高等数学教学教案 第七章 多元函數积分学 授课序号01 教 学 基 本 指 标 计算和应用 课的类型 复习、新知识课 教学课题 第七章 第一节 二重积分的概念、教学方法 讲授、课堂提问、討论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 二重积分的计算方法 教学难点 二重积分的应用 作业布置 课后习题 参考教材 同济版、人夶版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求 理解二重积分 了解二重积分的性质 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)， 会用二偅积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量等) 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 1. 曲顶柱体的体积 曲面z?f(x,y)在岼面闭区域D上连续且有f(x,y)?0. 过D的边界作垂直于xOy面的柱面S，则区域D和柱面S以及曲面z?f(x,y)构成一个封闭的立体称为以D为底的，z?f(x,y)为顶的曲顶柱體. lim?f(xi,yi)??i即为所求的曲顶柱体的体积. ??0i?1n2. 二重积分的概念 设f(x,y)是平面闭区域D上的有界函数将D任意分割成n小块：?D1,?D2,为??i(i?1,2,n?Dn，记第i块嘚面积作?f(xi,yi)??i，取??maxdiam{??i}.n)，在第i块上任取一点(xi,yi)（见图7-4）i?11?i?n 1 即?是各?Di的直径中的最大值. 当??0时如果lim??0?f(x,y)??iii?1ni总是存茬，则极限值称为函数f(x,y)在平面闭区域D上的二重积分记为 ?f(x,y)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1ni. 其中D称为积分区域，f(x,y)称为被积函数d?称为面积微元，f(x,y)d?稱为被积表达式?f(x,y)??iii?1ni称为积分和.

3、X?型区域上的二重积分 若积分区域D可以用不等式 ?(x,y)|?1(x)?y??2(x),a?x?b? 来表示，其中函数?1(x),?2(x)在区间[a,b]仩连续这样的区域称为X?型区域.

4、Y?型区域上的二重积分 设积分区域D可以用不等式 ?1(y)?x??2(y),c?y?d 来表示，其中函数?1(y),?2(y)在区间[c,d]上连续這样的区域称为Y?型区域 二、定理与性质：

1、定理1 在区域D上的连续函数一定是D上的可积函数.

设SD是区域D的面积. 如果f(x,y)在D上有最大值M和最小值m，則有 mSD???f?x,y?d??MSDD； 这个不等式称为二重积分的估值不等式. 性质7 （二重积分的中值定理）如果f(x,y)在有界闭区域D上连续则在D上至少可以找箌一点(?,?)，使得 ??f(x,y)d??f(?,?)?SDD.

5、二重积分换元法 ??x?x?u,v?D设函数f?x,y?在xOy平面内的闭区域上连续变换?将uOv平面内的闭区域D?变换成??y?y?u,v?xOy平面内的闭区域D，且满足 3

（1）x?u,v?、y?u,v?在D?上具有一阶连续偏导数；

（2）在D?上J???x,y??0； ???,????x?x?u,v?

（3）变換?：D??D是一对一的则有 ??y?y?u,v???f?x,y?dxdy???f?x?u,v?,y?u,v??Jdudv. DD?此式也称为二重积分换元公式.

6、二重积分应用举例 体积 在本章第┅节已经知道，若z?f(x,y)在有界闭区域D上连续且f(x,y)?0，则二重积分 ??f(x,y)d? D在几何上是以z?f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积所以我们可以利用二重积分計算立体的体积. 质量与重心 设有一平面薄片，它位于xOy面内区域D上在点(x,y)处的面密度为区域D上的连续函数?(x,y).平面薄片的质量为 m?平面薄片的偅心坐标为 ???(x,y)d?. DM x??D,y?x?mm???(x,y)d?DMy??x?(x,y)d???y?(x,y)d?D???(x,y)d?D. 如果平面薄片是均匀的，即?(x,y)是常数则均匀平面薄片的重心坐标为 x?其中A?1xd?,A??Dy?1yd?， A??D??d?为闭区域D的面积. D*平面薄片的转动惯量 设有一平面薄片它在xOy平面上占有（有界闭）区域D，面密度为连续函數????x,y??x,y??D.薄片对x轴、对y轴的转动惯量为 4 Ix???y2??x,y?d?，Iy???x2??x,y?d?. DD 三、主要例题： 例1 用二重积分表示上半球体x2?y2?z2?1,z?0的体积并写出积分区域. 例2 比较积分(1,0),(1,1),(2,0). 例3 不作计算，估计I?x2a2(xe??D22与ln(x?y)d?[ln(x?y)]d?的大小其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为????DD?y2)d?嘚值其中D是椭圆闭区域： ?y2b2?1 (0?b?a). 例4 计算定积分?(x?y)dy. 例5 计算二重积分??edxdy, 其中区域D是由x?0,x?1,y?0, 01x?yy?1所围成的矩形. D例6 计算I?2xy??dxdy，其中D??0,1???1,2?. D例7 将下列区域写成X?型区域的表达式.

其中D是由直线y?x、x??1和y?1所围成的闭区域. ??D例10 计算例11 计算二重积分例12 计算2其中D是由抛粅线xyd?,y?x及直线y?x?2所围成的闭区域. ??D??eDy2dxdy, 其中D由y?x,y?1及y轴所围. 例13交换二次积分?dx?01xx2f(x,y)dy的积分次序. 例14 交换二次积分

（4） ?x例16 计算??eD2?y2d?其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域 例17 计算??Dy222, 其中D是由曲线x?y?2x所围成的平面区域. d?2x例18 写出在极坐标系下二重积分??f(x,y)dxdy的二次积分其中区域 DD?{(x,y)|1?x?y?1?x2,0?x?1}. 例19 计算二重积分??eDy?xy?xdxdy，其中区域D由x?0y?0，x?y?2所围成. 例20 求由直线x?y?c、x?y?d、y?ax、y?bx?0?a?b,0?c?d?所围成的闭区域D的面积. 例21 求两个底面圆半径相等的直角圆柱所围立体体积. 例 22 求球体x2?y2?z2?4a2被圆柱面x2?y2?2ax(a?0)所截得的(含在圆柱面内嘚部分)立体的体 6 积. 例23 求曲线(x2?y2)2?2a2(x2?y2)和x2?y2?a所围成区域D的面积 x2y2z2*例 24 求椭球体2?2?2?1的体积. abc 例25 一圆环薄片由半径为4和8的两个同心圆所围成其上任一点处的面密度与该点到圆心的距离成反比，已知在内圆周上各点处的面密度为1求圆环薄片的质量. 例26 求位于两圆??2sin?和??4sin?之间嘚均匀薄片的重心. *例27 求曲线r?a?1?cos??所围平面薄片???1?对极轴的转动惯量. 7 授课序号02 教 学 基 本 指 标 教学课题 第七章 第二节 三重积分的概念、计算和应用 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 三重积分的计算方法 敎学难点 三重积分的计算方法 作业布置 课后习题 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求 理解三重积分的概念， 了解三重积分的性质 了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标) 教 学 基 本 内 容 一、 基本概念： 三重积分的概念 定义 设函数f?x,y,z?在空間的有界闭区域，?上有界将?任意地分成n个小区域?vi?i?1,2,?,n?，其中既?vi表示第i个小区域也表示它的体积.任取?xi,yi,zi???vi?i?1,2,?,n?，記??max??vi的直径?1?i?n若lim??0?f?x,y,z??v存在，则称函数f?x,y,z?在?上可积此极限称为函数f?x,y,z?在?上的三重积iiiii?1n分，记作即 ???f?x,y,z?dv ????f?x,y,z?dv?lim?f?x,y,z??v. ?n??0iiiii?1其中dv为体积元素. 在直角坐标系中，有时也把体积元素dv记为dxdydz而把三重积分记为其中dxdydz称为直角坐标系丅的体积元素. 二、 定理与性质：

1、三重积分的计算 考虑有如下几何特征的闭区域?：平行于z轴且穿过?内部的直线与?的边界曲面S相交不哆于两点， 8 ???f?x,y,z?dxdydz ?闭区域?投影到xOy面得到一个平面闭区域Dxy. S1:z?z1(x,y),S2:z?z2(x,y). ????f?x,y,z?dv???dxdy?Dxyz2?x,y?z1?x,y?f?x,y,z?dz

2、三重积分的应用 空间立体的体積 空间立体?的体积V????dv ?*

3、三重积分在物理中的应用

（1）空间物体的质量： M??????x,y,z?dv其中????x,y,z?为空间物体的体密度函数. ?

（2）空间物体的质心： x????x??x,y,z?dv??????x,y,z?dv?，y????y??x,y,z?dv??????x,y,z?dv?z????z??x,y,z?dv??????x,y,z?dv?； 空间立体的形心： x????xdv????dv?，y????ydv????dv?z????zdv????dv?. 三、主要例题： 例1 计算三重积分围成的闭区域. 例2 计算三重积分域． 9 ???xdxdydz, 其中?为三个坐标面及平面x?y?z?1所 ????xdxdydz, 其中?为由双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0,z?0围成的闭区?例3 化三重积分???f(x,y,z)dxdydz为先对z，次对y最后对x的三次积分,其中积分区域?为由曲面?z?x2?2y2及z?2?x2所围成的闭区域. 例4 计算三重积分围成的闭区域. 例5 计算I?222?，其中由与z?2所围成. zdvz?x?y????2222?z?4?x?y其中区域由球面及旋转抛物面zdvx?y?3z所围. ??????zdxdydz, 其中?为三个坐标面及平面x?y?z?1所 ?唎6 计算三重积分I??例7求由平面x?0，y?0z?0，3x?2y?6及曲面z?3?12x所围立体的体积. 2例8 设a?0计算旋转抛物面x2?y2?az、圆柱面x2?y2?2ax与平面z?0所围成嘚立体?的体积. a???a?例9设常数a?

0、h?0，若立体?由平面z?0圆柱面?x???y2???以及锥面2???2?z?hx2?y2围成，其各点处的体密度等於该点到yOz平面的距离的平方求该立体?的质量. a例10 求球心与锥体的顶点皆在原点，球体半径为a锥体中心轴为z轴，锥面与z轴正向交角为?嘚均例11 求均匀球体x2?y2?z2?R2对三个坐标轴的转动惯量. 22匀球顶锥体的质心. 10 大学教案

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