求子空间的维数和正交基单位化怎么求，麻烦讲详细一点

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-11-10 17:14 标签： 正交基单位化怎么求 
答案的前面部分我抠掉了,求出了a=2,A嘚特征值为1,2,5.特征向量分别为a1,a2,a3.那么直接令Q=(a1,a2,a3),那么直接就Q^-1AQ=对角阵啊?为什么还要把特征向量分别单位化呢?单位化到底是什么意思....
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  •  你的问题也许從几何方面解释会比较清楚一般情形求出的是仿射坐标系，对于实对称阵可以要求找到直角坐标系具体地：
取定3维欧氏空间V=R^3的一个基，则任一3级方阵A就对应V上的一个线性变换若取V的另一个基，则这个线性变换在新基下的矩阵B与A就是相似的即B=Q^{-1}AQ，其中Q是从原来的基到新基的过渡矩阵
     你的问题中，A有3个不同的特征值相当于要找3个特征向量（属于不同特征值的特征向量是线性无关的）做新基，求得的Q就能把A对角化这对任意矩阵都成立，几何上相当于换了一个仿射基底--不要求基向量之间正交、也不要求它们是单位向量
当A是实对称矩阵時，可以进一步要求新基构成直角坐标系即3个基向量互相正交，且均为单位向量
     由于在欧氏空间里，属于不同特征值的特征向量不仅線性无关而且还是正交的，所以你求出的a1,a2,a3已经两两正交的进一步单位化后，就构成一个新的直角坐标系了线性代数中通常把这样的基称作“标准正交基单位化怎么求”。换言之对于实对称阵A，可以要求找一个标准正交基单位化怎么求使A在这个基下的矩阵成对角形。
    如果A的特征值不是互不相同的那么对属于同一个特征值的不同特征向量还要用施密特正交化过程将它们正交化，然后再单位化
顺便說一句，这样最后得到的Q实际上是一个正交阵满足Q^{-1}=Q'。所以这时A不仅相似于一个对角阵并且也合同于对角阵。
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  • 矩阵A应是对称矩阵當对称矩阵A无重特征值时，其特征向量必然正交再单位化后，满足Q^TAQ=D(对角阵)可以避免求逆矩阵Q^(-1)。因正交矩阵满足 Q^T*Q=E
向量的单位化就是将姠量的模化为1.
 任意矩阵求对角化时，特征向量一般不去单位化一是因为任意矩阵不一定能对角化。二是即便能对角化特征向量只是线性无关，并不一定正交光单位化不能将矩阵Q化为正交矩阵，其对角化还必须求逆即 Q^(-1)AQ=D. 
 而实对称矩阵肯定能对角化，且不同特征值对应的特征向量正交仅作单位化即可；k重特征值的k个特征向量不一定正交，可先正交化再单位化正交矩阵使实对称矩阵对角化，即Q^TAQ=D计算转置比求逆简单得多。正交矩阵将实对称矩阵对角化即为二次型的主轴问题。
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  • 特征向量单位化后在点乘时可以立即得到一个矢量在特定方向上的投影。
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