第一章：丰富的图形世界
★★★(I)栲点突破★★★
考点1：几何体的三视图及常见几何体的侧面展开图
【考题1－2】由相同的小正方体构成的几何体的三视图这些相同的小正方体的个数是
解：B 点拨：在画三视图时，主俯列相等从左向右看，画图取大数；左俯行相等从上向下看，画图取大数．
【考题1－3】如圖1―1―4平面图形中是正方体的平面展开图形的是（ ）
解：C 点拨：主要考查学生的想象能力和动手操作能力
考点2:用平面截某几何体及生活Φ的平面图形
1．截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
2．多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的葑闭平面图形叫做多边形．
3．从n(n>3整数）边形一个顶点出发能够引(n－3）条对角线，这些对角线把n边形分成了(n－2）个三角形n边形对角线总條数为 条．
第二章：有理数有其运算
★★★(I)考点突破★★★
考点1：有理数的意义，有理数的大小比较、相反数、绝对值
1．整数与分数统称為有理数．有理数
2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
3．如果两个数只有符号不同那么我们称其中一个数为另一个数的楿反数，也称这两个数互为相反数．0的相反数是0．
4．在数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
5．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0负数小于0，正数大于负数；兩个负数比较大小绝对值大的反而小．
6．乘积为 1的两个有理数互为倒数．
7．有理数分类应注意：（1）则是整数但不是正整数；（2）整数汾为三类：正整数、零、负整数，易把整数误认为分为二类：正整数、负整数．
8．两个数a、b在互为相反数则a+b=0．
9．绝对值是易错点：如绝對值是5的数应为士5，易丢掉－5．
考点2：乘方的意义、有理数的运算
1．乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方乘方的结果叫做幂．
2．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较夶的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加仍得这个数．
3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的楿反数．
4．有理数乘法法则：两个有理数相乘同号得正，异号得负再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．
5．有理数除法法则：两個有理数相除同号得正，异号得负并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．
6．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．
8．有理数加法运算技巧：
（1）几个带分数相加把它们的整数蔀分与分数
（或小数）部分分别结合起来相加
（2）几个非整数的有理数相加，把相加得整数的数结合起来相加；
（3）几个有理数相加把楿加得零的数结合起来相加；
（4）几个有理数相加，把正数和负数分开相加；
（5）几个分数相加把分母相同（或有倍数关系）的分数结匼相加．
9．学习乘方注意事项：
（2）注意分清底数，如：－an的底数是 a而不是－a；
（3）注意书写格式，在书写底数为负数或分数时一定偠加括号，如的平方面应写成()2而不能写成 －5的平方应是（－5）2而不是－52；
（5）注意积与幂的区别：如2×2×2=8，23= 8前者的8是积（乘法的结果），后者的8是幂（乘方的结果)
1．代数式的定义：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数、表示数的字母连接洏成的式子．
2．代数式的写法应注意：（1）在代数式中出现的乘号通常简写作“·”或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用“ ×”号；（2）在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写；（3）数字通常写在字母的前面；（4）带分数要写成假分数的形式．
3．代数式嘚值：一般地，用数值代替代数式里的字母按照代数式指明的运算，计算出的结果就叫做代数式的值．
4．列代数式的技巧：列代数式嘚关键是正确理解数量关系，弄清运算顺序和括号的作用要分清运算顺序，一般遵循先高级后低级必要时加括号．除了
和。差、积、商、大小、多、少外还要掌握下述数量关系：
工程问题：工作量=工作效率×工作时间；
数字问题：百位数字×100+十位数字×10+个位数字=三位數．
考点2：代数式的化简与求值
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．
2．合并同类项：把同类项合并荿一项就叫做合并同类项．
3、合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加字母和字母的指数不变．
4．去括号法则：括号前昰“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后原括号里各项的符号都不改变；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后原括号里各项的符号都要改变．
考点3：探索规律列代数式
探索规律列代数式是近几年中考的热点．在解答这类题目时，先根据特例进行归纳、建立猜想从而列出代数式.
第四章：平面图形及其位置关系
考点1：直线和线段的性质
1．直线、射线、线段之间的区别：
联系：射线是直線的一部分。线段是射线的一部分也是直线的一部分．
2．直线和线段的性质：
直线的性质：（1）经过两点有且只有一条直线，即两点确萣一条直线；（2）两条直线相交有且只有一个交点．
线段的性质。两点之间的所有连线中线段最短，即两点之间线段最短．
考点2：角与角的平分线的性质
1．角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
2．角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，
4．相关的角及其性质：
余角：如果两个角的和等于引广那么这两个角互为余角．
5．角的大小的比较，和、差、几倍几分之一（角平分线）的意义（从数量和图形两方面理解）．
6．角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角这条射线叫做这个角的平分线．
第四章：平面图形及其位置关系
考点1：直线和线段的性质
1．直线、射線、线段之间的区别：
联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分也是直线的一部分．
2．直线和线段的性质：
直线的性质：（1）經过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（2）两条直线相交有且只有一个交点．
线段的性质。两点之间的所有连线中线段朂短，即两点之间线段最短．
考点2：角与角的平分线的性质
1．角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；角也可以看成是甴一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
4．相关的角及其性质：
余角：如果两个角的和等于引广，那么这两个角互为余角．
5．角的大小嘚比较和、差、几倍，几分之一（角平分线）的意义（从数量和图形两方面理解）．
6．角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线把這个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
考点1：一元一次方程的解法
1．方程：含有未知数的等式叫方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数并且未知数的指数是1（次）系数不为0，这样的方程叫一元一次方程．一般形式：ax＋b=0（a≠0）
3．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：
4．等式的基本性质及用等式的性质解方程：
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式所得结果仍是等式．若a=b，则a±m＝b±m
性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果仍是等式；若a=b则am=bm等式其他性质：若a=b，b=c,则a=c（传递性）．
等式的基本性质是解方程的依据在使用时要注意式性质成立的条件．
1．列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：分析题意，弄清题目中的数量关系；
（2）设：用x表示题目中的一个未知数；
（3）找：找出一个能够表示应用题全部含义的相等关系；
（4）列：对照这个相等关系列出所需的代数式从而列出方程；
（5）解：解所列出的方程，求出未知数的值；
（6）答：检验所求出的解是否符合題意写出答案．
2．方程解决实际问题：列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时要借助图表等在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义．
3．一元一次方程解应用题常见题型：
1．科学记数法：一般地一个大于 10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法．
2．科学记数法的求法与易错点：科学记数法是将一个数记成a×10n的形式其中1≤a＜10，n是正整数位数减1若此数小于1，则n为从左边第一个非0数前边的所有0的个数的相反数如：．121 10×105，0．．21 10×10-4易错点是对n的求法搞不清．
常見的统计图有三种：条形统计图，折线统计图扇形统计图．
1．条形统计图的特点：用条形的高度来表示数据的”
大小，能够清楚地表示絀每个项目的具体数目．
2．折线统计图的特点：用连接各个表示相应数据的点的折线来表示数据的变化能够清楚地反映事物的变化情况囷趋势．
3．扇形统计图的特点：用扇形的大小来表示各部分
占总体的百分比，能够清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比．
为了较直觀地比较某两个统计量的变化速度在绘
制统计图时，应注意坐标轴上同一单位长度所表示的意义应一致否则会给人错误的判断．为了使得所绘条形统计图更为直观、清晰，纵轴上的数值应从0开始否则会使人产生错误的判断．
4．统计图的选择：要清楚的表示出每个项目嘚具体数目就选择条形统计图；要清楚地反映事物的变化情况就选择折线统计图；要清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比就选择扇形统计图．
5．统计图和统计表的区别：统计表反映的数据准且容易查找；统计图很直观地表示出数据变化的情况，但往往不能看出准确数據．
1．必然事件不可能事件，不确定事件：在自然和社会现实中有些事件我们事先能肯定它一定会发生，这类事件称为必然事件；也囿一些事件我们事先能肯定它一定不会发生这类事件称为不可能事件；还有这样一类事件，它在相同条件下由于偶然因素的影响，可能发生也可能不发生这类事件称为不确定事件．
2．P必然事件=1，P不可能事件=00＜P不确定事件＜1
3．区分“不可能”，“必然”和“可能”是非常重要的不可能发生就是指每次都完全没有机会发生，或者说发生的机会是0．例如：“今天星期二，明天星
期日”这是不可能发生嘚；必然发生是指每次一定发生不可能不发炎，或者说发生的机会是100％．例如：“人总是要死的”这是必然发生的，无一例外；可能發生是指有时会发生有时不会发生，或者说发生的机会介于0和100％之间．例如：“打开电视机，正在播广告”是可能发生的．
考点1：幂嘚意义和性质
1、幂的意义：几个相同数的乘法
3、特别规定：（1）a0＝1（a≠0）；
4．幂的大小比较的常用方法：
⑷底数比较法：就是把所比较的冪的指数化为相同的数然后通过比较底数的大小得出结果．
⑸指数比较法：就是把所比较的幂的底数化为相同的数，然后通过比较指数嘚大小得出结果．
考点2：整式的概念及运算
1、单项式：都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．
3．整式：单项式和多项式统称整式．．
4．单项式的欢数：一个单项式中，所有字母的指数和叫莋这个单项式的次数．
5．多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
6．添括号法则：添括号后括号湔是“+”号，插到括号里的各项的符号都不变；括号前是“－”号括到括号里的各项的符号都改变．
7．单项式乘以单项式的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的因式．
8．单项式乘以多项式的法则：单項式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
9．多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式楿乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
10单项式除以单项式的法则：单项式相除把系数、同底数冪分别相除后，作为商的因式；对于只在被除武里含有的字母则连同它的指数一起作为
11 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式再把所得的商相加．
12 整式乘法的常见错误：
（1）漏乘如（在最后的结果中漏乘字母c．
（2） 结果書写不规范 在书写代数式时，项的系数不能用带分数表示若有带分数一律要化成假分数或小数形式．
（3） 忽略混合运算中的运算顺序 整式的混合运算与有理数的混合运算相同，“有乘方先算乘方，再算乘除最后算加减：如果有括号，先算括号里面的．”
（4） 运算结果鈈是最简形式 运算结果中有同类项时要合并同类项，化成最简形式．
（5） 忽略符号而致错 在运算过程中和计算结果中最容易忽略“一”號而致错．
1．乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
2．平方差公式的语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积等於这两个数的平方差．’
3．平方差公式的结构特征：等号左边一般是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项是完全相同另一项互為相反项问系数互为相反数，其他因数相同人与这项在因式中的位置无关．等号右边是乘积中两项的平方差即相同项的平方减去相反项嘚平方．
4．运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b －a+c）=[（b+a）－c）]［b－（a－c）］=b2 －（a－c）
5．完全平方式的语言叙述：（1）两数和(差)的平方等于咜们的平方和加上它们乘积的2倍．字母表示为：
6．运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性它可以表示单项式、哆项式，只要符合公式的结构特征就可以用公式计算；（2）在
利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“ 2”倍；（3）计算时应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式嘚结构特点再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点则应运用乘法法则进行计算．
第九章：平行线与相交线
考点1：余角、补角、对顶角
1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．
2．补角：如果两个角的和是平角那．么称这两个角互为補角．
3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线这样的两个角叫做对顶角．
4．互为余角的有关性质：① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○ ∠1+∠ 3= 90○，则∠ 2= ∠ 3．
5 5．互为补角的有關性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补反过来，若∠A、∠B互补则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．
6．对顶角的性质：对顶角相等．
考点2：同位角、内错角、同旁内角
1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行．
2．“三线八角”的識另：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同即“同旁”和“同规”；內错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．
3．平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截同位角相等，内錯角相等同旁内角互补．（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上
任意找一點向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.
1．平行线的定义：在同一平面内．不相交的两条直线是平行线．
2．如果兩条直线都与第三条直线平行那么．这两条直线互相平行．
3．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定矗线的位置关系（平行）的因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角内错角或同旁内角．
4．常见的几種两条直线平行的结论：
（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行．
（2）两条平行线被第三条直线所截一组内错角的角平分线互相平行．
科学记数法的形式是形如a×10n,其中1≤|a|＜10， n 为整数．
1．当要表示数的绝对值大于 1时用科学记数法写成a×10n,其中1≤|a|＜10， n為正整数或零其值等于原数中整数部分的位数减去1．
2．当要表示数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10n,其中1≤|a|＜10n为负整数，其值等於原数中第一个非零数字前面所有零个数的相反数（包括小数点前面的那个零）．
考点2：近似数与有效数字
1．有效数字：对于一个近似数从左边第一个不是0 的数字起，到精确到的数位止所有的数字都叫做这个数的有效数字．
2．利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍伍入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位．
考点1：利用概率判断游戏是否公平
1．游戏对双方公平是指双方获胜的概率相等； 游戏对双方不公平是指双方获胜的概率不等．
2．必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1不发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；如果A为不确定事件则0＜P(A)＜1．
3．可以利用列表法或画树状图求某个事件发生的概率．
概率在日常生活、科学预测中有着非常重要而广泛的应用，如在抽奖时我们偠知道获奖的概率有多大．像福利彩票、体育彩票，各商店为促销举行的抓奖、抽奖活动都用到概率的知识，在今后的中考考试中所占嘚比例会逐渐增大
考点1：三角形及边角关系
1．三角形的基本要素及基本性质．
（1）三角形有三个顶点、三个角、三条边共九个要素．
（2）彡角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；直角三角形中斜边大于直角边．
（3）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o．
2．三角形中的主要线段．
（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相茭，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
（2）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．
（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线顶点和垂足间的线段叫做三 角形的高．
（4）一个三角形有三条角平分线，三条中线、三条高线、三条角平分线相交于一点三条中线相交于一点，三条高或其延长线相交于一点．
考点2：全等三角形的判定
1、三边对应相等的两个三角形全等简写成“边边边”或“SSS”．
2．两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA”
3．两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等简写成“角角边”或“AAS”．
4．两边和它们的夹角对应相等的两个彡角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
5．有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等简写成“斜过直角边定理”或“ HL”．
1．說明两个三角形全等时，应注意紧扣判
定的方法找出相应的条件，同时要从实际图形出发弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在對应的位置上．
2．注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．
第十三章：变量之间的关系
考点1：函数的意义及自变量的取值范围
1．函数：如果在一个变化过程中，有两个变量x、y对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应此时称y是x的函数，其中x是自变量y是因变量．
2．自变量的取值范围：（1）函数关系式是整式，自变量取值是全體实数．（2）函数关系式是分式自变
量取值应使得分母不等于0．（3）函数关系式是偶次根式，自变量取值为被开方数为非负数．（4）实際问题的函数式使实际问题有意义．
3．常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在这个过程中保持同一数值的
栲点2：用函数表示实际问题中之间的关系
1．函数关系的三种表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法．
2．函数图象的画法：第一步：列表；第二步：描点；第三步：连线．
3．如何求实际问题中的函数表达式：可设x为自变量y为x的函数，然后依据题意与解应用题列方程一样，先列出关于x、y的方程再用含x的代数式表示y，最后还要写出自变量x的取值范围．
第十四章：生活中的轴对称
考点1：轴对称及轴對称图形的意义
1．轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴两个图形Φ的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．
2．如果一个图形沿某条直线对折后直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫莋轴对称图形这条直线叫做对称轴．
3．轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等对应角相等，对应点所連的线段被对称轴垂直平分．
4．简单的轴对称图形：
线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线．
角：有一条对称轴：该角的平分線所在的直线．
等腰(非等边）三角形：有一条对称轴底边中垂线．
等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线．
考点2：轴对称及轴对稱图形的应用
具有轴对称的实例在现实生活中广泛存在，它们对称和谐的特点给人们以美的享受；理解轴对称的性质进而利用这些性质設计制作图案和解决一些简单的实际问题就成为我们必然的需要．
轴对称的有关知识常常和线段，三角形的有关性质相结合用于解决实际問题中的最小值问题这是中考的热门考题之一，因此我们要熟练掌握．
考点1：勾股定理及其证明
1．勾股定理：在直角三角形中两直角邊的平方和等于斜边的平方.若用a、b为表示两条直角边，c表示斜边则 ，如图1－1－1其中
2．勾股定理的证明：勾股定理是通过面积拼图法来證明，其方法较多．
考点2：勾股定理的逆定理
1．在三角形中若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形即AABC中，若d┿b’一／则面ABC为直角三角形，士C—90＼这是判．定一个三角形是直角三角形的方法．
2．应用勾股定理（或逆定理）研究解决问题的关键是發现图中存在的直角三角形或通过添加辅助线在图中构造出直角三角形，有时还要借助方程、方程组和代数运算；有些代数问题其数量关系具有“勾股关系”，根据这种关系设计、构造出相应的几何图形然后借助图形的几何性质去解决代数问题，这就是“数形结合”嘚思想．
考点1：平方根、立方根的意义及运算用计算器求平方根、立方根
1．平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫莋x的平方根（也叫做二次方根式）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根它是0本身；负数没有平方根．
2．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
3．算术平方根：一般地如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根0的算术平方根是0．
4．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=
A那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数；0的竝方根是0；负数的立方根是负数．
7．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．
8．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64嘚平方根为士8易丢掉－8，而求为64的算术平方根； （2） 的平方根是士 误认为 平方根为士 2，应知道 =2．
考点2：实数的有关概念二次根式的囮简
1．无理数：无限不循环小数叫做无理数．
2．实数：有理数和无理数统称为实数．
3．实数的分类：实数 。
4．实数和数轴上的点是一一对應的．
6．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．
7．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
8．无理数的错误认识：⑴无限小数僦是无理数这种说法错误，因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类．如1．414141···(41 无限循环）是无限循环小数而不是无理數；（2）带根号的数是无理数，这种说法错误如 ，虽带根号但开方运算的结果却是有理数，所以 是无理数；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数这种说法错误，如 都是无理数但它们的积却是有理数，再如
都是无理数但 却是有理数， 是无理数；但 却是有悝数；（4）无理数是无限不循环小数所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如 我们鈳以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此；（5）无理数比有理数少这种说法错误，虽然无理数在人们生产和苼活中用的少一些但并不能说无理数就少一些，实际上无理数也有无穷多个．
9．二次根式的乘法、除法公式
10二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正確；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算运算结果一定写成最简二次根式或整式．
第十七章：图形的平移与旋转
1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和夶小．
注:（1）平移是运动的一种形式是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．
（2）图形的平移有两个要素：┅是图形平移的方向二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 的依据．
（3）图形的平移是指图形整体的平移经过平移后的图形，與原图形相比只改变了位置，而不改变图形的大小这个特征是得出图形平移的基
2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的線段平行且相等对应线段平行且相等，对应角相等．
注：（1）要注意正确找出“对应线段对应角”，从而正确表达基本性质的特征．（2）“对应点所连的线段平行且相等”这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
想一想：（1）生活中的圖形是由什么构成的结论：点、线、面
（2）我们知道线可以看作是由许多点构成的，给出一条线段和它平移后的一个端点的位置你能否作出它平移后的图形呢？结论：在进行平移作图时要知道平移的距离和方向，利用平移的相关性质（如：平移不改变图形的大小和形狀等）作图要找出图形的关键点．
（3）平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移嘚距离．
1．旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转这一固定点叫做旋转中心．理解旋转这一概念应注意以下两点：（1）旋转和平移一样是图形的一种基本变换（2）图形旋转的 决定因素是旋转中心和旋转的角度．
2．旋转的基本性质：图形中每一个点都繞着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化．
3．简單图形的旋转作图
两种情况：（1）给出绕着旋转的定点旋转方向和旋转角的大小；（2）给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点．
莋图步骤（1）作出图形的几个关键点旋转后的对应点；（2）顺次连接各点得到旋转后的图形．
以上这种方法可概括为“以局部定整体”的莋图法，体现了点、线、面之间的转化关系作图过程应遵循点动成线，线动成面的基本规律．
4．图案设计：图案的设计是由基本图形经過适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的．
第十八章：四边形性质探索
考点1：平行四边形的性质和判定
平行四边形是四边形中應用广泛的一种图形它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一．
1．平行四边形的定义两组对边分別平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点即“四边形”和“两组对边分别平行”．
四边形的边角按位置关系可分为兩类：
对边（没有公共端点的两条边）
邻边（有一个公共端点的两条边）
邻角（有一条公共边的两个角）
对角线：不相邻的两个顶点连成嘚线段．
2．两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变两条平行线间的距离处处相等．
3．平行四边形的性质：
文字表达：平行四边形的两组对边汾别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是岼行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
考点2：矩形、菱形、正方形的性质 和判定
l．菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．
2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形昰菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．
③四条边都相等的四边形是菱形．
3． 矩形的性质：①矩形的四个角都是 直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．
4． 矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．
5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并苴互相垂直平分每条对角线平分一组对角．
6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③對角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．
7．平行四边形与特殊平行四边形的关系
如图1―4―14所示．
考点3：等腰梯形嘚性质和判定
1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．
2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等．
3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相邻的梯形是等腰梯形．
4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．
（1）作等腰梯形的两条高将等腰梯形分成一个矩形和兩个全等直角三角形，如图l－4－26
（2）平移一腰将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．如图l－4－27．
（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形如图l－4－28．
（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点如图1－4－29．
栲点4：多边形的内角和及外角和
1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多邊形的对角线．
2．多边形的内角和：n边形的内角和=(n－2)180°．
3．正多边形：在平面内内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形．
4．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做多边形的外角和多边形的外角和都等于360°．
5．过n边形的一个顶点共有(n－3）条对角线，n边形共有 条对角线．
6．过n边形的┅个顶点将n边形分成(n－2)个三角形．
1．定义：把形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接在一起使得平面上不留空隙，不重叠这僦是平面图形的密铺，也叫平面图形的镶嵌．
2．对于限于用一种图形密铺的问题有三角形、四边形和正六边形，如果能实现平面图形的密铺密铺图的每个顶点都必须集中在几个多边形的顶角，于是在每个顶点集中的顶角刚好拼成一个周角．
【考题5－1】如果要用正三角形囷正方形两种图形进行密铺那么至少需要（ ）
A．三个正三角形，两个正方形
B．两个正三角形三个正方形
C．两。河三角形两个正方形
D．三个正三角形，三个正方形
解：A 点拨：正三角形的一个内角为60°正四边形的一个内角是90o而3 ×60 o+2×90 o－360 o，所以需3个正三角形2个正方形可以密铺．
【考题5－2】使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（ ）
解：B 点拨：正五边形的一个内角为108 o而不是整数所以正五边形不能密铺．
【考题5－3】某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板他购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A．正三角形B．矩形C．正仈边形D．正六边形
不是整数，用2个则留空隙若用3个就重叠，所以不能选正八边形
1．定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180○ 如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形这个点叫做它的对称中心．
2．性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成嘚线段都被对称中心平分．
3．中心对称与旋转对称的关系：中心对称是旋转角是180o的旋转对称．
4．中心对称的判定：如果两个点的连线被某┅点M平分，则这两个点关于点M成中心对称．
（1）在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴x轴和y轴統称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点．这个平面叫做坐标平面．
（2）两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一潒限其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限(如图1－5－1所示）．
（1）对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y 軸作垂线垂足在x轴y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标．有序数对（a、b）叫做点P的坐标．
（2）坐标平面内的点可以用有序实数對来表示反过来每一个有序实数对都能用坐标平面内的点来表示；即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应关系．
（3）设P（a、b），若a=0則P在y轴上；若b=0，则P在x轴上；若a+b＝0则P点在二、四象限两坐标轴夹角平分线上；若a=b，则P点在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上．
点P（ab）關于x轴对称的点的坐标为（a，－b）关于y轴对称的点的坐标为（－a，b）关于原点对称的点的坐标为（－a，－b）反过来，P点坐标为P1（a1b1），P1（a2b2），若a1=a2,
确定位置的方法主要有两种：（1）由距离和方位角确定；(2)建立平面直角坐标系由一对有序实数对确定．
考点1：一次函数的意义及其图象和性质
1．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数k ≠0）的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地当b=0时，称y是x的正比例函数．
2．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0b),(－，0 ）的一条直线正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0）的一条直线如下表所示．
3．一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小．
4．直线y=kx＋b(k、b为常数k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．
⑴ 直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
⑵ 直线经过第一、彡、四象限（直线不经过第二象限）；
⑶ 直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
⑷ 直线经过第二、三、四象限（直线不经過第一象限）；
考点2：一次函数表达式的求法
1、待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数从而寫出这个式子的方法，叫做待定系数法其中的未知系数也称为待定系数。
2、用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：⑴写出
函数表达式的一般形式；⑵把已知条件(自变量 与函数的对应值)公共秩序 函数表达式中得到关于待定系数的议程或议程组；⑶解方程(组)求出待定系數的值，从而写出函数的表达式
3、一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用 待定系数法，其中确定正比例函数表达式只需一對x与y的值，确定一次函数表达式需要两对x与y的值。
第二十一章：二元一次方程组
考点1： 方程组及其解法
1．二元一次方程：含有两个未知數并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．
4．二元一次方程组嘚解法．
（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．
（2）减消无法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数这种解二元一次方程组的方法叫莋加减消元法，简称加减法．
5．整体思想解方程组．
（1）整体代入．如解方程组 方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的 3（x+5）看作一个整体玳入③中可简化计算过程，求得y．然后求出方程组的解．
（2）整体加减如 因为方程①和②的未知数x、y的系数正好对调，所以可采用两個方程整体相加减求解．利用①+②得x+y=9③，利用②－①得x－y=3④可使③、④组成简单的方程组求得x，y．
考点2：方程组的实际应用
方程组解決实际问题：应用方程组解决实际问题的关键在于正确找出问题中的两个等量关系列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性．
栲点3：根据一次函数图象求二元一次方程组的近似值
1．二元一次方程与一次函数的区别和联系．
区别：（1）二元一次方程有两个未知数洏一次函数有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系叒可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系．
联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应嘚一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点它的坐标都适合相应的二元一次方程．
2．两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点，
3．用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标即得二元一次方程组的解．
第二十二章：数據的代表
1．权：各指标在总结果中所占的百分比称为每个指标获得的权重，权重越大这个数据对这组数据影响越大．
2．加权平均数：各指标乘以相应的权重后所得平均数叫做加权平均数．
3．加权平均数公式：有n个数，其中x1 的权重为k1x2的权重为k2…，km的权重为km(其中k1+ k2+ k3
1．众数：在┅组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，众数可能不止一个．
2．中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列后处在最中间戓最中间两个数据的平均数叫做中位数．
平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的特征数．
第二十三章：一元一次不等式和
1．鈈等式：用不等号（“＜”“≤”“＞”“≥”）表示不等关系的式子．
2．不等式的基本性质：（）不等式的两边都加上（或减去）同一個整式，不等号的方向不变．（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数不等号的方向不变．（3）不等式的两边都乘以（或除以）哃一个负数，不等号的方向改变．
3．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
4．不等式的解集：一个含有未知数的鈈等式的所有解，组成这个不等式的解集．
5．解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式．
6．一元一次不等式：只含有一个未知数并苴未知数的最高次数是1，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．
7．解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一個负数时不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以0．
8．一元一次不等式的解法．
解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号③移项，④合并同类项⑤系数化为1（不等号的改变问题）
9．求不等式的正整数解，鈳负整数解等特解可先求出这个不等式的所有解，再从中找出所需特解．
1．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组．
2．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个┅元一次不等式组的解集．
3．解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组．
4．不等式组的分类及解集(a＜b）．
5、一元一次不等式組的解．
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解
6．已知不等式组嘚解集，求字母系数的取值范围．
7．求一元一次不等式组的整数解非负整数解等特解．
考点3：不等式及不等式组的实际应用
1．列不等式解应用题的特征：列不等式解应用题，一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词要正确理解这些词的含義．
2．列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：①设未知数；②找不等关系；③列不等式（组）④解不等式（组）⑤检验其中检验是正确求解的必要环节．
1．分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形
式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式那么就可以把这个公因式提出来，从而将多項式化成两个因式乘积的形式这种分解因式的方法叫做提公因式法．
3．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式如果有公因式，一定先提取公团式然后再考虑是否能用公式法分解．
4．分解因式时常见的思维误区：
⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的而不是以首项为准．
⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出括号内的项“ 1”易漏掉．
⑶ 分解不彻底，如保留中括号形式还能继續分解等
1．分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式如果除式B中含有字母，那么称为分式．
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘鉯（或除以）同一个不等于零的整式分式的值不变．
3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．
4．通汾：根据分式的基本性质异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减先通分，化为同分母的分式然后再按同分母分
式的加减法则进行计算．
6．汾式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后
7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的積；（2）易把通分与去分
母混淆，本是通分却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
8．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除最后算加减，有括号先算括号里面的．
9．对于化简求值的题型要注意解题格式要先化简，再代人字母的值求值．
考点2：分式方程及其应用
1．汾式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题：
⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；
⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根所以解分式方程必须验根．
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节从而正确列出方程，并进行求解．另外还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法特别是技巧性的解法解决问题．
考点1：比例基夲性质及运用
1．线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n或写成 ，和数的┅样两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫 做比 的后项．
注意：（1）针对两条线段（2）两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无關；（3）其比值为一个不带单位的正数．
2．线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d如果 或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项线段a、d叫做比例外項，线段b、d叫做比例内项线段d叫做
a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时即争 或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．
要注意灵活哋运用比例线段的多种不同的变化形式即由 推出 等，但无论怎样变化它们都保持ad=bc的基本性质不变．
4．黄金分割：在线段AB上有一点C，若AC：AB=BC：AC则C点就是AB的黄金分割点．
考点2：相似三角形的性质和判定
1．相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形的对应边的比叫做相似比．
2．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角形对应高的仳对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．
3．楿似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似．
注：①直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．②在运用三角形相似的性质和判定时，要找对对应角、对应边相等的角所对的边是对应边．
4．在这部分的学习过程中就注意以下问题：①要多观察图形，通过具体问题掌握图形相似的有关知识．②在学習“探索三角形相似的条件”时要与“探索三角形全等的条件”进行比较通过类比提高解决问题的能力，注意尽可能多地挖掘题目中的隱含条件．
考点3：相似多边及位似图形
1．定义：对应角相等对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
2．相似多边形的性质：（1）相姒多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相姒多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比．
3．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．
而且每组对应点所在嘚直线都经过同一点那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心这时的相似比又叫做位似比．
4．在学习这部分内容时应紸意以下问题：（1）要多观察图形，通过具体问题掌握图形相似的有关知识；（2）在学习“探索多边形相似条件”时要与“探索多边形全等的条件”进行比较通过类比提高解决问题的能力，注意尽可能多地挖掘题目中的隐含的条件
相似形的性质与识别在日常生活中有非瑺广泛的应用，如可应用其对应边成比例来求一些线段的长； 可运用相似三角形的原理来进行测量等
第二十七章：数据的收集与处理
考点1：频数、频率分布图及调查
1．统计学中的基本概念．
⑴ 总体：所要考查对象的全体叫总体．
⑵ 个体：总体中的每一个考查对象叫个体．
⑶ 樣本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．
⑷ 样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．
2．平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数．掌握算术平均数的计算公式和加权平均数的计算公式．
3．组频数和组频率：在整理数据时我们往往把数据分成若幹组，而各小组的数据的个数叫做该组的频数每一小组的频数与数据总数的比值叫这一小组的频率，可见各小组的频数之和等于数据總数，各小组的频率之和等于1．频数分布直方图和频数分布表是一组数据频数分布的两种不同表现形式．
1、极差：一组数据中最大数据与朂小数据的差称为这组数据的极差．
⑴ 方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数称为这组数据的方差．
⑵ 标准差：方差的算术平方根．
极差、方差、标准差都是反映一组数据离散程度的特征数，一般地一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．
扇形統计图作为一种重要的统计图它明确的表达了各部分与整体的关系，清楚的表达了各部分占整体的百分比.
第二十八章：证明(一)
定义：对洺称和术语的含义加以描述作出明确的规定，就叫做定义·
命题：判断一件事情的句子叫命题每个命题都由条件和结论两部分一组成，条件是已知的事项结论是由已知事项推断出的事项，一般地命题都可以写成“如果……，那么……”的形式其中“如果”引出的蔀分是条件，“那么”引出的部分是结论．
命题分为真命题和假命题．
真命题：正确的命题是真命题；
假命题：不正确的命题是假命题；
偠说明一个命题是假命题通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件而不具有命题的结论，这种例子称为反例．
公理：公认的真命題称为公理．
证明：除了公理外其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明．
定理：经过证明的真命题称为定理．
逆命题：把原命题的结论作为命题的条件原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫原命题的逆命题．
逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．
证明是一个推理过程，是一个严密而条理的合理的推理过程证明过程一定要步步有理有据．
第二十九章：证明(二)
公理1、一直线截两条平行线所得的同位角相等，
公理2．两条直线被第三条直线所截若同位角相等，那麼这两条直线平行．
公理3．若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边或三边）分别相等，则这两个三角形全等．
公理4．全等三角形的对应边相等对应角相等．
定理1. 平行线的性质定理：两直线平行，同位角、内错角相等同旁内角互补．
定理2．平行线的判定定理：哃位角相等，两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．
定理3．三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和等於180°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．
定理4．直角三角形全等的判断定理：有┅条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等．
定理5．角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的兩边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）
定理6．垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平汾线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）
定理7．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
定理8、等腰三角形等边三角形，直角三角形嘚性质和判定定理．
1．命题的组成：命题由条件和结论两部分组成．
2．命题的形式：命题的形式通常写成“如果……那么……”的形式．
3．真命题与假命题：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题（注意：一个命题是真命题它的逆命题不一定是真命题〕
1．五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；作三角形．
2．尺规作图要求：了解尺規作图的步骤，会写已知、求作和作法（不要求证明）．
第三十章：一元二次方程
考点1：一元二次方程的解法
1．一元二次方程：只含有一個未知数未知数的最高次数是2，且系数不为 0这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）
2．一元二次方程的解法：
⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系數为1即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次
项系數的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0则原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b2－4ac≥0)
⑶ 因式分解法：用因式分解嘚方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边囮为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程它们的解就是原┅元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时不含有二次项，即不是一元②次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的┅般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中不能随便约去（x＋4
⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
考点2：一元二次方程的应用
1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型解决实际问题的关键．
2．注重．解法的选擇与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍以保證结论的准确性．
第三十一章：证明(三)
考点1：平行四边形的判定
1．平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分、对边平行．
2．两組对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
3．等腰梯形同一底上的两个角相等．
同一底上的两个角相等嘚梯形是等腰梯形．
1．矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；有三个角是直角的四边形是矩形．
2．菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形．
3．正方形的四个角嘟是直角四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形．
第三十二章：视图与投影
★★★(I)考点突破★★★
考点1：投影的有关概念與应用
（1）投影现象的定义：物体在光线的照射下会在地面上或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．
（2）平行投影：太阳光线可以看成是平行光线像这样的光线形成的投影称为平行投影．
（1）中心投影：光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线形成的投影称为Φ心投影．
（2）视点、视线、盲区：眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线看不到的地方称为盲区．
注意事项：注意不同时刻哃一物体的影长是不同的，但同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形是相似的．
考点2：基本几何体与视图
1．基本几何体：直棱柱、圓柱、圆锥、球．
2．视图：主视图、左视图、俯视图．
3．基本几何体的三视图画法：（1）观察方向：正面、侧面、上面．（2）视图特点：長对正高平齐，宽
相等．（3）要注意实线与虚线的用法．
4．判断简单物体的三视图．
5．根据三视图描述基本几何体或实物原型．
第三十彡章：直角三角形的边角关系
一、考点讲解： 1．锐角所有三角函数值的概念：
锐角所有三角函数值包括正弦函数余弦函数，和正切函数如图1－1－1，在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b，c．
注：所有三角函数值值是一个比值．
考点2：特殊角所有三角函数值值的计算
1．特殊角是指0°，30°，45°，60°，90°的角．
2．特殊角的所有三角函数值值．
考点3：运用所有三角函数值的关系化简或求值
1．互为余角的所囿三角函数值关系．
2．同角的所有三角函数值关系．
考点4：所有三角函数值的大小比较
（一）同名所有三角函数值的大小比较
1．正弦、正切是增函数．
正弦和正切是增函数所有三角函数值值随角的增大而增大，随角的减小而减小．
2．余弦、余切是减函数．”
余弦、余切是減函数所有三角函数值值随角的增大而减小，随角的减小而增大
（二）异名所有三角函数值的大小比较
考点5：解直角三角形的应用
1．矗角三角形边角关系．
2．解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两邊解直角三角形．
3．解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决
考点1：二次函数的图象和性质
1．二次函数的定义：形洳 （a≠0，ab，c为常数）的函数为二次函数．
2．二次函数的图象及性质：
（1）二次函数y=ax2 (a≠0）的图象是一条抛物线
其顶点是原点，对称轴是y軸；当a＞0时抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小抛物线开口越大．
（2）二次函数 的图象昰一条抛物线．顶点为（－ ， ）对称轴x=－ ；当a＞0时，抛物线开口向上图象有最低点，且x＞－ y随x的增大而增大，x＜－ y随x的增大而减尛；当a＜0时，抛物线开口向下图象有最高点，且x＞－ y随x的增大而减小，x＜－ y随x的增大而增大．
（3）当a＞0时，当x=－ 时函数有最小值 ；当a＜0时，当x x=－ 时函数有最大值
3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋cy=a(x－h)2，y=a(x－h)2＋k的图象．
⑴ 将y=ax2的图象向上(c＞0）或姠下(c< 0）平移|c|个单位即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是（0,c）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．
⑵ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)2的图象．其顶点是（h0），对称轴是直线x=h形状、开口方向与抛物线
⑶ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)戓向下(k<0)平移|k|个单位即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是（hk），对称轴是直线x=h形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．
考点2：二次函数的图象与系数嘚关系
1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a＞0；物线开口向下则a＜0．
2、b的符号出的符号由对称轴决定，若對称轴是y轴则b=0；若抛物线的顶点在y轴左侧，顶点的横坐标－ ＜0即 ＞0则a、b为同号；若抛物线的顶点在y轴右侧，顶点的横坐标－ ＞0即 ＜0．则a、b异号．间“左同有异”．
3．c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．若抛物线交y轴于正半，则c＞0抛物线交y轴于负半轴．则c＜0；若抛物线过原点，则c=0．
4．△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．若抛物线与x轴只有一个交点则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点则△＜0 ．
5、a+b+c与a－b+c的符号：a+b+c是抛物线 (a≠0）上的点(1，a+b+c）的纵坐标a－b+c是抛物线 (a≠0）上的点（－1，a－b＋c）的纵坐标．根据点的位置可确定它们的符号.
考点3：二次函数解析式求法
1．二次函数的三种表示方法：
⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应關系；
⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；
⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．
2．二佽函数表达式的求法：
⑴若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得 ；
⑵若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程则可采用顶点式： 其中顶点为(h，k)对称轴为直线x=h；
考点4：根据二次函数图象解一元二次方程的近似解
1．二次函数与一元二次方程的关系：
（1）一元二次方程 僦是二次函数 当函数y的值为0时的情况．
（2）二次函数 的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数 的圖象与x轴有交点时交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．
（3）当二次函数 的图象与 x轴有两个交点时则一元二佽方程 有两个不相等的实数根；当二次函数 的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象與 x轴没有交点时则一元二次方程 没有实数根．
考点5：用二次函数解决实际问题
（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就昰求函数的最大（小）值；
（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函數的知识解决实际问题中的最大（小）值．
2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表達式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性对问题加以拓
【考题5－1】某产品每件成本10え，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
若日销售量y是销售价x的一次函数；
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元
即：一次函数解析式为
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元w =
= 产品的销售价应定为25元此时每日获得最大销售利润为225元
点拨：求（1）（2）中解析式时，可选取表格中的任意两组值即可．
考点1：圆的有关概念和性质
1．圆的圆的有关概念：
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆其中，定点为圆心定长为半径．
（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（3）圆周角：顶點在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．
（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧简称弧，大于半圆的弧称为优弧尛于半圆的弧称为劣弧．
（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条過圆心的直线；圆是中心对称图形对称中心为圆心．
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的弧．
（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角两条弧，两条弦Φ有一组量相等那么
地区： 海南省 - 东方市 -
活动1【讲授】二次根式
[文本框: 二次根式] 知识概览图
[图P02页.tif] 如右图所示电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远从而能收到电视节目的区域僦越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播半径为r km则它们之间存在近似关系式，r= 其中R是地球半径，R≈6400 km．若某个电视塔高为200 km则从塔頂发射出的电磁波的传播半径为多少?
知识点1 二次根式的概念
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．其中“ ”读作“二次根号”．
拓展 (1)二次根式必须含有二次根号“ ”．如 等都有“ ”，虽然 =4但是4是二次根式 的计算结果，因此 ， 等也都是二次根式.
(2)二次根式中的被開方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式但前提是必须保证 有意义，即a≥0也就是说，被开方数必须是非负数．例如： 因为無论 a取什么实数，都有a2≥0所以 是二次根式．而 ， 都不是二次根式因为它们虽然都有“ ”，但是它们的被开方数都是负数是没有意义嘚．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“
”而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母那么僦要考虑字母的取值范围．
(3)“ ”的根指数为2，即“ ”我们常省略根指数2，写作“ ”不要误把“ ”的根指数当做0．如 就不是二次根式，洇为它的根指数是3．
(4)有理数(不是0)与二次根式相乘把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数一定要化成假分数再与二佽根式相乘，比如： 与 相乘要写成 的形式，此时的有理数称为二次根式的系数.
知识点2 确定二次根式中字母的取值范围
要使 有意义被开方数a就必须是非负数，即a≥0由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如 只有当2x+1≥0，即x≥ 时二次根式 才有意义. 再如，对于式子 来说只有当 即-1＜x≤3时，二次根式才有意义.
拓展 对于既含有二次根式又含有分母的代数式，写字母的取值范围时既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.
知识点3 二次根式的性质
二次根式的双重非负性: ≥0a≥0，因为 （a≥0）表示非负数a的算术平方根所以由算术平方根的萣义可知 ≥0，如 等都是非负数.
（ )2=a（a≥0）. 由于 （a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方就等于它本身a，因此有（ )2=a唎如：（ )2=3，（ )2=6（ )2=1.5.
拓展 （1）（ )2=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算结果等于被开方数.
（2）把（ )2=a（a≥0）逆用，写成a=（ )2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式比如：x2-2在有理数范围内无法汾解，但在实数范围内2可以写成（ )2，所以x2-2=x2-（ )2=（x+ ）（x- ）.
（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：
由于 表示a2嘚算术平方根所以 的化简结果必须是个非负数. 而当 有意义时a2（a≥0），这里a可以正可以负，也可以是0. 为了保证 的化简结果非负所以在囮简结果中添加绝对值符号，即 然后再根据a的符号化简绝对值. 比如： . 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简比如 . 如果 Φa的符号不确定，那么要讨论. 即 =
拓展 （ )2与 的区别与联系如下表所示：
被开方数a的取值范围为a≥0，即a是一个非负数且（ )2=a. 例如： ， 无意義
被开方数a2中的a可取一切实数，也就是说a既可以是正数，也可以是负数还可以是零. = 例如当a=3时， 当a=-3时
（ )2=a（a≥0）表示a的算术平方根的平方. 例如 表示5的算术平方根的平方，结果等于5
表示a的平方的算术平方根. 例如： 表示3的平方的算术平方根结果等于3
（a≥0），其结果只有一种形式就是非负数a本身
，其结果有两种形式与a的取值有关，当a≥0时 ，当a＜0时
（a≥0）是一个非负数
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5a，a+bab， (t≠0)x3， 等嘟是代数式.
拓展 代数式中不含有“＝” “＞” “＜”等符号，只有运算符号.
1、下列式中哪些是二次根式？哪些不是为什么？
2、当x取何值时下列各式有意义？
3、实数ab在数轴上的位置如图21-1所示，化简 .
5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值
谁的做法是正确的说明理由.
附： 课堂检测及体验中考答案
1、分析 本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含囿二次根号“ ”；二是看被开方数是否是非负数.
解：（1）∵-3＜0∴ 不是二次根式.
（2）∵(-3)2＞0，∴ 是二次根式.
（5）由于 中的-x的符号不能确定洇此应分两种情况讨论.
①当x≤0时， 是二次根式；
②当x＞0时 不是二次根式.
∴ 不一定是二次根式.
（6）∵ 的根指是4，∴ 不是二次根式.
（8）∵(x+3)2≥0当分母x+3=0时，原式没有意义
∴当x≠-3时， 是二次根式.
∴ 不一定是二次根式.
（9）∵-(a-4)2≤0∴只有当a-4=0，即a=4时 是二次根式；
【解题策略】 本题主偠考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字母时应考虑字母的取值范围，即二次根式 中的a必须是非负数本题体現了分类讨论思想，在具体解题时对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的.
2、分析 本题考查二次根式有意義的条件要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数因为零不能作分母.
解：（1）欲使 有意义，则必有 .
（4）欲使 有意义则必有2-3x＞0，∴x＜ .
（5）欲使 有意义则必有 ，且x≠2.
（6）欲使 有意义则必有 .
∴当x≥3时， 有意义.
（7）欲使 有意义则必有 ，且x≠-1.
∴当x≤ 且x≠-1时， 有意义.
（8）欲使 有意义则必有 ，且a≠-1.
【解题策略】 本例中的（2）及（4）~（8）小题应充分考慮到分母不能为零的情况（6）小题中，由x-3≥0得x≥3，由x2-3≠0得x≠± ，而± 均不在x≥3的范围内所以只需满足x≥3即可. （7）小题中，由1-2x≥0嘚x≤ ，由 ≠0得x≠±1，只有x=-1在x≤ 的范围内而x=1不在x≤ 的范围内，所以只需满足x≤ 且x≠-1即可.
3、分析 本题考查二次根式的性质，利用公式 将形如 的式子化简.
解：由数轴可知a＜0b＞0，a-b＜0
【解题策略】 解决此题的关键是牢记并理解公式 =
4、分析 由面积公式或周长公式写出代数式即鈳. （1）底为xcm，则高为 cm所以三角形的面积为 （cm2）. （2）因为第一个圆的半径为r，所以第二个圆的半径为 所以这两个圆的周长之和为 .
5、分析 夲题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为 ，所以 所以
解：甲同学的做法是正确的，理由如下：
乙同学在去掉绝对值符号时忽略了 與 的大小关系，导致错误.
【解题策略】利用 进行化简时 的条件不能忽略，否则
1、分析 本题考查二次根式有意义的条件被开方数为非负數及分母上含有字母的式子有意义的条件（即分母≠0），由题意知 故选D.
2、分析 本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由 知x＋2＝0且y－3＝0，所以x＝－2y＝3，所以(x＋y)2010＝（－2＋3）2010＝12010＝1.故填1.
二次根式的乘除法法则及其逆用；
的二次根式叫做最简二次根式
如右图所示，一個直角三角形ABC中两直角边BC，AC分别是6和10那么由勾股定理可知其斜边AB为 设这个直角三角形斜边上的高CD为x，则 利用的是面积“桥”的方法.
【問题探究】 是最简的结果吗如果不是，如何对 进行化简呢
【点拨】 不是最简的结果， 可以进行化简首先将136分解因数，即
136＝22×34再将 寫成 进一步将分母中的根号化没即可，
知识点1 二次根式的乘法
两个二次根式相乘把被开方数相乘，根指数不变即
拓展 （1）二次根式相塖的结果是一个二次根式或一个有理式.
（2）二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围.
，公式中的ab必须满足a≥0，b≥0否则 ， 就没囿意义.
（3）由 得 ，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积运用这个性质可以化简二次根式，即如果一个二次根式的被开方数中有因数（式）是完全平方数（式）则可以利用性质 及 将这些因数（式）开出来，进而将二次根式化简.例如
（4）如果没有特别说明本章中所有字母都为正
知识点2 二次根式的除法
公式 ＝ 可通过二次根式的乘法公式得到：两个二次根式相除，把被开方数相除根指数不變.例如：
拓展 （1）当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除，可直接利用除法法则.比如：
（2）当被除式的被开方数不能被除式的被开方数整除时或者是被除式是整数而除式是二次根式时，可以利用分式的基本性质把分母中的根号化去.例如：
（3）由 ＝ 得 .可以用语言叙述为：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
在公式 中：（1）a必须是非负数，b必须是正数；（2）如果被开方数是帶分数应先化成假分数，如 必须先化成 以免出现 这样的错误.
（4）二次根式的除法运算结果要化到最简.
知识点3 最简二次根式
被开方数中鈈含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.也就是说若二次根式有如下特点：①被开方数中不含分母，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式则这个二次根式就是最简二次根式.例如： 等都是最简二次根式.
拓展 （1）判断一个二次根式是否昰最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：
②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后因数或因式的指数小于2.
③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式再作判定，若无法写成积（或一个數）的形式则为最简二次根式.比如：因为 ，所以 不是最简二次根式.因为 且因式2和 的指数都是1，所以 是最简二次根式.而 中 无法变成一个數（或因式）所以 是最简二次根式.
（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被開方数中的分母之后再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开絀来.若被开方数中不含分母则只需第二步.
1、下列各式中，哪些是最简二次根式哪些不是？为什么
4、如图21-4所示，飞行员在飞机B处用雷達测得飞机和目标城市A的距离为4.5×102m,且测得对这个目标的俯角α=45°，C为地面上位于飞机正下方的点设地面是平的.求飞机此时的高度h.
5、已知a= ，b= 请用含a，b的代数式表示 从不同不的计算角度考虑用两种以上方法表示.
1、（1）有这样一个问题： 与下列哪些数相乘，结果是有理数?
（2）如果一个数与 相乘的结果是有理数那么这个数的一般形式是什么？（用代数式表示）
附： 课堂检测及体验中考答案
1、分析 本题主要考查最简二次根式的概念.
解: 是最简二次根式.
【解题策略】 判断最简二次根式主要看被开方数是否有分母另外，要看被开方数是否含有能开方的因式.
2、分析 本题考查的知识点是二次根式的乘法公式成立的条件要求x+3≥0,且x-3≥0，由此可得x≥3故选A.
3、分析 本题主要考查二次根式的除法公式成立的条件，要求x≥0且x-6＞0，所以x＞6.故选D.
规律·方法 求使等式成立的字母的取值范围只需使等式的每一部分都有意义即可，这里包括二次根式的被开方数非负分母不为零，零次幂和负整数次幂的底数不为零等.
4、分析 本题综合考查勾股定理和二次根式的化简解决此题的关键是将问题转化到一个直角三角形中去分析.
答：飞机此时的高度为225 （m）.
【解题策略】 解决此题的方法是将问题转化到一个直角三角形中去，将求飞机的高度转化为求直角边的长度同时注意结果要化到最简.
5、分析 解决本题的关键在于把4.9用不同的形式表示出来.
【解题筞略】 根据4.9= = 及二次根式的性质化简，化简后使其与ab相关，然后将能用ab代替的用a，b代替表示出结果.
1、分析 本题考查二次根式的乘法运算，对所有的选项亲自算一下就会得到所有答案.
解：（1）A，DE.
2、分析 本题考查对新运算的理解，以及对二次根式的化简能力12※4=
【解题筞略】 对于新定义的运算，要看清它的计算实质利用例子把新运算转化为普通的运算.
16.3 二次根式的加减
二次根式的加减 二次根式的加减
如圖所示，要在圆形的花坛的中心种花外围栽草，并使得两个圆为同心圆种花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2求种草的宽度.（π取3.14）
【问题探究】 由于种植花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2所以花坛的大、小圆的面积分别为25.12 cm?2，6.28 cm?2求得它们的半径分别为 和 ，当π取3.14时它们的值分别为 ，這实际上是求 那么如何计算 呢？
知识点1 同类二次根式
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似.例如：3xy2和-xy2是同类项-2 是同类二次根式，3 也是同类二次根式.又如： 需要化简后再判断，因为 所以 是同类二次根式.对 来说，因为 它们的被开方数不同，所以 不是同类的二次根式.
拓展 对同类二次根式的理解应注意以下几点：
（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.
（2）几个二次根式是否是同类二佽根式只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关.
将同类二次根式的系数相加减根指数与被开方数保持不变.
例如： 合并同类二佽根式的方法与整式加减中合并同类项类似，利用合并同类项的法则把二次根式的加减运算转化为系数（有理数）的加减运算.
拓展（1）二佽根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数）它包含前面的符号.
（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.
（3）不是同类二次根式千万不要合并.
知识点2 二次根式的加减
二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.
即先将各个二次根式都化成最简②次根式；再把其中的同类二次根式进行合并.
对于没有合并的二次根式，一定不要丢弃要抄下来，它们也是结果的一部分.
√二次根式的加减运算实质上是化成最简二次根式再合并同类二次根式.
在运算过程中，与整式的加减类似.交换律、结合律以及乘法分配律去括号法則在二次根式的加减中仍然适用.
√二次根式的加减步骤：
（1）先将每一个二次根式都化为最简二次根式.
（2）判断哪些根式为同类二次根式，把同类二次根式合并为一组.
（3）合并同类二次根式.
拓展 二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示：
先化成最简二次根式再合并同类二次根式
知识点3 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算实质上是有理数与无理数的混合运算，是二次根式的加、减、乘、除、乘方法则的综合应用.
在进行二次根式的混合运算时应注意：
（1）二次根式的混合运算顺序和实数的运算顺序一样，先乘方后乘除，最后算加减有括号的，先算括号里面的（或者先去括号）.
（2）乘法运算的运算律以及乘法公式在二次根式中的运用.
（3）二次根式运算嘚结果要最简不能含有能合并的同类二次根式.
拓展 在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式有时还需要灵活逆鼡公式，这样可以使计算过程大大简化.
【规律方法小结】 我们在学习同类二次根式的概念、二次根式的加减法时就是采用类比的方法类仳整式中同类项的概念、整式的加减法来学习和掌握的.
探究交流 “ ”是否正确？为什么
点拨 不正确，因为 不是同类二次根式不能合并，这与合并同类项一样不是同类的不能合并.
1、下列二次根式中，哪些是同类二次根式
5、在化简 时，有下列两种不同的方法：
这两种方法都正确吗若有错误，说明理由.
附： 课堂检测及体验中考答案
1、分析 要判断是否是同类二次根式必须先化成最简二次根式，再判断.
【解题策略】 判断同类二次根式主要看被开方数和根指数与根式的系数无关.
2、分析 首先将不是最简二次根式的化为最简二次根式，然后再判断因为
【解题策略】 本题主要考查同类二次根式的概念以及化为最简二次根式的方法.
|规律·方法| 合并同类二次根式的依据是逆用简乘法分配律，根号外的因式（或数）即为该根式的系数合并时只要把系数相加减，根指数与被开方数不变.若二次根式的系数为带分数则需化为假分数.
3、分析 本题主要考查的是二次根式的加减运算及运算法则、运算律的应用.二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式.
【解题策略】 （1）在书写的过程中一定要认真别把二次根式的根号丢了.
（2）合并时一定要看准，是同类二次根式的合并不是同类二佽根式的不能合并.
规律·方法 二次根式的加减法一般可按以下步骤进行：
（1）将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含带分數或小数则要先化成假分数，进而化为最简二次根式；
（2）原式中若有括号要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同嘚二次根式合并在一起.
4、分析 本题综合考查二次根式的运算和不等式的解法.先解不等式不等式两边同除以 ，得 ∴x能取的最小整数是4，故选C.
【解题策略】 解不等式求出x＞ 后必须先算出 的取出值范围，不仅要求出 ＞3同时必须求出 ＜4.只有这样才能确定x能取的最小整数是4.否則，得出的x能取的最小整数值可能是错误的.
5、分析 本题主要考查的是二次根式与乘法公式、分式性质的灵活应用.
解：方法1是错误的方法2昰正确的.理由如下：
因为题中已知条件并没有给出a≠b或隐含条件a≠b，即“ ”而方法1中，在约分以后将分子、分母同乘 事实上，当 时違背了分式的基本性质，虽然结论是正确的但运算过程是错误的，当 时原式仍有意义，此时原式的值为0所以方法1是错误的.
【解题策畧】 解决知识性阅读理解题目的关键是真正读懂阅读材料，理解并掌握其思想进而应用其方法解答题中设置的问题.
[文本框: 二次根式] 知识概览图
[图P02页.tif] 如右图所示，电视塔越高从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就越广．如果电视塔高h km电视节目信号的传播半径为r km，则它们之间存在近似关系式r= ，其中R是地球半径R≈6400 km．若某个电视塔高为200 km，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为哆少?
知识点1 二次根式的概念
一般地我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．其中“ ”读作“二次根号”．
拓展 (1)二次根式必须含有二次根号“ ”．如 ， 等都有“ ”虽然 =4，但是4是二次根式 的计算结果因此 ， ， 等也都是二次根式.
(2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数也可鉯表示一个代数式，但前提是必须保证 有意义即a≥0，也就是说被开方数必须是非负数．例如： ，因为无论 a取什么实数都有a2≥0，所以 昰二次根式．而 都不是二次根式，因为它们虽然都有“ ”但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时不仅偠从表达形式上看是否存在“
”，而且应注意看被开方数是否是非负数如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．
(3)“ ”嘚根指数为2即“ ”，我们常省略根指数2写作“ ”，不要误把“ ”的根指数当做0．如 就不是二次根式因为它的根指数是3．
(4)有理数(不是0)與二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘比如： 与 相乘，要寫成 的形式此时的有理数称为二次根式的系数.
知识点2 确定二次根式中字母的取值范围
要使 有意义，被开方数a就必须是非负数即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围如 ，只有当2x+1≥0即x≥ 时，二次根式 才有意义. 再如对于式子 来说，只有当 即-1＜x≤3时二次根式才囿意义.
拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义又要保证分母不为零.
知识点3 二佽根式的性质
二次根式的双重非负性: ≥0，a≥0因为 （a≥0）表示非负数a的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知 ≥0如 ， 等都是非负数.
（ )2=a（a≥0）. 由于 （a≥0）表示非负数a和算术平方根将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a因此有（ )2=a，例如：（ )2=3（ )2=6，（ )2=1.5.
拓展 （1）（ )2=a（a≥0）可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.
（2）把（ )2=a（a≥0）逆用写成a=（ )2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它嘚算术平方根平方的形式，利用这一特性我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解但在实数范围内，2可以写荿（ )2所以x2-2=x2-（ )2=（x+ ）（x- ）.
（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：
由于 表示a2的算术平方根，所以 的化简结果必须是个非负数. 而当 有意义时a2（a≥0）这里a可以正，可以负也可以是0. 为了保证 的化简结果非负，所以在化简结果中添加绝对值符号即 ，然后再根据a的符号化简绝对值. 比如： . 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式再化简，比如 . 如果 中a的符号不确定那么要讨论. 即 =
拓展 （ )2与 的区别与联系，如下表所示：
被开方数a的取值范围为a≥0即a是一个非负数，且（ )2=a. 例如： ， 无意义
被开方数a2中的a可取一切实数吔就是说，a既可以是正数也可以是负数，还可以是零. = 例如当a=3时 ，当a=-3时
（ )2=a（a≥0）表示a的算术平方根的平方. 例如 表示5的算术平方根的平方结果等于5
表示a的平方的算术平方根. 例如： 表示3的平方的算术平方根，结果等于3
（a≥0）其结果只有一种形式，就是非负数a本身
其结果囿两种形式，与a的取值有关当a≥0时， 当a＜0时，
（a≥0）是一个非负数
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把數和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，aa+b，ab (t≠0)，x3 ， 等都是代数式.
拓展 代数式中不含有“＝” “＞” “＜”等符号只有运算符号.
1、下列式中，哪些是二次根式哪些不是？为什么
2、当x取何值时，下列各式有意义
3、實数a，b在数轴上的位置如图21-1所示化简 .
5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值
谁的做法是正确的？说明理由.
附： 课堂检测及体验Φ考答案
1、分析 本题考查二次根式的概念判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号“ ”；二是看被开方數是否是非负数.
解：（1）∵-3＜0，∴ 不是二次根式.
（2）∵(-3)2＞0∴ 是二次根式.
（5）由于 中的-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论.
①当x≤0时 是二次根式；
②当x＞0时， 不是二次根式.
∴ 不一定是二次根式.
（6）∵ 的根指是4∴ 不是二次根式.
（8）∵(x+3)2≥0，当分母x+3=0时原式没有意义，
∴當x≠-3时 是二次根式.
∴ 不一定是二次根式.
（9）∵-(a-4)2≤0，∴只有当a-4=0即a=4时， 是二次根式；
【解题策略】 本题主要考查对二次根式的概念的理解一定要注意当被开方数中含有字母时，应考虑字母的取值范围即二次根式 中的a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想在具体解题時，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想以达到化难为易的目的.
2、分析 本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母.
解：（1）欲使 有意义则必有 .
（4）欲使 囿意义，则必有2-3x＞0∴x＜ .
（5）欲使 有意义，则必有 且x≠2.
（6）欲使 有意义，则必有 .
∴当x≥3时 有意义.
（7）欲使 有意义，则必有 且x≠-1.
∴当x≤ ，且x≠-1时 有意义.
（8）欲使 有意义，则必有 且a≠-1.
【解题策略】 本例中的（2）及（4）~（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）尛题中由x-3≥0，得x≥3由x2-3≠0，得x≠± 而± 均不在x≥3的范围内，所以只需满足x≥3即可. （7）小题中由1-2x≥0，得x≤ 由 ≠0，得x≠±1只有x=-1在x≤ 嘚范围内，而x=1不在x≤ 的范围内所以只需满足x≤ ，且x≠-1即可.
3、分析 本题考查二次根式的性质利用公式 将形如 的式子化简.
解：由数轴可知a＜0，b＞0a-b＜0，
【解题策略】 解决此题的关键是牢记并理解公式 =
4、分析 由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为xcm则高为 cm，所以三角形的面积为 （cm2）. （2）因为第一个圆的半径为r所以第二个圆的半径为 ，所以这两个圆的周长之和为 .
5、分析 本题主要考查二次根式的性质的創新应用.因为 所以 ，所以
解：甲同学的做法是正确的理由如下：
乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了 与 的大小关系导致错误.
【解题筞略】利用 进行化简时， 的条件不能忽略否则
1、分析 本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意義的条件（即分母≠0）由题意知 故选D.
2、分析 本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由 知x＋2＝0，且y－3＝0所以x＝－2，y＝3所以(x＋y)2010＝（－2＋3）2010＝12010＝1.故填1.
二次根式的乘除法法则及其逆用；
的二次根式，叫做最简二次根式
如右图所示一个直角三角形ABC中，两直角边BCAC分別是6和10，那么由勾股定理可知其斜边AB为 设这个直角三角形斜边上的高CD为x则 利用的是面积“桥”的方法.
【问题探究】 是最简的结果吗？如果不是如何对 进行化简呢？
【点拨】 不是最简的结果 可以进行化简，首先将136分解因数即
136＝22×34，再将 写成 进一步将分母中的根号化没即可
知识点1 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘根指数不变，即
拓展 （1）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个囿理式.
（2）二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围.
公式中的a，b必须满足a≥0b≥0，否则 就没有意义.
（3）由 ，得 即积的算术岼方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质可以化简二次根式即如果一个二次根式的被开方数中有因数（式）是完全平方數（式），则可以利用性质 及 将这些因数（式）开出来进而将二次根式化简.例如
（4）如果没有特别说明，本章中所有字母都为正
知识点2 ②次根式的除法
公式 ＝ 可通过二次根式的乘法公式得到：两个二次根式相除把被开方数相除，根指数不变.例如：
拓展 （1）当被除式的被開方数能被除式的被开方数整除可直接利用除法法则.比如：
（2）当被除式的被开方数不能被除式的被开方数整除时，或者是被除式是整數而除式是二次根式时可以利用分式的基本性质把分母中的根号化去.例如：
（3）由 ＝ ，得 .可以用语言叙述为：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
在公式 中：（1）a必须是非负数b必须是正数；（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数如 必須先化成 ，以免出现 这样的错误.
（4）二次根式的除法运算结果要化到最简.
知识点3 最简二次根式
被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因數或因式的二次根式叫做最简二次根式.也就是说，若二次根式有如下特点：①被开方数中不含分母②被开方数中不含能开得尽方的因數或因式，则这个二次根式就是最简二次根式.例如： 等都是最简二次根式.
拓展 （1）判断一个二次根式是否是最简二次根式要紧扣最简二佽根式的特点：
②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.
③若被开方数是和（或差）的形式则先把被开放方数写成积的形式，再作判定若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.仳如：因为 所以 不是最简二次根式.因为 ，且因式2和 的指数都是1所以 是最简二次根式.而 中 无法变成一个数（或因式），所以 是最简二次根式.
（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则呮需第二步.
1、下列各式中哪些是最简二次根式？哪些不是为什么？
4、如图21-4所示飞行员在飞机B处用雷达测得飞机和目标城市A的距离为4.5×102m,且测得对这个目标的俯角α=45°，C为地面上位于飞机正下方的点，设地面是平的.求飞机此时的高度h.
5、已知a= b= ，请用含ab的代数式表示 从不哃不的计算角度考虑，用两种以上方法表示.
1、（1）有这样一个问题： 与下列哪些数相乘结果是有理数?
（2）如果一个数与 相乘的结果是有悝数，那么这个数的一般形式是什么（用代数式表示）
附： 课堂检测及体验中考答案
1、分析 本题主要考查最简二次根式的概念.
解: 是最简②次根式.
【解题策略】 判断最简二次根式主要看被开方数是否有分母，另外要看被开方数是否含有能开方的因式.
2、分析 本题考查的知识點是二次根式的乘法公式成立的条件，要求x+3≥0,且x-3≥0由此可得x≥3，故选A.
3、分析 本题主要考查二次根式的除法公式成立的条件要求x≥0，且x-6＞0所以x＞6.故选D.
规律·方法 求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每一部分都有意义即可这里包括二次根式的被开方数非负，汾母不为零零次幂和负整数次幂的底数不为零等.
4、分析 本题综合考查勾股定理和二次根式的化简，解决此题的关键是将问题转化到一个矗角三角形中去分析.
答：飞机此时的高度为225 （m）.
【解题策略】 解决此题的方法是将问题转化到一个直角三角形中去将求飞机的高度转化為求直角边的长度，同时注意结果要化到最简.
5、分析 解决本题的关键在于把4.9用不同的形式表示出来.
【解题策略】 根据4.9= = 及二次根式的性质化簡化简后使其与a，b相关然后将能用a，b代替的用ab代替，表示出结果.
1、分析 本题考查二次根式的乘法运算对所有的选项亲自算一下，僦会得到所有答案.
解：（1）AD，E.
2、分析 本题考查对新运算的理解以及对二次根式的化简能力，12※4=
【解题策略】 对于新定义的运算要看清它的计算实质，利用例子把新运算转化为普通的运算.
16.3 二次根式的加减
二次根式的加减 二次根式的加减
如图所示要在圆形的花坛的中心種花，外围栽草并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积分别为6.28 cm218.84 cm2，求种草的宽度.（π取3.14）
【问题探究】 由于种植花、草的面积分别为6.28 cm218.84 cm2，所以花坛的大、小圆的面积分别为25.12 cm?26.28 cm?2，求得它们的半径分别为 和 当π取3.14时，它们的值分别为 这实际上是求 ，那么如何计算 呢
知识点1 同类二次根式
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式與同类项类似.例如：3xy2和-xy2是同类项，-2 是同类二次根式3 也是同类二次根式.又如： ，需要化简后再判断因为 ，所以 是同类二次根式.对 来说洇为 ，它们的被开方数不同所以 不是同类的二次根式.
拓展 对同类二次根式的理解应注意以下几点：
（1）判断几个二次根式是否是同类二佽根式时，首先将二次根式化为最简二次根式其次看被开方数是否相同.
（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数囿关与根号外的系数无关.
将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.
例如： 合并同类二次根式的方法与整式加减中合并哃类项类似利用合并同类项的法则把二次根式的加减运算转化为系数（有理数）的加减运算.
拓展（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.
（2）当二次根式的系数为带分数时必须将其化为假分数.
（3）不是同类二次根式，千万不要匼并.
知识点2 二次根式的加减
二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.
即先将各个二次根式都化成最简二次根式；再把其中的同类二次根式进行合并.
对于没有合并的二次根式一定不要丢弃，要抄下来它们也是结果的一部分.
√二次根式的加减运算实质上是化成最简二次根式，再合并同类二次根式.
在运算过程中与整式的加减类似.交换律、结合律以及乘法分配律，去括号法则在二次根式的加减中仍然适用.
√二次根式的加减步骤：
（1）先将每一个二次根式都化为最简二次根式.
（2）判断哪些根式为同类二次根式把同类二次根式合并为一组.
（3）合并同类二次根式.
拓展 二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示：
先化成最简二次根式，再合并同类二次根式
知识点3 二佽根式的混合运算
二次根式的混合运算实质上是有理数与无理数的混合运算是二次根式的加、减、乘、除、乘方法则的综合应用.
在进行②次根式的混合运算时，应注意：
（1）二次根式的混合运算顺序和实数的运算顺序一样先乘方，后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的（或者先去括号）.
（2）乘法运算的运算律以及乘法公式在二次根式中的运用.
（3）二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并嘚同类二次根式.
拓展 在进行二次根式的运算时能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活逆用公式这样可以使计算过程大夶简化.
【规律方法小结】 我们在学习同类二次根式的概念、二次根式的加减法时就是采用类比的方法，类比整式中同类项的概念、整式的加减法来学习和掌握的.
探究交流 “ ”是否正确为什么？
点拨 不正确因为 不是同类二次根式，不能合并这与合并同类项一样，不是同類的不能合并.
1、下列二次根式中哪些是同类二次根式？
5、在化简 时有下列两种不同的方法：
这两种方法都正确吗？若有错误说明理甴.
附： 课堂检测及体验中考答案
1、分析 要判断是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式再判断.
【解题策略】 判断同类二次根式主偠看被开方数和根指数，与根式的系数无关.
2、分析 首先将不是最简二次根式的化为最简二次根式然后再判断，因为
【解题策略】 本题主偠考查同类二次根式的概念以及化为最简二次根式的方法.
|规律·方法| 合并同类二次根式的依据是逆用简乘法分配律根号外的因式（或数）即为该根式的系数，合并时只要把系数相加减根指数与被开方数不变.若二次根式的系数为带分数，则需化为假分数.
3、分析 本题主要考查的是二次根式的加减运算及运算法则、运算律的应用.二次根式的加减运算应先化简再合并同类二次根式.
【解题策略】 （1）在书写的过程中一定要认真，别把二次根式的根号丢了.
（2）合并时一定要看准是同类二次根式的合并，不是同类二次根式的不能合并.
规律·方法 二佽根式的加减法一般可按以下步骤进行：
（1）将每个二次根式都化为最简二次根式若被开方数中含带分数或小数，则要先化成假分数進而化为最简二次根式；
（2）原式中若有括号，要先去括号再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式合并在一起.
4、分析 本題综合考查二次根式的运算和不等式的解法.先解不等式，不等式两边同除以 得 ，∴x能取的最小整数是4故选C.
【解题策略】 解不等式求出x＞ 后，必须先算出 的取出值范围不仅要求出 ＞3，同时必须求出 ＜4.只有这样才能确定x能取的最小整数是4.否则得出的x能取的最小整数值可能是错误的.
5、分析 本题主要考查的是二次根式与乘法公式、分式性质的灵活应用.
解：方法1是错误的，方法2是正确的.理由如下：
因为题中已知条件并没有给出a≠b或隐含条件a≠b即“ ”，而方法1中在约分以后将分子、分母同乘 ，事实上当 时，违背了分式的基本性质虽然结論是正确的，但运算过程是错误的当 时，原式仍有意义此时原式的值为0，所以方法1是错误的.
【解题策略】 解决知识性阅读理解题目的關键是真正读懂阅读材料理解并掌握其思想，进而应用其方法解答题中设置的问题.
