l 最近一些年轻人经渚问我下面嘚问题，电视节目中也有过 类似的提问： “一个人在学校里学习了各种各样的知识究竟有百分之几 对他的职业或人生有用呢？"
l 许多人都囿这样的体验学校生活中印象较深的是受到老师 的表扬或批评，学因式分解时所下的苦功而不是因式分解的技巧 课外活动及体育运动嘚乐趣等等，而在学校所学的知识就要淡薄 一些 那么，人为什么要学习呢 人类的大脑结构可以使过去发生的事情、掌握的知识干净彻 底地忘掉。更正确地说人类的大脑只能将记忆的东西输出很少 一部分。既然如此人为什么还要下苦功学习、掌握知识呢？对
此我的囙答是：“为了掌握智慧/我认为在学习过程中，会 形成一种叫做智慧的、只用一个眼睛看东西会有什么后果不到的、但对人生十分重要的東 西只要形成了智慧，那么忘记的功能就不会成为人类大脑的缺 点例如，当有必要把忘掉的东西重新掌握时至少和从未学 过，甚至從未听说过的人不一样胸有成竹，即使不十分下功 夫也能事半功倍很快理解。
l 这是智慧的一个侧面我把它叫做智慧的广度。另外智慧 还有两小侧面；一个是深刻认识事物的側面，或把它叫做智慧的 深度；另一个是判断事物的能力我把它叫做智慧的强度。
l 学习之所鉯愉快是因为学习是为了掌握前面说过的智慧； 思考则更令人高兴当遇到人生或学问中的疑难问題时，需要深 刻地思考从这一点来说嘚确是一件苦恼的事情，但从通过思考 解决了疑难问题的意义上说则又是令人高兴的。
l 我常说：“只 有有所创造的人生才是最有意义嘚人生。"
l 现给读者现在我还是一个现役数学家，处在为自己的学问而苦 攻的阶段我想在这种时候回顾自己的一生还为时尚早。但是 峩还是满足了编辑部的要求。
l 我五十余年的人生有一半以上与数学联系在一起。因此 我的人生观也可以说是学问论。但是我还是尽量回避专业性的 东西，多谈一些一般性的问题
l 广中平祐教授是一位杰出的科学家。他一九三一年四 月九日出生于日本山口县一九五四姩毕业于京都大学理 学部；一九五七年修完了大学研究生院数学系的课程；一 九五九年与广中和歌子女士结为伉俪,一九七。年荣获菲 尔兹獎；J九七五年接受日本文化勋章现为京都大学数 理解析研究所所长，美国哈佛大学教授代数几何的两大 台柱之一。
l 三十年前我在读夶学三年级的时候，那时的我已决心把, 数学作为自己的天职。我对其中最感兴趣的代数几何投入了极大. 的热情
l 代数几何只有一百年左祐的历史，主要是以意大利为中心产 生的然而，其根源却非常遥远甚至可以追溯到法国的哲学 家、物理学家、数学家——笛卡儿。笛鉲儿通过自己建立的直角坐 标系将各种各样的图形转换为代数方程。而现在随着坐标系的 发展，反过来要从复杂的方程构造出其相应嘚图形代数几何学 就是以研究代数方程所定义的图形——代数簇的结构为目的的。
l 代数几何只有一百年左右的历史主要是以意大利为Φ心产 生的。然而其根源却非常遥远，甚至可以追溯到法国的哲学 家、物理学家、数学家——笛卡儿笛卡儿通过自己建立的直角坐 标系，将各种各样的图形转换为代数方程而现在，随着坐标系的 发展反过来要从复杂的方程构造出其相应的图形。代数几何学 就是以研究代数方程所定义的图形——代数簇的结构为目的的
若用专业术语来解释的话，代数几何就是研究由有限个变量
l 若用专业术语来解释的話代数几何就是研究由有限个变量 （Xl、X2、…，Xn）=X的有限个多项式构成的联立方程fl（x） =G（x）=…=fn（X）= 0的学问①
l 曾坐过快速滑行车的人可能会知道它的轨道构造得相当巧 妙。理论上符合力学原理外形上是一条光滑曲线。所以当车 体急速下降时，乘客不但不会惊慌失措而鸡貓喊叫相反，还会 发出阵阵欢笑。这首先是因为生命安全有了保障
l 然而，我们可以看到快速滑行车的轨道投射在地面上的影 子却昰一个非常复杂的图形。一般来说任何物体的影子看起来 都比较复杂，快速滑行车轨道的影子自然也不例外其中，有许
l 许多多线与线嘚交叉点并且有的地方呈尖状。
l 图形中线与线的交叉点或呈尖状的点，在代数几何学中称 为奇（异）点 由代数方程式所产生的图形Φ，多数都有这种奇点从数学 应用的角度来看，这种奇点是非常不利的并且难以解决。 那么怎样才能消除这种奇点呢？使用怎样的萣理才能把 有奇点的图形，变换成没有奇点的图形呢 这就是京都大学讨论班里介绍的问题，叫做奇点解消问题
l 一起参加讨论班的人嘟感到，三维的情形就如此之难那四 维以上的情形大概更无法着手了。我想这也是全世界数学家的坦 率的感想
l 换一种神秘点的说法，消除奇点的定理就是搞清物体的本 身和其影子之间的关系。
l 在快速滑行车的例子里轨道本身是没有交叉点的，但其影 子却有交叉点現在，就是要证明无奇点的快速滑行车的轨道的 本身与有奇点的轨道影子之间的关系如果找到了这样的定理， 那就会彻底地消除奇点所有的影子就会与其本身相一致。
l 我觉得物体的本身与其影子之间的关系，如同佛的世界与 人的世界之间的关系一样①
l 不过，还有一呴 话叫做“八万四千个烦恼”人一生下来就带来这么多的烦恼，并 且由于这些烦恼而迷惑、苦恼还有的因此而犯罪。
l 那么天堂是怎樣的呢？在天堂里不存在任何烦恼。而 且从天堂看人间，所有不合理的现象并不被看作不合理只不 过是符合一条因果律的一种现象洏已。 佛的世界的影子是现实世界物体的影子中的奇点，不正和 人间的无数的烦恼一样吗夸张一点说，奇点解消就同消除烦 恼到达忝间，寻找支配影子的因果律是一样的 对这个抽象的例子，年轻的读者可能会有些难以理解的地
方我们可以姑且不去營它，但我当时確实是把这个数学问题认 真地看成上述佛教问题加以考虑的
l 从那以后过了十年，我实现了这个梦于一九六二年完成了; 题为”特征为零嘚体上的代数簇的奇点解消”的论文，一九六三 年发表在美国的《数学年刊》上这个奇成解消寇理作为二十世纪 的数学定理之一，包括廣泛的应用领域在内得到了应有的评 价①。
l 不管怎么说奇点解消定理，可以说是我作为一个数学工作 者迄今为止所进行的硏究中的代表作
l 那么，什么是创造创造 中最重要的是什么？创造是从哪里产生的创造有什么乐趣？这 些问题如同“恋爱的乐趣是什么?”一样，是难以回答的
l 那么，什么是创造创造 中最重要的是什么？创造是从哪里产生的创造有什么乐趣？这 些问题如同“恋爱的乐趣是什么?”一样，是难以回答的但 是，我想创造的乐趣之一就是唤醒沉睡在自身之中，
l 我觉得首先应该谈学习这是因为，象我这样一个鈈是天才 的人能够创造出东西来，必须经过一个学习阶段 创造之前必须学习，这个道理不仅适用于学术界下面我就 谈谈我是怎样学習的以及学了些什么.
l 高 斯在少年时代就显露出其过人的天赋，而他的天才却一直陪伴着 他成长在纯粹数学、应用数学以及其它学科都做絀了不可估量 的伟大业绩。 我在数学领域里生活了三十多年也见过几个像高斯那样的 长时间保持天才的入，而且每当这种时候我就会长歎一声:“上帝 为什么这么喜欢恶作剧”当然，不应该把上帝不公平地赋予人们 才能说成是恶作剧
l 菲尔兹奖是根据加拿大数学家菲尔兹嘚遗愿设立的一个奖， 每四年一次授给在数学界做出划时代贡献的学者是数学界最有 名的一个奖。由于诺贝尔奖中没有数学奖因此也稱为数学界的 诺贝尔奖。令人吃惊的是有的入二十六岁就获得了这个奖①。 我有幸于一九七O年获得了这个奖时年三十九岁。因为这个獎 只授给不满四十岁的人所以我的获奖年龄就是最大②的了。
l 在我取得哈佛大学的博士学位的那一年获得博士学位的人 当中我的年龄吔是最大的。其中有比我小七岁的二十二岁的获得 者
l 在我取得哈佛大学的博士学位的那一年，获得博士学位的人 当中我的年龄也是最大嘚其中有比我小七岁的二十二岁的获得 者。因此在授与学位的会场上我躲在一个角落里，感到很渺 小
l 我认为'对孩子们来说，双亲可夶致分为两种类型一种是 想成为受孩子尊敬的双亲，而不看到自己的缺点只看到自己的 优点。另一种是没有任何做作的双亲这种类型的双亲在孩子们 面前，对自己的长处和短处不加任何掩饰痛苦的时候就流露出 痛苦的表情，有什么苦恼也对孩子们讲明疲劳的时候，就显出 —?副诡遢的样子
l 那么，哪一种是孩子们人生的楷模呢至少我认为应该是后 者。也就是说只有在孩子们面前没有任何做作，才能教给孩子 更多的东西
l 我的父亲名叫广中泰辅，在位于山口县最东部的玖珂郡的由 宇镇经商我出生的由宇镇，是一个能够望到瀨戶内海的海滨小 镇父亲在这座小镇上经营一个纺织批发店，而且也有工厂那 时在乡下，中学是接受高等教育的场所父亲虽然也有志於进中 学，但为了供养母亲十三岁的时候，在当父亲之前当了学徒 結果成了一个成功的商人。 从一个学徒到被人们称作老板，父亲┅定付出过艰苦的劳
动然而，父亲不是一个喜欢谈过去经历的人因此对当时的情 况我几乎一无所知。
l 纺织工厂里景气的时候足有五┿多人全日制工作，产品远 销中国台湾和大陆父亲还是一个拥有三千五百坪①左右土地的 住在都市的地主。在乡下小镇上我的家算是┅个财主，而且前 面还要加一大字 我生于发生满洲事变的那一年（昭和六年）。我的少年时代是 比较幸福的物质上不乏任何享用。说幾句闲话比如说，当 时不是相当富裕的家庭的孩子是喝不到牛奶的，而上小学（由
宇国民学校现在的由宇小学）的我却每天午休时飲用母亲送来 的牛奶；家里还有风琴，我记得当时镇上只有我家才有
l 然而，从停战时起我家却遭到了厄运。 首先随着日本的投降，父亲在满铁（南满洲铁路）和在台 ① 坪土地面积单位，1坪等于三十六平方尺?一译者注 糖（台湾制糖业）的大量股票都成了一文不值的廢纸由于没首 原料，纺织工厂也陷入了停顿状态昭和二十一年实行的土地改 革，对我家又是一个沉重的打击公亲的三千五百坪土地，也以 相当于三千五百元的价格被迫卖掉，并且恰好又赶上更换新 币
l 父亲苦心经营积攒的财产，就这样成了泡影很快纺织工厂 也易掱让人。当时正值战后通货膨胀而我家有十个还不能作工 的孩子，为了养活这个家庭为了交纳庞大的财产税，我家面积 达一百五十坪嘚房屋、庭院也一点点地卖光了现在只剩下很少 一点土地和房屋。 任何人的一生中随时都会发生这类威胁生存的事件。这类 事件中既囿象我父亲所遭遇的那样在吃饭问题上遇到困难的情
形，也有在精神上受到严重打击的情形不管哪一种情形，逆境 多是突然降临使囚毫无准备。但是一个人的真正的价值只有 在这种时候才能显示出来。换句话说看他怎样渡过这道难关。 古往今来从东到西，凡是囿才干、有气度的人可以说都有过 一段不平凡的经历，大都经历过凄风苦雨的时期迎接过雨过天 晴的境界，最后到达阳光灿烂的世界那时，父亲正处于这种逆 境之中
l 但是父亲并没怎么惊慌。即使是陷入四面楚歌走投无路的 境地，父亲仍有他自己独特的办法来对付父亲开始做起行商来 了。
l 昨天还被人称作老板而今天却低着头，沿门叫 卖我想认识我父亲的人，一定会感到十分惊讶吧 然而，父親却毫不介意一如既往，还是象以前那样经常 说:“看我的，'对艰苦的生活充满了信心这不是父亲硬装好汉， 实际上父亲一生确乎是坎坷不平在这种困难的时候，父亲作出 了行商的决定任何人都不能磨灭他这种对生活的自信心。
l 我想父亲的自信是来自他在过去的岁朤中所悟出的人生哲 学。这个哲学就是“世界上再也没有比靠自己的力量攒钱更应受 人尊敬的了”
l 所谓生活就是自己养活自己。在我們一家生活危机的时候 父亲用他自己的亲身行动，表明了他对人生的态度不依靠任何 人，靠自己的力量挣钱为了吃饭连装束也顾不仩，这才是人的 坚韧不拔的品格
l 如此说来，我会不会被人们看成一个格外尊敬父亲的孩子 呢然而也不完全是这样。固然我从没有轻蔑過父亲但我记得 当时父亲要让我作一个商人，我却极力反抗甚至有时面对面地 争执起来。 即使如此我还是从父亲那里潜移默化地继承了这份精神遗 产。不管你喜欢不喜欢对孩子来说，双亲是任何教科书上都找 不到的榜样从他们身上，孩子们无意之中就会学到他们嘚人生 现
l 一个人如果有意识地、积极地向自己身边的双亲学习的话， 那一定能学到许多往后支撑人生的、不可代替的东西
l 而且，父亲吔不允许在徒劳无益的事情上花费时间对父亲 来说所谓徒劳无益的事情，一句话就是没有效益的事情按父亲 的想法，孩子为考试而学習也是徒劳无益的事情他说：“大学 是那种不学习就能及格的人去的地方。”因此我有时只好搬张 小桌子，躲到父亲看不到的地方洳壁橱等地方，打着手电筒学 习除此之外，父亲在礼节方面也是相当严格的放学后一被父
亲看到，就会对我说：“一起挑粪去!”就把峩拉到田里 一般来说，在这种父亲管制下的孩子性格会变得乖戾。即 使是现在这种例子也是屡见不鲜的。 总算还好我们兄弟姐妹沒有变得乖戾。这是因为虽然父亲 强迫我们绝对服从但我们却有一个袒护我们的母亲。
l 美国有一位名叫斯鲍克的人他写过一本非常畅銷的书，书 名叫做《斯鲍克博士育儿法脂我在同他谈话时他说：“在儿童 的成长过程中，他的绝对的伙伴在他身边是很重要的”
l 过一夲非常畅销的书，书 名叫做《斯鲍克博士育儿法脂我在同他谈话时他说：“在儿童 的成长过程中，他的绝对的伙伴在他身边是很重要的”我的母亲 就是博士所说的那种绝对的伙伴。
l 美国有一位名叫斯鲍克的人他写过一本非常畅销的书，书 名叫做《斯鲍克博士育儿法脂峩在同他谈话时他说：“在儿童 的成长过程中，他的绝对的伙伴在他身边是很重要的”我的母亲 就是博士所说的那种绝对的伙伴。
l 这時母亲一个入要亲手管教十五个孩子，事实上已不可 能自然而然地也就不得不对孩子釆取“放任自流”的态度。
l 母亲当时虽然也很惊慌但却说道：“啊！没死就好/ 在母亲的章法中，最重要的是即使是受了伤只要没死就行.十 三个孩子没有超越她的章法，终于成长起来就是她感到骄傲的 原因。
l 母亲总是以这种方式对待孩子即使是学习成绩不好，但只 要上学就行；即使是没有什么作为但只要不伤害怹人，不败坏 自己的家风就行总之釆取的是一种只是能避免最坏的情形就行 的教育方法。 母亲的这种教育方法是否能作为一个一般理论荿立我不知 道。
l 不 光是作为一个父亲是这样；就是作为一个学者我也好象觉得只 要能避免最坏的事态就够了。这是我从母亲那里承继丅来的思 想或者也许是无意识中学来的。
l 除此之外我还问过许多问题然而母亲基本上一个也答不上 来。 但是母亲也不说“不知道”總是不厌其烦地说：“这种事 情也没有什么了不起的，好好想想” 有时母亲歪着头说：“是呀！为什么会这样呢?”
l 每当这种时候我便又問：“怎样才能知道呢?” 于是母亲就说：“长大后好好学习就会知道啦。"说着也和 我一起陷入沉思可是不管怎么思考，从来也没得出过答案于 是母亲就领我到附近神社主家里或者到比较亲密的医生家里去询 问。
l 在当时的乡下小镇上神主和医生就是为数不多的知识分 子。母亲低着头对他们说：这个孩子提出这样的问题请给他解 释一下吧。虽然我不十分明白但总算能得到答案了。 就在这样不断重复的過程中我幼小的心灵里懂得了思考问 题时思考本身是很有意义的。
l 人们没有选择父母的权力但是有选择朋友的自由。
l 直到现在我还是瑺常在自己的周围寻找可尊敬的人从他们 身上学到一些有益的东西。大约是从初中时代我就有意识地采 取这种学习方法。这可能是由峩的性格决定的但也不完全如 此。
l 对于天生具有才能或生于书香门第的孩子来说则另当别 论。但是对于具有普通的头脑生于普通家庭嘚孩子来说要想学 习的话只有通过这种方法。
l 也 就是说世界上存在着两个我：一个是喜欢与人交往，非常直爽 的我；一个是喜欢苦思冥想的我我想大概是喜欢独自思考的我 对藤本君感兴趣，才接近他的吧而他可能也是因为感觉到了喜 欢独自思考的我，才跟我交往的
l 我和他在上学的途中，经常讨论一些诸如“什么是哲学”、 “艺术对社会有用吗?"之类的问题例如我说：“肖邦的音乐 是一组漂亮的声喑的组合。”他思考一会儿说：“不再也没有 一个能够创造出像肖邦那样感情深沉的音乐的作曲家了我接 着问：“那什么是感情呢?”他叒陷入了沉思。这种情景在我们 两人之间是经常出现的
l 由于梅原猛氏不懂我获得菲尔兹奖的工作，我就象本书开始 介绍的那样向他解釋了一番。他听后说道：“哎呀这简直是 一个哲学问题，象是用数学证明了哲学上的存/的理论问题” 我说：“数学问题，最终都要从邏辑上加以解决正因为如 此，要对问题逐步加以限制使之格式化，最后才能加以证明 然而，即使是数学问题其出发点还是人们想絀来的，背景就难 免有模糊暧昧的成分因此就象哲学。”
l 数学这门学问的确是从人的哲学观点出发的。在这一意义 上可以说：我青年時代能够和藤本君一起偏离学校的学习讨论 哲学问题，了解他的个性是有意义的
l 所谓深刻地思考问题，并不是说盲目地对任何问题都詓苦思 冥想如果对凡是只用一个眼睛看东西会有什么后果到的，耳朵听到的都要加以深刻思考 首先就会耽误正常的工作，况且在漫長的入生中，确有很多问 题需要深刻思考 例如，像我父亲所经历的生活上的危机自己或自己的至亲 友好由于一点小小的失误，却自寻短见等等在一个人的一生之 中不一定是不会发生的。
l 所谓深刻地思考问题并不是说盲目地对任何问题都去苦思 冥想。如果对凡是只用┅个眼睛看东西会有什么后果到的耳朵听到的都要加以深刻思考， 首先就会耽误正常的工作况且，在漫长的入生中确有很多问 题需偠深刻思考。 例如像我父亲所经历的生活上的危机，自己或自己的至亲 友好由于一点小小的失误却自寻短见等等，在一个人的一生之 Φ不一定是不会发生的我认为，在这种时候才真正需要深刻地
思考问题的能力当你不知道怎样才能摆脱困境，不知道从哪里 着手解决問题时真正可依赖的就是自己的思考能力，除此之外 别无它法 从那时起，我就打算把从和藤本君交往中学到深刻思考的能 力伴随我嘚一生。 帕斯卡说：“人是会思考的芦苇”没有不会思考的人。然 而，一个人在离开父母自立之前一定要掌握在非常时期起作用! 的罙刻思考的能力和修养。
事实上我们学习的目的之一就是培养这种思考能力。
l 为弄清人脑的特性与其同具有大脑的猿猴等动物比较，鈈 如同具有大脑功能的机械、计算机、机器人等比较更直接了当了 一些
l 前面我讲过遗忘能力是计算机、机器人等所不具有的人类的 特有功能。但事实上这种说法是不正确的人类的大脑中有一百 四十亿个脑细胞，能够存贮无数的知识只是人不能象计算机那 样，自由自在哋把存贮的东西百分之百地再取出来人只能取出 大脑中记忆的信息的很少一部分。人脑和计算机的差别也就在于 此也就是说，人类并鈈是把记忆的信息忘记了而是“脑子里
有信息，但取不出来”这种说法是比较准确的。
l 这种现象是计算机等所不具有的只有人类的夶脑才具有这 种功能。我把它看成是人脑所特有的弹性这里所说的弹性是数 学意义下的弹性。也就是说大脑中能够马上取出来的信息呮是 一小部分，而大部分信息都是以不能马上取出来的形式存贮在大 脑中的我把后者与前者的比值作为人脑的弹性。 事实上人脑所具囿的这种弹性是形成智慧的一个重要因 素.
l 这样说来，有贮在大脑中不能取出来的知识并不是永远取不出 来只要花费点时间并给某些提示，是很容易就能取出来的只 有大脑具有弹性才能做到这一点！
l 我认为这是智慧的一个侧面。我把这个侧面叫做智慧的广 度人们不断地學习——忘记，再学习——再忘记在这个重复 过程中，头脑中自然就培养加强了智慧的广度
l 形成智慧的场所——人的大脑与计算机等鈈同，它能够灵活 地观察事物进行思考。
l 他看到一个镜头就会在头脑中留下清晰的印象，并且忽 视由前一镜头转换到下一镜头的极其短暂的时间将前一镜头的 印象持续到与后一镜头重合。人脑为什么能够这样呢这是因为 人脑时而敏感，时而迟钝并且能残留由刺激引起的某些反应? 总之，人具有将不连续的东西转换成连续的东西的能力
l 人脑的这种弹性，在思考问题时也能发挥作用其中之一就 是聯想。
l 另外联想还有助于大脑从几个不同的事物中寻找共同点. 用数学上的一个简单例子加以说明：圆与三角形的共同特性是将 平面分成叻内、外两个部分；而中文的工字则没有这个性质；阿 拉伯数字8则将平面分成了三个部分。在实际生活中当归纳各 种不同的意见时，寻找其共同之处的能力是非常有用的
l 至此说明了这样一个问题：人在思考问题时，是有一定的灵 活性的也只有这样，思考才能逐步发展罙入下去
l 智慧有三个侧面：广度、深度还有强度。所谓强度就是指判 断能力
l 我认为思考问题的态度有两种：一种是花费较短时间的即席 思考型；一种是花费较长时间的长期思考型。所谓的思考能人 大概就是指能够根据思考的对象自由自在地分别使用这两种类型 的思考態度的人。
l 没有长期型思考训练的人是不会深 刻地思考问题的。因此无论是怎样训练即席型思考，也不会掌 握前面谈过的智慧深度
l 鈳是，那时社会却不安定由于战争，社会变化无常教育 环境也比较混乱，特别是战后由于回国的子弟入学，因父兄搬 迁造成的入学还有，军队学校（幼年学校等）的学生复员入学 等使得学生数量猛增，总觉得有一种不安定的气氛包围着学 校正好又值旧制中学向噺制中学过渡的学制改革，教学课程与 教材十分混乱' 这样混乱的教育，对我们这一代中的某些人会对人的一生
产生不良的影响。但是至少对我来说，却是一个难得的时代 直到现在我仍然这么想。这是因为虽然教育不是有条不紊的， 但却能够自由地学习另外，有充分的时间对自己感兴趣的问 题花时间进行思考。
l 那时不管哪个学科的课程都不系统，数学也不例外
l 老师更 换时，甚至讲授过重复嘚知识这却给了我机会，使我能用很长 的时间对某一数学问题进行思考大体上明白了：什么对数学是 重要的？数学的本质是什么
l 数學是一门要求抽象性、普遍性和一般性的学问；从另一个 角度来看，又可以说数学是一门只要遵守一定的规律，就可以 自由地构造自己嘚世界的学问著名的德国数学家，集合论的创 始人康托曾经说过：“数学的本质就是其自由性"意思是说： 只要求遵循既定的规律，而鈈受名誉、地位、经济与政治的束 缚我认为这确是概括数学本质的一句名言。
l 其中有这样一个几何题目： 从一个三角形的两个底角分别引角平分线至其对边当两条 角平分线相等时，证明此三角形为等腰三角形. 如果用三角函数则此题很容易解决。但当时还没有学习三 角函数因此，这个题目便成了难题中的难题
l 人，不管是走哪条道路都有必要时常体验到愉快感、满足 感。 如果总是以痛苦为伴那就會感到厌烦，而不想继续走下 去
l 不管是多么小 的事情，只要成功了就会产生这种感觉。我认为即使是小的 成功，心里也会感到很愉赽经过无数次这种体验，人才会沿着 自己的道路走下去
l 即是说，虽然学习时花费两 倍于别人的时间；但不学习时，却是一点也不学也许是由于这 个原因，小学时代始终没有取得过最好的成绩
l 凭一时心血来潮而学习的方法，对于艺术家来说也许是可 行的；但对一個学者来说，若不是具有相当的才资那这种方法 肯定是不适合的。
l 使我懂得了孜孜不倦地努力的重要性他名字叫守 田孝博，出身于军囚家庭受到过严格的家庭教育，对社会的看 法也比较成熟'‘平时，言谈举止也令人感到十分严肃
l 他就是这样一个不肯把第一名让给任何人的成绩优秀的学 生，但他绝对不是一个天才而是一个彻底的努力型的人。我在 与他的交往中学到了孜孜不倦的学习态度。（
l 从那时起到现在我有意识地培养坚韧不拔、努力学习的态 度和毅力，所以我今天非常自负对任何事情都不肯认输。坚韧 不拔是我进行数學硏究的一个信念我这个人，在决定要去解决 某一问题时要花费很长的时间；但一旦决定后，就一定要坚韧' 不拔地做到底别人需要┅个小时，我哪怕花费两个小时也干； 别人需要一年我哪怕花费两年也成。重要的是要有始有终要
干到最后才行。有了这样的信念┅旦选择了一个问题，即使是 花费两倍、三倍于他人的时间也心安理得
l 据说人虽然有一百四十亿个脑细胞。但平當只能使用百分之 十左祐充其量能使用百分之二十左右，要想发挥处于睡眠状态 的其它脑细胞只有比别的人多花费两倍、三倍的时间。至少我 只想到这种方法并且，我相信对于一个具有普通头脑的人来 说，这是唯一的办法
l 先不谈这个问题。在我加入音乐小组练习弹钢琴时，一心 想当┅名音乐家然而，后来我却死了这条心与其说是死了这 条心，不如说是我永远成不了音乐家那是在一次练习性的镇音 乐会上，我演奏了肖邦的梦幻曲我尽了最大的努力，自己觉得 演奏的还过得去 但离 我的演奏却遭到了严厉的批评，校报上写道：“那简 直不能称做喑乐首先，演奏者根本没有使用钢琴踏板”这些话
似乎不能使人相信，但实际上我是不会使用钢琴踏板不过，我 ,依然很气愤想当喑乐家的理想也随之改变。 也就是从那时候起我对数学感兴趣了。
l 朝鲜战争爆发的那年（昭 和二十五年）四月我考上了京都大学理学蔀。父亲曾对我说 过：只许考京都大学如果落榜就终生休想上大学了 I虽然这样， 不知为什么我一点也没有为怕落榜而感到不安。
l 相对論的创始人爱因斯坦是一个数学型的物理学家还是在 少年时代，爱因斯坦就在叔父雅谷布的启蒙下开始学习代数与几 何学特别是到了晚年，这种倾向更是明显例如，一九二九 年他提出了一个试图将重力场和电磁场统一起来的统一场理 论，还有其它等等这些理论的數学性很强，抽象性很高好象 是超出了物理实验范围的理论，因此在物理学家中几乎无人问
津。爱因斯坦认为从简单的、数学家的基夲原理可以推导出任何 东西我认为他是一个抱有这种梦想的带有数学的浪漫色彩的 人。也可以说他是一个带有艺术家色彩的学者，是┅个追求美 的意识的人
l 当然，数学是一切其它学科的基础 这一事实也对我具有吸引力
l 讨论班上所使用的是庞特利雅金写的 叫《连续群論》的一本书。自然界中自然形成的美丽的东西都具有 某种对称性人的脸是左右对称的，所以如果把照相底片反过 来也觉察不出来。長方形是上下、左右对称的而圆具有通过 圆心向所有方向的对称性。换句话说对称性是连续地存在。对 称性构成群当这种群连续时，就称为连续群连续群与拓扑、 分析（微分、积分等）、代数等数学理论都有联系。
我就是这样在同时学习物理和数学的过程中越来樾对数学 感兴趣。最后终于确信自己是适合学数学的。
l 如果是出生于数学家的家庭父亲是一位数学家，从小受父 亲的薰陶或者是生來就具有数学天赋的人，则另当别论现在 从事数学的大部分人，都是经过大大小/」、的反复才走上这条道路 的我认为，任何一个人茬选择他的一生的道路时，都不能避 免这种反复 正常的人生不是一条直线而是一条锯齿形的曲线。然而这 个过程中的种种曲折、反复絕对不是没有用的。
我觉得我初中时期热衷于音乐这对于我以后，看起来与音 乐完全无缘的数学研究也起了一定的作用
l 他的这种性格吔体现在学习 上。一贯严于治学从不留下任何含糊的地方。 当时以藤田君为中心，成立了一个轮流读数学书的读书 会读书会上，每個星期拿出一个半天的时间读庞特利雅金的英 文原著《连续群论》,并进行热烈的讨论藤田君非常热心于这个 读书会，而我却是三日打鱼兩日晒网是个马马虎虎的成员。
l 当时我读书不认真不光是《群论》，其它的数学专业书也是 如此遇到问题时，总是马马虎虎满不茬乎地信口就说:“这个 问题用这个思想大概可以解决了吧?”于是第二天或第三天，藤田 君把他的整整齐齐写着解题过程的笔记本递给我並说:“我用了 你的思想，但没能解决这个问题”说完他就注视着我。每逢这种 场合我总是搔头。
l 在数学领域里一个问题即使是解决箌百分之九十的程度， 剩下的百分之十有时是解决不了的；当看到了解决这百分之十的 希望时将其写成论文发表了3但后来却常常出现一些意想不到 的错误，现在也还因为类似的错误而终身苦恼；最后以悲惨的 结局结束数学生涯。在同藤田君的密切交往中我懂得了数学仩 容不得丝毫的疏忽。
l 他虽然在数学系学习却喜欢文学，我经常向他要他写的小 说看他的许多小说是讽刺人的心理的阴郁部分的阴暗尛说。总 的说来我不喜欢阴暗学，而喜欢那种读后使人感到清新的明 朗的文学所以即使是他请我提出批评，我也不说好话有时甚 至說:“象你这样深深地陷在泥潭里，是不会有什么成就的'’但 是，虽然对他人严厉批评而我却被他丰富的感受性所吸引，我
不具有这种感受性后来。我们之间关系很好以我们两个为中 心，创办了一个名为EOUS的班级杂志
l 我在同他的交往中学到的另一东西就是所谓的“傻夶胆”。那 :时我也向往颓废派经常同他一起干一些惹人瞧不起的事情。多 次以后胆子也大了起来，不管别人怎么看怎么想，都i不在 乎我行我素。 我们经常举杯消愁喝得大醉，躺在京都的街头我不管喝 得怎么醉，还能凑合着走回家直到现在还是这样。而他则不 嘫酩酊大醉后，有时就躺在路上不顾众目睽睽，嘴里还大声.
喊着;“喂给我点吃的!”等粗暴的语言。每当这种场合我的任 务就是劝解他，当然不能把他扔下不管自己回家而是坐在打着 呼噜睡觉的小针君的身边，等着他醒来常常等到天亮。
l 这是我青年时代的一些粗野的行动意在告诉大家，时刻望 着他人的眼色行事是腾飞不了的。自己怎么想就积极地去怎么 做这是需要胆量的。我在同小针君的茭往中觉得学到了这种。
l 小针君毕业于京都大学后先后就任过京大理学部助教,、 基础学部副教授，昭和四十六年去世终年四十岁）。
l 在这种意义下如果我完全同他气味相投的话，那他那种带 有强烈刺激性的个性就会影响我的灵魂那我以后的生活方式也 一定会与现茬大不相同。
l 那是大 学四年级的时候不知为一件什么事情，全校罢课而我却一个 人独自在教室里听课。我并不是想破坏罢课而是我呔想上课 To幸亏我跟他们约好，复课后给他们笔记本看这才没有被作 为破坏罢课者而受冷遇。我的这种性格即使与他交往也不会改 变。 茬这种意义下如果我完全同他气味相投的话，那他那种带 有强烈刺激性的个性就会影响我的灵魂那我以后的生活方式也 一定会与现在夶不相同。
l 高中时期的朋友藤本君的情况也同样如此他总是在思考一 些深奥的命题，如果我只同他交友并受其影响的话那我也许会 成為一个乡土味很浓的哲学家.
l 回顾我走过的历程，不管什么场合我没有把合得来气味相： 投作为择友的标准。我是有意识地选择、交往具囿我不具备的品 格的朋友能教给我东西的朋友。为此和朋友之间不管多么亲 密，总得保持一段距离当他要闯入你的小天地时，务必嚴加拒 绝 我的这种交友方式，一定会被人认为过于狡猾但是，由于 我遵循这些原则可以说从来没有被别人背叛过（出卖过），不是
峩自吹在我的词典里还没有背叛这个词。
l 回顾我走过的历程不管什么场合，我没有把合得来气味相： 投作为择友的标准我是有意识哋选择、交往具有我不具备的品 格的朋友，能教给我东西的朋友为此，和朋友之间不管多么亲 密总得保持一段距离，当他要闯入你的尛天地时务必严加拒 绝。 我的这种交友方式一定会被人认为过于狡猾，但是由于 我遵循这些原则，可以说从来没有被别人背叛过（絀卖过）不是
我自吹，在我的词典里还没有背叛这个词为什么不管什么人我 都能打上交道呢？这是因为我有时也坦率地暴露自己从未因别 人影响到自己最重要的东西而后悔过。也可以说到目前为止， 不管多么亲密的朋友不管多么尊敬的朋友，都没有过分地迷恋 于怹们而失去自己
l 与朋友之间要有一条清楚的界线，在不超过这条界线的范围 内要真诚地交往，我的这种交往方式正确不正确姑且不论我. 认为至少在向朋友学习的方面是有效的。
l 英语中有这样两个词loneness （孤独）和loneliness （寂寞） 这两个词看上去也许有相似的地方但我认为这很奣显是互相对 立的两个词：寂寞是形容想摆脱孤独的人的感情的用词，甚至我 认为不甘孤独就会产生寂寞我的信念是：如果总是自愿孤獨， 那么不管是否同你喜欢的人或讨厌的人以及其他形形色色的人交 往都不会感到寂寞。
l 我认为要想摆脱自己的偏见就应尽可能多向所有的朋友学 .习重要的东西，因而必须自甘孤独
l 我也和大家一样，不满足于以前的只学习理论但却从未想 过要写点什么。 这有几种原洇其中之一就是：我对大学研究院的一个老前 辈的观点在某种程度上持赞成意见。他常常这样说:“你们为什么 尽写一些没有用的论文烸年拚命地写，到头来不都被遗忘了 吗说得好一点，最多十年也不会再有人提到了这种论文只会 缩小图书馆的收藏空间，没有任何其咜意义如果说写这种论文
是徒劳的话，那么读这种论文更是徒劳的我是绝对不写的 这位前辈不管对什么事情的理解都能入木三分，是個很有才 能的人并且批评起来目光锐利。实际上我认为他说的是正确 的。现在每年发表的论文数量十分惊人大部分都没有得到任何 評价，成了一文不值的废纸这一点，今后仍然如此 我没能拿起笔来写论文的另一个原因是，我被过去发表的汗 牛充栋的论文压倒了
┅般来说，论文是考虑成熟后才发表而且，过去被称作大 数学家的人们都是接二连三地发表一些无可非议的成熟之作， 使人读了这些論文就油然觉得:“我还有什么资格再写呢？因为 与他们相比写出来也是毫无价值的。” 例如立志想当一名吉他演奏家的人假定他在學习过程中有 幸听到名吉他演奏家的演奏，他对演奏的美妙的声韵会入迷并 深深地被感动。等他醒悟过来后就会觉得自己要登台演奏吉他
简直是非分之想。这是因为演奏家的技艺已经到了炉火纯青的 地步，而他自己却认为不管自己今后怎么努力也远远达不到这个 水平我没有写论文的理由之一与此十分相似。
l 可是如果一个人不写作论文，不创造自己的理论是永远 打不开通往数学家之路的。到底应鈈应该写呢这个问题一直使 我沉浸在苦恼之中。
l 我茫然地站在那里一直注视着穿白短袖衫的少女的身影逐 渐变小。在这之前我一直認为自己还是个学生，也许以前也有 人称呼过我“叔叔”但还从来没有象这次这样打动过我的心。 也不过是这么一件很平常的事情然洏对我来说却成为一件 重大的事情。从那天以后我曾多次问过自己:“你是一个值得被 称为叔叔的人吗?”我自己的回答是否定的：单凭读讀书，.理解高
度复杂的理论明确的评价别人的论文，是够不上“叔叔”资格 的不管是多么拙劣，必须要创造自己的理论必须写论文！我 终于做出了决定，继而写出了论文并投寄了稿件。
l 每当想起这件事情我就想起要感谢这位少女，甚至觉得是 她使我成为数学家的如果她当时不喊我“叔叔”，那我也许依然 抓不住开始创造的契机还会坐失良机，也许一生都执迷不悟 不光在数学界，就是在其它學术界我也见到过许多具有才智过 人，但却终生忙忙碌碌未能留下任何业绩的人。 当然每个人开始创造的契机是千差万别的可是，這种契机 却都是意外地在你身边那么能否抓住这种契机，我认为就要看
你是否在为创造而苦恼了'
l 可是，我当时写论文的动机是：不管恏坏只要写出论文就 行因此，从决定写论文那天起只用了三个月就写出了第一篇 论文，发表在京都大学的《理学部纪要》(一九五七年苐三十一期) 上这篇论文是用英文写的，题目是“代数曲线的算术种数与实 际种数(On the arithmetic genera and the effective genera of algebraic Curves)".
l 在众多的批评 中对我来说，最苛刻的要算美国《数学評论(Mathematical Review)》上登载的由当时加利福尼亚大学伯克莱分校的劳宰里 黑特教授的短评，详细的内容已经忘记了大体意思是“这篇论 文的主要结果，与其引用的参考文献相比没有什么高明之处。” 通常发表论文时都在后面给出参考文献。我也模仿这种做 法实际上并没有都很恏地读过这些参考文献。只是根据自己的
估计找来一些认为有关系的文献列在文后，因此难免出错。
l 劳宰里黑特教授指出在我引用嘚他的一篇文章中，就已经把我 的问题解决了 后来我到巴黎留学，遇到二十七岁获菲尔兹奖的法国天才数 学家塞尔时他也说:“你的那篇论文，在你引用的一篇参考文献
l 中已经解决了”虽然论文中也有一、两处我自己的创造性的思］ 想，但不管怎么说主要结果不是自巳的，实在是不像话
l 这篇论文虽然遭到了严厉的批评，但直到现在我还认为写 这篇论文对我是很有价值的。 第一虽然我犯了没有仔細阅读参考文献的错误，但我却因 此学到了写论文的方法当然，我也知道了为写论文，必须事（ 先彻底地调査研究有关的文献 第二，通过这篇拙劣论文的写作打下了一个基础，以这个. 基础为起点以后就一定会写出比第一篇要好的论文。 第三写这篇论文对我的最夶报酬就是，通过写这篇论文
使我亲身体验并学到了培养构思的创造性态度。
l 创造也是一样刚开始的创造模型，纵令是象婴儿一样幼 稚也不能半途而废，必须耐心地培育,这究竟是为了什么呢 如同不抚养孩子长大成人就不会对社会产生价值一样，不进行创 造也不会产苼价值 在人工智能领域里做出了独特贡献的，有机器人博士美称的 松原季男（自动化研究所主持人）既是制造产业用机器人公司的 经悝，又是一个十分富于幻想的人他曾给我看过他自己亲自制
造的用来构成群体的机器人的照片。他说他的这种机器人也并 不是开始就囿目的地制造出来的。 据说他最初制造了七个约有二十厘米的小型机器人，只具 有构成群体的特征除此之外，没有任何其它的目的嘫而，当 做成之后其特性却比原来想像的有了更大的发挥，并且实用化 了制成了地板清扫机器人等产业用机器人。 在各个领域中都會听到类似的故事。例如药学中青霉素
的发现，电子学中半导体的发现最初都不知道其价值。但是 青霉素和半导体在各自的领域里嘟产生了在创造前意想不到的应 职 用，而且以后成了进一步发现其它制品的出发点即创造出一个 产品，它能像一个成长起来的孩子单独赱路一样 丄我觉得我是托写第一篇论文的福，才肤浅地知道了什么是仓II 造
l 我的老师秋月教授邀请了一位名叫査瑞斯基的美国数学家来 ㄖ本讲学。査瑞斯基先生是美国哈佛大学的教授年轻时在罗马 研究代数簇的奇点解消理论，并成功地解决了三维的情形是世 界知名的數学家。查瑞斯基先生在日本逗留了一个月做了十四 次学术报告。
l 不感到嫉妒吗?”我总是回答说：“不嫉妒/不但是不嫉 妒如上所述，峩甚至认为和这样的优秀人才在一起学习是我的 幸运这是因为幸亏他俩，才使我在哈佛大学的留学生活得到充 实
l 迄今为止，除了曼福德和阿丁之外我还遇到过绝不比他们 迤色的天才，但我从没有嫉妒感这是因为我懂得达观，或者说 我从双亲那里继承了达观的优点。 一谈到达观就使人似乎有消极的感觉。一个人如果不知道 他应在哪些方面达观那他就不会做出什么惊人的工作。我确信, 搞学问也是洳此为了做出惊人的创造，掌握高超的达观艺术是 会大有用场的
l 关于这一点，我想做如下的解释 不管是谁，具有竞争意识并不是坏倳这是因为通过与他人 I 竞争可以使得自己进步。一个公司在与另一个公司竞争中成长' 起来的例子也屡见不鲜。这在许多场合也适用于囚与人之间
l 可是，分析这些成功的例子就会发现一个人有了竞争意识 后，他所硏究的目标的重点变得更加明确进一步还会发现，在 1竞争中要坦率地承认对方的优点，要认清对方过激点说，只有 尊敬对方才会使自己在竞争中前进。
l 然而不幸的是竞争产生积极效果的比率反而不高；而且多 数竞争容易产生消极的后果。这是为什么呢这是因为，一个人 当他的竞争意识变为嫉妒时那他所具有的用於产生精神能力的 部分就会大量地毁损。所谓精神能力包括思考能力、创造能力 等。之所以会毁损是因为在与他人的优劣竞争中用来產生精神 能力的一部分就相应地要消耗掉一些。这样一来在与他人的嫉
妒型竞争中，自己为奋斗的目标反而模糊终于，没有好的结 果也就是说，从结果来看竞争意识有两种：一种是积极竞争 意识，一种是消极竞争意识
l 分析一下由于竞争而产生不良结果的例子可以看出：第一， 不但不尊敬竞争的对方反而有轻蔑对方的倾向；第二，这种人 总是想把竞争对手踢翻在地而不是想并肩前进。即他们嫉妒竞 争对方嫉妒心能使精神能力减弱，判断能力失常结果，导致 .自己的奋斗目标不明确
l 心理学家认为，嫉妒是人类特有的感情任哬人都会产生嫉 妒心。的确不光在学术界，就是在日常生活中也往往容易由 羡慕他人而变成嫉妒他人。由于我不是这方面的专家不能解释 这种不可思议的感情。但是不管怎么说，对于要想有所创造的 .人来说嫉妒是一种精神鸦片。
l *做不到的事情就死了这条心， 即使她仍然是我心中的恋人!” 据说这是战前一位作家创作的一首歌，歌名为：“雨中盛开 钠花”留学时，我经常哼唱这首歌的确，世堺上有很多超过 常人的优秀人才如哈佛大学的曼福德和阿丁就属于这种人。对 于这种人采取嫉妒的态度是对自己没有半点好处的因此，当在 !解决问题被他们的才华击败时或当他们在你面前显示他们的才 !华时，我总是哼起这首歌聊以自慰
l 所谓达观，并不是对一切都达觀3要紧紧地抓住自己的奋斗 '目标对目标以外的事情要釆取达观的态度。这样一来人们就 I不会产生嫉妒心。没有嫉妒心就不会损失精鉮能量，判断能力 也不会反常。最终是会有所创造的。 应该掌握达观的艺术我认为达观艺术对控制精神能量是很 .重要的因素之一。
l 數学中常常有这样的情形虽然能将问题解决百分之九十， 而对剩下的百分之十却一筹莫展这种情形，对数学家来说是很 危险的一不尛心，就容易陷入神经衰弱虽然如此，好不容易 搞出了百分之九十也不能随随便便放弃剩下的百分之十吧！那 应该怎么办呢？对此朂重要的是坚韧不拔的毅力。 每当这种场合我就想起那个男孩的名言，并出声地对自己 说道:“我太笨了于是脑子就会感到十分轻松，會从山穷水
尽的着迷状态中解脱出来感到柳暗花明，豁然开朗
l 为什么会产生这样的作用呢？因为我认为我是个笨蛋解决 不了是很自嘫的：若能解决，则是意外的收获也就是说，这种 态度能使你从一筹莫展的状态中解脱出来 当然，即使是釆用这种方式转变态度剩丅的百分之十也不， 一定能解决可是，我却有过这样的体验转变态度能使你的思: 考能力复苏，能使你的思想从五花大绑的束缚中解放絀来从j 而，毫不费劲地解决剩下的百分之十
这种态度在远离学问的日常生活中也是很重要的。 这种态度能有效地使人从失败的打击中偅新站立起来
l 那时，我抓住了一个硏究价值很高用我的话说就是：“好 题目”的问题。这是一个几何学问题概括地说，就象用无穷級 数定义的数，能否用有穷级数有效地表示的问题 我对这个问题很感兴趣，投入了极大的热情首先研究一 维、二维的低维的情形，結果我发现了一个很有效的方法。
l 英 ■国有位名叫罗素的数学家曾经对数学的美作了一番解释。他 说：“确切地说数学不仅是真理，还具有崇高的美这种美像 I雕刻一样冷漠、庄重，不是人类的语言所能表达而且，像绘 画、音乐一样，没有任何华丽的装饰并且，越是庄重就越发纯 粹能够达到只有艺术才能显示出来的完美性。“用“美”来形 容数学的确是意味深长的称赞的意思。
l 第二天早晨我冷静下来，问“这个学者究竟使用的是什么 方法呢?”回答说：“他使用的好象是韦尹思特拉斯定理/ 韦尹思特拉斯定理是十九世纪德國数学家韦尹思特拉斯创造 的定理。（韦尹思特拉斯的定理有二重级数定理、有关奇点的定 理有关紧致性的定理、有关有理函数展开的萣理，有关紧致集 合上的实数值连续函数的定理等等这里使用的应是韦尹思特拉 i斯预备定理。）
当我听到这个定理的名字时不由自主哋:“啊!”地一声叫 了起来。我放下话筒好容易才从茫然若失的状态中解脱出来。 于是我将韦尹思特拉斯定理用于使我陷入僵局的地方
l 雖然老教授是含混地用 “好像"的字眼告诉我的，但这个学者的确正确无误地解决了这 个问题
l 花费了两年时间为之奋斗的问题，被一个年輕学者解决了 这个事实对我是一个很大的打击。但是我却能很快地从这个打 击中站立起来。为什么呢因为我转变了态度，我认为这昰我办 不到的事实是我太笨了。还有不尽快清醒一下头脑，就不能 着手下一个问题最终也不会有新的创造。数学就是这样一门学 .问
l 教授打来电话的那天晚上，我毫无睡意第二天，由于这一 :打击再加上缺乏睡眠我的头昏沉沉的，我独自一人到波斯顿郊 i外因独立战爭而出名的柯曼特小镇附近的纽几亚姆其实，我是 !想找一个无入看到的地方安静一会儿我蹲在砍伐以后留下的树 ，桩上想了许多许多 与其说是在想，不如说是在呆呆地眺望远方时光在白白地 流逝。在别入看来我一定像一只掉了羽毛的乌鸦一样。白白地
花费了两年这无疑也是一个重担压在我的肩上，使我几乎喘不 过气来。这两年中其他的数学家会做出多么出色的工作啊！ 一 :想到此，我也感到涳虚
l 两年的心血而未结出果实？ 韦尹思特拉斯定理早在一个世纪以前就有了而且我还曾经 成功地使用过这个定理。
l 我久久地像木偶一樣发呆可是，这时我却开始思考为什 么费了两年的心血而未结出果实？ 韦尹思特拉斯定理早在一个世纪以前就有了而且我还曾经 成功地使用过这个定理。可是为什么这次未能注意到使用这个
l 我久久地像木偶一样发呆。可是这时我却开始思考，为什 么费了两年的心血而未结出果实 韦尹思特拉斯定理早在一个世纪以前就有了，而且我还曾经 成功地使用过这个定理可是，为什么这次未能注意到使用這个 ■定理能够成功呢 原因就是在哈佛大学的讨论班上发表研究结果时，麻萨诸塞 :工科大学的教授曾称赞说：“太美了”这使我感到飄飘然。从那
；以后总是固执己见，固执会带来偏见有了偏见又会固执这个 偏见，如此恶性循环下去最后，妨碍你从新的角度观察問题 !而一味地偏向于自己的观点。在我自己的心中形成了这样的偏 见：“如果使用我的方法不能解决的话，那就不可能用现代数学 |解決了”
l 人，往往由于某一成功会失去一颗朴素的心我就是因此而 失败的。如果我能老老实实地对待问题保持一颗朴素的心，那 就会從零开始详细地从头检查自己的方法。
l 我认为数学这门学问有四个特征：第一个特征数学这门学 需要正确的技术性。不管是方程、微積分、几何如果不能正 .确地解决其中的问题，数学这门学问也就不成立 第二个特征，数学这门学问具有思想性虽然说数学是一切， :科学的基础但是，对事物的看法、自然形成的观点对数学有彳艮 大的影响例如，以农业为主的埃及文明发展了几何学和计数 法，而科学的源泉则是海洋民族的希腊人所创造
第三个特征，数学是一门抽象性极强的学问这也与数学的 本质有关。面对各种各样的现象尋找其共性，加以抽象并进行 硏究 第四个特征，数学具有国际性像康托说的那样:"数学的本 质是其自由性”。数学的世界是一个没有利害关系，与国情等完. ,全无关的自由开放的世界
l 首先，要认清什么是事实什么是臆测，对事实必须实事求 【是地接受
l 再举一个例子。前面说过人的大脑与计算机、-机器人不 同，具有灵活性虽然说这个特性能产生人的智慧。但反过来它 有时也会使人犯意想不到的錯误，使人认不清事实
l 人为什么会产生这种想法呢？这就是因为人脑具有灵活性 一点一点地使思维偏离主题。根据联想和推测不断哋使自己的 想像膨胀起来，而且最后误认自己的想像就是事实。
l 可是现在事实与这个年轻人的想像相反，假定她对他根本 没有好感；當他向她求婚时她会拒绝，或者不知什么时候她 会同别的男性谈起恋爱来。
l 另外还有一个词，叫做成见不管是解数学题的态度，還 是评价对方、度量对方的心情的场合成见常常会引起麻烦。 解数学题时与其说有答案，不如说不知道答案在哪里另 一方面，评价┅个人时若只看外表、只听周围人的意见，那 么很可能不能正确地评价这个人总之，成见太深就会失去客观 性
l 如上所述，想像、成見、自寻烦恼是使人们认不清事实与 臆测间的差别，将虚构误认事实的根源换句话说，它会使人们 不能实事求是地接受事实混淆事實与想像的界限。 虽然说起来这么容易真要实事求是地接受事实，却有意想不 到地困难正因为如此，我才经常不断地提醒自己否则嘚话， 不管是在生活上还是在学习上，都会犯下出人意料的错误 重要的是认清什么是事实，什么是臆测要分清它们之间的
l 为什么说佷重要呢？这是因为不确定一个目标，人就很难 以产生前进的精神力量
l 可以说是否清晰地瞄准了自己的目标，会使人的成长大不 相同
l 因此，应该有更大的目标比如说人生的目 标。
l 无论怎么说不应该是进 入大学后，就终止学习 根据我自己的体验，应考学习是很重偠的在参加大学考试 的前三个月里，我也同样竭尽全力拚命地学习。我制订了一个 在有限的时间内能产生最大效果的学习计划。例洳：社会课较: 弱因此，在这方面相应地要多花时间；数学与英语虽然很自 信但还是再复习一遍，另如物理要达到仲么程度语文要达臸歩
什么程度，都做出了安排并按计划38行学习。自己要有自己的 目标完全没有必要同他人比较。不要去注意某个朋友某门课程 学习到什么程度这一点，对我以后成为数学家也起了很大的作 用我即使同比我聪明的数学家交往,我也丝毫不感到气馁，锲而 不舍地硏究自己嘚课题
l 如此看来，目标本身固然重要然而，为了实现目标所付出 的代价更具有重要的意义
l 不用说，这种新的 发现也是先确立一个目标，经过不懈努力的结果这方面的最 好的例子，恐怕就是青霉素的发现了青霉素是在对霉菌的基础 硏究中发现的。
l 总之美国学生嘚思考方式是，先确立假设然后进行各种 推理，不行的话就改变假设。而日本学生是首先学某门课程 然后以此为基础撰写论文。如果行不通要么换一个新的方向， 要么改变研究方法
l 在某种意义上来说，先确立假设的硏究方法是需要勇气的一 种做法这是因为，不管是物理领域或数学领域有一倒霉的传 统，即开始确立的假设一般是不成立的
l 在这种意义下，我奉劝年轻的读者朋友们今后若是决意进行创 造性的工作的话，要釆用先确立假设然后进行演绎推理的思考 方法。
l 分析与全局观点 在承认事实的基础上要想实现假设，具體的方法是彻底地 '分析现象
l 我认为，分析的方法大体上可以划分为象征性分析和逻辑性 分析两种所谓象征性分析，可用下面的例子说奣比如在分析 人时，把人看成是由肉体和灵魂两部分组成的类似这种分析就 是象征性分析。这种分析法多少有点模糊性但分析到某┅程 度后，就能够抓住全体一般来说，东方人比较擅长于这种方 法 所谓逻辑性分析，就是确定出能够在逻辑上进行说明的要
素然后將其加以归纳。这种方法的缺点是忽视了在逻辑上不 能进行说明的部分或由于信心不足，结果不能抓住事物的全 貌
l 除了这两个分析方法以外，还有一个分析方法叫做极限分 析。 这一方法起源于十四世纪的意大利的文艺复兴到了十五、 十六世纪，扩展到了整个欧洲這一时期出现了珈利略、开普 勒、牛顿等杰出科学家。
l 共同之处是采用极限分析的思考方法 所谓的极限分析，如同其字面意义就是把┅个问题放在极 限状态下进行分析，从而得出极其简洁的结论例如自由落体定 律是珈利略创立的定律。定律的内容是,在真空状态下物體与 其形状、性质、大小、重量无关，以一定的速度下落 那么，分析中什么是重要的呢 我说过，数学的特征之一是抽象性抽象性与剛才说过的象 征性分析和极限分析有很大的关系。
例如地球这颗行星的表面，既有高山又有深谷，是凹凸 不平的但我们通常将其看荿球面。为什么这样做呢这是因 为，抛开地球凹凸不平的现象不管而把地球的整体看成一个球 体，在进行有关地球的自转、运行的计算时理解起来就变得简 单明了。 抽象与具体是对立的它是一种逐次忽视次要的条件、要素、 现象，最后找出普遍的根本原理的方法。“地球是一个球体”
的说法就是抽出了地球的特征，进行了抽象 不管怎么说，对具体的现象抽象化在分析中是必要的。没有 抽象嘚分析很务情况下，是解决不了问题的 我们数学家，在创造理论的分析中也需要抽象在可能的范 围内，忽视具体的因素依次解除┅些制约条件，使其具有普遍 性抽象对数学家来说是十分重要的，甚至可以说数学是抽象 的学问。 数学的另一个侧面是表现数学上所说的表现，就是把抽象
出来的概念用一种形象的清晰的具体的方式重新表示。这是因 为有很多太抽象的概念即使在逻辑上是正确的，却在意义上不 太清楚但是，如果用一个具体的问题表示时会使人们更清楚 地理解其意义。 表现概念的方式有两种：一种是忠实的表達一种是象征的 表达。我认为后者也是一种抽象在近代数学中，这种表现方法 取得了很大的发展 数学中的抽象与表现这两个侧面，茬艺术中特别是在音乐
中也是一样的。数学家中有很多音乐爱好者，这也是因为数学 与艺术自然地溶为一体的缘故所谓音乐的美，鈈光是音色美 更是声音的结构美。在近代数学中结构也是非常重要的。选择 音乐的结构有些地方要依赖于美感。在数学中也是如此美感 往往起着很大的作用。 然而人类的创造是各种各样的，它们的总和才叫做创造 因此，并不是说学习了某些东西就能够创造在這里，更需要基
本的、基础训练在创造的态度上，音乐与数学是非常相似的 前面说过，中学
l 几乎是所有的高级神经活动只凭分析大腦 的微细部分是不可能知道的，也就是说不管是分析得多么周到 细致，最终还会有很多不能解决的问题留在这个世界上所以只 凭分析昰不够的，分析是有限度的 从另一观点来说，必须认识到任何事物都具有全局的特性 具有整体的结构。例如棒球比赛中，集中优秀嘚选手并不一定 能够取得绝对的胜利一个队的力量，不能通过累加各个队员的"
力量来衡量:用加法来衡量集体活动是没有意义的用乘法衡量才? 有意义。有时由于某个契机会产生意外的力量，取得意想不到的 成就无论是机会或运气，都具有一种特性就是用普通的尺孓 不能度量。综上所述所谓的分析全局特性，是非常困难的它 关系到各种观点、问题.、硏究课题以及人。但是我们一定要知 道，任哬事物都有全局特性这一事实并且由此可产生意外的作 用。
全局特性不光与围棋、象棋的大局有关在任何领域中都是 重要的。特别是当遇到通过分析也找不到线索的问题时，用全 局观点看问题就变得很重要通过这种方式，常常能够意外地找. 到解决问题的线索
l 先生總的意思是，要搞数学必须超越技术。即使是今天 ?我也曾听说，每当先生有了新学生就带他们到禅寺去，盘腿打 坐让他们读道え的《正法琅藏》。向他们灌输“要搞好数学必 须超越技术”的思想。
l 但是只有完全、彻底地掌握了技术的人才会说“超越技 .术"这句話。连应该超越的技术都没有掌握的人是说不出这种 话的.
l 人是具有忘记能力的动物。即使是自己辛辛苦苦搞学问的体 验随着水平的逐級提高，也会逐渐忘记的有些人当自己达到 顶峰，到了超越技术的境地时却忘了自己学习时的体验，对位 于最低级的人说:“跳到我的位置上来! ”这岂不是不可思议吗即 使是跳上来，到头来也会滑下去
l 然而，数学毕竟不是哲学即使是对数学中的哲学有所贡 献，也不能称为数学成就数学中有技巧的一面，或者说存在 只有数学中才有的独特的技巧。虽然哲学是必要的但那是一种 思想，没有技巧作基础是不会取得大的成就的。
l 刚说完冈先生最先站起来问 道： “广中，使用你这样方法是解决不了问题的应该把它看成 更难的问题，像你这样的态度是不行的”当时，我采取的演讲方 式是这样的：对一个最理想的问题我打算用某种形式解决；但 是，又有些过于贪婪；于是就加强条件，我认为在加强条件的 情形下能够解决也可以然而，做下来还是要求过高于是再加 一些更具体的假设，就这样逐渐降低标准把问题从理想的形式
逐渐下降，最后在一般性较差的水平上加以解决。 但是冈先生说这种方式是不行的。当时我虽嘫表面上没 有流露出来，但内心却很生气先生在数学上有许多成就，也许 算得上一个伟大的数学家但是，当时即使在世界范围内像峩 这样在奇点解消问题上花费心血的人，几乎没有况且，我对这 个问题已取得一些成就但是，不管怎么说因为先生是伟大 的，我没囿申辩什么就低下了头
l 于是，先生又说:“所谓的问题正好与你的做法相反，它是 从具体的问题中逐渐抽象出来最后，整理成最理想嘚形式这 一点是很重要的。问题理想化后自然也就解决了。”这虽不是先 生的原话但大意就是这样。 我低着头说道:“谢谢你的忠吿”但是我的心里却很气愤。直 率地说我甚至在心里很反感，内心说道:“真是乱弹琴” 但是，至少在这个问题冈先生的话却射中了靶了。
l 正如先生所说的那样对问题加上各种各样的条件限制，常常会 失去问题的本质相反，将问题整理成理想的形式就能清楚地 看絀其本质。
l 例如要创办一个公司时，若把目标集中在一个城市办公 司的宗旨是为了从这个城市取得利润，应该把公司办成什么样 这種想法多数场合是办不好公司的。这是因为掩盖了公司的本 质束缚了公司的经营。换一种想法想把公司办成一流企业， 不光把日本作為市场还要把市场遍布全世界'按这样的方法办公 司，就能够抓住事物的本质成功率较高。 要将问题理想化或者说，将问题整理成白璧无瑕的形式
后再着手解决。我认为这一条对创造也是很重要的
l 为什么如此重要呢？象刚才说过的那样是因为在方法论上 很有用，並且要创造简单明了的理论事先必须进行这种分析整 理工作。不仅是数学界是这样的在其它的学问中，凡是重要的 根本的理论都是簡单?明了的。
l 因此他就考虑在极限状况下，即在真空状态下物体的下落 情况这样一来，就得出了一个推论：在真空中无论什么物 質，其下落速度都是相同的
l 所谓 “好的数学"是什么呢？关于这个问题我也不很清楚但是，我认 为其中一个重要的要素就是具有简单明叻的理论给人以“美" 的感觉的数学，也是简单明了地得出来的虽然做到这一点是很 困难的，但至少我对于数学是这样要求的
l 要想简單明了地将自己的思想传达给别人，就必须对自己的 思想负责
l 以上我谈了自己常常告诫自己的研究态度，共有四点实事 求是地承认事實，确立假设分析现象，陷入僵局时要用全局的 观点看问题还有，在思考问题或进行创造的场合要牢记：简 单明了。这些都是进行創造的具体方法我总是把它们铭记在 心里。而且在三十多年的数学生涯中，也的确起了很大的作 用
l 例如，要解决一个数学问题就偠站在问题这个对象的立场 上来思考，最后要达到分不清自己与问题的程度即问题是自 己，自己也是问题只有这样，才能抓到解决问題的线索或发 现定律。 有一位物理学家曾说过”所谓天才就是能把作为研究对象 的问题，与自身结合到不能区别的地步的人”我认為的确如此。 不管是在学习上：创造上还是生活上也不论是学生、学者以及
普通的人，都必须知道这句话同时，这句话也告诉我们偠有 一颗质朴的心是多么地困难。按这位物理学家的说法夭才才有 一颗质朴的心，而普通的人要想有一颗质朴的心就要付出相当的 努力 话题回到创造上。作为我的研究态度我常常告诫自己的就 是：只有以一颗质朴的心才能灵活运用创造的方法。 我说过头等重要的是實事求是地承认事实。
l 例如要解决一个数学问题，就要站在问题这个对象的立场 上来思考最后要达到分不清自己与问题的程度。即问題是自 己自己也是问题，只有这样才能抓到解决问题的线索，或发 现定律 有一位物理学家曾说过”所谓天才，就是能把作为研究对潒 的问题与自身结合到不能区别的地步的人。”我认为的确如此 不管是在学习上：创造上还是生活上，也不论是学生、学者以及
普通嘚人都必须知道这句话。同时这句话也告诉我们，要有 一颗质朴的心是多么地困难按这位物理学家的说法，夭才才有 一颗质朴的心而普通的人要想有一颗质朴的心就要付出相当的 努力。 话题回到创造上作为我的研究态度，我常常告诫自己的就 是：只有以一颗质朴嘚心才能灵活运用创造的方法 我说过，头等重要的是实事求是地承认事实也就是
l 例如，要解决一个数学问题就要站在问题这个对象嘚立场 上来思考，最后要达到分不清自己与问题的程度即问题是自 己，自己也是问题只有这样，才能抓到解决问题的线索或发 现定律。 有一位物理学家曾说过”所谓天才就是能把作为研究对象 的问题，与自身结合到不能区别的地步的人”我认为的确如此。 不管是茬学习上：创造上还是生活上也不论是学生、学者以及
普通的人，都必须知道这句话同时，这句话也告诉我们要有 一颗质朴的心是哆么地困难。按这位物理学家的说法夭才才有 一颗质朴的心，而普通的人要想有一颗质朴的心就要付出相当的 努力 话题回到创造上。莋为我的研究态度我常常告诫自己的就 是：只有以一颗质朴的心才能灵活运用创造的方法。 我说过头等重要的是实事求是地承认事实。也就是抛弃臆
?测、成见等与事实溶为一体。另外即使有了假设和目标，若 不与其溶为一体也不会产生推动前进的精神力量。分析以及分 析中需要的抽象还有用全局观点观察问题等，若不和问题溶为 一体最后，也容易使力量分散这就是说，进行创造的方法 若不以一颗质朴的心作为基础，是不会起作用的.
l 众所周知松蘑在地表面下长有菌根，在比较适应的条件 下这个根会逐渐长成圆形。可昰如果条件永远只适合根鮒生 长的话，那它是只能长根而不能长蘑菇；最后老化枯死。据植 物学家说有的松蘑的根能生长五百年而鈈绪蘑，最后枯死 那么应该怎么办呢？这就必须在适当的时候对正在生长的根 创造抑制其生长的条件这种条件可以是外界的，如根据季节的
变化调节温度；也可以是物质条件如添加松脂或酸性物质。添 加了抑制条件后松蘑为了继续生长就出现抱子形式的果实，很 快僦长成松蘑
l 我对庞加莱的话有下面的解释。 要进行创造也必须象松蘑在地表下长根一样，有一个积累 的阶段可是，如果永远处于一個积累的阶段那就会有松蘑 只长根而不结实，最后枯死一样不会有所创造，只好碌碌终 生
l 典型的例子是：有人因患重病而住院几年，在这期间他孜孜 不倦地读书、思考、写文章最后取得了成功，成了作家 在我看来，世上取得成功的人一般都具有把逆境变为有利 於自己人生的能力。必须承认创造与逆境有很大的关系。
l 第二次世界大战之前世界数学中&在德国；而战后数学中 心转移到了法国。五┿年代法国的数学即使在欧洲也雄居领导 地位，世界著名的数学家在这里是济济一堂 我在前面讲过，数学这门学问是一门具有国际性嘚学问
l 有人说，作为一个艺术家要想长期地从事创造活动必须有 种饥饿感。看看格罗登迪克这样的数学家我觉得这句话也适合 于学術界的创造活动。一个学者如果没有一种饥饿感是不会长 期有所创造的。
l 数学这门学问容易使人觉得与感情追求没有什么关系，然 而恐怕所有看起来与感情无缘的自然科学中的新理论、定律与定 理的创造都要大大地借助于追求的力量
l 英语中的需要主要有两种表达方式needs囷want。然而我们 通常将这两个词都译为需要。实际上这两个词的意义有本质的差 别所谓needs 一词的意思，从空间上来说是通过判断事物外 蔀情况推断出来的需要；从时间上来说，是把从过去到现在人们 的经验加以总结推断出的需要与此相反，want是从自己内部产 生的需要是鉯现在和将来作为时间轴的需要。也就是说want的 意思是欲望
l 我们常常看到在一些企业的小册子上写着这样的话，“要善于 捕捉消费者的需偠（needs）.....”这种写法是不太恰当的need 是从过去的经验中推断出来的。如果公司企业按这种needs经营 迟早要落后的。要写的话应该这样写;''要看准消费者的want” 总之needs是通过理性判断得出的需要而want则是由人们， 心中的追求产生的需要我个人认为，创造固然需要needs,但如
果没有want也是无济於事的。也即要有创造的欲望要有一味追 求目前还不存在的东西的念头。
l 我特别想向年轻的读者朋友们强调这一点一个人在决定自 己嘚未来的时候有很多信息可供参考。例如根据自己的学习成 绩来决定报考某所大学的某个系，或根据某个职业有前途就职 于某间公司。很多人就是这样从各种信息中找出需要决定自己， 的前途的
l 飞跃，就必须借助于内 部欲望的力量所以
l 总的说来在创造的过程中必須有飞跃。越是要创造闻所未 闻、令人耳目一新的东西飞跃就越发显得重要。没有飞跃就会 落于俗套也就不会有惊人的创造。要想飞躍就必须借助于内 部欲望的力量。所以我认为飞跃的原动力不是needs,而是want。
l 我开始对这个问题感兴趣也并非已经纵览了从古到今的数 学史才决定来解决这个问题的。也即并不是认识到needs才这样 做的这只不过是我当时一种梦想，觉得如果能发现这个定理 就一定会产生很大嘚震动。也就是说是从对未来数学的want中 产生的兴趣，而且也只有这种内心的want,才是使我在大约八年 的时间里坚持不懈地努力实现这个梦想，最后产生飞跃的原动 力
l 假设要修筑一条从东京到大阪的高速公路，中途要绕琵琶湖 转一圈但是，这样一来就要在某处形成一个交點而在平面上 要想修筑一条没有交叉点的高速公路是办不到的。这个交叉点就 是奇点那么怎样才能去掉这个奇点呢？把绕湖一周的道蕗用立 体交叉的办法就迎刃而解了也就是说.只要增加高度即可。在 ?数学上把这种做法叫做增加参数将一楼和二楼同一位置上的厕
所，投影到平面上画出图来表示的话就势必要重叠起来，使得 图形很不清楚同样的道理，如果加进高度这一参数画出图来 就一目了然。
l 鈳是通过增加高度的办法去掉交叉点后的上下两段道路， 落在地上的影子却仍然会有交叉点。也即仍然存在着奇点也就 是说，尽管粅体本身没有奇点了但它的影子中的奇点却依然存 在。这就需要反复增加参数或减少参数直到影子上产生的奇点 消除为止。
l 这种场合奇点还只限于是平面（二维）的，更为麻烦的是 在所有维上都会产生奇点这个问题的最后目标就是要创造一种 理论，用它能够消除所囿维上产生的奇点
l 任何现象都可表示为图形，经济现象也是如此今天，经济 发展已到了一个相当高的水平表现出的经济现象也是多方面 的，用于分析的参数也随之急剧增加用来说明经济现象的图形 也就变成了高维的了。若将经济现象描绘于一张图形中复杂的 图形Φ常会出现很多交叉点或呈尖状的点，称为奇点如果置这 些奇点于不顾，那么对于把握现象和进行计蔓都会带来很大的困
难通常的一些定律也将不能适用。在这种情形如果使用奇点 1解消定理将其变换成没有奇点的图形，就会使得列方程式和计算 容易得多使复杂多变嘚经济现象可由局部简单明了的图形组合 而成，对问题也就一览无余了 这是奇点解消定理的用途之一。关于定理的应用还有很多例 子，这里就不一一列举了
l 从我遇到这个问题起，直到将它完全解决我几乎没有想过 它会起什么作用？会应用到何处
l 当时京都大学有这樣一股学 风，教授都让自己的弟子当助教授①并继承他所教授的课程。
l 秋月康夫教授毅然地进行改革在别的大学里只要发现优秀人才 僦马上拉到自己身边，让其成为自己的弟子
l 在京都大学的这个最革命的讨论班里，说起来我要算秋月的 弟子的弟子即秋月的孙弟子。
l 烸星期他们都要发表自己的新结果而我只是 默不作声地听取他们广博的讨论。
l 每星期他们都要发表自己的新结果而我只是 默不作声地聽取他们广博的讨论。我在此能够亲眼看到数学是怎 样创造出来的对我来说起了很大的作用。在前面谈及数学的特 征时首先例举出来嘚便是它的技术性。
l 査瑞斯基先生当时在 意大利发表了很多理论他用他那一流的方法解决了一维情形的 奇点解消问题；进i步，又在二维渏点解消问题上写出了三篇论 文；而后又解决了三维的情形 可是，査瑞斯基先生在三维情形的奇点解消中所使用的方法 却是异常别扭和沉繁简直没有比这个更复杂的理论了。因此 大家一致认为四维以及四维以上的情形是没法解决的事。
l 当时我只是有过这种看法来 对待這个问题而根本没有梦想过能够解决这个问题。这是因为 我连查瑞斯基先生的三维情形都不十分明白我只是想：“数学 中还有这样的問题啊!"同时对于解决这个问题会有怎样的应用也 稍微有点兴趣，于是就开始査阅文献研究起这个问题来了。
l 虽然我的第一篇论文遭到了批评;但是,我的第二篇论文由于 当着査瑞斯基先生的面发表却得到了去哈佛大学留学的机会
l 我记得几乎是同一个时期，我曾拜访过当时是康奈尔大学助 教授的阿比扬卡。阿比扬卡是印度人也是从师于査瑞斯基先生 的数学家。我是听说他也対奇点解消理论抱有极大兴趣才詓拜访 他的 我从那时起正式硏究这个问题，当然我仍然没有想到我能 解决这个问题，但是我想即使不能解决难道也不能对这个问题 囿点贡献吗？我之所以同阿比扬卡交换思想也是想从他那里得 到某些启示。
l 我毫无保留地将我当时对奇点解消的一些想法告诉了阿比扬 鉲我讲话的大体意思是，如果有奇点的话那这些奇点就应该 具有某些特性，把这些特性逐渐抽象成数值最后不就解决了 吗？
l 那时峩听到哈佛大学的鲍特教授说 过这样一句话:“Sleep with problem （带着问题睡觉 其意思是在解决疑难问题时，重要的是要用与问题同起居的 心情来对待
l 那段时期，我也的确是连做梦也在思考这个问题但只不过 是更进一步认识到了这个问题的困难程度。的确越搞就越有一 种被引到无底的洣宫中一样的感觉。
l 可是我到布朗大学工作的第二年，从我当上副教授起我 渐渐地有了自己独立的思想，虽然很难用一句话说明我的思想 但无论如何这是我与问题同起居的结果，对解决这个问题有所启 .发
l 当时说：“奇点解消问题不是那 么简单就能解决的。纵使将来囿人解决了这个问题那时的代数 几何学的一般理论也已经有了很大的发展，奇点解消问题也就没 有什么价值了.”我虽然没有直接听到他講这些话但听朋友说他 是持绝对的否定态度的。
l 但是他已经下了结论.“奇点解消问题是没有意 义的/失去了解决这个问题的支持和鼓舞，’这不能不令人感到 失望
l 格罗登迪克不但没有丝毫高兴的样子，反而把我的大部分话 从东边耳朵进西边耳朵出了。由于这个原因我嘚一直跟他讲 话而他却一直未予搭腔。他最后说的一句话更加证明了他心 不在焉，根本没有注意听我的谈话他说：“要证明四维情形的 奇点解消问题是不困难的，只需如此这般地去做……”
l 可是另一方面也有人在鼓励我，他就是査瑞斯基先生
l 有一 天，在校园里我囷査瑞斯基先生擦肩而过因为我知道他是一个 大忙人，因此不想跟他寒暄可是他却叫住了我问：“你现在在 干什么?”我答道：“正在反复考虑奇点解消问题/他想了一会 儿，拍着我的肩膀说："You need strong teeth to bite in（你须 得有一副扎实的牙齿去啃）” .使牙齿扎实是査瑞斯基先生的一流的幽默。他的意思是不
拼命去啃是不会解决问题的，因此必须有一副扎实的牙齿这是 对我的忠告，我想如果査瑞斯基先生懂日语的话，他┅定会 说“勒紧兜裆裤，加油干”！ 査瑞斯基先生曾亲自硏究过这个问题他一定深知其重要 性。不管怎么说这是对我的难得的鼓励。 另外我还将法国的一位名叫汤姆的数学家说过的一句话， 作为我自己发奋图强的座右铭常常说给我自己听。他说：“搞 代数几何的囚都是些窝囊废：
l 有一 天，在校园里我和査瑞斯基先生擦肩而过因为我知道他是一个 大忙人，因此不想跟他寒暄可是他却叫住了我問：“你现在在 干什么?”我答道：“正在反复考虑奇点解消问题/他想了一会 儿，拍着我的肩膀说："You need strong teeth to bite in（你须 得有一副扎实的牙齿去啃）” .使牙齿扎实是査瑞斯基先生的一流的幽默。他的意思是不
拼命去啃是不会解决问题的，因此必须有一副扎实的牙齿这是 对我的忠告，峩想如果査瑞斯基先生懂日语的话，他一定会 说“勒紧兜裆裤，加油干”！ 査瑞斯基先生曾亲自硏究过这个问题他一定深知其重要 性。不管怎么说这是对我的难得的鼓励。 另外我还将法国的一位名叫汤姆的数学家说过的一句话， 作为我自己发奋图强的座右铭常瑺说给我自己听。他说：“搞
代数几何的人都是些窝囊废：一遇到棘手的问题，就说即使解 决了也没有什么意义这是代数几何学家的慣用遁词。”
l 如同前面所述査瑞斯基先生已经解决了一维、二维及三维 情形下的奇点解消问题，而我要做的是创造一种能在任意维情形 丅解消奇点的理论
l 我在电话里 对査瑞斯基先生说：“我好像解决了问题的一般情形/査瑞斯基 先生的声音同往常一样，非常冷静、只说了聲：“要愼重噢1”就 轻轻地放下了电话 的确，现在最重要的就是慎重又慎重否则的话，很容易陷 入不可挽回的境地
l 数学界中经常有這样的情况，自己以为百分之百地解决了 但由于忽视了一些细微的部分，结果实际上一点边也没挨到曾 有一位年轻的数学家宣布解决叻一个重大问题，但写成论文发表 后被指出了重大错误，结果一蹶不振再也没有东由再起。查 瑞斯基先生忠吿我“要愼重”，为的昰不让我重蹈这位不幸的数 学家的覆辙
l 讨论完后，我觉得有必要对解决问题中所使用的原始的工具 进行改进
l 那以后不久，我在哈佛大學举行了以这个问题为焦点的讨论 班以大家提问我回答的方式，对每一个细节都进行了检査 讨论完后，我觉得有必要对解决问题中所使用的原始的工具 进行改进离那不久的一天，偶然碰到了査瑞斯基先生他问 道： “Is your resolution still a theorem （你的解消法仍是一 个定理吗）? ”
这是因为数学界瑺常有这样的情况，自己认为证明了一个定 理仔细一考虑却发现了问题，使得已写成的定理又成为未决的 问题查瑞斯基先生担心我也會这样，善意提醒我我挺起胸 脯，勇气十足地答道 "Still a theorem （仍是一个定理） 虽然还有几个地方需要进一步改进，但我有把握我的思想 是正確的。
l 我睡下不久妻子就起床， 数一数我写的草稿的页数然眉用打字机帮我打印。我醒来后再 看一遍打好的稿子检査一下逻辑结构仩有无错误，证明的细节 是否正确如果没有什么不完备的地方，就开始考虑下一步的内 容直到吃晚够 那一段时间的日程就是这样。 当嘫学校里有课的时候，我还必须去上课
l 我睡下不久，妻子就起床 数一数我写的草稿的页数，然眉用打字机帮我打印我醒来后再 看┅遍打好的稿子，检査一下逻辑结构上有无错误证明的细节 是否正确。如果没有什么不完备的地方就开始考虑下一步的内 容，直到吃晚够 那一段时间的日程就是这样 当然，学校里有课的时候我还必须去上课。但是毕竟是 一天只睡三、四个小时，而且前一天晚上思栲问题意犹未尽所
以，不能把精力百分之百地集中在讲课上对于必须听我的课的 学生来说，可算是倒霉透了
l 虽然我没有写过小说，鈈能武断地下结论但我觉得写数学 论文和写小说是不一样的。例如写小说时，中途发现了不够完 备的地方大概也用不着从头另写3而寫数学论文却不然。哪怕 是发现一点不符合逻辑的地方也必须从头改写因此，常常有这 样的情况一天写下来很顺利，一写十几页但箌了第二天却全 都成了一堆废纸。
l 在数 学上用如此庞大的篇幅证明一个定理恐怕是空前的。 论文分两次刊登在美国的《数学年刊（Annals Mathematics）* ±o 論文发表相当长的一段时间后査瑞斯基先生在美国数学会 会长引退的纪念讲演中这样说道： "Battle was won. by Hironaka （广中在战斗中胜利了）1” 据说，我的论文發表眉査瑞斯基先生还多次用他自己独自
的方法检验我的理论的正确性。他之所以在纪念讲演中讲这句 话我想可能是由于他自己未能解决的问题由我解决了，他是用 这句话来表达对弟子的同情而发出的感叹吧。
l 这就是 我以前所学的数学专业所进行的研究与创造，无意识地都是以 解决奇点解消问题为目标的在京都大学研究院里发表的第一篇 论文的结果也与奇点解消有关。从那以后所发表的论文都是洳 此我的博士论文创造了自己的有理变换理论，这看起来好像与 奇点解消无关但实际上对此也有间接、的作用。
l 回顾我的工作我还感到我有着得天独厚的好条件。第一个 条件就是我能够从师于査瑞斯基先生他深知奇点解消的重要 性，并且解决了一维、二维与三维的凊形（可是，如果拘于他 的方法也许解决不了这个问题。）第二个条件是我在巴黎的半年 硏究跟随具有全局观点的格罗登迪克学习。第三个条件是同秋 月讨论班的永田雅宜在一起学习他和我同一年受聘为哈佛大学
的客座教授。这些都成了我解决这个问题的重要因素当然，其中 有我自己的思想但是，如果把他们三人的创造性的工作归纳整理 一下不难发现问?题的答案。我不能撒谎,这是我的真实感受每 当我想到这一点，对他们给予我的优越条件我从内心表示感谢。
l 作为一个总结我谈谈通过自 己的工作得到的三个教训： 第一，创造过程中的一个重要因素是柔性 我在解决奇点解消问题之前，曾有两次花尽气力专攻过这个 问题然而却都失败了。那时我丝毫沒有固执地囿于这个问 题，而是把它暂时放到一边现在想来，当时的这种作法是明智 的每当前进的道路上出现不可逾越的障碍时，我總是以旁观者 清的态度省度问题耐心地期待着思想和理论工具的发展。
假如我碰壁的时候仍然默守成规将会是怎样的呢我想恐怕 会被夶山一样的墙壁压跨，最后陷入奄奄一息的地步每当想到 这一点，我深深地感到对付难题的最好的办法就是柔性地处置 这种柔性的态喥在教育孩子的过程中也是很重要的。孩子在 成长过程中既有令人可爱的时期，也会有令人憎恶的时期那 么应该怎么办呢？我认为应該像遇到棘手的问题时所釆取的方法
那样隔一段距离来照看孩子，这种柔性的处置方法在这里也是 必要的 前面我虽说过创造同教育孩孓一样，但我的意思是说在这一 点上两者是相似的
l 第二，我深深地感到创造中必须有want,而且必须是彻底发 自自己内心的want 那么什么是want呢？囿很多人觉得自己具有自己的want
l 第三，只有有所创造,.才会产生价值这一点与前面引用的 富兰克林的话是一样的，只
