数列通项公式的求法_百度知道
数列通项公式的求法
提问者采纳
求数列的通项公式一般地有以下几个原则：1）如果已知的数列中有正有负，那么先确定正负号，一般用(-1)^n或(-1)^(n-1)来表示正负号
其中（-1）^n表示奇数项是负的情形，另一个表示奇数项是正的情形2）在确定正负号以后就不再考虑正负号，只要把剩下的求出通项即可。
如果给定的数列中即有整数又有分数，那么一定要把整数写成分数， 再分子分母分开求通项即可3）再给定的数列都是整数的时候，一般看看相邻两项之间的和或者差是否相同，
不同的话是不是有一定规律，如某个数的n次方等等
如果上面的也不行，那看看两都的差的数列的通项先求出来，再且累加法来求原来数列的通项即可。
提问者评价
需要验证，因为首项可能不符合通项公式。例如数列： (1) 4,2,3,4，……n (2) 3,4,8，……2^n
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出门在外也不愁浅谈求数列通项公式的几种方法（带例题） 10:44:00　阅读 次
数列知识是高考中的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点.故将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助.下面我就谈谈求数列通项公式的几种方法：
一、累差法
递推式为：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)
思路：:令n=1,2,&,n-1可得
a2-a1=f(1)
a3-a2=f(2)
a4-a3=f(3)
an-an-1=f(n-1)
将这个式子累加起来可得
an-a1=f(1)+f(2)+&+f(n-1)
∵f(n)可求和
∴an=a1+f(1)+f(2)+ &+f(n-1)
当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式
例1、已知数列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an
解： 令n=1,2,&,n-1可得
an-an-1=2n-1
将这个式子累加起来可得
an-a1=f(1)+f(2)+&+f(n-1)
∵f(n)可求和
∴an=a1+f(1)+f(2)+&+f(n-1)
当n=1时,a1适合上式
二、累商法
递推式为：an+1=f(n)an（f(n)要可求积）
思路：令n=1,2, &,n-1可得
a2/a1=f(1)
a3/a2=f(2)
a4/a3=f(3)
an/an-1=f(n-1)
将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) &f(n-1)
∵f(n)可求积
∴an=a1f(1)f(2) &f(n-1)
当然我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式
例2、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an
解： 令n=1,2, &,n-1可得
a2/a1=f(1)
a3/a2=f(2)
a4/a3=f(3)
an/an-1=f(n-1)
将这个式子相乘后可得an/a1=2/1&3/24&/3&&&n/(n-1)
当n=1时，an也适合上式
∴an=2n
1、递推关系式为an+1=pan+q (p,q为常数)
思路：设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)
故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)
构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)
bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}为等比数列.
故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an
例3、(06重庆)数列{an}中,对于n&1(n&N)有an=2an-1+3,求an
解：设递推式可化为an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3
故可将递推式化为an+3=2(an-1+3)
构造数列{bn},bn=an+3
bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}为等比数列且公比为3
bn=bn-1&3,bn=an+3
an+3=4&3n-1,an=4&3n-1-1
2、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)
思路：在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1得
an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q
构造数列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q
故可利用上类型的解法得到bn=f(n)
再将代入上式即可得an
例4、数列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an
解： 在an+1=(1/3)an+(1/2)n两边同时除以(1/2)n+1得
2n+1an+1=(2/3)&2nan+1
构造数列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1
故可利用上类型解法解得bn=3-2&(2/3)n
2nan=3-2&(2/3)n
an=3&(1/2)n-2&(1/3)n
3、递推式为：an+2=pan+1+qan（p,q为常数）
思路：设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)
也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=p,xy= -q
解得x,y，于是｛bn｝就是公比为y的等比数列（其中bn=an+1-xan）
这样就转化为前面讲过的类型了．
例5、已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)&an+1+(1/3)&an,求an
解：设an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)
也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=2/3,xy= -1/3
可取x=1,y= -1/3
构造数列｛bn｝，bn=an+1-an
故数列｛bn｝是公比为-1/3的等比数列
即bn=b1(-1/3)n-1
b1=a2-a1=2-1=1
bn=(-1/3)n-1
an+1-an=(-1/3)n-1
故我们可以利用上一类型的解法求得an=1+3/4&[1-(-1/3)n-1](n&N*)
四、利用sn和n、an的关系求an
1、利用sn和n的关系求an
思路：当n=1时，an=sn
当n&2 时, an=sn-sn-1
例6、已知数列前项和s=n2+1,求{an}的通项公式.
解：当n=1时，an=sn＝2
当n&2 时, an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1
而n=1时，a1=2不适合上式
∴当n=1时，an=2
当n&2 时, an=2n-1
2、利用sn和an的关系求an
思路：利用an=sn-sn-1可以得到递推关系式，这样我们就可以利用前面讲过的方法求解
例７、在数列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an
解：即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)
∴｛an｝是以２为公比的等比数列
∴an=a1&2n-1= -3&2n-1
五、用不完全归纳法猜想,用数学归纳法证明.
思路:由已知条件先求出数列前几项，由此归纳猜想出an，再用数学归纳法证明
例8、(2002全国高考)已知数列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an
解：由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6
由此猜想an=n+1，下用数学归纳法证明：
当n=1时，左边＝2，右边＝2，左边＝右边
即当n=1时命题成立
假设当n=k时，命题成立，即ak=k+1
则 ak+1=a2k-kak+1
=(k+1)2-k(k+1)+1
=k2+2k+1-k2-2k+1
∴当n=k+1时，命题也成立．
综合(1),(2),对于任意正整数有an=n+1成立
即an=n+1推荐给好友：【】
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求数列的通项公式的方法
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构造法求数列的通项公式 在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 供参考。 1、构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法. 例1
设各项均为正数的数列 的前n项和为Sn，对于任意正整数n，都有等式： 成立，求 的通项an. 解： ，
，∵ ，∴ .
即 是以2为公差的等差数列，且 .
数列 中前n项的和 ，求数列的通项公式 . 解：∵
当n≥2时， 令 ，则 ，且
是以 为公比的等比数列，
∴ . 2、构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式. 例3
设 是首项为1的正项数列，且 ，（n∈N*），求数列的通项公式an. 解：由题设得 .
∵ ， ，∴ . ∴ . 例4
数列 中， ，且 ，（n∈N*），求通项公式an. 解：∵ ∴ （n∈N*） 3、构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 例5
数列 中， ，前n项的和 ，求 . 解：
4、构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决. 例6
设正项数列 满足 ， （n≥2）.求数列 的通项公式. 解：两边取对数得： ， ，设 ，则
是以2为公比的等比数列， .
， ， ， ∴
在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。 　　求数列通项公式常用以下几种方法： 　　一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。 　　例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。 　　解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。 　　二、已知数列的前n项和，用公式 　　S1 (n=1) 　　Sn-Sn-1 (n2)
　　例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5 　　(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 　　解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5&2k-10&8 ∴k=8 选 (B)
　　此类题在解时要注意考虑n=1的情况。 　　三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。 　　例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。 　　解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，Sn= -， 　　再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以， 　　- (n=1) 　　- (n2) 　　四、用累加、累积的方法求通项公式 　　对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。 　　例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式 　　解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0 　　又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴ -=-， 　　又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*) 五、用构造数列方法求通项公式 　　题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。 　　例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
　　(1)求{an}通项公式 (2)略 　　解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--) 　　∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。 　　由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-
　　又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。 　　证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数) 　　由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1， 　　所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。 　　若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。 　　又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略 　　解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
　　解题方略
八种求数列通项公式的方法 一、公式法例1
已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，所以数列 的通项公式为 。评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式。二、累加法例2
已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。解：由 得 则所以数列 的通项公式为 。评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。例3
已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。解：由 得 则所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。例4
已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。解： 两边除以 ，得 ，则 ，故因此 ，则 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。三、累乘法例5
已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。解：因为 ，所以 ，则 ，故 所以数列 的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。例6已知数列 满足 ，求 的通项公式。解：因为
②用②式－①式得 则 故 所以
③由 ， ，则 ，又知 ，则 ，代入③得 。所以， 的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，从而可得当 的表达式，最后再求出数列 的通项公式。四、待定系数法例7
已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。解：设
④将 代入④式，得 ，等式两边消去 ，得 ，两边除以 ，得 代入④式得
⑤由 及⑤式得 ，则 ，则数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，则 ，故 。评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。例8
已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。解：设
⑥将 代入⑥式，得整理得 。令 ，则 ，代入⑥式得
⑦由 及⑦式，得 ，则 ，故数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列，因此 ，则 。评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。例9
已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。解：设
⑧将 代入⑧式，得，则等式两边消去 ，得 ，解方程组 ，则 ，代入⑧式，得
⑨由 及⑨式，得 则 ，故数列 为以 为首项，以2为公比的等比数列，因此 ，则 。评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。五、对数变换法例10
已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得
11将⑩式代入11式，得 ，两边消去 并整理，得 ，则，故 代入11式，得
12由 及12式，得 ，则 ，所以数列 是以 为首项，以5为公比的等比数列，则 ，因此 则 。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。六、迭代法例11
已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。解：因为 ，所以 又 ，所以数列 的通项公式为 。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 两边取常用对数得 ，即 ，再由累乘法可推知 ，从而 。七、数学归纳法例12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。解：由 及 ，得由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当 时， ，所以等式成立。（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，由此可知，当 时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何 都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。解：令 ，则 故 ，代入 得即 因为 ，故 则 ，即 ，可化为 ，所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此 ，则 ，即 ，得。评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。
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