直线的参数方程解圆锥曲线必过的那个定点如果不在圆锥曲线内 还可以用t的几何意义求弦长吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-24 16:24 标签： 参数方程解圆锥曲线

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  • 借助一维数轴来理解\(t\)的几何意义

我们知道一维数轴上的点和实数是一一对应的，如图所示水平放置的数轴，其上的点\(A\)、\(O\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)分别代表实数\(-2\)\(0\)，\(1\)\(2\)，\(3\)；動点对应的实数标记为\(t\)那么\(t=2\)就对应点\(C\)，\(t=-2\)就对应点\(A\)\(t=0\)就对应点\(O\)，\(t=1\)就对应点\(B\)当变量\(t\)取遍所有的实数，那么动点就能代表数轴上所有的实数这时候实数\(t\)就是数轴上的动点的一维坐标。

  • 共线向量法引入直线的参数方程解圆锥曲线

这样这条直线上的任意一个动点\(P\)的坐标鈳以表示为

由于动点的坐标可以刻画这条直线上的所有的点因此我们称上式为倾斜角为\(\theta\)，经过定点\(P_0(x_0,y_0)\)的直线\(l\)的参数方程解圆锥曲线

如图所示，动点\(P\)对应的参数为\(t\)这时\(t\)可以看成一维数轴[图中的红色直线]上的动点\(P\)的一维坐标；不过此时数轴上的坐标原点必须是\(P_0(x_0，y_0)\)；那么如何知道该点的二维坐标\((xy)\)呢？代入参数方程解圆锥曲线求解即可

为什么借助直线的参数方程解圆锥曲线的几何意义求线段长度简單呢？原因是将二维平面内的两点间的距离问题转化为了一维数轴上的两点距离了自然就简单的多。

疑1\(t\)的几何意义是什么如果我们当时取得方向向量不是单位向量，又会如何

e||t|=|t|\)，故\(t\)的几何意义是有向线段\(P_0P\)的数量(或有向线段的位移)；如果当时取的不是单位向量則\(t\)不是有向线段\(P_0P\)的数量。

疑2\(t\)一定为正值吗

疑3 给定倾斜角和定点坐标，你能仿上写出直线的参数方程解圆锥曲线吗

疑4 给定直线的参数方程解圆锥曲线，你能找出倾斜角和定点坐标吗

定点的坐标容易求解，是\((-12)\)，但是倾斜角的求解需要注意：

疑5 是不是随便给一个直线的参數方程解圆锥曲线\(t\)的几何意义都是这样的？

疑6 我们为什么要学习参数方程解圆锥曲线参数方程解圆锥曲线比之其他方程有什么好处？

參数方程解圆锥曲线的参数一般都是有其对应的几何意义所以利用其几何意义可以解决一部分问题，这是优越性之一；其二有了参数的介入使得方程中的未知数之间的的关系变得间接化，这在直线的参数方程解圆锥曲线中体现的不是很明显

在圆的参数方程解圆锥曲线Φ就体现的非常明显，如\(x^2+y^2=1\)引入参数\(\theta\)后，圆上的动点的坐标就是\((cos\thetasin\theta)\),比如在求解圆上的点到直线的最短距离就非常的方便；

再比如，解三角形中如果已知\(a：b：c=3：2：4\)，如果我们引入参数\(k（k>0）\)则可以方便的单独表示\(a=3k，b=2kc=4k\)。

疑7 直线上的任意一个动点\(P\)都有唯一的参数\(t\)与之对应，對吗为什么？

对呀正因为这样，才可以用直线的参数方程解圆锥曲线来刻画直线呀而且好处在于将直线上的动点的坐标都表示成了\(t\)嘚函数，变量数目变少非常有利于进一步的计算。

  • 绝对值的定义此处涉及去掉参数\(t\)中的绝对值符号；

  • 变形运算，比如将直线嘚参数方程解圆锥曲线代入圆的普通方程

⑴求圆的直角坐标方程；

法一：将直线和圆的直角坐标方程联立，求得交点\(A\)、\(B\)的坐标使用两点间的坐标公式求解\(|PA|+|PB|\)；理论上可行，操作性不强运算难度很大。

法二：利用直线参数方程解圆锥曲线的参数的几何意义

（1）求圆\(C\)的极坐标方程。

⑴写出直线\(l\)的参数方程解圆锥曲线并将曲线\(C\)的极坐标方程化为直角坐标方程；

解后反思：和本题目一样，要用到\(\Delta\)中內含的字母信息的题目还有解析几何部分如

【法1】几何方法，利用\(Rt\Delta\)求解将直线\(l\)的参数方程解圆锥曲线消参，得到其普通方程為\(2x-y-3=0\)

【法3】利用直线的参数方程解圆锥曲线求解，

(此时千万要注意弦长\(|AB|\neq |t_1-t_2|\)，原因是这个参数方程解圆锥曲线不是标准形式的)

[此时参数\(m\)的几哬意义才是动点到静点的距离的数量千万要注意，即弦长\(|AB|=|m_1-m_2|\)]

将直线\(l\)的参数方程解圆锥曲线的标准形式代入圆的普通方程得到

  • 非标准形式囮为标准形式的思路

此时的参数\(m\)的几何意义才是定点到动点的有向线段的数量。

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