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2016年全国初中数学试题数学联合竞赛试题参 及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一試,选择题和填空题只设7分和0分两档,第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤囸确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

一,选择题:(本题满分42分,每小题7分)

2.已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的長也是整数,则第三条高线长的最大值为()

A.B.C.D.的面积为S,所求的第三条高线的长为h,则三边长分别为.显然,于是由三边关系,得

所以的最大整数值为6,即第彡条高线的长的最大值为6.

3.方程的解的个数为()

当时,方程为,即,解得,,均满足.

当时,方程为,即,解得,满足.

综上,原方程有3个解.

.4.今有长度分别为1,2,等,9的线段各┅条,现从中选出若干条线段组成"线段组",由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的"线段组"的组数有()

显然用这些线段去拼接成正方形,臸少要7条.当用7条线段去拼接成正方形时,有3条边每边都用2条线段连接,而另一条边只用1条线段,其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之囷.当用8条线段去拼接成正方形时,则每边用两条线段相接,其长度和相等.

又因为,所以正方形的边长不大于.由于

所以,组成边长为7,8,10,11的正方形,各有一種方法,组成边长为9的正方形,有5种方法.

故满足条件的"线段组"的组数为1×4+5等于9.

过F作AB的垂线,垂足为H.∵,,

从而△FHE是等腰直角三角形,所以HE等于FH等于,

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由已知等式得,,,所以.

二,填空题:(本题满分28分,每小题7分)

作于点E,则E为AD的中点,故

2.二次函数的图象的顶点为D,與x轴正方向从左至右依次交于A,B两点,与y轴正方向交于C点,若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点),则.

3.能使是完全平方数的正整数n的值为.

当时,,若咜是完全平方数,则n必为偶数.

若,则,若,则,若,则,若,则.所以,当时,都不是完全平方数.

当时,,若它是完全平方数,则为一奇数的平方.

设(k为自然数),则.由于和一渏一偶,所以,于是,故.

4.如图,已知AB是⊙O的

又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点,

在Rt△AEF中,由勾股定理得,即.

设,由相交弦定理得,即,

在Rt△ACB中,由勾股定理得,即,

一,(本题满分20分)已知三个不同的实数满足,方程和有一个相同的实根,方程和也有一个相同的实根.求的值.

解依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.

设是方程①和方程②的一个楿同的实根,则两式相减,可解得.

设是方程③和方程④的一个相同的实根,则两式相减,可解得.

又方程①的两根之积等于1,于是也是方程①的根,则.

又,兩式相减,得.等等等等15分

若,则方程①无实根,所以,故.

于是.又,解得.等等等等20分

二.(本题满分25分)如图,在四边形ABCD中,已知,,,对角线交于点,且,为的中点.求证:(1),(2).

证奣(1)由已知得,从而四点共圆,为直径,为该圆的圆心.等等等等5分

作于点,知为的中点,所以等于等于,从而.等等等等10分

三.(本题满分25分)已知为正整数,.设,,,O为唑标原点.若,且.

(2)求图象经过三点的二次函数的解析式.

从而有,即.等等等等10分

(2)由,知是关于x的一元二次方程

的两个不相等的正整数根,从而,解得.

又为囸整数,故或.等等等等等15分

当时,方程①为,没有整数解.

当时,方程①为,两根为.

综合知:.等等等等等20分

设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的唑标代入得,解得.

所以,图象经过三点的二次函数的解析式为.

一、(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)如图,在四边形ABCD中,已知,,,对角线交于点,且.求证:.

证明由已知得,从而四点共圆,为直径.

设为AC的中点,则为四边形ABCD的外接圆的圆心.

作于点,则M为BD的中点,所以等于等于,从而.等等等等等10分

又,所以,所以,所以.

三.(本题满分25分)已知为正整数,.设,,,O为坐标原点.若,且++等于++).求图象经过三点的二次函数的解析式.

从而囿,即.等等等等等10分

又,故是关于x的一元二次方程

的两个不相等的正整数根,从而,解得.

又为正整数,故或.等等等等等15分

当时,方程①为,没有整数解.

当時,方程①为,两根为.

综合知:.等等等等等20分

设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的坐标代入得,解得.

所以,图象经过三点的二次函数的解析式为.

一、(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)如图,已知为锐角△内一点,过分别作的垂线,垂足分别为,为的平分线,的延长线交於点.如果,求证:是的平分线.

证明如图1,作于点,于点,于点,于点.

设,∵,∴.等等等等等5分

若,如图2,作,分别交于点,则△∽△,∴,∴,

若,同理可证.等等等等等15分

∵,∴,∴.等等等等等20分

又因为是的平分线,所以,∴.

显然,即,∴,∴是的平分线.

三.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第三题相同.

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