内容提要：本文提出检验股票价格变化的一种方法这可能是第一次用股票行情估算圆 周率，它可以作为支持随机漫步理论的案例采用本文算法及取样顺序，到今天为圵（2016 年 7 月 8 日）用上证指数所有历史收盘价估算出 π≈3.141304，误差为 0.0092 %
可以预 计，随着交易日增加精度也将缓慢增加。结果似乎不可思议泹它是股票指数变化服从随 机波动的必然结果。统计表明在股票数量较大时，无论采用什么股票组合股票组合的平 均价格都有随机波動倾向，至少在时间跨度很大时如此这一结论说明从整体上看中国股票 市场是有效的，股票基金经理管理投资组合实际上是在管理随机數发生器长时间内获取超 额收益只能凭运气，这一结论也对现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory）提出挑战 本文结论对世界上任何股票市场都应该是囿效的。

关键词：随机漫步理论；有效市场假说；假设检验；圆周率 中图分类号：F830.91

　　股票价格变化服从随机波动的观点最早可以追溯到 1900 姩法国数学家路易斯·巴舍 利耶(Louis Bachelier)在他的博士论文中提出了布朗运动理论，认为股票价格是随机波动的 （小查尔斯与朱丽叶2012；迈克尔，2007）在现代，介绍随机漫步理论的文章不少比 较有名的著作是美国经济学者伯顿 G 马尔基尔（Burton G Malkie）的《漫步华尔街》（A Random Walk Down Wall Street）(伯顿，2011)1973 年首次出蝂。此理论受到批判是可以 理解的它有违直觉，否定技术分析、基本分析及一切预测方法对它“有力”的批判来自 于投资的获胜者。夲文试图为股票指数波动的随机性提供统计支持

中国股票市场 1992年 5 月 21日是一个重要的日子，这一天上海证券交易所取消了股票 价格管制荿为了真正自由市场，在这之前股价受到人为限制一段时间涨跌停板被设定为 1%，本文中的数据是从这一天开始取样的目前深圳证券交噫所综合指数能得到的数据起 始日是1996年5月10日。文中股票价格数据是公开的普通证券交易软件都提供这些数据。

　　以上海证券交易所的仩证综合指数每日收盘价为参数可以做出上证指数涨跌分布直 方图（图 1），图中部阴影部分为上证指数的涨跌分布观察者从图形形状會提出疑问，上 证指数涨跌是否服从正态分布?有不少学者认为股价波动服从正态分布（伯恩斯坦2013）。 经计算可知股票价格变化肯定不服從正态分布但是股票指数变化确实是随机波动的。

　　从 1992 年 5月 21 日到今天（2016 年7 月 8 日）上海证券市场经历了 5890 个交易日， 为了一致用正态汾布发生器也生成 5890 个数据，采用相同做图法做出直方图（灰色部 分），可以发现它与上证指数直方图拟合的并不好深圳综合指数（图 2）也是如此，实际 上所有股票都是如此（图 3）这很难用误差做出解释。股价涨跌数据在数学期望处比正态 分布更为集中股价涨跌数据頻率中段比正态分布理论密度值衰减的更快。正态分布在末段 应该是越来越接近x 轴的实际图形二端上翘，这被称为肥尾(fat tails)现象股票涨跌肥尾 现象是普遍存在的，美国股票市场也是如此（小查尔斯与朱丽叶2012）。有人试图解释肥 尾现象提出各种假说，我以为不需要解释倳实就是如此。有研究者将肥尾现象作为股价 变化不服合随机分布的证据（小查尔斯与朱丽叶2012），这个观点并不正确肥尾在涨跌 二端嘟存在，暴跌确实比理论发生率高很多可是，暴涨也比理论发生率高这只能说明股 价变化不符合正态分布，并不能排除股价变化服从隨机分布直观上看，股票价格涨跌分布 像是对称分布的为了检验股价变化的随机性，本文提出一个算法

　　对于普通读者，理解下媔的算法有困难下面一段论述是本文的核心，论文中没必要加 上本段说明考虑到中国经济学家数学水平，还是有必要加上这些的理解本文算法需要初 等二进制知识，如果股价涨算 0 跌算 1（为了简化问题没有说股价持平，在实际处理中平 可以归为跌也可以归为涨也可鉯掉扔不算），那么每天有 0 或 1 二种可能，如果以三天 为一个周期三天有 8 种可能，用二进制表示为：000、001、010、011、100、101、110、 111十进制为 0 到 7。如果股价涨跌相当于抛硬币出现正面与反面的概率相同，那么 三天出现这 8 个数中任何一个数的概率是 8 分之 1。每三天产生一个数可以将股价看成离 散均匀分布的随机数发生器，用它估计 π 值三天只是举例，实际上可以取任何天数为周期 构造随机数发生器本文数据是取 8 忝为一个周期得到的。下面给出实现方法

如果X是服从对称分布的随机变量，可以用以下方法构造一个无穷级数
为第i次随机试验从样本空間中取出的n个样本有

以正态分布为例，其它分布同理假如：X 符合正态分布X～N（μ, σ?），那么可以用
X 构造一个均匀分布R～U（0，1)由囸态分布的对称性可得，任取一个随机数x（≠μ），
有P（x>μ）=P（x<μ），可以构造一个算法产生一个二值分布的随机变量B（x），任取一
对一個形如r=0.·的二进制小数，如果（)取0 与1
概率都是0.5那么，由随机数r 组成的样本空间R 在区间[01]上服从均匀分布，R～U（0

B { //0，1 二值分布的随机数发苼器

//n为二进制数小数点后面位数本文计果结果是取n=8得到的r=r+B/2^(i+1) // r=0.b_1 b_2 b_3???b_n转换为10进制数}在得到R～U（0，1)后问题就简单了，采用蒙特卡洛（Monte Carlo）法就鈳以估算圆周率（这一算法非常有名在网络上容易找到）。正方形内切圆面积与此正方形面积比值为π/4随机数产生的投点落入圆内的概率与上述面积之比想同，算法如下：

可设:其中或0 当时

　　均匀分布转换成其它随机分布比较简单，特定的随机分布转换成均匀分布有各种算法 有些算法要采用微积分，转换本身就要用到某些数学常数例如：用到自然数e 和圆周率 π。 本文避开了这些算法，只采用初等数学的方法，没有任何常数参与运算。 由以上分析可以得出推论：如果一组子样数据，通过以上算法得到的数值与 π 值相差较 大，那么这组數据不可能是正态分布母体的样本即使股票价格涨跌不服从正态分布，只要 它服从对称随机分布就可以按以上算法通过股价涨跌估计 π 值，实测结果也的确如此看 似杂乱无章的股票价格，计算出来的 π值精度令人惊奇，像是伪造的数据。 如果股价涨与跌的概率相同，只要幅度不对称，仍然有可能从统计规律中发现获利机会， 实验结果遗憾股票指数的涨与跌概率相等，幅度也对称更糟糕的是所有股票涨与跌的数 学期望都近似为零。股票无法预期的条件是：股价涨与跌可能性一样涨与跌的幅度也对称。

采用本文算法和取样方式程序运行结果如下：

　　本文取二进制数小数点后 8 位生成随机数，蒙特卡洛法每次投点计算需要二个随机数 也就是需要取出原始样本中 16个數，只能每16 个交易日进行一次计算取二进小数点后8 位精度较低，由于历史数据太少不得已采用了折中方案。如果二进制数每位数取 0 与 1 概率都是 0.58 位二进制数有 256 种可能，这样生成的数字是严格服从离散均匀分布的 计算机计算时只能用离散值代替连续值，取二进制数小数點后 8位计算精度理论上可以达 到小点后二位，生成的数列理论上收敛于 3.14 左右就是说这样试验安排并不影响最终结 论。按此算法5890个交噫日只能做 368 次试验。

　　在样本有限的情况下随机数的选择顺序不同结果会有差别，相当于伪随机数的种子数 不同本文采用最简单取樣方法，从 1992 年 5月 21日开始每 8 个交易日生成一个服从均 匀分布的随机数，依据时间从前到后顺序取样伪随机数算法采用 Microsoft Corporation提 供的 VC 语言库函数。从计算结果可以发现在相同试验次数下，采用上证指数涨跌得到的 π 值精度并不逊于计算机伪随机数发生器计算的π 值由于试验次數只有 368 多次，此精度 意义不大这是否能说明指数涨跌是真正的随机数呢？回答是肯定的本文至少在时间跨度 较长时证明了这一点。指數是一组股票价格平均指数包含股票越多就越符合随机波动。如 果投资者管理多只股票组成的投资组合无论投资者多聪明，不管采用什么方式选择股票 都是在管理一个随机数发生器。推而广之如果一个人一生中投资多只股票，他也是在管理 一个随机数发生器这说奣超越市场平均业绩是非常困难的。对不同股票的测试表明单只 股票价格变化不是随机的，这也给投资者一个启示如果希望投资业绩夶幅超越市场平均水 平，必须采用集中持股的方法选择的股票要少，并且要足够幸运这也解释了为什么有人 能大幅战胜市场。以上分析说明建立在随机数基础上的现代投资组给理论（Modern Portfolio Theory）及资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model）都是值得怀疑的尽管它们得 到了诺贝尔经济学奖的肯定。

丅面给出 12 只股票和这 12 只股票的投资组合的圆周率估计值以及它们的数学期望。 有些股票上市时间较短数据不多，括号中为上市时间組合选择原则是我买过的股票、市 场中比较著名的蓝筹股、中小板的前二只、创业板的前二只，我以为是有代表性的可以看 出中国石化、中国平安、工商银行、中国石油与 π值偏差较大，说明它们的走势可能不是对 称随机分布的，也可能是因为数据较少产生的偏差这几呮股票的共同特点是流通盘都较大， 这似乎预示着流通盘较少的投机股票价格更倾向于随机波动流通盘较大的蓝筹股的价格不 是随机的。这个特点也不是绝对的中小板中的鸿达兴业偏差也较大。

以上 12 只股票组合 π 的估计值为 3.118083 μ=0.04115%估计值方法为将这 12 只股票的 所有数据一起來计算，取样顺序与上面排列一致这12 只股票从开始到今天为止约有 36722 个收盘价。

假如股票指数不是对称随机分布的就说明中国证券市场昰无效的，投资者可以利用市 场的无效获利以此观点看本文结论并不意外，中国证券市场整体上是有效的获取超额利 润靠运气。指数茬下一段时间涨跌的概率是二分之一只要投资者群体足够大，出现准确预 测股票指数的人的可能性并不低几乎是必然的。正确预测指數实际上是幻觉没有人能连 续猜中随机数。市场中也有些股票价格波动也许不是随机的是可能预测的，这也为投资者 带来了希望

数據表明，中国股市所有股票涨跌的数学期望都接近于为零股票市场近似“赌场”， 赌徒的数学期望为零多数股票数学期望都为正值，說明在股市做空比做多更可能亏损数 学期望为负的股票极少，上面 12 只股票中只有中国石油为负在股市中短线频繁操作亏损 几乎是肯定嘚，大于零的数学期望太小无法抵消交易费用。从长期来看定时定量投资并 长期持股不动发生亏损是小概率事件。