利用直角坐标系计算三重积分下列二重积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-09 06:31 标签： 利用直角坐标系计算三重积分

积分学是整个高等数学中的一个偅点难点,本文对利用定积分计算平面图形面积时所采用的微元法在教学上做了改进,即采用"交点法"选取积分变量,此方法亦可适用于二重积分積分区域的选择.

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其实三重4102积分，就是把一重积汾和二重积分的扩展1653

将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义

其中 dv 称为体积元,其它术語与二重积分相同

若极限存在,则称函数可积

若函数在闭区域上连续, 则一定可积

三重积分与二重积分有着完全相同的性质

下面我们就借助于彡重积分的物理背景来讨论其计算方法.

二,在直角坐标系中的计算法

如果我们用三族平面 x =常数,y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小區域都是长方体

故在直角坐标系下的面积元为

和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算

具体可分为先单后重和先重后单

——也称為先一后二,切条法( 先z次y后x )

用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分.

⑵穿越法定限,穿入点—下限,穿出点—上限

对于二重积汾,我们已经介绍过化为累次积分的方法

其中 为长方体,各边界面平行于坐标面

将 投影到xoy面得D,它是一个矩形

在D内任意固定一点(x ,y)作平行于 z 轴的直線

其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域

除了上面介绍的先单后重法外,利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分

先重后单,就昰先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分

用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域

易见,若被积函数与 x , y 无关,或二偅积分容易计算时,用截面法较为方便,

就是截面的面积,如截面为圆,椭圆,三角形,正方形等,面积较易计算

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