文中如何通过上式得出下面正交矩阵的行列式式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-07 10:31 标签： 行列式

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解释为什么一个行列式为1的正交矩阵称为旋转矩阵

一个阶实矩阵如果满足

则被称为正交矩阵。正交矩阵有下面的性质

  • 是正交矩阵当且仅当的行(列)向量组为的一组标准正茭基

注意：在中，利用可以轻松将任意一组基转化为标准正交基。

为了解答“行列式为1的正交矩阵称为旋转矩阵”的原因我们需要先了解下面两点。

一、矩阵是如何表示线性变换的

实际上在取定中的标准正交基后，每一个矩阵都确定了上唯一一个线性变换 使得对任意

上图中红色与蓝色的点分别代表一个二阶矩阵的第一列与第二列。矩阵给定后这两个点就确定下来。很容易看出上图的线性变换将原坐标系的基向量(1,0)^T,(0,1)^T的映射到了红色与蓝色向量

二、如何理解正交矩阵正交矩阵的行列式式为正数

考虑正交矩阵的个列向量组成的标准正茭基（单位直角坐标系），行列式为正数代表了列(行)向量之间的相对位置关系。

2.1. 二阶正交方阵

在中，我们知道了如何判断一个二阶行列式的符号一个行列式为1的二阶正交方阵中，逆时针旋转90度可以得到

从而在三维空间中构成一个右手系

如果把一个正交方阵的列向量組，理解为空间中的一个单位直角坐标系那么意味着，的相互位置关系与原坐标系-轴，-轴-轴正方向的相互关系是一致的。从而一個适当的旋转就可以让原来的坐标系变成的列向量表示的坐标系，这恰好是这个正交矩阵所代表得线性变换

蓝色向量、红色向量为一个②阶正交矩阵得第一、二个列向量，行列式为正意味着蓝色向量逆时针旋转90度得到红色向量原坐标系的两个基向量经过旋转变换即得到這两个单位正交向量。

用右手系也可以轻松理解三维空间中坐标轴的旋转：

请欣赏三维空间中绕三个坐标轴的旋转的正交变换对应的正交矩阵

实际上三维空间中的旋转变换有很多应用，比如欧拉角：欧拉角包括绕轴轴和轴的3个旋转，分别称为Pitch(俯仰)Yaw（偏航）和Roll(翻滚)，如丅图(图片来自网络)

更多内容大家可以自行搜素欧拉角、旋转角、或者四元数

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