前一节中我们主要讲了导数的定义和用定义求导数的方法.如果对每一个函数都要用定义去求它的导数，那就太麻烦了，尤其对于比较复杂的函数，用定义求它们的导数是非常困难的，甚至不可能.在这一节里，我们将介绍一些基本初等函数的导数公式以及一些求导法则，利用这些公式和法则就能比较方便地求得任意函数的导数了.

(一) 函数代数和的求导法则

即两个函数代数和的导数等于它们的导数的代数和。

　　这个公式可推广到有限多个函数的代数和的情况，即

（二）函数乘积的求导法则：

如果函数u(x)和ν(x)都在点x处可导，则函数y=uν在点x处也可导，且（uν）′=u′ν+uν′
　　即两个函数的乘积的导数，等于第一个因子的导数乘以第二个因子，再加上第一个因子乘以第二个因子的导数.
　　（注意：两个函数乘积的导数，并不等于两个函数的导数的乘积）
　　运用极限的运算法则
　 （∵ν可导，∴必是连续，因而当 时，
　　这个公式可以推广到有限多个函数的乘积的情况，即
　　 特例：若u=c为常数，因常数的导数为0，所以有
　　即常数因子可以提到导数符号之外.

（三）函数之商的求导法则： 　　　　

如果函数u(x)和ν(x)都在点x处可导，且ν(x)≠0,则函数在点x处也可导，且
　　即两函数u与ν之商的导数，等于（u′ν-uν′）除以ν的平方。
　 (注意：u与ν之商的导数，并不等于u与ν的导数之商)

　　　　　　　 （运用极限的运算法则）
　　 　　　　　　　=

特例：若u=c为常数，因常数的导数为0，所以有

例1. 求正切函数的导数

例2.求正割函数的导数

如果函数y=f(x)在某区间内连续且严格单调，又在该区间内点x处导数f′(x)存在且不为0，则其反函数 在对应点y处可导，且有
　　即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.

　　解：函数的反函数是
　　　　 　　　　　　　
　　这里因为cosy在( )内恒为正值，故根式前不取负号.
　　用类似的方法可求得反余弦函数的导数为

三、基本求导公式 　　　　

为了便于记忆和查阅，下面列出基本初等函数的导数公式表：
　　1. （c为常数）
　　2. 　　　 （ 为任意实数）

四、复合函数的求导法则

在讲复合函数的求导法则之前，我们先看一个例题：

　　在以上的计算过程中，采用了三角学中的倍角公式以及乘积的导数公式。以上的计算虽然是正确的，但是很麻烦.
　　如果题目改成求y=sin1000x的导数，用这个办法计算将十分困难，而如果用复合函数的求导法则计算则要简单得多 .

所谓复合函数的求导法则，就是把上面所给的函数y=sin2x看成是由两个函数y=sinu和u=2x复合而成的，其中u是中间变量，x是自变量。然后分别求出
　　再相乘即得所求函数的导数：
　　 一般地，有以下的复合函数的求导法则：
　　设函数y=f(u),又 ，即y是x的一个复合函数
　　如果函数在点x处有导数，而函数y=f(u)在对应的点u处有导数，则复合函数 在点x处也有导数，且
　　　　　　　　　　　　　　　 (1)
　　即复合函数对自变量x的导数，等于y对中间变量u的导数乘以中间变量u对自变量x的导数.

　　设自变量x取得改变量△x，中间变量u相应地有改变量△u，函数y相应地有改变量△y，即有
　　又因为当 时， ，且（函数u和y均可导，必定连续），上式两边取极限，并由极限的运算法则和两个函数导数存在的条件，可得
　　如果在某点x处，当时，△u＝0，则，而存在，所以 ，实际上此时必有 （∵ 时，△u＝0，∴△y＝0），因此公式也是正确的。所以上面的公式不论△u是否等于0，都是正确的.

上述法则可以推广到有限次复合的情况.
　　例如，设y=f(u)，，则复合函数对x的导数为
　　　 　　　　　　　　　(2)
　　其中u、ν为中间变量，x为自变量.
　　即复合函数对自变量x的导数，等于y对中间变量u的导数乘以中间变量u对另一中间变量ν的导数，再乘以中间变量ν对自变量x的导数.这就好象链条一样，一环扣一环，因此，(1)，(2)称为复合函数求导的链式法则.

　　解：设，u=tanν，，则
　　以上两个例题求导数时，我们写出了中间变量，实际上当计算熟练了以后，求导时可以不必写出中间变量，但要注意，对中间变量的求导决不能遗漏.

例4.证明：（为任意实数）
　　证 由对数性质有 ，故

用y=f(x)表示的函数叫做显函数，前面所讲的都是对显函数y=f(x)求导数的方法，下面讲隐函数的导数.我们先给出隐函数的定义，然后再介绍隐函数的求导法则.
　　定义：由二元方程F(x，y)=0所确定的y与x的函数关系称为隐函数。其中因变量y不一定能用自变量x直接表示出来.
　　例如：就表示一个隐函数，这个隐函数就不能写成（显函数）形式.

（二）隐函数的求导法则

求由方程F(x，y)=0所确定的隐函数的导数时，可以采用以下两个方法之一.
　　1.如果能从F(x，y)=0解出y=f(x)，则可以用以前显函数求导数的方法处理.不过这种方法有时用不上，因为有些隐函数是不能化成显函数y=f(x)的.
　　2.(1)将F(x，y)=0的两边各项分别对自变量x求导数.求导时要将y看成x的函数，将y的某个函数（例如y²）看成x的复合函数，用复合函数的求导法则求其导数.
　　(2)求导之后得到一个关于y′的方程，由此方程解出y′，即为所求隐函数的导数。由于隐函数往往解不出显式y=f(x)，所以在导数y′的表达式中允许保留y.

例1.求由方程（r为常数）所确定的隐函数的导数y′.
　　 解：由方程能提出y， 得显函数式
　　这实际上是两个函数：
　　　　 　　　　 （上半圆周）
　　　　 　　　　（下半圆周）
　　按复合函数求导法则计算，可得
　　另解：方程两边逐项分别对x求导数，于是有
　　　　　　（将y2看成x的复合函数）
　　注意：在后一种解法的结果中，只要将y用代入，即可得到解法一的结果.这说明两种解法的结果是相同的.
　　 以上两种解法中，显然第二种方法简单.

例2.求由方程y=x+lny所确定的隐函数的导数
　　解：方程两边各项分别对x求导数，得
　　即 (将lny看成x的复合函数)

例3.求曲线在x=0处的切线方程
　　解：首先将x=0代入方程，得 o+1=e^y
　　由上式解出 y=0
　　又方程两边各项对x求导数，得
　　由切线方程公式得所求切线方程为

例1.设，其中u，ν是x的函数且均可导，试求y的导数.
　　注意：这是一种特殊类型的函数，它既不是幂函数，也不是指数函数，称为幂指函数.具体地，如，等都是幂指函数.求幂指函数的导数时，既不能直接利用幂函数的导数公式计算，也不能直接利用指数函数的导数公式计算。我们可以利用对数求导法求其导数.
　　解：将函数式两边取自然对数，有
　　按隐函数求导法，上式两边对x求导数，得
　　另解：也可以将幂指数y=u^ν化为复合函数y=e^νlnu，用复合函数的求导法则求导数.
　　　　　　　　　　　　 ＝e^νlnu(νlnu)′
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　读者可以不必死记幂函数的导数公式，只要掌握对数求导法即可.
　　所谓对数求导法，就是先对所给的函数式两边取自然对数，再按隐函数的求导法则求导数.在某些情况下，利用对数求导法求导数，要比用通常的方法求导数方便一些.下面通过例题来说明这种方法.

　　解：本例虽然可以将所给函数看成是由和两个函数复合而成的，用复合函数求导法求其导数，但计算起来比较麻烦.而如果利用对数求导法求导数，则计算较为简便，具体解法如下：
　　将所给函数式的两边取自然对数，得
　　按隐函数求导法，上式两边对x求导数，有

　　解：（用对数求导法）将函数式两边取自然对数，得
　　上式两边对x求导数，有

在实际问题中，有时候函数y与自变量x是通过一个参变量（参数）t来表示的，即
　　　 　　　　　　　　　　　　　(1)
　　在(1)式中，由于x和y都是t的函数，x与y之间通过t发生联系，从而y与x之间也有函数关系.(1)式确定了y是x的函数，我们称(1)式为函数的参数方程.下面就来计算由参数方程(1)所确定的函数的导数.
　　设有连续的反函数，又与存在，且，则y可以看成是由函数y=ψ(t)和复合而成的复合函数.
　　于是由复合函数和反函数的求导法则，可得
　　这就是由参数方程(1)所确定的函数的导数公式.

例1.设参数方程为，求.

例2.设参数方程为，求.