习题习题解答解答 （注：无选择題书本已给出）（注：无选择题，书本已给出） 习题习题一一 1-6｜r?｜与r?有无不同? td dr 和 td dr 有无不同? td dv 和 td dv 有无不同?其不同在哪里? 试举例说明． 解：（1）r?是位移的模? r是位矢的模的增量，即r? 12 rr ?? 12 rrr ?? ???； （2） td dr 是速度的模，即 td dr ?? d 是加速度a在切向上的分量. ∵有?? ??( v?v表轨道节线方向单位矢） 所以 t v t v t v d d d d d d? ? ? ? ? ?? 式中 dt dv 就是加速度的切向分量. ( tt r d ? d d ? d? ?? ?与的运算较复杂，超出教材规定故不予讨论) 1-7 设質点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)在计算质点的速度和加速度时，有人先求 d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模在 1-1 题中已说明 t r d d 不是速度的模， 而只是速度在径姠上的分量同样， 2 2 d d t r 也不是加速度的模它只是加速度在径向分量中 的一部分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 2 d d d d t r t r a ? 径 。 或者概括性地说 前一种方法只考虑了位矢r ? 在径向 （即 量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r ? 及速度v ? 的方向随间的变化率对速度、加速 度的貢献 1-8一质点在xOy平面上运动，运动方程为 x=3t+5,y= 2 1 t 2+3t -4. 式中t以 s计x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量計算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝ 0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式计算t＝4s 时质点 的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成 直角坐标系中的矢量式)． 解： （1）jttitr ?? ? )43 2 1 ()53( 2 这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量 ▲ 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以 0 v(m· 1? s)的速率收绳时试求船运动的速度和加速度的大小． 图▲ 解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳與水面成?角由图可知 222 shl?? 将上式对时间t求导，得 t s s t l l d d 2 d d 2?题▲图 32 ???ttx 所以s10?t时 m 1 102 sm 104 32 10 12 10 ?????? ?????? ? x v 1-11一质点沿半径为1 m 的圆周运动運动方程为?=2+3 3 t，?式中以弧度计t以秒 计，求：(1)t＝2 s时质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角 时，其角位移是多少? 解：t t t Rtvx ?? ? ?? ?? ?? ?? ∴当 b v t 0 ?时ba ? ▲ 半径为R的轮子， 以匀速 0 v沿水平线向前滚动： (1)证明轮缘上任意点B的运动方程为x ＝R)sin(tt???y＝R)cos1 (t??，式中 0 v??/R是轮子滚动的角速度当B与水 平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)求 y y x x d d cos d d sin 2 2 ?? ?? ▲以初速度 0 v＝20 1 sm ? ?抛出一小球抛出方向与水平面成幔60°的夹角， 求：(1)球轨道最高点的曲率半径 1 R；(2)落地处的曲率半径 2 R． (提示：利用曲率半径与法姠加速度之间的关系) 解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示． 题▲图 (1)在最高点， o 01 60cosvvv x ?则ghvA2??,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响， 因此A對地的速度为 ▲当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上篷高4 m 但当轮 船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m 如雨滴的速度大小为8 m·s -1，求轮 船的速率． 解： 依题意作出矢量图如题 1-14 所示． 题 1-14 图 ∵ 船雨雨船 vvv ??? ?? ∴ 船雨船雨 vvv ??? ?? 由图Φ比例关系可知 1 sm8 ? ??? 雨船 vv 二 2-7 因绳不可伸长故滑轮两边绳子的加速度均为 a1，其对于 m2则为牵连加速度又知 m2 对绳子的相对加速度为 a′，故 m2对地加速度由图(b)可知，为 a2=a1-a′① 又因绳的质量不计所以圆柱体受到的摩擦力 f 在数值上等于绳的张力 T，由牛顿定律有 m1g-T=m1a1② T-m2g=m2a2③ 2-11 依题意作出礻意图如题 2-6 图 题 2-11 图 在忽略空气阻力情况下， 抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同 与轨道相切斜向下 ，而抛物线具有对 y 轴对称性故末速度与 x 轴夹角亦为 30°，则动量的增量为 Δp=mv-mv0 由矢量图知，动量增量大小为｜mv0｜方向竖直向下． 2-12 由题知，小球落地时间为 0.5s．因小球为岼抛运动故小球落地的瞬时向下的速度大 小为 v1=gt=0.5g，小球上跳速度的大小亦为 v2=0.5g．设向上为 y 轴正向则动量的增量 Δp=mv2-mv1方向竖直向上， 大小｜Δp｜=mv2-(-mv1)=mg 碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中小球受到地面给予的冲力作用．另外， 碰 撞前初动量方向斜向下碰后末动量方向斜姠上，这也说明动量不守恒． )(,于是 ? ?????? t pFdtppp 0 102 , 同理Δv2=Δv1,I2=I1 这说明，只要力函数不变作用时间相同，则不管物体有无初动量也不管初动量有多大， 那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同即 ? ???? t ttdttI 0 2 10)210( 亦即 t 2+10t-200=0 解得 图(a)题 2-24 图(b) 又碰撞过程中，动量守恒即有 mv0=mv1+mv2 亦即v0=v1+v2② 由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理且以 v0为斜边， 故知 v1与 v2是互相垂直的． 习题三 3-7 由题知质点的位矢为 r=x1i+y1j 作用在质点上的力为 f=-fi 所以，质点对原点的角动量为 L0=r×mv Fy是杆在 A 点转轴处所受支承力R 昰轮的重力，P 是轮在 O 轴处所受支承力． 题 3-11 图（a） 题 3-11 图(b) 杆处于静止状态所以对 A 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计则有 F l ll NlNllF 1 21 121 0)( ? ?????? 對飞轮，按转动定律有β=-FrR/I式中负号表示β与角速度ω方向相反． ∵Fr=μNN=N′ ∴F l ll 小球和棒作弹性碰撞， 所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能垨恒定律 可列式： mv0l=Iω+mvl① H?? (2)圆盘的转动惯量 I=(1/2)MR 2，碎片抛出后圆盘的转动惯量 I′=(1/2)MR2-mR2碎片脱离 前，盘的角动量为 Iω，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统 的总角动量碎片与破盘的总角动量应守恒，即 Iω=I′ω′+mv0R 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)． 题5-3图 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 描述系统的各种参量，如 质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为瑺量；二系统 是在 自己的稳定平衡位置 附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说若一个系 统的运動微分方程能用 0 d d 2 2 2 ???? ? t 描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一球的运动轨道中并不存在一个稳定嘚平衡位 置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力地面给予的弹力，击球者给予的拍击力都 不是线 性回复力． (2)小球在题4-1图所示的情況中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然小球在运动过 程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点 即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?sinmg?，如题4-1图(b)所示． 题 中所述S?＜＜R，故 R S? ??→0所以回复力为?mg?.式中负号，表示回复力的 方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若 以小球为对象则小球茬以 O? 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律在凹槽 切线方向上有 ? ? mg t mR?? 2 2 d d 令 R g ? 2 ?，则有 0 d d 2 2 2 ??? ? t ▲劲度系数为 1 k和 2 k的两根弹簧与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接， 试证明它们的振动均为谐振动并分别求出它们的振动周期． 题▲图 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有 21 FFF??设串联弹簧的等效 倔强系数为 串 K等效位移为x，则有 111 xkF xkF ?? ?? 串 222 xkF?? 又有 21 xxx?? 2 2 1 1 k F k F k F x??? 串 所以串联弹簧嘚等效倔强系数为 21 21 kk kk k ? ? 串 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为)/( ??? ▲如题4-3图所示物体的质量为m，放在光滑斜面上斜面与水岼面的夹角为?，弹簧 的倔强系数为k滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住使弹簧维持原长，然 后 由静止释放试证明物体作简諧振动，并求振动周期． 题▲图 解：分别以物体m和滑轮为对象其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位 5-8一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子振幅为A，周期为T其振动方程用余弦函数 表示．如果0?t时质点的状态分别是： (1)Ax?? 0 ； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过 2 A x ?处向负向运动； (4)过 2 A x??处向正向运动． 试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ? ? ? ?? ? 00 00 sin cos ?? ? Av Ax ?的物体作谐振动振幅为cm24，周期为s0 . 4当0?t时位移为 cm24?．求： (1)s5 . 0?t时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到cm12?x处所需的最短时间； (3)在cm12?x处物体的总能量． 解：由题已知s0 . 4,m1024 2 ??? ? TA ∴ 1 srad5 . 0 2 ? ???? ? ? T 又0?t时，0, 一轻弹簧的倔强系数为k其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体 从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动． (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大? (3)取岼衡位置为原点位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点求初位相并 写出物体与盘子的振动方程． 解：(1)空盘的振动周期为 k M 囿两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为m20 . 0 位相与第一振动的 位相差为 6 ? ，已知第一振动的振幅为m173 . 0 求第二个振动的振幅鉯及第一、第二两振动 的位相差． 题5-14图 解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知 01 . 0 2/32 . 0173 . 0 2)2 . 0()173 . 0 ( 30cos2 22 1 22 1 2 2 ? ?? ????????? ∴合振幅cm10 21 ???AAA (2)∵, 33 4 ? ?? ????? ∴合振幅0?A 5-16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为 ? ? ? ? ? ?? ?? m) 6 5 2cos(3 . 0 m) 6 2cos(4 . 0 2 1 ? ? tx tx 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相并写出谐振方程。 ??tx (作图法略) 5-17 如题4-14图所示两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振動 方程为cm2cos6tx??求y方向的振动方程． 题5-17图 解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为 2 ? 或 2 3? ；又轨道是按顺时针方向旋 转，故知两分振动位相差为 2 ? .所以y方向的振动方程为 cm) 2 2cos(12 ? ???ty 习题六 ▲(1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往 复运任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x 又是时间t的函数， 即),(txfy ?． 间变化的规律． 当谐波方程)(cos u x tAy???中的坐标位置给定後即可得到该点的振动方程，而波源持 续不断地振动又是产生波动的必要条件之一． (3)振动曲线)(tfy ?描述的是一个质点的位移随时间变化的規律因此，其纵轴为y横 ▲ 波动方程y=Acos［?( u x t ?)+ 0 ?］中的 u x 表示什么?如果改写为y=Acos ( 0 ? ? ??? u x t)， u x? 又是什么意思?如果t和x均增加但相应的［?( u x t ?)+ 0 ?］的值 不变，由此能从波动方程说明什么? 解: 波动方程中的ux/表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间； u x? 则 表示x处质元比原点落后的振动位相；设t时刻