（2009o重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）已知三点，可用待定系数法求出二次函数解析式；（2）关键在于正确作出旋转后的图形，结合几何知识，利用数形结合的思想求解；（3）应当明确△PCG构成等腰三角形有三种情况，逐一讨论求解，要求思维的完备性．
解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，∴AD=BC．AD=2．∴E（0，1）．（1分）设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．将点E的坐标代入，得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入，得（2分）解这个方程组，得故抛物线的解析式为y=-x2+x+1；（3分）（2）EF=2GO成立．（4分）∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为，∴点M的纵坐标为．（5分）设DM的解析式为y=kx+b1（k≠0），将点D、M的坐标分别代入，得1=265k+b1=125，解得1=3∴DM的解析式为y=-x+3．（6分）∴F（0，3），EF=2．（7分）过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK．∵∠ADK=∠FDG=90°，∴∠FDA=∠GDK．又∵∠FAD=∠GKD=90°，∴△DAF≌△DKG．∴KG=AF=1．∴GO=1．（8分）∴EF=2GO；（3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2）．∴PG2=（t-1）2+22，PC2=（3-t）2+22，GC=2．①PG=PC，则（t-1）2+22=（3-t）2+22，解得t=2．∴P（2，2），此时点Q与点P重合，∴Q（2，2）．（9分）②若PG=GC，则（t-1）2+22=22，解得t=1，∴P（1，2），此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，∴点Q的纵坐标为，∴Q（1，）．（10分）③若PC=GC，则（3-t）2+22=22，解得t=3，∴P（3，2），此时PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形．过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，∴Q（h+1，h）．∴（h+1）2+（h+1）+1=h．解得h1=，h2=-2（舍去）．∴Q（，）．（12分）综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60&后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．-乐乐课堂
& 二次函数综合题知识点 & “如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABO...”习题详情
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如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60&后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．&
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2012-辽宁省营口市中考数学模拟试卷（三）
分析与解答
习题“如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60&后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应...”的分析与解答如下所示：
（1）点E在y轴上理由如下：连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，∵AB=1，BO=，∴AO=2∴sin∠AOB=，∴∠AOB=30&由题意可知：∠AOE=60&∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30&+60&=90&∵点B在x轴上，∴点E在y轴上．（2）过点D作DM⊥x轴于点M，∵OD=1，∠DOM=30&∴在Rt△DOM中，DM=，OM=∵点D在第一象限，∴点D的坐标为由（1）知EO=AO=2，点E在y轴的正半轴上∴点E的坐标为（0，2）∴点A的坐标为（-，1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点E，∴c=2由题意，将A（-，1），D（，）代入y=ax2+bx+2中，得解得∴所求抛物线表达式为：y=-x2-x+2（3）存在符合条件的点P，点Q．理由如下：∵矩形ABOC的面积=ABoBO=∴以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为．由题意可知OB为此平行四边形一边，又∵OB=∴OB边上的高为2依题意设点P的坐标为（m，2）∵点P在抛物线y=-x2-x+2上∴-m2-m+2=2解得，m1=0，m2=-∴P1（0，2），P2（-，2）∵以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ∥OB，PQ=OB=，∴当点P1的坐标为（0，2）时，点Q的坐标分别为Q1（-，2），Q2（，2）；当点P2的坐标为（-，2）时，点Q的坐标分别为Q3（-，2），Q4（，2）．
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如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60&后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，...
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经过分析，习题“如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60&后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60&后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应...”相似的题目：
[2002o广州o模拟]直线y=x与抛物线y=x2-2的两个交点的坐标分别是（　　）（2，2），（1，1）（2，2），（-1，-1）（-2，-2），（1，1）（-2，-2），（-l，-1）
[2015o乐乐课堂o练习]直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是（　　）（1，3）（-2，0）（1，3）或（-2，0）以上都不是
[2015o乐乐课堂o练习]直线y=2x-1与抛物线y=x2的交点坐标是（　　）（0，0），（1，1）（1，1）（0，1），（1，0）（0，-1），（-1，0）
“如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABO...”的最新评论
该知识点好题
1（2013o淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（　　）
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（　　）
该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）
2（2012o静海县二模）如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60&后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60&后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．”相似的习题。根据折叠的性质可知:,,那么可在直角三角形中,用勾股定理求出的长,进而可求出的长,也就得出了点的坐标.在直角三角形中,长已经求出,,,用勾股定理即可求出的长,也就求出了点的坐标.很显然四边形是个矩形,可用时间表示出,的长,然后根据相似三角形和求出的长,进而可根据矩形的面积公式得出,的函数关系式,根据函数的性质即可得出的最大值及对应的的值.本题要分两种情况进行讨论:时,此时为三角形的中位线,那么,据此可求出的值,过作于,那么也是三角形的中位线,点的横坐标为点横坐标的一半,纵坐标为点纵坐标的一半.由此可求出的坐标.当时,先在直角三角形中求出斜边的长,然后根据相似三角形和来求出,的长,也就能求出的值.根据折叠的性质,此时,,也就求出了的坐标.
依题意可知,折痕是四边形的对称轴,在中,,...点坐标为.在中,,又..解得:.点坐标为.如图,.,又知,,,,又.而显然四边形为矩形.矩形;四边形,又.当时,矩形有最大值.若以为等腰三角形的底,则(如图)在中,,,为的中点,.又,为的中点.过点作,垂足为,则是的中位线,,,当时,,为等腰三角形.此时点坐标为.若以为等腰三角形的腰,则(如图)在中,.过点作,垂足为.,..,.,,当时,,此时点坐标为.综合可知,或时,以,,为顶点的三角形为等腰三角形,相应点的坐标为或.
本题主要考查了矩形的性质,勾股定理,图形的翻折变换,相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用等知识点,综合性较强.
3830@@3@@@@二次函数综合题@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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求解答 学习搜索引擎 | 如图1,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.(1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标;(2)如图2,若AE上有一动点P(不与A,E重合)自A点沿AE方向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为t秒(0<t<5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式;当t取何值时,s有最大值,最大值是多少?(3)在(2)的条件下,当t为何值时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M的坐标?吴老师30日19点直播汽化和液化
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=
，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）点E在y轴上理由如下：连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，∵AB=1，BO=
，∴AO=2∴sin∠AOB=
，∴∠AOB=30°由题意可知：∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°∵点B在x轴上，∴点E在y轴上．（2）过点D作DM⊥x轴于点M，∵OD=1，∠DOM=30°∴在Rt△DOM中，DM=
∵点D在第一象限，∴点D的坐标为(
)由（1）知EO=AO=2，点E在y轴的正半轴上∴点E的坐标为（0，2）∴点A的坐标为（-
，1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点E，∴c=2由题意，将A（-
，1），D（
）代入y=ax2+bx+2中，得
∴所求抛物线表达式为：y=-
x+2（3）存在符合条件的点P，点Q．理由如下：∵矩形ABOC的面积=ABoBO=
∴以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为2
．由题意可知OB为此平行四边形一边，又∵OB=
∴OB边上的高为2依题意设点P的坐标为（m，2）∵点P在抛物线y=-
m+2=2解得，m1=0，m2=-
∴P1（0，2），P2（-
，2）∵以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ∥OB，PQ=OB=
，∴当点P1的坐标为（0，2）时，点Q的坐标分别为Q1（-
，2），Q2（
，2）；当点P2的坐标为（-
，2）时，点Q的坐标分别为Q3（-
，2），Q4（
如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D。（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
（本题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得矩形EFOD. 点A的对应点为点E，点B的对应点为F，点C的对应点为点D. 抛物线过点A、E、D.小题1:(1) 判断点E是否在y轴上，并说明理由；小题2:（2）求抛物线的解析式；小题3:（3）在x 轴的上方是否存在点P、Q，使以点O、B、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC的面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，求P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由。
如图所示，面积为8 的矩形ABOC 的边OB、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=的图象上，且AC =2。(1)求反比例函数y=的解析式；(2)已知矩形FBDE与矩形ABOC全等，边BF在x 轴的正半轴上，BD在线段BA 上，反比例函数的图象交DE于M点，交EF于N点，连接MN，求△MEN的面积。
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