手绘出的正十七边形会更有成就感吧～

这篇文章是一篇总结帖，总结一下绘制正十七边形的几种方法，也会对其中的作图过程写写我自己的思考。由于本人不懂数论，深层次的内涵无法挖掘，所以写这篇文章也仅仅是浅尝辄止，不敢在各位先驱大师面前造次。如有问题恳请各位大佬加以斧正，谢谢！

正十七边形是复方程 的解对应在在复平面上的点依次连结起来所得到的图形。我们首先设 ，从而这个方程变为：

这样的 个点均匀的分布在 平面上，我们将他们依次相连就可以得到一个正十七边形了。问题是这些点在复平面上并不容易找到。

一开始知道正十七边形还是通过 巨神，但巨神根本不会 这种级别的问题，他直接给出了尺规作图正多边形的充分条件：

尺规作图正多边形的边数的充分条件是2的非负整数次方乘以任意个（可为0个）不同的费马素数的积。

• 作图过程中所需要用到的几个几何引理

引理---1：加法原理

给定两条线段 ，做出两条线段之和。

做法：延长 ，并以 为半径，点 为圆心做一圆交 延长线于 ，

引理---2：减法原理

给定两条线段 ，做出两条线段之差。

以 为圆心， 为半径，做一圆交 于点 ， 即为所求。

引理---3：乘，除法原理

由于两个原理一样，我就只说明乘法原理，除法原理留给读者自行思考～

给定一个单位长度 ，线段

做法：乘法原理利用了三角形相似的原理，如下图所示： 。则有比值关系：

引理---4：开根运算原理

给定一个单位长度 ，线段 ,求做 。

做法：相信大家中学的时候都学过射影定理吧：

直角三角形斜边上的高长的平方等于斜边被该高分成的两部分的乘积。

射影定理可以利用相似性原理证得，各位可以自己证明一下。

如下图所示，以 的中点为圆心， 为半径做一圆。那么 这条直径若对应的圆周角一定为 。有两种解释方式：

1. 利用圆周角定理进行说明：同一段弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半。
2. 直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上。

所以三角形 为直角三角形， 为斜边上的高。从而，由射影定理得：

引理---5：中垂线做法

做法：以 为圆心，大于 为半径做一圆，再以 为圆心，同一半径做一圆，设两圆交于 。连接 并延长。直线 即为所求。

引理---6：两种垂线做法

引理---6.1：过直线上一点 做直线的垂线。

做法：过以点 为圆心，任意半径画一圆，与直线交于 两点，利用引理---5做线段 的中垂线即可。直线 即为所求。

引理---6.2：过直线外一点 做直线的垂线。

做法：过以点 为圆心，大于点 到直线的距离为半径做一圆，与直线交于 两点，利用引理---5做线段 的中垂线即可。直线 即为所求。

推论---6.2.1：过直线外一点 做与直线相切的圆。

做法：利用引理引理---6.2，找到垂足 ，并以 为半径做圆即可。圆 即所求。

引理---7：平行线做法

过直线外一点 做直线的平行线。

做法：利用引理---6.2做出该直线过 的垂线，设垂足为 。延长 ，以点 为圆心，半径小于 做一圆，与射线 交于 。然后利用引理---5做出线段 的中垂线即可。直线 即所求。

下面进入正题了------绘制正十七边形的几种方法

• 方法一：利用 总结的公式进行构建

所总结的关于 的余弦值公式为：

在开始作图之前我们需要先说明一下这个公式是怎么来的：

首先，我们先给出一个式子：

这个公式的简便理解方式还要感谢 ，Ta的话让我豁然开朗：

这些和可以看做是八个以这些值为实部的复数的实部的和，回想一个简单的例子，对于方程：

的解除了当 时的解在实轴正半轴之上外，剩下的两个解是关于实轴对称的，且很明显的是这三个解的和为 （这三个解首尾相连是一个正三角形）。

由于正十七边形具有对称性，所以我们延长下图中的 交线段 于点 ，则 是一条对称轴，把这条对称轴设置为复平面的实轴，则易知，上面 个点和下面 个点的实部之和为 （因为 个点的实部之和为零，而 的实部恰好是 ，因为在单位圆周上），则有对称性立即可得：

之后将上面的八个余弦值分为两组：

之后除了 之外还有 。

对于这里的 有读者提出了疑问，这个式子的得出真的没有简便方法了，就连 巨神也只能用积化和差进行计算了，下面是高斯手稿，里面的积化和差公式虽然模糊，但确实可以看见：

我也想了一个晚上，最后也是只能用积化和差公式进行计算了，基本想法是这样的：上面乘开共有 项，然后利用和差化积公式展开后共有 项，且 出现的次数可以使 。

这是韦达定理，那么它所对应的可能的一个二次方程是：

在将上面的 分为两部分

又是一个韦达定理，从而

而 是二次方程 的根。

这个方法作图一共分为三步：

• 线段 是一条单位长度的线段，即： 。过 做一条与线段 垂直的直线，并在这条垂线上确定点 ，使 。

提示：应用引理---1和6.1。这里需要注意的是由于 是线段，所以在使用引理---6.1的时候需要延长 ，为的是能找到左边的交点。

• 过点 做线段 的垂线，并在该垂线上找一点 ，使 。并做射线 。

提示：应用引理---1，---5（两次），---6.1。这里需要注意的是由于 是线段，所以在使用引理---6.1的时候需要延长 ，为的是能找到右边的交点。

• 以点 为圆心，做一个与线段 相切的圆。该圆与 相交于点 ，并记线段 的长度为 。

提示：应用引理---2和---6.2推论。

• 以 为圆心， 为半径画一个圆，记该圆与线段 交于点 ，与线段 交于点 。并连结 。再过点 做一条与 平行的直线，与线段 交于点 。则 的长度就是 。

提示：应用引理---7和---3中的乘法原理。

这一步中的乘法原理解释（后面可能还会碰到类似的问题，我就不再进行解释了，请大家自行思考～）：

• 以点 为起点，在右侧水平加上两个单位长度，加第一次的终点记为点 ，加第二次的终点即为点 。并以 的中点为圆心， 为半径做一半圆 。

提示：应用引理---1和---5。

• 过点 做直线 的垂线，并与半圆 交于点 。则 。并延长 ，并在延长线上取点 ，使得 。

提示：应用引理---1和---4。

至于 的长度我来简单说一下： 是直角三角形， 又是斜边上的高线，所以利用引理---4有：

提示：应用引理---5。

• 以 为半径画圆，交 与 ，在以 为半径交 的延长线于 。

• 连结 ，并过点 做 的平行线交 的延长线与点 。则

提示：应用引理---7和---3中的乘法原理。

• 线段 是一条单位长度的线段，即： 。过 做一条与线段 垂直的直线，并在这条垂线上确定点 ，使 。

提示：应用引理---1和6.1。这里需要注意的是由于 是线段，所以在使用引理---6.1的时候需要延长 ，为的是能找到左边的交点。

• 过点 做线段 的垂线，并在该垂线上找一点 ，使 。并做射线 。

提示：应用引理---1，---5（两次），---6.1。这里需要注意的是由于 是线段，所以在使用引理---6.1的时候需要延长 ，为的是能找到右边的交点。

• 以点 为圆心，做一个与线段 相切的圆。该圆与射线 相交于点 ，并记线段 的长度为 。

提示：应用引理---2和---6.2推论。

• 以 为圆心， 为半径画一个圆，记该圆与线段 的延长线交于点 ，与线段 的延长线交于点 。再过点 做一条与 平行的直线，与线段 的延长线交于点 。则 的长度就是 。

提示：应用引理---7和---3中的乘法原理。

• 以点 为起点，在右侧水平加上两个单位长度，加第一次的终点记为点 ，加第二次的终点即为点 。并以 的中点为圆心， 为半径做一半圆 。

提示：应用引理---1和---5。

• 过点 做直线 的垂线，并与半圆 交于点 。则 。并在 上取点 ，使得 。

提示：应用引理---1和---4。

• 取 的中点 ，并记 。

提示：应用引理---5。

3. 构建 和 的余弦值

• 延续第一步最后的图：以 为起点加上一个单位长度 。并记终点为 。

提示：应用引理---1。

• 以 为起点，并在 上减掉长度 并记之后的起点为 。并以 的中点为圆心， 为半径做一半圆 。

提示：应用引理---2和---5。

• 过点 做一条垂直于线段 的直线，并与半圆 交于点 。则

• 将 单独拿出来，并记做 。然后以 为起点，向右水平加上一个 并记终点为 。取 的中点为 ，则有几何关系和 公式可知，我们要找的大小：

提示：应用引理---1和---5。

• 以单位长度为半径做一个圆 ，并将水平半径与圆右侧的交点记为点 。然后以 为起点加上 ,然后过点 做 的垂线并与圆交于 ，连结 ，并在圆上截得等距的线段就可做出一个正十七边形了～

这个方法应该是最让人熟悉的方法，我原来看见过一个 就是用的这个方法做成的，我们来看看：

• 在已知直线上以 为圆心，任意长度为半径做一圆 。并与直线交于 两点，则线段 为圆 的一条直径
• 过点 做线段 的垂线，交圆于点 并连结 。

提示：应用引理---6.1。

• 在线段 上取 ,并做射线 。

提示：应用两次引理---5。

• 以 为圆心， 为半径做一个圆，与射线 交于 两点，交 与点 ，连结 。

提示：应用引理---5。

• 分别在 上取 ，并做射线 ,分别交线段 于点 。

提示：分别应用两次引理---5。

• 以 的中点为圆心， 为半径做一圆 ，与 的延长线交于点 。

提示：应用引理---5。

为圆心， 为半径做圆，分别交线段 为
• 分别过 做与线段 的垂线，并分别与圆交于 两点。

提示：分别应用引理---6.1。

• 连结 ,并作出线段 的中垂线交圆 于点 。以 为起点， 为半径做圆，与圆 交于 ，之后在圆周上以长度 截出 个等长圆周即可。

值得一说的是这个图如果真的手绘的话可能会有很大误差，这张是我失败了好多次才做出的一张误差没那么大的图。 必为其中两个顶点但是我的图中并不是...

• 在已知直线上做一圆 ，并且该圆与直线相交于 两点
• 过点 做线段 的垂线，并在上方取点 ，使 。

• 以 的中点为圆心， 为半径做一半圆 。

提示：应用引理---5。

• 连结 ,并以 为圆心， 为半径做一圆，与 的延长线交于点 。
• 分别平分 ，设中点分别为 ，连结 ，以 为圆心， 为半径做一圆，与 的延长线交于点 。

提示：分别应用引理---5。

• 过点 做线段 的垂线，并与上半圆交于点 。平分线段 ，并设中点为 。连结 ，并以 为圆心， 为半径做圆，与线段 交于点 。

• 以 的中点为圆心， 为半径做圆 ，并以 的中点为圆心， 为半径做圆

提示：分别应用引理---5。

• 过点 做已知直线的平行线，并与半圆 交于点 ，再过 做已知直线的垂线，垂足为 ，并以 为圆心， 为半径画圆，与下半圆 交于 。

• 以 为圆心， 为半径做圆，与下半圆 交于 ，线段 交于点 ,连结 并做其平分线，设中点为 ，连结 并延长，使其与下半圆 交于点 ，并在圆 上截得等距的弧 即可。

提示：应用引理---5。

无论上述哪种方法，都是先找到长度 和 （这也就是为何总是四等分直线的原因），也就是上面说过的辅助值 和 。再利用各个引理设法做出辅助长度 问题就解决了。难点是如何综合运用这些基本引理。

总结的那个公式万分重要！！！以及：

要是能够彻底理解上面的式子那这个问题就清澈很多了，为的就是利用韦达定理设法找到相对应的二次方程。这些之前都说过了，就不再赘述了。

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6、其所著的几何原本闻名于世，他的名字在20世纪以前一直是几何学的同义词。url=/url 高斯，CF(Gauss，Carl Friedrich)是德国数学家 ，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了着名的柯西积分定理。/url 托勒密