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设{An}是一个公差不为零的等差数列,它的前10项和S=110,且a1,a2,a4 成等比数列.
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设{An}是一个公差不为零的等差数列，它的前10项和S=110，且a1,a2,a4 成等比数列。
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S10=10a1+10*9d/2=110.......(1)a2^2=a1a4即(a1+d)^2=a1(a1+3d).......(2)解(1)和(2)得:a1=d=2an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2nBn=n(2^(2n)=n*4^n设{Bn}的前n项和为TnTn=1*4^1+2*4^2+3*4^3+...+n*4^n4Tn=
1*4^2+2*4^3+...+(n-1)*4^n+n*4^(n+1)相减:-3Tn=1*4^1+4^2+4^3+...+4^n-n*4^(n+1)-3Tn=4(4^n-1)/3-n*4^(n+1)Tn=[(3n-1)4^(n+1)+4]/9
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2012届高考数学数列第一轮基础知识点复习教案
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
2012届高考数学数列第一轮基础知识点复习教案
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
第六编&&& 数列§6.1& 数列的概念及简单表示法 1.下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的是&&&&&& （填序号）.答案& ①③2.设an=-n2+10n+11，则数列{an}从首项到第&&&&&&&& 项的和最大.答案& 10或113.(;安徽文，15)在数列{an}中,an=4n- ,a1+a2+…+an=an2+bn,n∈N*,其中a、b为常数，则ab=&&&&&& .答案& -14.已知数列{an}的通项公式是an= 则a2•a3=&&&&&&&& .答案& 205.（; 北京理，6）已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10=&&&& .答案& -30
例1& 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，…；（2） ， ， ， ， ，…；（3）-1， ，- ， ，- ， ，…；（4） ，-1， ，- ， ，- ，…；（5）3，33，333，3 333，….解 （1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an= .（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，所以an=（-1）n• .也可写为an= .（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第1、2两项可改写为 ，- ，所以an=(-1)n+1• .（5）将数列各项改写为 ， ， ， ，…，分母都是3，而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以an= (10n-1).例2& 已知数列的通项公式为an= .（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.解& （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足 =0.98，∴n2=0.98n2+0.98.∵n=7时成立，∴0.98是它的项.（2）an+1-an= = ＞0. ∴此数列为递增数列.例3 （14分）已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n≥2),a1= ,求an.解& ∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即 - =2，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4分∴数列 是公差为2的等差数列.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6分又S1=a1= ，∴ =2，∴ =2+（n-1）&#n，∴Sn= .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 10分∴当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2• • =- ，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 12分∴an= .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 14分
1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1） ， ， ， ， ，…（2） ，2， ，8， ，…（3）5，55，555，5 555，55 555，…（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…（5）1，3，7，15，31，…解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an= .（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察： ， ， ， ， ，…，可得通项公式an= .（3）联想 =10n-1,则an= =& = (10n-1),即an=& (10n-1).（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，则an=5sin .（5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，…∴an=2n-1故所求数列的通项公式为an=2n-1.2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列{an}满足f（log2an）=-2n.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{an}是递减数列.（1）解& ∵f（x）=2x-2-x，∴f（log2an）=2 -2 =-2n，即an- =-2n.∴a +2n•an-1=0.∴an= ，又an＞0，∴an= -n.（2）证明& ∵an＞0，且an= -n,∴ = = ＜1.∴an+1＜an.即{an}为递减数列.3.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2 =an+1，求an.解& ∵2 =an+1,∴Sn= (a +2an+1),∴Sn-1= (a +2an-1+1),∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1= ［（a -a ）+2（an-an-1）］，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，∵an＞0，∴an-an-1=2，当n=1时，a1=1,∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列. ∴an=2n-1 (n∈N*).
一、填空题1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是&&&&& .答案& 142.数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N*都有a1a3•…•an=n2，则a3+a5=&&&&& .答案&& 3.数列-1, ，- ， ，…的一个通项公式是&&&&&&&&&& .答案& an=(-1)n 4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖&&&&&&&& 块.（用含n的代数式表示）&答案& 4n+85.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5＜ak＜8，则k=&&&&&& .答案& 86.若数列{an}的通项公式an= ，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)=&&&& (用含n的代数式表示）.答案&& 7.（;沈阳模拟）数列{an}满足an+1= a1= ，则数列的第2 008项为&&&&&&&& .答案&& 8.已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列{an}的一个通项公式an=&&&&&&&& .答案& n二、解答题9.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解& Sn满足log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n+1,∴Sn=2n+1-1.∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n≥2),∴{an}的通项公式为an= 10.已知数列{an}中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n≥2,3Sn-4,an,2- 总成等差数列.（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通项公式an.解 （1）当n≥2时，3Sn-4,an,2- 成等差数列，∴2an=3Sn-4+2- Sn-1，∴an=3Sn-4（n≥2）.由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,∴a2= ,a3=3 -4,∴a3=- ,a4=3 -4,∴a4= .∴a2= ，a3=- ，a4= .（2）∵当n≥2时，an=3Sn-4,∴3Sn=an+4,∴ ,可得:3an+1=an+1-an,∴ =- ，∴a2，a3，…，an成等比数列，∴an=a2•qn-2= • =- ，∴an= .11.在数列{an}中，a1= ，an=1- (n≥2,n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn.（1）求证：an+3=(2）求a2 008.（1）证明& an+3=1- =1- =1- = =1- =1-& =1- =1-(1-an)=an.∴an+3=an.（2）解& 由（1）知数列{an}的周期T=3，a1= ，a2=-1，a3=2.又∵a2 008=a3×669+1=a1= .∴a2 008= .12.已知二次函数f(x)=x2-ax+a (x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0x1x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f（n）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）求数列{an}的通项公式.解（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ=a2-4a=0 a=0或a=4，当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x1＜x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，当a=0时，函数f(x)=x2在（0,+∞）上递增，故不存在0x1x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，综上，得a=4,f(x)=x2-4x+4.（2）由（1）可知Sn=n2-4n+4,当n=1时，a1=S1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-［(n-1)2-4(n-1)+4］=2n-5,∴an= .
§6.2& 等差数列及其前n项和
1.（;广东理，2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1= ，S4=20，则S6=&&&&&& .答案& 482.（; 陕西理，4）已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10=&&&&& .答案& 1003.（;全国Ⅰ理，5）已知等差数列 满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=&&&&&&&& .答案& 954.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且 = ，则使得 为整数的正整数n的个数是&&&&& 个.答案& 55.（;姜堰中学高三第四次综合练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a12+a17+a19=8，则S25的值为&&&&&&& .答案& 50
例1& 已知数列{an}满足a1=4,an=4- (n≥2),令bn= .求证：数列{bn}是等差数列.证明& ∵an+1-2=2- = ∴ = = = + ∴ - = ，∴bn+1-bn= .∴数列{bn}是等差数列.例2& 在等差数列{an}中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0,求a1.解& （1）方法一& 设首项为a1,公差为d,依条件得&,解方程组得 ∴a61=-23+(61-1)×4=217.方法二& 由d= ,得d= = =4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4=217.（2）∵a6=10,S5=5,∴ .解方程组得a1=-5,d=3,∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S8=8× =44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有：&,∴ ,∴ .∵d＞0,∴d=2,a-d=2.∴首项为2.∴a1=2.例3 （14分）在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解& 方法一& ∵a1=20，S10=S15，∴10×20+ d=15×20+ d，∴d=- .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4分∴an=20+（n-1）×(- )=- n+ .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 8分∴a13=0.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 10分即当n≤12时，an＞0,n≥14时，an＜0.∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=12×20+& (- )=130.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 14分方法二& 同方法一求得d=- .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4分∴Sn=20n+ •(- )=- n2+ n=-& + .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 8分∵n∈N+,∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 14分方法三& 同方法一得d=- .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 8分∴5a13=0,即a13=0.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 10分∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 14分
1.设两个数列{an},{bn}满足bn= ，若{bn}为等差数列，求证：{an}也为等差数列.证明& 由题意有a1+2a2+3a3+…+nan= bn，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①从而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1= bn-1(n≥2),&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②由①-②，得nan= bn- bn-1,整理得an= ,其中d为{bn}的公差(n≥2).从而an+1-an= - = = (n≥2).又a1=b1，a2= ∴a2-a1= -b1= = .综上，an+1-an= d（n∈N*）.所以{an}是等差数列.2.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列 的前n项和,求Tn.解& 设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+ n(n-1)d,∵S7=7,S15=75,∴ ,即 ,解得 ,∴ =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1),∵ - = ,∴数列 是等差数列,其首项为-2,公差为 ,∴Tn= n2- n.3.等差数列{an}中，a1＜0,S9=S12,该数列前多少项的和最小？解& 由条件S9=S12可得9a1+ d=12a1+ d，即d=- a1.由a1＜0知d＞0,即数列{an}为递增数列.方法一& 由 ，得 ,解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小.方法二& ∵S9=S12，∴a10+a11+a12=3a11=0，∴a11=0.又∵a1＜0,∴公差d＞0，从而前10项或前11项和最小.方法三& ∵S9=S12，∴Sn的图象所在抛物线的对称轴为x= =10.5,又n∈N*，a1＜0,∴{an}的前10项或前11项和最小.方法四& 由Sn=na1+ d=& + n，结合d=- a1得Sn= •n2+ •n=-& + a1 （a1＜0），由二次函数的性质可知n= =10.5时，Sn最小.又n∈N*，故n=10或11时Sn取得最小值.
一、填空题1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1,a3=3,则S4=&&&&&& .答案& 82.在等差数列{an}中，已知a =2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=&&&&&& .答案& 423.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为&&&&&& .答案& 34.已知等差数列{an}的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为&&&&&&&&&& .答案& an=4n-35.（;东海高级中学月考）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80，则a11+a12+a13=&&&&&&& .答案& 1056.(;兴化市板桥高级中学12月月考)数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn，则数列 的前11项和为&&&&&&& .答案& -667.（;重庆理，14）设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=&&&&&&& .答案& -728.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5，a1、b1∈N*.设cn=a (n∈N*),则数列{cn}的前10项和等于&&&&&&&&& .答案& 85二、解答题9.已知数列{an}中，a1= ，an=2-& (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn= (n∈N*).(1)求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.（1）证明& 因为an=2- (n≥2,n∈N*),bn= .所以当n≥2时，bn-bn-1= - = - = - =1.又b1= =- .所以，数列{bn}是以- 为首项，以1为公差的等差数列.（2）解& 由（1）知，bn=n- ,则an=1+ =1+ .设函数f(x)=1+ ,易知f(x)在区间(-∞,& )和( ,+∞)内为减函数.所以，当n=3时，an取得最小值-1；当n=4时，an取得最大值3.10.等差数列{an}的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.解& 设等差数列{an}的项数为2m+1,公差为d,则数列的中间项为am+1,奇数项有m+1项，偶数项有m项.依题意，有S奇=(m+1)am+1=216&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①S偶=mam+1=192&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②①÷②,得 = ，解得,m=8,∴数列共有2m+1=17项，把m=8代入②，得a9=24,又∵a1+a17=2a9，∴a17=2a9-a1=47，且d= = .an=1+(n-1)× = (n∈N*,n≤17).11.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知 S3， S4的等比中项为 S5;& S3， S4的等差中项为1，求数列{an}的通项公式.解& 方法一& 设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，则Sn=na+ d，依题意，有&整理得 ∴a=1，d=0或a=4，d=- .∴an=1或an= ，经检验，an=1和an= 均合题意.∴所求等差数列的通项公式为an=1或an= .方法二& 因Sn是等差数列的前n项和，易知数列 是等差数列.依题意得&解得 或 由此得a4=S4-S3=1，a5=S5-S4=1，或a4=- ，a5=- ，∴d=0或d=- .∴an=a4+（n-4）×0=1或an=a4+（n-4）×(- )= - n.故所求等差数列的通项公式an=1或an= - n.12.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3&#,a2+a5=22.（1）求通项(2)若数列{bn}满足bn= ,是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.解& （1）由等差数列的性质得，a2+a5=a3+a4=22,所以a3、a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以a3=9,a4=13.易知a1=1,d=4,故通项为an=1+(n-1)×4=4n-3.(2)由(1)知Sn= =2n2-n,所以bn= = .方法一& 所以b1= ,b2= ,b3= (c≠0).令2b2=b1+b3,解得c=- .当c=- 时，bn= =2n,当n≥2时，bn-bn-1=2.故当c=- 时，数列{bn}为等差数列.方法二& 当n≥2时，bn-bn-1= = ,欲使{bn}为等差数列，只需4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1) (c≠0)解得c=- .&
§6.3& 等比数列及其前n项和
1.（;海南、宁夏理，4）设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则 =&&&&&& .答案&& 2.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为&&&&&&&& .答案& 1或- 3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b=&&&&& ,ac=&&&&&&& .答案& -3& 94.在等比数列{an}中，已知a1a3a11=8，则a2a8=&&&&&& .答案& 45.（;浙江理，6）已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则a1a2+a2a3+…+anan+1=&&&&&&& .答案&& (1-4-n)
例1& 已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4= ，求{an}的通项公式.解& 方法一& 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2= = ，a4=a3q=2q，∴ +2q= .解得q1= ，q2=3.①当q= 时，a1=18，∴an=18×( )n-1= =2×33-n.②当q=3时，a1= ，∴an= ×3n-1=2×3n-3.∴an=2×33-n或an=2×3n-3.方法二& 由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4= ，则a2，a4为方程x2- x+4=0的两根，解得 或 .①当a2= 时,q=3,an=a3•qn-3=2×3n-3.②当a2=6时，q= ,an=2×33-n∴an=2×3n-3或an=2×33-n.例2 （14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*有an+Sn=n.（1）设bn=an-1,求证：数列{bn}是等比数列；（2）设c1=a1且cn=an-an-1 (n≥2)，求{cn}的通项公式.（1）证明& 由a1+S1=1及a1=S1得a1= .又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1.∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.∴数列{bn}是以b1=a1-1=- 为首项，&为公比的等比数列.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6分（2）解& 方法一& 由（1）知2an+1=an+1.∴2an=an-1+1 (n≥2),&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 8分∴2an+1-2an=an-an-1,∴2cn+1=cn (n≥2).又c1=a1= ,a2+a1+a2=2,∴a2= .∴c2= - = ,即c2= c1.∴数列{cn}是首项为 ，公比为 的等比数列.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 12分∴cn= •( )n-1=( )n.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 14分方法二& 由（1）bn=(- )•( )n-1=-( )n.∴an=-( )n+1.∴cn=-( ) +1- = - =& = （n≥2）.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 12分又c1=a1= 也适合上式，∴cn= .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 14分例3& 在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且 + + + + =2,求a3.解& 方法一& 设公比为q,显然q≠1,∵{an}是等比数列，∴ 也是等比数列，公比为 .由已知条件得 ,解得a q =4,∴a =（a1q2）2=4，∴a3=±2.方法二& 由已知得：& + + = = =2.∴a =4.∴a3=±2.例4& 某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩（全部成活）（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S.求S约为多少万立方米？（精确到0.1）解& （1）每年植树的亩数构成一个以a1=100，d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n年可将此山全部绿化，则Sn=a1n+ (n-1)d=100n+ ×50=3 250.解此方程，得n=10（年）.（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1（1+0.1）10，第二年种植的树在第10年后的木材量为2a2（1+0.1）9，……，第10年种植的树在年底的木材量为2a10(1+0.1),第10年后的木材量依次构成数列{bn}，则其和为T=b1+b2+…+b10=200×1.110+300×1.19+…+1 100×1.1≈1.0（万立方米）.答& 需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.
1.已知等比数列{an}中，a3= ,S3=4 ,求a1.解& 当q=1时，a1=a2=a3= ,满足S3=4 ,当q≠1时，依题意有 ,解得q2= ,a1=6.综上可得：a1= 或a1=6.2.设数列{an}是等差数列，a5=6.（1）当a3=3时，请在数列{an}中找一项am,使得a3,a5,am成等比数列；（2）当a3=2时，若自然数n1,n2,…,nt,… （t∈N*）满足5＜n1＜n2＜…＜nt＜…使得a3,a5, , ,…, ,…是等比数列，求数列{nt}的通项公式.解& （1）设{an}的公差为d,则由a5=a3+2d,得d= = ,由ama3=a ,即3 =62，解得m=9.即a3,a5,a9成等比数列.（2）∵a3=2，a5=6，∴d= =2，∴当n≥5时，an=a5+(n-5)d=2n-4,又a3,a5,& , ,…, ,…成等比数列，则q= = =3, =a5•3t,t=1,2,3,…. 又an =2n -4,∴2n -4=a5&#•3t,∴2n =2&#+4.即n =3t+1+2,t=1,2,3,….3.（1）在等比数列{an}中，a1+a2=324，a3+a4=36，求a5+a6的值；（2）在等比数列{an}中，已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.解& （1）由等比数列的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6).∴a5+a6=4.（2）∵a3a5=a ，∴a3a4a5=a =8，∴a4=2，又∵a2a6=a3a5=a ，∴a2a3a4a5a6=a =32.4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）.解& 设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a1= ，经过n年后绿洲面积为an+1，设2006年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn+1，则a1+b1=1，an+bn=1.依题意an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%•an的剩余面积92%•an，另一部分是新绿化的12%•bn，所以an+1=92%•an+12%(1-an)= an+ ,即an+1- = (an- ),∴ 是以- 为首项， 为公比的等比数列，则an+1= -& n,∵an+1＞50%,∴ -& n＞ ,∴ n
,n＞log& = =3.则当n≥4时，不等式 n
恒成立.所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.
一、填空题1.（;福建理）设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}的前7项的和为&&&&&&& .答案& 1272.若数列{an}的前n项和Sn=3n-a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是&&&&&&&&& .答案& 13.设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2， 的值为&&&&&&&&& .答案&& 4.等比数列{an}前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是&&&&& .答案& T175.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x&#- ，则x的值为&&&&&&& .答案&& 6.已知等比数列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=120，则a5+a6=&&&&&&&&& .答案& 4807.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn= （对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的值是&&&&&&&&&&&&&& .答案& 28.设等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，则通项an=&&&&&&&& .答案&& &#或- （-2）n-1二、解答题9.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn= (an-1).（1）求a1,a2;(2)证明：数列{an}是等比数列；（3）求an及Sn.（1）解& ∵a1=S1= （a1-1），∴a1=- .又a1+a2=S2= (a2-1),∴a2= .(2)证明& ∵Sn= （an-1），∴Sn+1= （an+1-1），两式相减，得an+1= an+1- an,即an+1=- an,∴数列{an}是首项为- ，公比为- 的等比数列.（3）解& 由（2）得an=- •(- )n-1=-(- )n,Sn=& .10.数列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n (n∈N*).(1)求a3,a4,a5,a6的值；（2）求证：{bn}是等比数列.（1）解& ∵{anan+1}是公比为3的等比数列，∴anan+1=a1a2&#=2•3n，∴a3= =6，a4= =9，a5= =18，a6= =27.（2）证明& ∵{anan+1}是公比为3的等比数列，∴anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，∴a1，a3，a5,…，a2n-1，…与a2,a4,a6，…，a2n，…都是公比为3的等比数列.∴a2n-1=2&#,a2n=3&#，∴bn=a2n-1+a2n=5&#.∴ = =3，故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列.11.设数列{an}的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3 （n∈N*），其中m为常数，且m≠-3,m≠0.（1）求证：{an}是等比数列；（2）若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn= f(bn-1) (n∈N,n≥2),求证： 为等差数列，并求bn.证明& （1）由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减，得（3+m）an+1=2man,m≠-3,∴ = ≠0 (n≥1).∴{an}是等比数列.（2）由(3-m)S1+2ma1=m+3,解出a1=1,∴b1=1.q=f(m)=& ,n∈N且n≥2时，bn= f(bn-1)=& • ，bnbn-1+3bn=3bn-1，推出 - = .∴ 是以1为首项、 为公差的等差数列.∴ =1+ = .∴bn= .12.（;四川文，21）设数列{an}的前n项和Sn=2an-2n.（1）求a3，a4；（2）证明：{an+1-2an}是等比数列；（3）求{an}的通项公式.(1)解& 因为a1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1=2.由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,得an+1=Sn+2n+1.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8,a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40.(2)证明& 由题设和①式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,所以{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列.(3)解& an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+…+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1)&#.&
§6.4& 数列的通项公式及求和
1.如果数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1，公比为3的等比数列，则an=&&&&&&& .答案&& 2.数列1 ,3 ,5 ,7 ,…,(2n-1)+ ,…的前n项和Sn的值等于&&&&&&&&&& .答案& n2+1- 3.如果数列 满足a1=2，a2=1，且 = (n≥2)，则此数列的第10项为&&&&&&& .答案&& 4.设函数f（x）=x +ax的导数为f/（x）=2x+1，则数列 （ N ）的前n项和是&&&&&&& （用含n的代数式表示）.答案&& 5.设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a -na +an+1an=0 (n=1,2,3,…).则它的通项公式是an=&&&&&& .答案&&&
例1& 已知数列{an}满足an+1= ,a1=2,求数列{an}的通项公式.解& 已知递推式可化为 - = ,∴ - = , - = , - = ,…&- = ,将以上(n-1)个式子相加得&- = + + +…+ ,∴ = =1- ,∴an= .例2& 求和：Sn= + + +…+ .解& （1）a=1时，Sn=1+2+…+n= .（2）a≠1时，Sn= + + +…+&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①&Sn= + +…+ +&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②由①-②得 Sn= + + +…+ - = - ,∴Sn= .综上所述，Sn= .例3& （14分）已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S =an(Sn- ).（1）求Sn的表达式；（2）设bn= ，求{bn}的前n项和Tn.解& （1）∵S =an ，an=Sn-Sn-1，（n≥2），∴S =（Sn-Sn-1） ,即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①&& 4分由题意Sn-1•Sn≠0，①式两边同除以Sn-1•Sn，得 - =2，∴数列 是首项为 = =1，公差为2的等差数列.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6分∴ =1+2（n-1）=2n-1，∴Sn= .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 8分（2）又bn= = =& ，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 10分∴Tn=b1+b2+…+bn=& =& = .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 14分
1.（;江西理）在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln ，则an=&&&&&&&&& .答案& 2+lnn2.（;全国Ⅰ文，19）在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.(1)设bn= .证明：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn.（1）证明& ∵an+1=2an+2n，∴ = +1，∵bn= ，∴bn+1=bn+1，即bn+1-bn=1,b1=1,故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解& 由（1）知,bn=n,an=n2n-1,则Sn=1&#•21+…+(n-1)&#+n&#2Sn=1&#•22+…+(n-1)&#+n•2n两式相减，得：Sn=n&#&#-…-2n-1=n&#n+1.3.（;湖州模拟）已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c（n∈N*），且S1=3,S2=7,S3=13,（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列 的前n项和Tn.解& （1）由已知有 解得& 所以Sn=n2+n+1.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n+1-［(n-1)2+(n-1)+1］=2n,所以an= (2)令bn= ,则b1= = .当n≥2时，bn= = • .所以b2+…+bn=& = .所以Tn= + = (n∈N*).
一、填空题1.对正整数n，设曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列 的前n项和的公式是&&&& .答案& 2n+1-22.数列{an}的通项公式an= ，若前n项的和为10，则项数n=&&&&&&&& .答案& 1203.数列{an}的前n项和为Sn，若an= ，则S5=&&&&&&&&& .答案&& 4.数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+22+…+2n-1，…的前n项和Sn＞1 020，那么n的最小值是&&&&&&& .答案& 105.已知某数列前2n项和为(2n)3,且前n个偶数项的和为n2（4n+3），则它的前n个奇数项的和为&&&&&&& .答案& n2（4n-3）6.1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=&&&&&&&&& .答案& (-1)n+1 7.（;启东中学模拟）已知数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-1,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=&&&&&&&& .答案& n2-2n+218.若数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an= (n∈N*),则an=&&&&&&&& .答案&& 二、解答题9.Sn是数列{an}的前n项和，an= ，求Sn.解& ∵an= = =1+ =1+& ，∴Sn=n+ （1- + - + - +…+ - ）=n+& =n+ = .10.（;江西文，19）等差数列{an}的各项均为正数，a1=3,前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1=1，且b2S2=64,b3S3=960.（1）求an与(2)求 .解& (1)设{an}的公差为d、{bn}的公比为q，则d为正数，an=3+（n-1）d，bn=qn-1，依题意有 解得 或 （舍去）.故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.（2）Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以 = + + +…+ = = = - .11.设数列{an}的前n项和Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn.解& （1）由于Sn=2n2,∴n=1时，a1=S1=2；n≥2时，an=Sn-Sn-1&=2n2-2(n-1)2=4n-2,当n=1时也适合.∴an=4n-2，∴b1=a1=2，b2（6-2）=b1=2，∴b2= ，∴bn=2• n-1.（2）cn= =（2n-1）&#，∴Tn=1+3&#•42+…+（2n-1）&#，∴4Tn=4+3•42+…+（2n-3）&#+（2n-1）•4n，∴-3Tn=1+2&#•42+…+2&#-（2n-1）•4n=1+2• -（2n-1）•4n= •4n- ，∴Tn= - •4n.12.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).（1）求数列{an}的通项（2）求数列{nan}的前n项和Tn.解& （1）∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴ =3.又∵S1=a1=1,∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*).当n≥2时，an=2Sn-1=2&#(n≥2),∴an= （2）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.当n=1时，T1=1;当n≥2时，Tn=1+4&#•31+…+2n&#,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①3Tn=3+4&#•32+…+2n&#,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n&#=2+2• -2n&#=-1+(1-2n)&#.∴Tn= + &#(n≥2).又∵T1=a1=1也满足上式，∴Tn= +3n-1(n- ) (n∈N*).& §6.5& 数列的综合应用
1.（;山东文，15）已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于&&&&&&&&& .答案& 2 0082.设f(n)=2+24+27+…+23n+1 (n∈N*)，则f(n)=&&&&&&&& .答案&& (8n+1-1)3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+3b+c=10，则a的值为&&&&&&& .答案& -44.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn，若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则公比q=&&&&&&&& .答案& -25.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞存活的个数是&&&&&&& .答案& 65
例1& 数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n≥1).(1)求{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.解& （1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n≥2),两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an (n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an=3n-1.（2）设{bn}的公差为d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0,∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+ ×2=n2+2n.例2 （14分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，设f(a1),f(a2),…,f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列.（1）设a为常数，求证：{an}成等比数列；（2）若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn，当a=& 时，求Sn.（1）证明& f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logaan=2n+2,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2分可得an=a2n+2.∴ = = =a2（n≥2）为定值.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4分∴{an}为等比数列.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6分(2)解& bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当a= 时，bn=(2n+2)( )2n+2=(n+1)2n+2.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 8分Sn=2&#&#•25+…+(n+1)&#&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①2Sn=2&#&#•26+…+n&#+(n+1)&#&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②①-②得-Sn=2&#+25+…+2n+2-(n+1)&#=16+ -(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n&#-2n+3=-n&#.∴Sn=n&#.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 14分
例3& 假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)解& （1）设中低价房的面积形成的数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=250,d=50,则an=250+(n-1)&#n+200Sn=250n+ ×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4 750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数，∴n≥10.∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则bn=400&#)n-1.由题意可知an＞0.85bn,即50n+200＞400&#)n-1&#.当n=5时，a50.85b5,当n=6时，a6＞0.85b6,∴满足上述不等式的最小正整数n为6.∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
1.已知数列{an}、{bn}满足：a1=2,b1=1,且& (n≥2).(1)令cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式；（2）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn.解& （1）当n≥2时，cn=an+bn= + =an-1+bn-1+2,∴cn=cn-1+2，即cn-cn-1=2 (n≥2)∴数列{cn}为等差数列，首项c1=a1+b1=3,公差d=2.∴cn=3+（n-1）×2=2n+1.（2）当n≥2时，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①-②得：an-bn= (an-1-bn-1) （n≥2）,∴数列{an-bn}为等比数列，首项为a1-b1=1，公比q= ，∴an-bn=( )n-1.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ③由（1）知：an+bn=2n+1,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ④③+④得2an=(2n+1)+ ( )n-1∴an= + ∴Sn= + +…+ + = = .2.已知数列{an}满足a1=2,且点（an,an+1）在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1,2,3,….（1）证明：数列{lg(1+an)}是等比数列；（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列{an}的通项.（1）证明& 由于(an,an+1)在函数f(x)的图象上，∴an+1=a +2an,∴an+1+1=（an+1）2.∵a1=2，∴an+1＞1,∴lg（an+1+1）=2lg（an+1）.∴数列{lg(an+1)}是公比为2的等比数列.（2）解& 由（1）知lg(an+1)=2n-1lg(1+a1)=2n-1lg3=lg .∴an+1= .∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)= • • •…• = = .∴Tn= ,an= -1.3.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d＞0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,…….以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（1）写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式；（2）求证：Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列.（1）解& 我们有Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).（2）证明& T1=a1,对n≥2反复使用上述关系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①在①式两端同乘1+r，得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2（1+r）n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r).&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②②-①,得rTn=a1(1+r)n+d［(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)］-an= ［(1+r)n-1-r］+a1(1+r)n-an,即Tn= (1+r)n- n- .如果记& An= (1+r)n,Bn=- - n,则& Tn=An+Bn,&其中{An}是以 (1+r)为首项，以1+r（r＞0）为公比的等比数列；{Bn}是以- - 为首项，- 为公差的等差数列.
一、填空题1.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6=b7，则a3+a9&&&&&&&&&&&&& b4+b10.(用“≤”,“≥”或“=”填空)答案& ≥2.(;桂林模拟)数列1， ， ，…， ，…的前n项和为&&&&&&& .答案&& 3.已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为&&&&&& .答案& 84.（;范水高级中学高三期中）在公差不为零的等差数列{an}中，有2a3-a +2a11=0,数列{bn}是等比数列，且b7=a7,则b6b8=&&&&&&&&& .答案& 165.已知等比数列{an}的各项均为正数,数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值等于&&&&&&&& .答案& 1326.（;衡水调研）设y=f(x）是一次函数，f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列，则f(2)+f(4)+…+f(2n)=&&&&&&& .答案& n(2n+3)7.观察下列数表:12,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15…则2 008是此表中的第&&&&&&& 行的第&&&&&&&& 个数.答案& 11&& 9858.（;福州检测）图（1），（2），（3），（4）分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第50个图包含&&&&& 个互不重叠的单位正方形.&
答案& 4 901二、解答题9.设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.（1）若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式；（2）若a1≥6,a11＞0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.解& （1）由S14=98，得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0.解得a1=20,d=-2,因此{an}的通项公式是an=22-2n,（n=1,2,3,…）.(2)由 ，得 即 .解得- d≤- ,又d∈Z,故d=-1.∴10＜a1≤12,a1∈Z，故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,（n=1,2,3…）.10.将函数f(x)=sin x•sin (x+2 )•sin (x+3 )在区间（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an} (n=1,2,3,…).(1)求数列{an}的通项公式；（2）设bn=sinansinan+1sinan+2,求证：bn= （n=1，2，3，…）.（1）解& ∵f（x）=sin x•sin( x+& )•sin( x+& )=sin x• •cos x=- sin x•cos x=- sin3x∴f（x）的极值点为x= + ，k∈Z，从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以 为首项， 为公差的等差数列，∴an= +（n-1）• =& ，（n=1，2，3，…）.（2）证明& 由an=& 知对任意正整数n,an都不是 的整数倍.所以sinan≠0,从而bn=sinansinan+1sinan+2≠0.于是 = = = =-1.又b1=sin •sin •sin = ,{bn}是以 为首项，-1为公比的等比数列.∴bn= （n=1，2，3，…）.11.已知Sn是数列{an}的前n项和，且an=Sn-1+2（n≥2），a1=2.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n,有Tn＞ 恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.解& （1）由已知an=Sn-1+2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①得an+1=Sn+2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ②②-①，得an+1-an=Sn-Sn-1 (n≥2),∴an+1=2an (n≥2).又a1=2,∴a2=a1+2=4=2a1,∴an+1=2an (n=1,2,3,…)所以数列{an}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，∴an=2&#=2n.(2)bn= = = ,∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n= + +…+ ,Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2(n+1)= + +…+ + + .∴Tn+1-Tn= + - = = .∵n是正整数，∴Tn+1-Tn＞0，即Tn+1＞Tn.∴数列{Tn}是一个单调递增数列，又T1=b2= ，∴Tn≥T1= ,要使Tn＞ 恒成立，则有 ＞ ,即k6,又k是正整数，故存在最大正整数k=5使Tn＞ 恒成立.12.（;大庆模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,nan+1=(n+2)Sn (n∈N*).(1)求证：数列 为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（3）若数列{bn}满足：b1= , = (n∈N*),求数列{bn}的通项公式.（1）证明& 将an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=(n+2)Sn;整理得 =2× (n∈N*).又由已知 =1,所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列.（2）解& 由（1）的结论可得 =2n-1,∴Sn=n&#，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n&#-（n-1）&#=2n-2（n+1）.由已知，a1=1,又当n=1时，2n-2(n+1)=1,∴an=(n+1)2n-2(n∈N*).(3)解& 由 = (n∈N*),得 = +2n-1,由此式可得 = +2n-2,&= +2n-3,…&= +23-2,&= +22-2.把以上各等式相加得，&=2n-2+2n-3+…+23-2+22-2+b1.∵b1= ,∴ = + ,∴bn= (2n-1) (n∈N*).&
单元检测六一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是&&&&&&&&& .答案& 152.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5,则S8=&&&&&&& .答案& 723.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则 =&&&&&&& .答案& 34.已知数列{an}中，an=n(2n-1)，其前n项和为Sn,则Sn+ n(n+1)=&&&&&&&&& .答案& (n-1)&#+25.已知数列{an}的通项公式是an= ，其前n项和Sn= ，则项数n=&&&&&& .答案& 66.等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“对任意n (n∈N*)，都有an+1＞an”的&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 条件.答案& 既不充分也不必要7.在等比数列{an}中，a1=3,前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn=&&&&&&&& .答案& 3n8.数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an=&&&&&&&&&& .答案& 2n-19.等比数列{an}中，a20+a21=10,a22+a23=20,则a24+a25=&&&&&&& .答案& 4010.（;东海高级中学高三调研）等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1=-2 008， - =2，则S 的值为&&&& .答案& -2 00811.把49个数排成如图所示的数表,若表中每行的7个数自左向右依次都成等差数列,每列的7个数自上而下依次也都成等差数列,且正中间的数a44=1,则表中所有数的和为&&&&&&&& .&
答案& 4912.（;四川理，16）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为&&&&&&&& .答案& 413.将数列{3n-1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是&&&&&&&&& .答案& 34 95014.若 表示一种运算，且有如下表示：1 1=2、m n=k、(m+1) n=k-1、m (n+1)=k+2,则2 007 2 007=&&&&&&& .答案& 2 008二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.（14分）数列{an}是首项a1=4的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2|an|,Tn为数列 的前n项和，求Tn.解& （1）当q=1时，S3=12，S2=8，S4=16，不成等差数列.q≠1时， = + 得2q2=q3+q4,∴q2+q-2=0,∴q=-2.∴an=4(-2)n-1=(-2)n+1.(2)bn=log2|an|=log2|(-2)n+1|=n+1.&= = - ∴Tn= + +…+ = - = .16.（14分）已知数列{an}满足2an+1=an+an+2 (n∈N*),它的前n项和为Sn，且a3=10,S6=72.若bn= an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.解& 在数列{an}中，∵2an+1=an+an+2,∴{an}为等差数列，设公差为d,由 ,得 .∴an=a1+(n-1)d=4n-2,∴bn= an-30=2n-31∴n≤15时，bn＜0,n≥16时，bn＞0.∴{bn}的前15项的和最小为-225.17.(14分)等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak , ak ,…, ak ,…成等比数列.（1）求数列{kn}的通项（2）求数列 的前n项和Sn.解 （1）由已知得(a1+d)2=a1•(a1+3d),解得a1=d或d=0（舍去），所以数列{an}的通项是an=nd,因为数列a1,a3,ak ,ak ,…,ak ,…成等比数列，即数列d,3d,k1d,k2d,…,knd,…成等比数列，其公比q= =3,k1d=32d,故k1=9,所以数列{kn}是以k1=9为首项，以3为公比的等比数列，故kn=9×3n-1=3n+1.(2)Sn= + + +…+&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①&Sn= + + +…+ +&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ② ①-②并整理得Sn=& - .18.（;厦门模拟）（16分）数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1-an-1=0，数列{bn}满足b1=2,anbn+1=2an+1bn.（1）求S ； （2）求bn.解& （1）∵an+1-an-1=0，∴an+1-an=1.∴数列{an}是以a1=1为首项,d=1为公差的等差数列.∴S =200×1+ ×1=20 100.（2）由（1）得an=n,∴nbn+1=2(n+1)bn.∴ =2• .∴ 是以 =2为首项，q=2为公比的等比数列.∴ =2×2n-1.∴bn=n•2n.19.（16分）设数列{an}的首项a1=a≠ ，且an+1= 记bn=a2n-1- ,n=1,2,3,….(1)求a2,a3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论.解& （1）a2=a1+ =a+ ,a3= a2= a+ .(2)因为a4=a3+ = a+ ,a5= a4= a+ .所以b1=a1- =a- ≠0,b2=a3- = (a- ),b3=a5- = ( a- ).证明如下：因为bn+1=a2n+1- = a2n- =& - =& = bn(n∈N*),即 = .所以数列{bn}为等比数列.20.（;湖北文，21）（16分）已知数列{an}和{bn}满足：a1= ,an+1= an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中 为实数，n为正整数.（1）证明：对任意实数 ,数列{an}不是等比数列；（2）证明：当 ≠-18时，数列{bn}是等比数列；（3）设Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数 ,使得对任意正整数n，都有Sn＞-12?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由.（1）证明& 假设存在一个实数 ,使{an}是等比数列，则有a =a1a3,即 =& && 2-4 +9=& 2-4& 9=0,矛盾.所以{an}不是等比数列.（2）证明& 因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n+1)+21］=(-1)n+1 =- (-1)n•(an-3n+21)=-& bn.又 ≠-18，所以b1=-( +18)≠0.由上式知bn≠0,所以 =- (n∈N*).故当 ≠-18时，数列{bn}是以-( +18)为首项，- 为公比的等比数列.（3）解& 当 ≠-18时，由（2）得：bn=-( +18)• , 于是Sn=- ( +18)• .当 =-18时，bn=0，从而Sn=0，上式成立.要使对任意正整数n，都有Sn＞12.即- ( +18 )• ＞-12& ＜ -18.令f(n)=1- ,则当n为正奇数时，1＜f(n)≤ ;当n为正偶数时， ≤f(n)＜1,所以f(n)的最大值为f(1)=& .于是可得 ＜20& -18=-6.综上所述，存在实数 ,使得对任意正整数n都有Sn＞-12, 的取值范围为（-∞，-6）.&文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
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