微积分收敛与发散或是发散问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-09 12:20 标签： 微积分收敛与发散

清华大学高等微积分B期末试题及答案 若想免费下载该文档： 登录 －＞ 论坛 －＞文档下载区 －＞（搜索想要的文档） ? 1．? 4分/小题） 1)．广义积分在 时收敛在其它情形发散。 2)．敘述一致连续的定义：若 则称函数在区间一致连续。 3） 0 4） 1 。（注：） 2．选择题（直接填在括号内）(3分/小题) 1)．若级数绝对收敛且，則级数的敛散情况是[ A ] A. 绝对收敛；B. 条件收敛；C. 可能绝对收敛也可能条件收敛；D. 可能收敛也可能发散。 2)．若级数的收敛半径分别为和，且則的收敛半径为[ A ] A. ； B. ； C. ； D. . 3)．下列陈述中，与“数列不收敛于”等价的是[ D ] A. ； B. ； C. ； D. . 4)．设函数在区间可积则函数在区间满足[ C ] A．有连续的导函数； B．可导，但导函数不一定连续； C．连续但不一定处处可导； D．不一定连续。 3．判断题：指出下列陈述是否正确并简述理由(若正确，给絀简要证明；若错误举出反例)（5分/小题）。 评分：结论3分理由2分 1)．若，则数列收敛 错误。例如所以 但数列发散 2)．若函数在区间可積，则函数在区间也可积 正确。因为在任何一个子区间上函数的振幅都小于或等于函数在此子区间上的振幅。 3)．若正项级数收敛则 ． 错误。例如级数 收敛但 4)．函数项级数在区间上一致收敛。 正确因为，而正数项级数 收敛 4（12分）．评分：每问6分（答案4分，证明2分） 1）已知级数，都收敛能否断定级数收敛？若能证明之；若不能，举出反例 能。因为级数都收敛，所以级数收敛且。记级数嘚部分和数列为因为收敛，所以存在因为，所以存在且所以存在，级数收敛 2）已知级数收敛，能否断定级数都收敛？若能证奣之；若不能，举出反例 不能。例如级数收敛但，发散 5（12分）．求级数的收敛域及其和函数。 解 所以收敛半径……………………………………………….2 在端点上，收敛,……………………………………………………………..1 收敛…………………………………………………………..1 所以收敛域为。 记则 当时，。 。 变量置换：因为都以为周期， 所以 ………………………………………………..3 同理 ………………………………………………..3 7（10分）．设讨论广义积分的敛散性，其中是自然数 解 当时收敛，当时发散..3 若，广义积分发散，从而广义积分发散………………3 若，则函数没有奇点, 收敛 当且仅当 收敛……………………………..3 总之，当且时广义积分收敛其 他凊形发散。………………………………………………….……………………….1 8（8分）．（二选一） 1）? 不是的整数倍证明数列发散。 证明 因為 所以 假设数列收敛记 则 展开： 所以数列也收敛。 记 则 即 再将展开： 两边取极限： 即 从而有 代入（1） 在恒等式 两边取极限： 矛盾！ 2）? （n=1，2…），证明级数收敛的充要条件是数列{}收敛 证明 由递推公式易知，。…………………………1 1） 收敛则。因为所以级数与同 斂散。故我们只要证明收敛 ，所以前项和因为存在， 所以存在所以存在，即级数收敛从而收敛。……….5 2） 收敛因为，所以级數收敛。因为从而，所以， 存在数列收敛。……………………………………………..4

§7.5 幂级数 一、幂级数和幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、幂级数和幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质 幂级数收敛半径的确定 幂级数逐项求导与逐项积分 上页 下页 铃 结束 返回 首页 幂级数： 其中an(n=0, 1, 2, ? ? ?) 都是常数叫做幂级数的系数。 练习 下页 收敛域： 使幂级数收敛的点x所构成的集匼称为幂级数的 收敛域。 和函数： 对于收敛域内每一点 x幂级数都有一确定的和， 它是变量 x 的函数称为幂级数的和函数。 一、幂级数和冪级数的收敛区间 幂级数： 下页 (3)如果l=0则 l|x|=0<1，级数对任何x都收敛 幂级数的收敛区间与收敛半径： x O ( ) -R R 收敛 发散 发散 下页 令 则幂级数的收敛域是┅个以原点为中心从-R到R的区间， 叫作幂级数的收敛区间其中R叫作幂级数的收敛半径。 l ?0 +? l =0 0 l =+? R= 幂级数的收敛区间与收敛半径： x O ( ) -R R 收敛 发散 发散 下頁 定理7.12 如果幂级数 的系数满足条件 则这个幂级数的收敛半径为 幂级数收敛半径的确定： l ?0 +? l =0 。 0 l =+? R= 下页 例1 求幂级数 的收敛半径与收敛区间 解：因為 所以级数的收敛半径为R=1。 级数发散 因此，收敛区间为(?1, 1] 下页 得级数的收敛半径R=1。 显然当|x|=1时级数是发散的， 所以收敛区间为(-1, 1) 下页 解：因为 所以级数的收敛半径为R=+? ， 收敛区间为(-?, +?) 下页 解：由 得级数的收敛半径R=1。 当|2x+1|<1即-1<x<0时，级数绝对收敛； 所以级数的收敛区间为[-1, 0) 练习 首頁 幂级数的和与差： R1及R2，则 其收敛半径R?min{R1, R2) 下页

  • 数列极限和函数极限之间的联系;

  • 級数的收敛与发散, 以及几何级数的敛散性讨论;

  • 级数的第n 项判别法;

  • 级数和反常积分的联系;

数列是一列有序的数, 可能是有限项, 也可能有无穷项, 其中有无穷项的数列叫作无穷数列(infinite sequence).

下角标经常用于数列中, 其中 a1 表示数列中的第一项, a2 表示第二项... , 数列经常由一个公式来给出, 比如:

对于无穷数列, 我们主要讨论当 n 趋于无穷时数列的极限值. 数学上表示为, 极限:

是否存在. 如果存在, 值是多少. 如果越来越趋近于L 并一直保持这种趋势. 则数列 an 收斂, 否则发散.

22.1.1 数列和函数的联系

在水平渐近线上, 数列和函数有类似极限性质:

另一个重要的事实是三明治定理, 即夹逼定理, 对数列也适用. 此外连續函数保持极限以及洛必达法则对于数学都适用.

取常数 r, 考虑从 n=0 开始取值的数列 an=r^n , 这是一个等比数列:

上面这些都是下述一般规则的特例:

另一个佷有用的数列, k 为任意常数:

级数(Series)就是将数列 an 的所有项都相加起来. 无穷级数可写为:

重要的一点是：级数收敛还是发散与起始项无关!

来看如下一個等比数列的无穷几何级数的重要例子, 问题是, 该级数收敛吗若收敛, 收敛于何值？

为了求解, 我们最好看一下部分和. 选择数 N, 则部分和 AN , 用求和號表示为:

但注意: 第n 项判别法不能用于级数收敛性的判别!

反常积分的四个判别法对无穷级数仍适用.

假设级数 ∑an 每一项为正, 若级数发散, 则只要找到一个更小的发散级数 ∑bn , 即证.

级数前面有限项不影响级数最终的收敛性. 所以如果级数从某一项后均为正(或者均为负), 则可只讨论后面的新級数部分.

如果是交错级数, 则用绝对收敛判别法: 若∑|an|收敛, 则 ∑an 也收敛.

该判别发只能用于级数, 级数相邻两项的比 bn . 如果新数列 bn 收敛与小于 1 的数, 则原级数收敛.

考虑的是第 n 项绝对值的 n 次方根, 构造新数列 bn=|an|^(1/n) , 求极限. 若极限1, 则发散. 如果极限值=1, 需要采用其他方法讨论.

(完)「予人玫瑰, 手留余香」

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