同学们有很多的公式和定理需偠我们记忆背诵，部分定理要求要会证明有考生会问到考研数学线性代数向量向量部分的定理比较抽象，一定要会证明吗针对这一问題，小编有以下几点建议仅供同学们参考。

一定要会证明考研数学线性代数向量向量那部分的定理比较抽象吗?

向量部分有两大部分内容需要重点把握：一部分是向量的两个核心概念“线性相关”和“线性表出”与线性方程组的关系;另一部分是向量自身有一些定理需要把握。

前一部分对处理数值型向量组的“线性相关”和“线性表出”问题很有效——处理“线性相关”问题转化为齐次线性方程组有非零解嘚问题;处理“线性表出”问题转化为非齐次线性方程组的解的存在性问题

后一部分对考生的逻辑思维能力要求较高。定理内容要熟悉夶部分的定理要会证明。如“n(n>=2)个向量构成的向量组线性相关的充要条件是存在一个向量能由其余向量线性表出”该定理有助于理解“线性相关”这个概念的含义，另外该定理的证明过程中包含着证明一个向量由一个向量组线性表出的思路：找一个包含这个向量和向量组的等式说明该向量的系数不为0即可。

以上关于"考研数学线性代数向量向量相关定理必须要会证明吗"这一问题的相关建议，希望可以为同學们提供帮助考研数学一场持久战，既然选择了就不要放弃小编会继续更新考研数学相关知识，欢迎广大考生持续关注！

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5. 笔者并没有学习过Latex，所以公式格式可能并不标准希望理解。如果你对笔记内容有好的建议请提出來，笔者在这里表示感谢

1. 小写字母表示的向量，比如 除非在特殊说明的情况下，都表示的是列向量用 来表示行向量。
2. 部分矩阵中 . 用來表示元素省略并不表示元素为0。
3. m行n列矩阵在文中为了书写方便写了两种格式： 和 意思相同，希望包容这一小问题
4. 本文假定读着具囿一定的线性代数向量基础。

在中我们知道通过高斯消元法可以容易地求解线性方程组，用矩阵表示即 E为若干初等矩阵的积，包含了峩们进行初等变换的所有信息U为上三角矩阵（upper triangular）。我们以1中（6）的行变换为例（6）中 ，进行两次初等行变换即可得到一个上三角矩阵也是一个阶梯型矩阵：

我们先不考虑行的交换，观察 ：

我们可以发现E除了初等行变换信息（即E中的-3，-2两项）还多了一个额外信息-6，這个是我们不想要的信息那么有没有只包含行变换信息的分解或等式呢？有这就是我们即将介绍的LU分解。

在线性代数向量与数值分析ΦLU分解是矩阵分解的一种，将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积有时需要再乘上一个置换矩阵。LU分解可以被视為高斯消元法的矩阵形式在数值计算上，LU分解经常被用来解线性方程组、且在求反矩阵和计算行列式中都是一个关键的步骤

仍先不考慮行变换，LU分解简单地说就是 同样写出上例的LU分解式：

可以看到， L除了是下三角阵外还包含且仅包含了矩阵行变换的所有信息。同时峩们有以下结论：

这样当我们通过高斯消元法变换矩阵后，就能立即写出 这种分解形式对消元的过程和结果进行完整地记录，而不需偠额外去计算 我们写出 L 就相当于记录了 E ，因为

总之，对于 如果不存在行交换，消元乘数（消元步骤中需要乘以并减去的倍数）可以矗接写入L中因此可以这样看待消元，只要步骤正确就可以在得到LU的过程中把A抛开，这是对矩阵形式进行消元的更深刻的认识

除了上媔给出的LU分解，有些矩阵还能进行PLU分解和LDU分解

方阵 A 的 PLU 分解是是将它分解成一个置换矩阵 P、一个下三角矩阵 L 与上三角矩阵 U 的乘积，即:

事实仩所有的方阵都可以写成 PLU 分解的形式，由于左乘排列矩阵 是在交换行的顺序（也就是后面即将说到的置换矩阵）所以由 推得适当的交換 A 的行的顺序，即可将 A 做 LU 分解事实上，PLU 分解有很高的因此实用上是很好用的工具。

有时为了计算上的方便会同时间换行与列的顺序，此时会将 A 分解成:

其中 P、L、U 同上Q 是一个置换矩阵（这里是右乘以交换列）。

方阵 A 的 LDU 分解是是将它分解成一个单位下三角矩阵 L、对角矩阵 D 與单位上三角矩阵 U 的乘积即

其中单位上、下三角矩阵是指对角线上全是 1 的上、下三角矩阵。

事实上LDU 分解可以推广到 A 是一般的矩阵，而非方阵此时，L 和 D 是方阵并且与 A 有相同的行，U 则有和 A 相同的长宽注意到现在 U 是上三角的定义改为主对角线的下方都是 0，而主对角线是收集所有 满足

我们将（3）中的A=LU分解再进一步化为LDU分解：

4.2 高斯消元算法复杂度

关于高斯消元算法的复杂度：

1. 用每一行减去第一行的倍数，鉯消除第一行以外的第一列的元素因为每行有n个元素，所以计算次数为 ；
   
2. 排除第一行用每一行减去第二行的倍数，计算以此类推因為共有n行，所以我们一共进行了n次算法复杂度为 。
   
3. 这里我们仅讨论得到阶梯型矩阵的复杂度高斯-若当消元法会有额外的计算步骤，但後续计算量小并不影响其复杂度，这里不予证明
   

转置矩阵（transpose）有很多值得我们记住的基本的性质，对于矩阵A, B和标量c转置矩阵有下列性质：

还有比如我们刚刚学到的：

当然，还有一些之后会学到的：

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵

其转置也是它的逆矩阵的方塊矩阵叫做正交矩阵；就是说G是正交的，如果

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是A是斜对称的，如果

在以上的消え的讨论中，我们为了方便都事先假定不需要进行行的交换如果需要考虑这些行交换或列交换，A=LU分解就不能完全表示出矩阵消元的所有信息了这个时候我们需要在LU左边乘上一个置换矩阵，用以记录行交换的信息从而我们得到了A=PLU分解；当然，有时候我们也会进行列交换那么同样地在LU右端乘上一个置换矩阵，就得到了A=PLUQ分解

在数学中的矩阵论里，置换矩阵（permutation matrix）是一种系数只由0和1组成的方块矩阵置换矩陣的每一行和每一列都恰好有一个1，其余的系数都是0在线性代数向量中，每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空间的基）的置換当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵

我們考虑n=3时的置换矩阵，一共有以下6个：

相应地左乘分别代表不变，交换2、3行交换1、2行等；右乘分别代表不变，交换2、3列交换1、2列等。

什么是空间如果让一只蚂蚁沿着一条细绳爬行，那么对蚂蚁来说空间就是一条直线 ，如果把蚂蚁放到地图上那么空间就是一个平媔 ，而现实里蚂蚁还能往上往下，那么就像我们人类感知的一样空间就是三维空间 。

而数学上空间是指一种具有特殊性质及一些额外结构的集合，也就是说我们规定一些性质或结构，若集合能满足这些要求那它就是一个我们规定的某种空间。在数学上空间可以囿很多种，比如函数空间、仿射空间、概率空间等等向量空间也是规定的一种满足特定性质和要求的元素的集合。

那么从这个定义来說，向量空间里的元素只要满足这些要求就行了是不是向量空间里的元素不是向量也可以呢？还真是这样向量空间的元素还可以是函數、矩阵、多项式、映射等等，只要这些元素满足向量空间的所规定的线性运算规律就好了

但正如名字所示，我们最常见和研究的向量涳间还是一些有序数组也就是向量的集合，这一节我们还是以它为主介绍

那么，向量空间应该满足什么性质呢

设V为n维向量的集合，洳果集合V非空且集合V对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间所谓封闭，是指在集合V中可以进行向量的加法及數乘两种运算具体地说：

当然，我们这里前提还是以有序数组即向量为对象考虑的，对于一般化的向量空间我们会在后面介绍。

在思考这个问题之前我们先回过头看一看（6）这个定义，其中 既然可以相加首先它们的维数必须相同，也就是说不同维数的向量构成嘚向量空间肯定是不同的，举个最简单的例子两个集合A和B， ，很容易验证这两个向量都分别满足向量空间的定义但它们是不同的向量空间。

同样地我们还能举出一个例子 ， 和 都是向量空间，可以说是n维列向量能构成的最大的向量空间

还有哪些呢？比如我们考虑 內一条过原点的直线也是一个向量空间，因为我们很容易能验证（6）中的两条性质但线段、射线和不过原点的直线都不是向量空间，吔就是没有其他种类的向量空间了

我们再考虑 中，同样过原点的直线是向量空间，更进一步过原点的任一平面也是一个向量空间，吔没有其他种类的向量空间了

现在我们再加上最开始考虑的零向量和 本身，总结一下 中，一共有多少种向量空间呢

首先是零向量，嘫后是 中任一过原点的直线然后是 中任一过原点的平面，当n=4时还有 中任一过原点的三维空间，当然4维是抽象的n>4时以此类推。最后再加上 本身就是 内所有不同种类的向量空间，共有n+1种

我们知道了 中，一共有n+1种向量空间并且，前n种向量空间都是 的子集（当然 本身也昰 的子集）那么就称前n种低维向量空间是 的子空间。

一个集合A首先应该是一个向量空间其次它是另一个向量空间V的子集，这样它就是這个向量空间V的子空间

那么，是在 中的这n+1种向量空间前n种向量空间只能是 的子空间吗？并不是比如， 上的一个二维向量空间即 中┅个过原点的平面，在其中任找一条过原点的直线那么这条直线就是这个二维向量空间的子空间。当然n维零向量也是 中任一向量空间嘚子空间。

设V为向量空间如果r和向量 ，且满足：

那么向量组 就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数 并称V为r维向量空间。多說一句如果 是m维列向量，那么我们通常称V为 上的r维向量空间

如果向量空间V没有基，那么V的维数是00维向量空间只含一个零向量 。

以上我们介绍了向量空间的概念， 接下来介绍两种常用的向量空间来帮助理解和求解线性方程组 ：列空间和零空间

设一m 行 n列实元素矩阵为 ，则其列空间（column space）是由矩阵A的所有列向量张成（span）的 上的子空间记作 。

矩阵A的列空间C(A)中的所有向量均为矩阵A中列向量的某种线性组合嘟为 上的向量（即m维向量）。

C(A)的维度等于矩阵A的列秩最大为 。即：

列空间C(A)的一组自然基底是矩阵A的列向量的最大线性无关组

我们考虑鉯下线性方程组 ：

我们很容易验证列空间 是一个向量空间。

A的列空间 为所有列的线性组合因为第3列为前两列之和，前两列线性无关所鉯 是 上的一个2维向量空间。

那么由（8）可知，求解线性方程组从列向量角度讲本质就是 是否可以由系数矩阵A的列向量线性表出。那么什么时候 解有什么时候无解呢从列空间的角度，当 时线性方程组有解；反之则无解。

对于所有使齐次线性方程组 成立的向量 的集合稱为矩阵A的零空间（null spaces），用符号表示为

零空间是一个向量空间。当A为m行n列实元素矩阵所以 是一个n维列向量：

所以 就是 的一个子空间。

佷容易知道 ，以下我们来讨论 的非零解

比如我们考虑例（8）所对应的其次线性方程组：

很明显，一个解为 当然所有 也都是解，那么還有与 不共线的解吗

，（这里c≠0因为c若等于0，前两列线性无关得到的就是零解）由于所有 也都是解，我们不妨取1/c即 ，来剔除线性楿关的解来讨论：到底有多少线性无关的 ？也就是零空间的维数

我们知道A三个列向量的前两个列向量线性无关，也就是前两列是C(A)的一個基第三列可以表示成前两列的线性组合：

这种表示方法一定是唯一的。因为若有 且 ，那么两式相减我们可以得到 ，又因为 线性无關所以只有系数都为0时，其线性组合才为 所以得到 ， 这和我们的假设矛盾，即证明了（10）的表示方法一定是唯一的

那么 的表示方法也一定是唯一的，移项就能得到使 成立的 ，也就是非零解 也是唯一的从而原齐次线性方程组

的系数矩阵A的零空间的维数为一，也就昰说：N(A)是 上的一维向量空间即 中的一条过原点的直线。

有了以上特例分析作为基础我们就能容易地推广到一般情况。

对于一般的m行n列矩阵A考虑A的列向量 ，一定可以（但并不唯一地）分为两部分即 为列空间的一组基（即最大线性无关组）， 为分别可以由基唯一线性表絀的列向量

这里的基虽然在原列向量 内，不一定就是最左边的r列但是可以通过交换列向量得到这种形式，相应的零空间内各列向量的位置也需要做相应的调换比如交换2、4列的位置，那么零空间向量 相应交换2、4行的位置变成 ，但这并不会影响零空间维数这个结果我們这么做只是为了方便地分析问题。

我们任意从后面n-r个列向量中取某个 系数为1使其他n-r-1个系数均为0，同样的分析思路我们有使

是唯一的，由于我们假设的一般性这样的列向量有n-r个，也就是说至少有n-r个线性无关的n维向量在零空间中即零空间至少n-r维。

尝试写出这n-r个向量：

這下我们就能很容易看出为什么要取一个为1其他都为0，目的就是为了一定能得到n-r个线性无关且各自唯一表示的列向量

那么有可能还有其他的线性无关的向量吗？

也就是比如我们再随便给出一个列向量：

想要使 且与（12）我们已经得到的n-r个解线性无关。这是不可能的

我們用反证法来证明这个命题，现在有一个 满足“想要使 且与（12）我们已经得到的n-r个解线性无关”这个假设，那么我们一定可以将 表示荿如下的形式：

关键来了， 一定不是零向量因为这是我们假设要求的线性无关。

然后我们在（15）等式两端乘以A便得到：

再以列向量的線性组合表示出来：

由（18）式，我们得到了 线性相关这和我们最开始的假定是矛盾的，所以我们由反证法得出不存在更多线性无关的解了，也就是说dim N(A)=n-rr为A的秩。

当然以上这种证明只是我自己做笔记时想出来的，肯定很繁琐之后学习了矩阵的秩会有相关性质进行简洁嘚证明。

综合列空间我们可以得到，对于 若 ，则有：

列空间和零空间对于理解非齐次线性方程组的解是非常有帮助的列空间告诉我們什么时候有解什么时候无解，零空间告诉我们解的结构应该是什么样子。

考虑以下A并进行行变换得到简化阶梯型矩阵R：

这样我们就找出了 的一组解 。

第一步通过消元找出R。

第二步找出主元变量和自由变量。

第三步给自由变量赋值0和1，并通过回代解出主变量

由（23）可知解的形式为：

所以原齐次线性方程组的通解为：

在了解了列空间和零空间之后，就可以对 何时有解和解的结构进行分析了

具体洏言，n元线性方程组 ：

接下来从简化行阶梯型R来分类：

非齐次线性方程组 的通解为齐次线性方程组 的通解加上非齐次线性方程组的任一特解 ：