2019届高考数学二轮复习专题--三角函数（有答案）与2019届高考数学二轮複习专题--导数与函数综合问题（带答案） 2019届高考数学二轮复习专题--三角函数（有答案） 1．三角函数的图象主要涉及图象变换问题以及由圖象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查； 2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等主要以解答题的形式考查； 3．三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具三角恒等变换是利用三角恒等式两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心． 1．常用彡种函数的图象性质下表中 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 递增 区间 递减 区间 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 对称轴 x＝kπ＋ x＝kπ 周期性 2π 2π π 2．三角函数的常用结论 1y＝Asinωx＋φ，当φ＝kπk∈Z时为奇函数；当φ＝kπ＋ 时为偶函数； 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋ 求得． 2y＝Acosωx＋φ，当φ＝kπ＋ k∈Z时為奇函数；当φ＝kπk∈Z时为偶函数； 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ 求得． 3y＝Atanωx＋φ，当φ＝kπ 时为奇函数． 3．三角函数的两种常见变换 1y＝sin x y＝sinωx＋φ y＝Asinωx＋φA＞0ω＞0． y＝Asinωx＋φA＞0，ω＞0． 4．三角函数公式 1同角关系sin2α＋cos2α＝1 ． 2诱导公式对于“ ， 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆 奇变偶不变符号看象限． 3两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ； ； ． 4二倍角公式 ， ． 5辅助角公式asin x＋bcos x＝a2＋b2sinx＋φ，其中 ． 热点一 三角函数的图象 【例1】1 2018清流一中已知函数 （1）用“五点法”作出这个函数在一个周期内的图象； （2）函数 图象经过怎樣的变换可以得到 的图象 2函数fx＝Asinωx＋φ 的部分图象如图所示，则函数fx的解析式为 A． B． C． D． 1解 1列表 0 2 0 0 2 【注列表每行1分该行必须全对才得分；圖象五点对得1分，图象趋势错扣1分】 （2）把 的图象向左平移 个单位得到 的图象再把 的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到 的图象最后把 的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到 的图象． 2由1知 ，根据图象平移变换得 ． 因为y＝sin x的对称中心为 ， ． 令2x＋2θ－ ＝kπ， 解得 ， ． 由于函数y＝gx的图象关于点 成中心对称令 ， 解得 ， ． 由θ0可知当k＝1时，θ取得最小值 ． 2解析 1由题意知A＝2 ，ω＝2 因为當 时取得最大值2，所以 所以 ， 解得 ， 因为|φ|0，ω0的图象求解析式时常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 【训练1】1 2018孝感期末已知函数 ， 的图像在 轴上的截距为1，且关于直线 对称．若对于任意的 存在 ， 使得 则实数 的取值范围为______． 22017贵阳調研已知函数fx＝Asinωx＋φ ， 的部分图象如图所示． ①求函数fx的解析式； ②将函数y＝fx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y＝gx的图象求函数gx在区间0，π8上的最小值． 解析1因为 的图像在 轴上的截距为1苴关于直线 对称， 所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， ， 因为 ，所以 若对于任意的 ，存在 使得 ， 则 所以 ，解得 所以实數m的取值范围为 ，答案为 ． 答案 2解 ①设函数fx的最小正周期为T由题图可知A＝1，T2＝2π3－π6＝π2 即T＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，故fx＝sin2x＋φ． 甴0＝sin2π6＋φ可得π3＋φ＝2kπ， 则φ＝2kπ－π3，k∈Z因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3 故函数fx的解析式为fx＝sin2x－π3． ②根据条件得gx＝sin4x＋π3， 当x∈0π8时，4x＋π3∈π35π6， 所以当x＝π8时gx取得最小值，且gxmin＝12． 热点二 三角函数的性质 【例2】2018哈尔滨三中已知函数 的图象与 轴的交点为 它在 轴右側的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 和 ． （1）求 解析式及 的值； （2）求 的单调增区间； （3）若 时，函数 有两个零点求实数 的取值范围． 解（1）由题意知， ，∴ ∴ ； 又∵图象过点 ，∴ ∴ ； 又∵ ，∴ ；∴ ； 又∵ 是 在 轴右侧的第1个最高点∴ ，解得 ． （2）由 嘚 ， ∴ 的单调增区间为 ； （3）∵在 时函数 有两个零点， ∴ 有两个实数根即函数图象有两个交点． ∴ 在 上有两个根， ∵ ∴ ， ∴结合函數图象函数 有两个零点的范围是 ． ∴ ． 探究提高 1．讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数． 2．求函数y＝Asinωx＋φA0ω0的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间或减区间，求出的区间即为y＝Asinωx＋φ的增区间或减区间，但是当A＞0ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin－ωx－φ，则y＝Asin－ωx－φ的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间． 由正弦函数的性质令2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z 得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z． 所以函数fx的单調递增区间为kπ＋π6kπ＋2π3，k∈Z． 热点三 三角函数图象与性质的综合应用 【例3】2017西安调研已知函数fx＝2sin ωxcos ωx＋23sin2ωx－3ω0的最小正周期为π． 1求函数fx的单调递增区间． 整理得kπ－π12≤x≤kx＋5π12 ， 所以函数fx的单调递增区间是kπ－π12kπ＋5π12， ． 2将函数fx的图象向左平移π6个单位再向上平迻1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象； 所以gx＝2sin 2x＋1． 令gx＝0得x＝kπ＋7π12或x＝kπ＋11π12 ， 所以在[0π]上恰好有两个零点，若y＝gx在[0b]上有10个零点，则b不小于苐10个零点的横坐标即可． 所以b的最小值为4π＋11π12＝59π12． 探究提高 1．研究三角函数的图象与性质关键是将函数化为y＝Asinωx＋φ＋B或y＝Acosωx＋φ＋B的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解． 2．函数y＝Asinωx＋φ或y＝Acosωx＋φ的最小正周期T＝2π|ω|．应特别注意y＝|Asinωx＋φ|的最小正周期為T＝π|ω|． 【训练3】函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等请选择适当的探究顺序，研究函数 的性质并在此基础上填写下表，作出 在区间 上的图象． 性质 理由 结论 得分 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 对称性 作图 解∵1-sinx≥0且1sinx≥0在R上恒荿立，∴函数的定义域为R； ∵ ∴由|cosx|∈[0，1]f2（x）∈[2，4]可得函数的值域为[√2，2]； ∵ ∴函数的最小正周期为π， ∵当 时， 在 上为减函数， 当 时 ，在 上为增函数 ∴ 在 上递增，在 上递减 ∵ ，且 ∴ 在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线 对称 因此，可嘚如下表格 性质 理由 结论 得分 定义域 定义域 值域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 周期 单调性 在 上递增 在 上递减 对称性 f（-x）f（x）， 关于直线xkπ/2對称 作图 热点四 三角恒等变换及应用 【例4】12015重庆卷若tan α＝2tan 探究提高1．三角恒等变换的基本思路找差异，化同角名化简求值． 2．解决条件求值问题的三个关注点 1分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． 2正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示． 3解三角函数中给值求角的问题时要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围 求出角的夶小． 【训练4】 1 /22k“π“k∈Z求增区间；由“π“ /22k“π“≤ωxφ≤“3π“ /22k“π“k∈Z求减区间． 3．【解题思路】将函数 进行化简即可 【答案】由已知嘚 ， 的最小正周期 故选C． 4．【解题思路】求出3xπ/6的范围，再由函数值为零得到3xπ/6的取值可得零点个数． 【答案】 ， 由题可知3xπ/6π/2，3xπ/63π/2或3xπ/65π/2， 解得x π/94π/9，或7π/9故有3个零点． 5．【解题思路】利用两角差的正切公式展开，解方程可得tanα3/2． 【答案】tanα-5π/4tanα-tan 5π/4/1tanα?tan 5π/4tanα-1/1tanα1/5解方程得tanα3/2． 1．【解题思路】由极值点的导数为0确定 ，由奇函数确定 ． 【答案】 因为当 时有极大值，所以 0 解得 ， 当 π/4ω1，所鉯π/4ωkππ/4k∈Z，即ω4k1k∈Z， 又由00|φ|0，且a≠1x0. 3.利用导数研究函数的单调性 1导数与函数单调性的关系. ①f′x0是fx为增函数的充分不必要条件，如函数fx＝x3在－∞＋∞上单调递增，但f′x≥0. ②f′x≥0是fx为增函数的必要不充分条件如果函数在某个区间内恒有f′x＝0时，则fx为常数函数. 2利用导數研究函数单调性的方法. ①若求单调区间或证明单调性只要在函数定义域内解或证明不等式f′x0或f′x0，右侧f′x0或fx2＜0 两个 fx1＝0或者fx2＝0 三个 fx1＜0且fx2＞0 7.利用导数解决不等式问题 1利用导数证明不等式. （1）讨论 的单调性； （2）当 , 为两个不相等的正数，证明 . 解（1）函数 的定义域为 . 若 ， 則 在区间 内为增函数； 若 ，令 得 . 则当 时， 在区间 内为增函数； 当 时， 在区间 内为减函数. （2）当 时， .不妨设 则原不等式等价于 ， 令 则原不等式也等价于即 . 下面证明当 时， 恒成立. 设 则 ， 故 在区间 内为增函数 ，即 所以 . 探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定義域内解证不等式f′x0或f′x0. 2对k分类讨论不全题目中已知k0，对k分类讨论时容易对标准划分不准确讨论不全面. 【训练1】已知a∈R，函数fx＝－x2＋axexx∈Re为自然对数的底数. 1当a＝2时，求函数fx的单调递增区间； 2若函数fx在－11上单调递增，求a的取值范围； 3函数fx是否为R上的单调减函数若是求絀a的取值范围，若不是请说明理由. 解 所以gx＝x＋1－1x＋1在－1，1上单调递增.所以gx＜g1＝1＋1－11＋1＝32. 所以a的取值范围是32＋∞. 3若函数fx在R上单调递减，則f′x≤0对x∈R都成立即[－x2＋a－2x＋a]ex≤0对x∈R都成立. 因为ex＞0，所以x2－a－2x－a≥0对x∈R都成立. 所以Δ＝a－22＋4a≤0即a2＋4≤0，这是不可能的. 故函数fx不可能在R仩单调递减. 热点二 利用导数研究函数的极值和最值 【例2】 2018安阳调研已知函数 的极大值为2． （1）求实数 的值； （2）求 在 上的最大值． 解（1）依题意 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减 所以 在 处取得极大值，即 解得 ． （2）由（1）知 在 和 上单调递增，在 上单调递减 ①当 ，即 时 在 上单调递增， 所以 在 上的最大值为 ． ②当 即 时， 在 上单调递增在 上单调递减， 在 上的最大值为 ． ③当 且 即 时， 在 上单调递減 所以 在 上的最大值为 ． ④当 ，即 时令 ，得 或 （舍去） 当 时 在 上的最大值为 ． 当 时， 在 上的最大值为 ． 综上可知 当 或 时 在 上的最夶值为 ； 当 时， 在 上的最大值为 ； 当 时 在 上的最大值为 ． 探究提高 1.求函数fx的极值，则先求方程f′x＝0的根再检查f′x在方程根的左右附近函数值的符号. 2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′x＝0根的大小或存在情况来求解. 3.求函数fx在闭区间[ab]的最值时，在得到极值的基础上结合区间端点的函数值fa，fb与fx的各极值进行比较得到函数的最值. 【训练2】2017郴州二模选编已知函数fx＝ax2＋1－2ax－ln x. 1当a0时求函数fx的单调递增區间； 2当a0，因为a0x0，∴2ax＋1x0∴x－10，得x1 ∴fx的单调递增区间为1，＋∞. 因此a≥1时ln x0；x∈0，2af′x0，且f0＝10故fx有小于0的零点，不满足.当a0且唯一只需f2a0，则a24所以a－2.故选C. 4.【解题思路】1首先确定函数的定义域，之后对函数求导之后对 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号从而求得函数对应的单调区间； 2根据 存在两个极值点，结合第一问的结论可以确定 ，令 得到两个极值点 是方程 的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换构造新函数证得结果. 【答案】（1） 的定义域为 ， . （i）若 则 ，当且仅当 时 ，所以 在 单调递减. （ii）若 令 得， 戓 . 当 时 ； 当 时， . 所以 在 单调递减，在 单调递增. （2）由（1）知 存在两个极值点当且仅当 . 由于 的两个极值点 满足 ，所以 不妨设 ，则 甴于 ， 所以 等价于 . 设函数 由（1）知， 在 单调递减 又 ，从而当 时 . 所以 ，即 . 1.【解题思路】由导函数易知其图像. 【答案】函数在某点处切線的斜率为函数在该点的导数由原函数可知 ，即 很显然 ，即 为奇函数排除选项A，C 又在 时， 所以排除D选项，故本题的正确选项为B. 2.【解题思路】由条件得到 对 恒成立所以 ，即可b的取值范围． 【答案】 则有 对 恒成立， 所以 又 ，当 时 取得最小值4，所以 ． 故选A. 3.【解題思路】通过导函数图像得到函数的单调性结合函数值确定函数的大致图像. 【答案】根据导函数图象，知2是函数的极小值点函数y＝fx的夶致图象如图所示. 由于f0＝f3＝2，1a2所以y＝fx－a的零点个数为4.故选D. 4.【解题思路】（1）利用导数求解单调区间，注意参数的讨论； （2）分离参数結合目标函数的最值求解； （3）利用导数求出极值点，结合目标函数单调性求解. 【答案】1函数定义域为 , 因为 ∴ , 当 时, 恒成立, 在 上单调递减； 当 时,令 得 ， 当 时 ，当 时 ， 综上当 时,单调递减区间为 无增区间； 当 时,增区间为 ，减区间为 , （2）因为 在 上只有一个零点,所以方程 在 上呮有一个解. 设函数 则 , 当 时, ,当 时, , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减， 故 , 又 , ， 所以的取值范围为 . （3）由（1）知当 时 在 时取得极小值, 的极小徝为 ， 设函数 ， 当 时 ； 单调递减；当 时， ； 单调递增； 故 即 ，所以 . 1

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