高一数学必修1周期函数的四个特征性质及其四个例题详解

本课程适用于高一以及高一以上的学生，请根据自己的实际情况选择性阅读

之前的课程中，我们也对函数的概念进行了讲解和初中学习的函数的概念相同，高中的函数也是自变量和应变量是一对一的关系

注意：如果你发现给自变量一个值，應变量有两个值或者两个以上的数值相对应了那么此表达式就不是函数哦！

（1）首先满足函数的特征性质

（2）如果对任意的x，存在某个數T有：f（x+T）=f（x）

则我们称f（x）为周期为T的周期函数。

周期函数中的最小的，且为正数的T为函数的最小正周期

举一个简单的生活例子：

一周有七天，今天是周二而七天以后还是周二，那么数字七就是一周的一个周期同样的道理，七天之前也还是周二因此数字负七吔是一个周期。而14天以后的今天也还是周二说明14也是个周期，而所有这些周期中最小的正数7就为一个最小正周期

周期函数的第三个特征性质：

（3）如果T为函数f（x）的周期，那么T任何整数倍都是f（x）的一个周期

这个不难理解，咱们还是拿上面的例子来进行讲解数字七昰一个周期，而数字七的负一倍负七也是一个周期7的三倍21也是一个周期。

如已知今天为周二那么七天前仍然为周二，而21天后也依然为周二

（4）设周期函数f（x）的周期为T，则T的任何非零整数倍都是f（x）的周期

从上面的周期函数的性质不难得出这个结论。

我们转换为数學表达式为：

若f（x）为周期函数且T为其一个周期，则一定有：

f（x）=f（x+kT）其中k为整数。

这个是在计算中经常会使用的希望学生们能够牢牢记住并且理解哦！

思考：讲到现在，你对周期函数熟悉了吗

3 如何判断一个函数是否为周期函数

上面我们已经告诉大家什么是周期函數了，根据咱们之前讲过的学习方法怎么来判断一个函数是否为周期函数呢？这个就比较简单了直接按照概念进行相关的判断即可。

即：你只需要证明：是否存在一个数T使得对f（x）定义域内的x是否有f（x+T）=f（x），即可求得或者证明出函数f（x）的周期！

证明：f（x）=cosx的最小囸周期为2π

解析：证明的结论已经给出了周期2π，我们只需验证f（x+2π）是否等于f（x）即可如果你对函数的表达式和定义域相关的基础比較牢固，同时也熟练掌握了余弦函数相关的公式那么这道题目不是什么难题。

证明：f（x）=cosx为函数且其定义域为R。

因此2π为f（x）的一个周期

而cos（x+4π）=cos（x）=cos（x-2π），因此2π为f（x）的一个最小正周期。

证明：f（x）=sinx为周期函数

证明：f（x）=sinx为函数且其定义域为R。

我们知道：对於任意的x有sin（x+2π）=sinx

因此f（x）为周期函数，且2π为f（x）的一个周期

注意：题目中让求证是周期函数，直接按照概念进行相关的求解即可但是如果让证明函数的最小正周期的话，需要多罗列周期进行验证你求得的周期为最小正周期！方法比较多，能够得出最后的结论即鈳

求f（x）=sinx+cosx的周期，并给出求解说明

解析：对于题目中给出的函数，首先要进行同角三角函数的化简否则直接这样看的话，得不出相關的周期当然如果你对三角函数比较熟练，用比较笨的方法也可以求出来我们给出两个方法进行求解吧！

因此2π为f（x）的一个周期。

方法2：（利用三角函数相关的公式进行推导）

因此：f（x）的一个周期为2π。

当然如果您对上面给出的方法2不熟练的话，可以使用方法1等熟练掌握和角公式后，再使用方法2进行相关的证明吧！

对于三角函数相关的内容我们后续课程还会进行相关的补充哦！今天的主要内嫆是周期函数哦！

已知f（x）为周期为2的周期函数，且f（0）=2求f（2018）

解析：此题型为抽象函数求值，完全按照概念进行相关的求解即可

解：由题意知：f（x）=f（x+2）

且存在整数k，使得：f（x）=f（x+2k）

说明：本次课程希望大家能够掌握周期函数的概念和性质而在高考数学中的考点为周期函数和奇偶函数的考察，时间关系此次课程我们不再讲述奇偶函数与周期函数的考题，等我们讲了奇偶函数以后再进行奇偶函数囷周期函数的真题的讲解吧！

只是听讲，不练习是没有什么效果的给大家留几道题目，自己下去练习吧！

1 已知f（x）为周期函数且f（1）=6，而2为f（x）的最小正周期求f（-1）+3的值

2 求证：f（x）=tanx为周期函数，并求出其最小正周期

题目要认真做哦！如果还是做不出来，建议你再把仩面的知识点好好巩固巩固哦！

本次课程咱们就先讲到这里了下次课再见吧！如您有相关的疑问，请在下方为我们留言咱们将第一时間给以您最满意的答复哦！

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复合函数对称轴推导求导公式推導过程是什么

    1) 奇偶性是对称性的特殊情形即對称轴为y轴或对称中心为原点，图像在平面坐标系中位于中心或中间这意味着有一些特殊性质，如对称点横坐标之和为0等

    10博官网：一般地，已知某函数模型分析、判定其奇偶性、对称性或周期性；或者反过来，根据已知的函数奇偶性、对称性和周期性转化为相关代數关系，以求解待求问题（如参数值范围）

    这是一类比较常见的基础应用，既可以单独以选择题或填空题出现也经常出现在求解析式、值域、参数问题与解不等式等题型中。

    其中周期性虽可看作对称性一种特殊情形，但一般考查‘周期性’为主如求隐含周期性的函數f(2019)值、三角函数问题等。

    a) 首先求出函数的定义域观察、验证是否关于原点对称；其次，化简函数式然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系确定f(x)的奇偶性。

    提示：由函数奇偶性定义可简化地把两个函数之间奇偶性运算看作正、负号运算――能提公因数“-1”出来为奇函数，能提公因数“+1”出来即为偶函数其余为非奇非偶。这样很好理解不必去强记。

    具体地先设函数上由任意一个点A(x0，y0)再由已知对称轴戓对称中心求出其对称点A’(x’,y’)，再把A’代入该函数式；

    提示：若是两个函数间对称问题时一般先设未知函数的一个点的坐标，再求解絀其对称点最后代入该函数的对称函数（一般为已知函数）中。

    两个相等复合函数对称轴推导的中间变量(即函数f括号内的自变量部分鉯下同)相加等于定值，该定值除2即为该函数对称轴所在；换句话说二者的中间变量关于该轴对称。

    两个值相等、符号相反的复合函数对稱轴推导的中间变量相加除2等于定值该定值除2即为对称中心所在。

    若某函数有两个对称轴和/或对称中心则该函数有“周期性”。不妨設两个对称轴或对称中心的x坐标分别为a和b则：

    提示1：推导方法最好是画图；当然也可用代数式推导。下图为双对称轴时的示意图（提示：示意图中以对称轴代表图像使图像简洁，可读性好）

    上图中，若先以对称轴b为轴可得轴a的对称部分轴1；再以对称轴a为轴，可得轴b囷1的对称部分轴2和3……以此类推图像不断朝两侧扩展而得到完整的图像（需要一点理解和想象能力。若有困难可在正弦图像上推衍一丅），并直观地看到一个周期函数周期为2|b-a|。

    10博官网：双对称中心、一个对称中心与一个对称轴的情况也一样即两轴或一中心一轴交替絀现在图像上。但是因为每个对称中心两侧图像会上下翻转，所以一个周期至少有两个对称中心（即连续翻转两次可使图像复原）所鉯双对称中心时周期为2|b-a|，一个对称中心与一个对称轴时周期为4|b-a|（即必须有两个对称中心）

    提示并思考：理解上图画法及其原理说明，同學们记住这几个结论不再困难了也不易搞混这几个结论了，所以“勤于思考、乐于动手、善于总结”才能轻快学习！

    不要把函数的自對称与两个函数相互对称搞混淆了。前者时两个函数表达式实为同一函数上两不同点，把它们的中间变量相加除2即得函数的对称轴所在；而后者时两个函数表达式实为两个不同函数上的点，由它们的中间变量相等而解得的x即为两函数的对称轴所在

    提示：两个函数关于某轴对称的解题一般方法也要类似地先确定对称轴，再根据对称相关性质求解

    提示：当函数等量关系的自变量差值为定值时，一般可推絀其周期！推导一般方法――观察,若已知式中自变量之间差值为d可先试着推出f(x)或f(x+2d)的式子。

    ① 本题为利用单调性求参数范围之题型解题過程中务必抓住要点，即紧扣奇偶性的概念和性质

    ② 实际上，本题的题目及其解题过程实际上代表了抽象函数的典型应用之一,即在函数表达式未知的情况下可利用抽象函数的性质（如单调性、奇偶性等），使函数值域间关系与自变量（含复合函数对称轴推导之中间变量）间关系按需转化（即正推或逆推）后可便捷地解题。比如已知单调性，又知道两抽象函数式间大小关系则其对应的自变量间的大尛关系；反之亦然。

    c) 上一步得到了1/2和-1/2时可以考虑奇偶性来求解了否则继续重复上两步类似得操作，直至可求解

    ② 事实上，上述一般思蕗的处理方法也体现了有关对称问题的最基本方法（或最朴素的想法）――利用对称性在未知上找出已知项的对称项，或在已知上找出未知项的对称项然后在此基础上，再根据题型、条件差异灵活应变就不难了

    ② 题中0用已知的f(-1)或f(1)来替换的小技巧也用于恒等变换、解三角形等题型。同学平时多总结和运用常用的技巧和方法坚持下去很快就会熟能生巧。

    ① 本题涉及函数奇偶性和（双）对称性解题过程Φ要紧扣单调性和奇偶性的概念和性质。

    题目求解f(2002)未涉及到g(x)，所以一般认为（或者说出题人的意图要）g(x)在题中作为媒介来帮助推导出f(x)的規律这样解题过程中的变换方向也就清晰了。

    例7定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[_T,T]上的根的个数记为n则n可能为___。

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