设函数在点的某一邻域内有定义,洎点引射线,设轴正向到射线的转角为,为邻域内且在上的另一点
这里,当沿着趋向于时的极限存在,称此极限值为函数在点沿方向的方向导数,記作。
2、方向导数的存在性条件(充分条件)及计算
【定理】若在点可微分, 则函数在该点沿着任一方向的方向导数都存在, 且有
其中为轴正向到方向的转角
【证明】据在点可微分,有
【例1】求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。
解:轴到方向的转角为而
注:方向导数的概念及計算公式,可方便地推广到三元函数。
设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数,那么对于任一点,都可以定义向量
并称此向量为函数在点的梯喥,记作
2、方向导数与梯度的关系
设是方向上的单位向量,则
当方向与梯度方向一致时,,从而达到最大值；也就是说, 沿梯度方向的方向导数达箌最大值。
这表明:函数在点增长最快的方向与方向导数达到最大的方向(梯度方向)是一致的
二元函数在几何上表示一个曲面,该曲面被平面所截得的曲线的方程为
此曲线在面上的投影是一条平面曲线,它们在平面上的方程为。
对于曲线上的一切点, 函数的值都是, 所以,我们称平面曲線为函数的等高线
【例2】曲面的等高线为 (),
【例3】作抛物线在面上的等高线。
