已知a、b、c分别是三角形ABC中角A、B、C的对边,且a2+c2-b2=ac求角B的大小若c=3a,求tanA的值_百度知道
已知a、b、c分别是三角形ABC中角A、B、C的对边,且a2+c2-b2=ac求角B的大小若c=3a,求tanA的值
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2;2)cosA3sinA-(1/(5/2)sinA=(√3/32;2)cosA(5/cosA=(√3/2ac=1/2)cosAsinA&#47. cosB=(a^+c^-b^)&#471.0＜B＜π. c=3a3sinA=sinC=sin(A+B)=sin(A+60)=sinAcos60+cosAsin60=(sinA)/2)tanA=√3/2)sinA=(√3&#47,B=π/2)/2+(√3/2ac=ac&#47
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在三角形ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，已知b2+c2-a2=bc.求角A的大小
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π2)，又因为A∈(0：（1）因为b2+c2-a2=bc，所以A=π3，所以cosA=b2+c2-a22bc=12
在三角形ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，已知b2+c2=a2+bc,求角A的大小
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出门在外也不愁解斜三角形
∴A＝60°．
2．已知△ABC中，a＝10，b＝5， A＝45°，则B等于（　　）
A．60°&&&&& &&&&&& B．120°&&&& &&&&&& C．30°&&&&& &&&&&& D．60°或120°
【解析】，∴．
∴B＝60°或120°．
3．在△ABC中，若sinBsinC＝，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．直角三角形
C．等边三角形&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．等腰直角三角形
【解析】由sinBsinC＝得sinBsinC＝
∴2sinBsinC＝1－cos(B＋C)＝1－cosBcosC＋sinBsinC
∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1
∴B－C＝0，即B＝C．
4．△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝_____．
【解析】由b＝2a得sinB＝2sinA，又B＝A＋60°
∴sin(A＋60°)＝2sinA
∴sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA
∴sinA＝cosA，∴tanA＝
又0°＜A＜180°，∴A＝30°．
【答案】30°
5．△ABC中，若，则△ABC的形状为_____．
【解析】由得，
又sinA≠0，sinB≠0，
∴，∴sin2A＝sin2B
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°
∴A＝B或A＋B＝90°
【答案】等腰三角形或直角三角形
，求c的长度．
【分析】∵a＝4，b＝5，∴要求c的长度，只需求∠C，故可由S＝5求∠C．
【解】∵a＝4，b＝5，S＝absinC＝5
∴sinC＝，于是C＝60°或120°
∴又c2＝a2＋b2－2abcosC
∴当C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab＝21，故c＝；
当c＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab＝61，故c＝．
故c的长度为或．
【评述】本题主要考查三角形的面积计算公式和余弦定理．这是解三角形的一个基本内容．
［例2］在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A、C及边c．
【分析】这是已知两边和其中一边的对角解三角形问题，运用正弦定理可解，但需对解的情况加以讨论．
【解】由正弦定理，得：
∵B＝4５°＜90°且b＜a，
∴有两解A＝60°或A＝120°
(1)当A＝60°时，C＝1８0°－(A＋B)＝75°
(2)当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°
【注】已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先必须判明是否有解?如果有解，是一解还是二解?
［例3］在△ABC中， A、B、C成等差数列，b＝1，求证：1＜a＋c≤2．
【分析】要证1＜a＋c≤2， 只需求a＋c的取值范围，而已知B＝60°，A＋C＝120°，故可用正弦定理把a＋c转化成用A、C表示，b＝1，B＝60°，也可由余弦定理转化出关于a＋c的等量关系式．
【证法一】由正弦定理：得
［sinA＋sin(120°－A)］＝2sin(A＋30°)
∵0°＜A＜120°，∴30°＜A＋30°＜150° ∴1＜2sin(A＋30°)≤2．
【证法二】∵B＝60°，b＝1
∴a2＋c2－b2＝2accos60°
∴a2＋c2－1＝ac，∴a2＋c2－ac＝1
∴(a＋c)2＋3(a－c)2＝4
∴(a＋c)2＝4－3(a－c)2
∵0≤a－c＜1
∴0≤3(a－c)2＜3
∴4－3(a－c)2≤4
即(a＋c)2≤4
∴a＋c≤2，又a＋c＞1&&& ∴1＜a＋c≤2
【评述】边角互化是解三角形问题常用的手段．
［例4］在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c．
【分析】由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然使我们联想到正弦定理、余弦定理．
【证法一】由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA．&&& b2＝a2＋c2－2accosB
∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB
依正弦定理有．
【证法二】由正弦定理得：
［例5］如图5—9所示，有两条相交成60°角的直路xx′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox、Oy上，起初甲离O点3
km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行．
和t＞两种情况讨论，最后统一成一种表达式．
【解】(1)设甲、乙两人最初的位置是A、B
则||2＝||2＋||2－2||·||·cos60°
＝32＋12－2×3×1×＝7．
∴｜｜＝ (km)
(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则｜｜＝4t，||＝4t
当0≤t≤时，||2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2·(3－4t)·(1＋4t)·cos60°
当t＞时，||2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2(4t－3)(1＋4t)·cos120°
注意到，上面两式实际上是统一的，所以
||2＝4８t2－24t＋7
(3)∵||2＝4８(t－)2＋4
∴当t＝小时时，即在第15分钟末，PQ最短，最短距离是2 km．
，则△ABC是（　　）
A．等边三角形
B．有一个内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个内角是30°的等腰三角形
【解析】由得
∴B＝C＝45°
2．△ABC中，已知∠A＝120°，且，则sinC等于（　　）
A． &&&&& &&& B．&&&&&&&&&&& C． &&&&& &&& D．
【解析】设AC＝2x，则AB＝3x
∴BC2＝9x2＋4x2－12x2·cos120°＝19x2
3．在△ABC中，若∠C＝60°，则＝_____．
【解析】&&& (*)
∵∠C＝60°，∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab
∴a2＋b2＝ab＋c2．
代入(*)得＝1．
4．已知△ABC的两边b、c及∠A．则∠A的平分线AD的长为_____．
【解析】设AD＝x，BD＝m，DC＝n，则有
m2＝x2＋c2－2cxcos；
n2＝x2＋b2－2bxcos．
当b≠c时(b＋c)x＝2bc·cos
当b＝c时， x＝b·cos
5．在△ABC中，已知b＝a(－1)，C＝30°，求A、B．
【解】由余弦定理cosC＝cos30°＝，
用已知条件把这个式子变形为
a2＋a2(4－2)－c2＝a2(－1)
∴c2＝(2－)a2
由正弦定理：，
∴sinB＝sin30°＝
∵a＞b，∴A＞B，从而B必须是锐角，即B＝4５°，
∴A＝180°－(45°＋30°)＝105°
6．已知△ABC中，2 (sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，外接圆半径为．
(1)求∠C；(2)求△ABC面积的最大值．
【解】(1)由2 (sin2A－sin2C)＝(a－b)·sinB得2
∴a2－c2＝ab－b2，∴a2＋b2－c2＝ab
∴cosC＝，又0°＜C＜180°
＝2sinAsin(120°－A)
＝2sinA(sin120°cosA－cos120°sinA)
＝3sinAcosA＋sin2A＝sin2A－cos2A＋＝sin(2A－30°)＋
∴当2A＝120°即A＝60°时，Smax＝
absinC＝bcsinA＝acsinB；
S△＝ (称海伦公式)，这里，即周长的一半，r为内切圆半径；S△＝，其中R为外接圆半径．
3．解三角形是重要的测量手段，要培养学生实际操作能力．
的取值范围．
【解】∵b2＝ac，∴cosB＝，
∵＜B＋≤π，∴＜sin(B＋)≤1
二、思维诊断
实数p、q应满足怎样的条件才能使方程x2＋px＋q＝0的两根成为一直角三角形两锐角的正弦？
［常见误解］设A、B是直角三角形的两锐角，则sinB=cosA且sinA，sinB＝cosA是方程x2＋px＋q＝0的两根．∴sinA＋cosA＝－p&&&&&&&& ①
sinAcosA＝q&&&&&&&&&&&& ②
①2－2·②得1＋2q＝p2
∵A为锐角，∴0＜sinA＜1，0＜cosA＜1， ∴0＜sinA＋cosA＜2，0＜sinAcosA＜1．
∴－2＜p＜0，0＜q＜1
∴p、q应满足－2＜p＜0，0＜q＜1且1＋2q＝p2时，才能使方程x2＋px＋q＝0的两根成为一直角三角形两锐角的正弦．
［错因分析］sinA、cosA是两个相关联的量，sinA＋cosA的范围不等于它们范围的和，sinA·cosA的范围也不等于它们范围之积．－p＝sinA＋cosA＝sin(A＋)
∵0＜A＜，∴＜A＋＜π，
∴1＜sin(A＋)≤，∴≤p＜－1
q＝sinAcosA＝sin2A，∴0＜q≤创意法教育课题学案：余弦定理
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创意法教育课题学案：余弦定理
&&&热&&&&&
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创意法教育课题学案：余弦定理
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●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运 用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
例2. 在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和
变式演练2.在中，若，求角.
A直角三角形 B锐角三角形C等腰三角形D等边三角形
（）已知，，是△三边之长，若满足等式＋－＋＋＝，
则角的大小为(　　
A．B．C．D．
（）若△的三个内角满足∶∶＝∶∶，则△　　
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
（2）已知△三边满足＋＝－，则此三角形的最大内角为．
由正弦定理得：
变式演练2∵三边中最大，∴其所对角最大，
根据余弦定理：，
故中的最大角是.
变式演练2【答案】∵， ∴
(2)解析：由＋－＋＋＝得＋－＝＝＋＋＝＋－
∴＝－，＝
(3)解析：∵∶∶＝∶∶
∴∶∶＝∶∶
设＝，＝，＝，
则＝＝＝－＜，
∴为钝角．
（1）钝角三角形，直角三角形，锐角三角形
（2）解析：∵＋－＝－，
∴＝＝－，
故＝为三角形的最大内角．
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在三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知b2+c2=a2+bc,求角A的大小
余弦定理有:cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=1/2角A为三角形内角,可得A=60°