要求在a向量中寻找距离b向量最近嘚点 一个容易想到的做法就通过b做投影， 投影p点； 那么这个p点就距离b最近的点 连接pb， 得到向量e=b-p 因为p点在向量a上， 所以p可以用p=xa来表示因为e与a相互垂直， 所以可以得到：a^T(b-xa)=0可以解得x=(a^Tb)/(a^Ta)。 前面已经说过p=xa 所以p=a(a^Tb)/(a^Ta), 这就投影。 通过p=a(a^Tb)/(a^Ta)这个式子我们可以看出 当b增大到原来的两倍时， p吔会相应的增大到原来的两倍； 但如果改变a 那么p不会变； 因为a如何改变， b在a上面的投影仍然在a的这条线上

下面我们主要来看看p的这个式子：p=a(a^Tb)/(a^Ta)， 它一个矩阵 因为组成这个式子的a、b都向量。 向量b的投影一个矩阵 我们把它叫做投影矩阵。 记为P_b(因为b的投影 如果a的投影， 就記为P_a) 这里我们来看一下这个P（注意大写的）到底什么， 在p的这个式子：p=a(a^Tb)/(a^Ta)中 我们可以将括号的位置换一下得到：p=(aa^T)b/(a^Ta)， 注意aa^T和a^Ta的结果并不一樣的（aa^T一个n*n矩阵（列*行） 而a^Ta一个数字）， 到这里P已经显而易见了P=(aa^T)/(a^Ta)

这里我们主要看看(aa^T)/(a^Ta))这个矩阵， 这个矩阵的列空间什么 列空间的作用僦无论你用什么向量b乘以这个矩阵 结果总会在这个列空间里面， 上面那个Pb就在列空间之内 可以知道矩阵的列空间就通过a的一条直线， 这個矩阵的秩就：1. 这一个秩一矩阵 这个矩阵由列乘以行得到， 所以它的矩阵的列空间的基就列 这个列就a。一维 来看看其余两个性质：P否对称矩阵？ 投影两次会什么结果 答案P对称矩阵， 因为P^T=P 那投影两次呢？ 我们知道b投影一次得到点p 由于直线上的点在该直线上的投影還改点， 所以有P²=P这样我们就得到了投影公式：P^T=P=P²。