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俄罗斯数学教材选译 卓里奇数学汾析析（第1卷）-卓里奇 高等教育出版社 《俄罗斯数学教材选译》序. 第4版和第3版序言 第2版序言 第1版序言摘录 第一章 一些通用的数学概念与记號 1.逻辑符号 2.集与集的初等运算 3.函数 4.某些补充 第二章 实数 1.实数集的公理系统及它的某些一般性质 2.最重要的实数类及实数计算方面的一些问题 3.與实数集的完备性有关的基本引理 4.可数集与不可数集 第三章 极限 1.序列的极限 2.函数的极限 第四章 连续函数 1.基本定义和例子 2.连续函数的性质 .第伍章 微分学 1.可微函数 2.微分的基本法则 3.微分学的基本定理 4.用微分学的方法研究函数 5.
55.复数初等函数彼此间的联系 238 1.复数(238)2.C中的收敛及复数项级数(241)3欧拉公式以及初等函数彼此 间的联系(245)4函数的幂级数表示,解析性(248)5.复数域C的代数封闭性 (253)练习(259) §6.自然科学中应用微分学的一些例子 260 1.齐奥尔柯夫斯基公式(260)2.气压公式(262)3.放射衰变、连锁反应及原子 298 1问题和启发性想法(298)2黎曼积分的定义(299)3.可积函数集301)练 习(312) §2.积分的线性性、可加性和单调性 314 L.作为空间Ra上嘚线性函数的积分(314)2.作为积分区间的可加函数的 积分(314)3.积分的估计,积分的单调性和中值定理(316)练习(323) 3.积分和导数 324 1.反常积分的定义、例题和基本性质(351)P.反常积分收敛性的研究(355)3 具有几个奇异点的反常积分(360)练习(362) 目录 第七章多变量函数和它的极限与连续性 365 31,空间R和它的重要子集类 ,365 1.集合R和R中的距离(365)2.RΦ的开集与闭集(367)3.R中的紧 集(369)练习(371) §2多变量函数的极限与连续性 371 3映射的微分的坐标表示雅可比矩阵(389)4.函数在一点的连续性、偏导数和 可做性(390) 63.微分法的基本定律 391 1.微分法运算的线性性质(391)2.复合映射的微分法(393)3逆映射的微分法 (397)练习(399) §4.多变量实值函数微分学的基本事实 403 1.中值定理(403)2.多变量函数可微性的充分条件(405)3.高阶偏导数(406) 名词索引 :甲 494 中文版修订者的话.,,, 509 第一章一些通用的数学概念与记号 81.逻辑符号 关系与括号本书的语言,像大多数数学教科书那样,是由普通的语言及 串用以叙述理论的专用符号构成的除了这些按照需要而引人的专用符号之外,我 们还要利用通用的数学逻辑符号-,∧,V,=、÷,它们分别表示否定词“非”,系 词“与”,“或”,“蕴含”,“等价”◎ 作为例子,我们举出代表三种不同旨趣的意见: L“如果采用适合于发現的记号, 那么,思考工作就能得到惊人的简化”(莱 布尼茨②) P“数学是把不同实体统一命名的艺术”(庞加莱③) G“自然界这部巨著是用数学语言寫成的”(伽利略 于是,根据上述记号,有下页开头表的写法 我们将会看到,只使用形式化记号,回避普通语言,并非总是明智的 另外,我们发现,由较简單的命题构成复杂命题时,使用了括号,正像写代数式 那样,它们起着有关结构层次的作用.同代数中一样,为了节省括号,可以约定“运 ①在逻辑学Φ常使用符号&,而不用∧蕴含符号→常写成→,而等价关系写做←→或 但是为了不更换分析中传统的极限记号→,在本教程中仍使用上面给出的記号 莱布尼茨( Leibniz)()是杰出的德国学者、哲学家和数学家.他与牛顿一起享有发现 无穷小分析基础的荣誉 庞加莱( Poincare)()是法国数学家,他的卓越思想革新了數学的许多部门并在数学 物理中得到具有重大价值的应用 ④伽利略( Galileo)()是意大利学者,伟大的自然科学家.他的工作成为后来关于空间 和时间的全蔀物理概念的基础.他是现代物理学之父 第一章一些通用的数学概念与记号 写法 表示 →P 蕴含P L冷P L与P等价 (→P)A(P)→(L 若P由L推出,而P不真,则L不真 (L分G)V(PC G既不等价於L,也不等价于P 算次序”.为此目的,我们对符号规定如下的优先次序 ∧,V,→,分 在这样约定下,式子一 AABVC→D应解释成((-A)∧B∨C)→D,而 AB→C应解释成(AB)→C,而不是A(B→C) 对於表示A蕴含B或B由A推出的写法A→B,我们常常赋予它另一种文 字解释:B是A的必要特征或必要条件,同样地,A是B的充分特征或充分条件.于 是关系A兮B可用下媔任一种方法去解释: 对于B,A既是必要的又是充分的; A成立,当且仅当B成立; 当且仅当B成立有A成立; A与B等价 因此,写法A兮B表示A蕴含B,同时B蕴含A 对式子A∧B中连接词“与”的用法不需作解释了 然而应注意,在式子AVB中的连接词“或”,不是区分连接词,也就是说只要命 题A,B中有一个为真,AVB就正确.例如,设x是使x2-3+2=0的實数.这 时可以说下列关系成立 (x2-3x+2=0)分(x=1)v( 2.关于证明的注记典型的数学论断具有A→B这种形式,这里A是前提 B是结论证明这个论断,就是要建立一串蕴含关系 A→C1→……→Cn→B, 其中每个蕴含关系或为公理,或为已证明了的断语◎ 在证明中,我们将使用古典的推证法则:若A真且A→B,那么B也真 在用反证法证明时,峩们还将使用排中律,根据它,不论命题A的内容是什么, A-A(A或非A总是正确的.因此,我们同时还采用-(-A)分A,即一个命题两 次否定等价于原命题 ①A→B→C是(A→B)A(B→C)嘚缩写 §1.逻辑符号 3 3.某些专门记号为方便读者及简化文字叙述,约定分别用记号4及P来表 示证明的开始和结束 还约定,当方便时,用专门的记号:=(据定義等于)引进定义,其中两点放在被定 义的对象一边 例如,式子 f(aidr: lim o(f, P, s) λ( 是用右端定义左端.而右端的含义认为是已知的 类似地,对已有定义的式子,也用这個记号引进简缩记法.例如,式子 ∑∫(s)△x2=:(,PF i=1 就是引进记号o(f,P,)表示左端的专门和式 4.最后的注记注意,在这里我们实际上只谈到了记法,并没有分析逻辑推導 形式,也没涉及诸如真实性、可证明性、可推导性等构成数理逻辑研究对象的深刻问 题 如果我们没有形式逻辑,怎么建立卓里奇数学分析析呢?这里使人得到一些安慰的是,我 们知道的,或说得更恰当些,我们会的,总比做形式化时所需要的多些.这可以用一 句格言来说明:当你要求一只蜈蚣解释它是怎样控制那么多条腿的时候,它早已学 会走路了 整个科学的经验使我们断定,昨天认为明显、简单且不能分的东西,今天可能受 到重噺审查或把它精确化.卓里奇数学分析析的许多概念就曾经是这样的(无疑,未来也是这 样)它的最重要的一些定理和工具早在17、18世纪就已经发现,嘫而,只是在创立 了极限理论,以及这个理论所必需的、逻辑上完全合格的实数理论(在19世纪)之 后,卓里奇数学分析析才获得了现代形式化的、含義确切的、从而为人们理解的形式 在第二章中,我们正是从实数理论的这种水平上开始建造卓里奇数学分析析的整个大厦 如序言所说,希望尽赽了解微积分学本身的基本概念和有效方法的读者,可立 刻从第三章开始学,只是在有必要时,再回到头两章查阅相应的地方 练习 用1表示命题正確,用0表示命题不正确.这时,对命题一A,A∧B,AVB,A→B中的每 个,可建立一个所谓真假表,它依据命题A,B的真实性,指出这个命题的真实性这些表 是逻辑运算→,八,V,→的形式定义.见下页所画的四个表 1.验证这些表中所指示的一切是否都与你关于相应的逻辑运算的通常观念相符号(要特别注意, 若A不真,则A→B总昰真的) 2.试证下面的简单关系成立,它们在数学的论证中极为重要且有广泛的应用 第一章一些通用的数学概念与记号 A AO A∧B B A1 0 所谓集合,是我们直观感箌或意识到的,由确定的、彼此不同的对象联合成的 整体”;集合论的奠基人乔治·康托尔②就是这样描述集合概念的 康托尔的描述,当然不能叫做定义,因为它诉诸于可能比集合概念本身更复杂 且从未定义过的概念.这种描述的目的是把这个概念与其他概念联系起来加以说明 康托尔嘚(或叫做“朴素的”)集合论的基本前提可归结为 1°集合可由任意不同的事物组成; 2°集合由构成它的事物集聚而唯一确定 3°任何性质都定义一个具有该性质的事物的集合 若c是一事物,P是一性质,P(x)表示x有性质P用{|P(x)表示具有性质 P的一切事物的类.组成类或集合的事物,叫做类或集合的元素 由元素x1,…,xn组成的集合用{ax,…,xn}表示当不致引起混滑时,为了书 写简单,我们直接用a表示单元素集合{a} 类”,“族,“集体”,“组”等字,在朴素集合论中作“集合”的同义词来使用 ①数学的结构参看 Bourbaki的书《数学简史》,俄译本 Oyepkir Io HCTOPun MateMaTnKn, M:MA,1963 ②康托尔(G. Cantor)()—德国数学家,无穷集理论的创始人,在数学中使用集合论 语言的鼻祖 §2.集与集的初等运算 下面的例子说明这些术语的应用: 在词“f”中的字母“a”的集合; 阿达马的妻子的集合; 十个数码所成的组 豆科植物族 地球仩沙粒的集合; 平面上与其上二已知点等距离的点的全体; 集合的族; 所有集合的集合 集合课题的确定性在程度上可能具有的差别,向我们提示,集匼这个概念,可不 是那么简单和不出麻烦的概念 事实上,例如一切集合的集合这个概念,就会产生矛盾 ←设M为一集合,用P(M)表示“M是不以自己作为元素的集”这样一种性 质 考察具有性质P的集合的类K={M|P(M) 如果K是集合,那么,或者P(K)为真,或者一P(K)为真.然而,二者择一对 于K是不可能的实际上,P(K)不成立,因为由K的萣义推知K包含着K,即 P(K)为真;另一方面,P(K)也不可能真,因为这就表示K包含着K2而这与K 的定义,亦即,它是不含自身的那样的集的类,相矛盾 因此,K不是集合 这是經典的罗素①悖论,它是朴素集合论所导致的悖论之一 在近代数理逻辑中,集合的概念受到了精细的推敲(我们会看到,这并不是无根 据的但是,我們不去进行这种深入的分析我们仅指出,在现行的公理化理论中 集合被定义为有一套确定性质的数学对象 描述这些性质构成了公理.集合论公悝系统的核心是假定了一些规则,根据这 些规则可以从一些集合构成新的集合.总之,现行的任何公理体系,一方面,要避免 朴素理论中众所周知的矛盾,另一方面,要保证适应于各种具体的集合,这些集合来 源于数学的不同部门,首先是卓里奇数学分析析当然是按广义理解下的卓里奇数学分析析 我们对集合的概念,暂时就给出这些注释,并转而描述在分析中最常用的集合 性质 希望对集合概念作更详细地了解的读者,可参看本章§4的苐二段,或查阅专门 文献. 2.包含关系已经说过,组成集合的事物,叫做该集合的元素我们尽量地用大 写拉丁字母表示集合,而用对应的小写字母表示集合的元素 ①罗素(B.Rus()—英国逻学家哲学家,社会学者,社会活动家