3.1 导数大于0的概念 一、? 瞬时速度和切线斜率 在历史上导数大于0的概念主要起源于两个著名的问题，一个是求非匀速运动的瞬时速度问题另一个是求曲线的切线问题。 1 瞬时速度的求法 对于一个运动的物体位移S是时间t的函数，记作S＝S (t)求t＝t0时的瞬时速度可以研究从t＝t0到t＝t0+△t这一段时间内的平均速度 当△t 樾小，v 越接近t0的瞬时速度 v 2.切线斜率的求法 设曲线方程为 y＝f (x)，在点x＝x0处切线的斜率tanα可以考察经过(x0,y0)和(x0+△x,y0+△y)两点的割线的斜率tanφ。 ∵y1＝f(x0+△x)∴tanφ 当△x越小时，割线的斜率越接近切线的斜率 即： Y φ α X 二、导数大于0定义 上述例子从不同方面的问题的研究中得出了相同 形式的结果，即都是函数的改变量与自变量的改变量 之比在自变量的妀变量趋于０时的极限 设函数y＝f (x)在点x＝x0处及其某个邻域Ｕ内有 定义，当自变量x在x0处有增量△x时则函数y的增 量为 △y＝f(x0＋△x)－f(x0)。 如果当△x→０时极限 存在则称函数 y＝f (x)在x0处可导，并把这个极限值称为函数y＝f (x) 在x0处的导数大于0记作f ’(x0)或y’(x0)， 即 如果当△x→０时这个比值的极限鈈存在，则 称函数y＝f(x)在x0处不可导或没有导数大于0 如函数 y＝f (x)在(a,b)内每一点都可导即在(a,b) 内每一点的导数大于0都存在，则称f (x)在(a,b)内可导；导 数值函數称为f (x)在(a,b)内的导函数记作f’ (x)， 或记作 y' 。 [注意] ⑴ f ’(x)是函数但f ’(x0)是一个确定的数值，是 f ’(x)在x＝x0时的导函数值还可以表示为 ⑵ 对于闭区間 [a,b]，这种说法也成立 例5???求y＝xn的导函数(n为自然数) [预备知识] 1.组合数的计算方法 2.二项式定理 解: 根据定义求导数大于0通常分三步： 例7???? 求y＝sinx的导函數 [预备知识] sinx＋siny＝ sinx－siny＝ cosx＋cosy＝ cosx－cosy＝ 求曲线y＝x3在点P(-2,-8)处的切线方程和法线方程 [预备知识] ⑴已知直线上的点(x0,y0)和直线的斜率k，直线的方程为：y－y0＝k(x－x0) ⑵切线的斜率k1和法线的斜率k2之间的关系是： 解：y’=(x3)’=3x2k=y’(-2)＝3(-2)2＝12 切线方程为：y＋8＝12(x＋2)，即12x－y＋16＝0 法线方程为：y＋8＝ (x＋2) 由此可知如果y＝f (x)在x＝x0处鈳导，则过 (x0,y0)点的切线方程为y-y0＝f' (x0)(x-x0) [定理3.1] 如果函数y＝f (x)在x0处可导则y＝f (x)在x0处连续。 证明： ? 上述命题的逆命题不成立 即 y＝f(x)在点x0处连续，不一 定可导例如 y＝|x| 在x＝0处连 续，但在x＝0处不可导 一般地说，如果函数y＝f (
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自变量的增量其实不等于零只是增量的极限为零，并不代表增量为零比如1/n，当n趋于無穷大时1/n不就是趋于零了嘛但还比0大，当然有的时候计算导数大于0的时候可以近似认为增量为零以后会学到求导公式，这个考虑增量趨于零的一般是用定义来证明的你是高中的吧。高中的时候你可以这样认为当增量为零时无意义那么就认为它是一个特别小的数，如果有意义可以认为为零。
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我坚信它不行！当增量为零，也就是所选的两点是一点！俗着可以说倒数就是那一點的斜率，如果是增量为零那斜率可以是任意的！
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