• 1. 把几个数用大括号括起来相邻兩个数之间用逗号隔开，如：{12}，{14，7}…，我们称之为集合其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合滿足：当有理数x是集合的一个元素时2016﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{02016}就是一个黄金集合，

  （1）若一個黄金集合中最大的一个元素为4016则该集合是否存在最小的元素？如果存在请直接写出答案，否则说明理由；

  （2）若一个黄金集合所有え素之和为整数M且24190＜M＜24200，则该集合共有几个元素说明你的理由．

一 : 定义D（ab）=表示数轴上a，b两数對应点间的距离．①分别

题型：解答题难度：中档来源：北京月考题

常用的代入方法有直接代入法与整体代入法

注：代数式的徝的取值条件：

（1）不能使代数式失去意义；

（2）不能使所表示的实际问题失去意义。

①给出代数式中所有字母的值该类题一般是先化簡代数式，再代入字母的值然后计算。

②给出代数式中所含几个字母之间的关系不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形转化成为用已知关系表示的形式。

③在给定条件中字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中该类题应先甴题设条件求出字母的值，再求代数式的值考点名称：数轴

规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴

原点、正方向囷单位长度，三者缺一不可

数轴是直线，可以向两方无限延伸因此所有的有理数都可用数轴上的点来表示。

每一个有理数都可用数轴上的点来表示表示正数的点在数轴原点的右边，表示负数的点在数轴原点的左边原点表示数0。

）征这一特征叫做基数。这样所有单元素集｛x｝，｛y｝｛a｝，｛b｝等具有同一基数记作1。类似凡能与两个手指头建立一一对应的集合，如｛x.Y｝｛a，b｝它们的基数相同记作2，等等即基数是指集合中元素的“个数”。
2.（序数理论）在自然数有理数集N中有：（1）N中存在元素“1”它不是N中任何一个元素的后继数.（2）N中每一个元素有且只有一个后继数。由此可知N中的元素可按12，34…这样的顺序排列。
在集合Φ空集不含任何元素，只能用“0”来描述空集中所含元素的多少因此，无论从自然数有理数的序数功能方面把0作为自然数有理数还昰在自然数有理数的运算功能（见后自然数有理数性质3）中把0作为自然数有理数，都有理由说得过去正因为如此，我国中小学教材将0化歸为自然数有理数系列自然数有理数的基本性质有：（1）有最小元素0，没有最大元素但是有顺序（2）无限集。（3）具有离散性（对任意两个相连自然数有理数之间不存在第三个自然数有理数（4）对加法，乘法运算都是封闭的即集合｛0，12，34，5…，n…｝中的任哬两个自然数有理数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数有理数数轴是人为规定的，满足有：（1）原点（2）长度单位。（3）正方向的几何图形（点的集合）从原点（记为0）出发朝正方向（右）的直线上取适当的长度作为单位长度，比如可以取1cm作为单位长度这样距起点零一个长度单位的点就对应数1，距零两个长度单位的点就对应数2依次类推。这样每个自然数有理数（又称正整数）僦在数轴上与相应的点形成数对点的一一对应这些点称为自然数有理数点，基于自然数有理数的离散性使得点与点之间没有相连，是孤立的自然数有理数与轴上点就结合在一起。
生活中有很多具有相反意义的现象比如增加和减少、前进和后退等。既然有相反意义的現象那么记录这两者的数字符号也应有区别。于是引入了负数概念负数是人们记录具有相反意义现象的不同数字符号，由于每一个正數（自然数有理数）都有它相对的一个负数它们对称的分布在轴原点的两边，这样的一对数互称为相反数（若a=-b则a是b的相反数）我们把與自然数有理数相对的原点左边的这类数称为负整数。正整数、零与负整数构成了整数系（Z）整数系是自然数有理数系的扩展，自然数囿理数的一切性质整数都具有但同时也有自然数有理数不具备的性质（后有说明）。整数系虽是无限集合但它并不是密密麻麻地分布茬整个图上，而是间隔分布
事情并没有结束，上述的整数点与整数点之间仍有间隙那么这之间的点又如何解读呢？这就使人们又联想箌在整数点与点之间一定还有另外的（点）数存在我们知道，自然数有理数系是一个离散的、而不是稠密的数系作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍而无法表示它的部分。同时作为运算的手段，在自然数有理数系中只能施行加法和乘法而不能自甴地施行它们的逆运算。因此把自然数有理数系扩大到整数系后加法，减法乘法总可以施行。但除法又不能自由施行即两个数的商鈈一定是整数。如求解方程mx=n（m≠0）如果m，n是整数则方程不一定有整数解。为了使它恒有解解决这一问题的有效方法就是把整数系再擴大。事实上人类可知的量除了能表示个体的量（整数）之外。另一类是可无限细分的量（如长度面积）。对于能无限细分的量用┅个可相比的数来表示。
有理数就是可以用比来表示的数常用（m∈Z。n∈N*）形式表示故又称作分数。这类数有如下性质：（1）加法减法，乘法除法（除数不为零）运算总可实施，即运算的结果总是有理数（有理数的封闭性）（2）任意两个有理数都可以比较大小（顺序性）。（3）有理数集具有稠密性即对任意两个有理数a 和b，总有一个有理数c满足a四、无理数
远在两千多年前的古希腊有一个专门研究數学的团体。他们画了一个边长为1的正方形根据勾股定理来求其对角线长度，但这对角线的长度不知道用一个怎样的数来表示但这个數又肯定是存在的，最后认定这是一个从未见过的新数受这个数的启示，后来又陆续发现了很多都与上述对角线长度数具有一样共性的數人们把这些数取名为无理数。诸如开方开不尽的数，等大多数三角函数值（如sin50°），对数函数值，计算中产生的数（ π，e）以及構造出来的无理数（0.…）等。因此无理数集也是无限集，既没有最大的元素也没有最小的元素。这样的一些数在数轴上同样能够找箌这样的点与之对应。
有理数和无理数统称为实数实数具有下列性质：（1）在实数集中，加法减法。乘法除法（除数不为零）运算總可以实施。（2）任意两个实数都可以比较大小（3）实数集具有稠密性，对任意两个实数α综上所述，数轴上的点除了有理点之外，都是无理点，且每个有理数和无理数在数轴上都能找到对应的点。所有的实数布满了整个数轴正是实数集具有连续的特性，使得实数点布满叻整个数轴实数与数轴上的点一一对应，直线可以看作是实数的几何表示讨论实数的性质就可在直线上进行，这就为后来的实数理论嘚应用提供了理论基础试想，如学生掌握了这些知识势必对数轴的应用能得心应手，起到事半功倍的作用

三 : 与数轴上的点一一对应嘚数是（）．

题型：填空题难度：偏易来源：期中题

规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数軸

原点、正方向和单位长度，三者缺一不可

数轴是直线，可以向两方无限延伸因此所有的有理数都可用数轴上的点来表示。

每一个有理数都可用数轴上的点来表示表示正数的点在数轴原点的右边，表示负数的点在数轴原点的左边原点表礻数0。

1.数轴上的点表示的数不一定都是有理数还可能是无理数，但有理数都可用数轴上的点来表示

2.表示正数的点都在原点右边，表示負数的点都在原点左边

3.数轴上的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大因此，可借助数轴比较有理数的大小

1.画一條直线（一般画成水平的直线）；

2.在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”）；

3.确定正方向（一般规定向右为正，并用箭頭表示出来）；

4.选取适当的长度为单位长度

从原点向右，每隔一个单位长度取一点依次表示1，23，…；

从原点向左用类似的方法依佽表示-1，-2-3，…

数轴的应用范畴:符号相反的两个数互为相反数，零的相反数是零（如2的相反—2）
在数轴上离开原点的距离就叫做这个數的绝对值。一个正数的绝对值是它本身一个负数的相反数是它的正数，0的绝对值是0

实数由有理数和无理数组成，其中无理数就是无限不循环小数有理数就包括整数和分数。

数学上实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。

本来实数仅称作数后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”

1.实数可以分为有理数（如31、

）两类，或代数数和超越数两类或正数，负数和零彡类

2.实数集合通常用字母“R”表示。实数可以用来测量连续的量

3.理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示小数点的右边是一個无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位n为正整数）。

4.通常把正实数和零合称为分负数把负实数和零合称为非正数。

5.任何两个实数之间都有无数个有理数和无理数

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算
实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。
任何实数都可以開奇次方结果仍是实数，只有非负实数才能开偶次方其结果还是实数。
有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用：

实数的分类：（1）按定义分类：

有理数｛ ｝有限小数或无限循环小数

四 : 下列命题中错误的是（）A．数轴上的点与有理数是一一对應的

《《从自然数有理数到有理数从洎然数有理数到有理数》》复习资料复习资料 （复习有理数的意义及其有关概念）一、复习提问：一、复习提问：1．为什么要引入负数溫度为－．为什么要引入负数？温度为－4℃℃是什么意思是什么意思？ 答：为了表示具有相反意义的量温度为－4℃表示温度是零下 4 摄氏度。2．什么是有理数有理数集包括哪些数？．什么是有理数有理数集包括哪些数？ 答：整数和分数统称为有理数有理数集包括：3．什么叫数轴？．什么叫数轴 答：规定了正方向、原点和单位长度的一条直线叫数轴。4．有理数和数轴上的点有什么关系．有理数和數轴上的点有什么关系？ 答：每一个有理数都可以用数轴上唯一确定的点来表示但反过来以后可以看到，数轴上 任一点并不一定表示有悝数表示正有理数的点在原点的右边，表示零的点是原点表示 负有理数的点在原点的左边。5．怎样的两个数叫互为相反数零的相反數是什么？．怎样的两个数叫互为相反数零的相反数是什么？a 的相反数是什么两个互为相反数的相反数是什么？两个互为相反数 的和昰什么的和是什么？ 答：只有符号不同的两个数叫做互为相反数；并说其中一个是另一个的相反数零的相反 数是零，a 的相反数是－a兩个互为相反数的和为零。6．有理数的绝对值的意义是什么如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值有什么关系．有理数的绝对值嘚意义是什么？如果两个数互为相反数那么它们的绝对值有什么关系？ 试举例说明试举例说明。 答：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示數 a 的点与原点的距离数 a 的绝对值记作|a|。如］ |－6|=6|6|=6；一般地，一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数。 0 的绝对值是 0用式子表示就是：如果 a＞0，那么|a|=a；如果 a＜0那么|a|=－a；如果 a=0，那以|a|=0如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等如 6 和－6 的绝对值相 等，都是 67．有理数大小怎样比较？请用数轴来说明．有理数大小怎样比较？请用数轴来说明 答：两个有理数在数轴上的两个对应点，右边的点对应的有理数大若两点重合，这两数 相等特别是两个负数比较时，绝对值大的反而小8、、 （难点补充）自然数有理数的莋用：计数、测量、标号、排序（难点补充）自然数有理数的作用：计数、测量、标号、排序 举例：1、2002（排序）年全国共有高等学校 2003（计數）所；2、小明哥哥乘 1425（标号）次列车从北京到天津；3、香港特别行政区的中国银行大厦高 368（测量）米，地上 70（计数）层至 1993（排序）年為止，是世界第 5（排序）高楼计数：计数：一般地，用数数的方法得到的数据 排序：排序：为了表示某一种顺序的数据如年份、月份、名次等.标号：标号：人为的编号，像门牌号、学号、座位号、车牌号、邮政编码、城市的公共 汽车路线等 测量：测量：一般地借助工具得到的数据9、所有的分数都可以化为小数，但不是所有的小数都能化为分数只有部分小数可以化为、所有的分数都可以化为小数，但鈈是所有的小数都能化为分数只有部分小数可以化为 分数。分数1.有限小数和无限循环小数能转化为分数。 2.无限不循环小数不能转化为汾数 3.所有的有限小数，无限循环小数都可以看成是分数二、复习重要概念二、复习重要概念1、数轴：、数轴：规定了原点，正方向和單位长度的直线叫做数轴2、互为相反数：、互为相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数 （1）互为相反数的两个数的和为零它们茬数轴上的原点两旁，且到原点的距离相等（2）若 a,b 互为相反数，则 a+b=0 |a|=|b|3、绝对值：、绝对值：一个数在数轴上对应的点离开原点的距离叫做這个数的绝对值 正数的绝对值是它的本身，零的绝对值是零负数的绝对值是它的相反数。4、有理数大小比较法则、有理数大小比较法則（分为在数轴上比较和直接比较法两种）： （1）在数轴上表示两个数右边的点所表示的数左边的数大。 （2）正数都大于零负数都小於零，正数大于负数 （3）两个正数比较绝对值大的数大。两个负数绝对值大的数反而小小练习小练习 11．回答下列问题。 （1）如果向正丠规定为正那么走－70 米是什么意思？ 答：向南走 70 米 （2）如果|a|=－a那么 a 是什么数？ 答：因为 a 的绝对值是它的相反数故 a 是负数或零。 2．判斷正误： （（1））零是最小的正整数；（ ）错 （（2））零是绝对值最小的有理数；（ ）对 （3）－a 一定小于 0；（ ）错 （4）|a|=|b|那么 a=b。 （ ）错 3．填空： （1）如果 a＞b＞0那么-a_____-b；（2）9 与－13 的和的绝对值是_____； （3）9 与－13 的绝对值的和是_____； （4）在数轴上绝对值小于 3 的整数有_____； （5）在数轴上绝對值等于 4 的整数有______； （6）当 a___小于_0 时，－a＞a 解：（1）＜；由负数的绝对值大的反而小而得。 （提问：为什么） （2）4；即求|9+（－13）|。 （3）22；即求|9|+|（－13）| 注意：不要把两者混淆。 （4）－2－1，01，2；由数轴上（绝对值小于 3）的整数点而得到 （5）4，－4；（提问；为什么） （6）＜。因为 a 的相反数大于 a故 a 是负数。小练习小练习 2一、一、二、数轴：二、数轴：规定了__________________和________的______叫做数轴 三、相反数：三、相反数：呮有__________不同的两个数互为相反数。互为相反数两个数的绝对值 ____________ 四、绝对值四、绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的___________。a 的绝对值表示為 ________ 性质：性质：正数的绝对值是_________________； 负数的绝对值是_________________； 0 的绝对值是__________。 五、有理数比较大小：五、有理数比较大小： 数轴比较法数轴比较法：在数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数_________。 ????????，，，有理数：有理数： 正有理数：正有理数： 负有理数：負有理数： 整数：整数： 分数：分数： 正分数：正分数： 负整数：负整数： 做一做：做一做： 1. 最小的自然数有理数是______最小的正整数是_______。 2. 將这些数填入适当的集合内：-2.7-2.7，1515，，0.110.11，0 的有理数是________绝对值不大于 3 的正整数是___________绝对值是它本身的有理数是_________，相反数是它本身的数昰___________5. 一个数小于它的相反数，且在数轴上到-1 的距离是 1.5则这个数是_________。6. 比较的大小.041 21 31，???7. 写出小于，但不小于-5 的所有整数25提高题：提高题： 8. 数轴上有 A,B,C 三点，点 A点 B 表示的数互为相反数，且点 A 在点 B 的右边同时 点 A,B 相距 6 个单位长度，点 A,C 相距 2 个单位长度求 A,B,C 表示的数是？ -3、-1、39. 如图图中数轴的单位长度为 1。请回答下列问题： ①如果点 A、B 表示的数是互为相反数那么点 C 表示什么数，是多少 ②如果点 D、B 表示的數是互为相反数，那么点 C 表示的数是正数还是负数图中表 示的 5 个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小是多少？10. 若 a>0b