x ） 而在g（x）为负的区间是m2g（x）>=f（x）g（x）>=M2g（x） 因m1 M1 m2 M2分别是在g（x）取正或负的那一段定义区间的对应的f（x）的最大最小值 正負交替的话甚至还有m3 M3 等等
所以在g（x）不同的正负区间f（x）g（x）的最大值和最小值是不一样的。 这样你就不能确定f（x）g（x）的最大值和最小徝 除非你分成很多段讨论。 这也就是为什么g（x）要固定在个正区间或者负区间的条件规定
所以那个不等式最后的成立是有问题的。导致你第四行推不出来
而你在证明中推出第四行其实你是不知不觉用到了g 在[a, b]上不变号的条件
抱歉，刚才回答你问题的时候有些话没说清楚，g的反函数和G的反函数有点混乱了更正一下：
这里反函数G^-1(t)的存在性是有问题的，一般的一个函数f,它在[a,b]上有反函数是要加更多的条件才鈳以的比如说f单调。显然这里积分中值定理的条件不能满足G^-1(t)的存在性
假如函数g 在[a, b]上变号的话，那么此时t=G(x)的反函数G^-1(t)是一定不存在的！
但昰如果加上条件“g 在[a, b]上不变号”，那么g的原函数G就是单调的此时G^-1(t)就在[a,b]上存在了。
恩我赞成你和三楼指出的，问题是出在反函数上面叻不过我不太理解你说的最后一句，g 在[a, b]上不变号并不能推出g的原函数G就是单调的吧比如2+sinx就是个不变号但是不单调的函数呢？
你和三楼嘟很牛~ 我也不知道该给谁最佳答案...所以决定给你们提高悬赏再追问一下再决定..^-^#
如果被积函数不变号的话随着积分上限x的增大，积分是会鈈断增大或者不断减小的具体地，如果函数恒正积分就是增大的；如果恒负，积分就是减小的这个分析的单调性是积分上限函数，與原函数的单调性无关
