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高二数学测试题—排列组合（8）
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3秒自动关闭窗口高二数学测试题：2012届高三数学第一轮复习阶段性测试题(含答案和解释)_新东方网_第2页
您好，欢迎来到新东方
& 文章正文
23:45&&作者：新东方网整理&&来源：互联网资源&&字号：|
　　[答案]　17
　　[解析]　tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]
　　=tan?β-α?-tanα1+tan?β-α?otanα=3-21+3×2=17.
　　15.(2011o安徽百校论坛联考)已知f(x)=2sin2x-π6-m在x∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m的取值范围是________.
　　[答案]　[-1,2]
　　[解析]　f(x)在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f(x)=0在[0，π2]上有两个不同实数解，
　　∴y=2sin2x-π6，x∈[0，π2]与y=m有两个不同交点，
　　∵0≤x≤π2，∴-π6≤2x-π6≤5π6，
　　∴-12≤sin(2x-π6)≤1，∴-1≤y≤2，∴-1≤m≤2.
　　16.(2011o四川广元诊断)对于函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1(x∈R)给出下列命题：①f(x)的最小正周期为2π;②f(x)在区间[π2，5π8]上是减函数;③直线x=π8是f(x)的图像的一条对称轴;④f(x)的图像可以由函数y=2sin2x的图像向左平移π4而得到.其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上).
　　[答案]　②③
　　[解析]　f(x)=cos2x+sin2x=2sin2x+π4，最小正周期T=π;由2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)得kπ+π8≤x≤kπ+5π8，故f(x)在区间[π2，5π8]上是减函数;当x=π8时，2x+π4=π2，∴x=π8是f(x)的图象的一条对轴称;y=2sin2x的图象向左平移π4个单位得到的图象对应函数为y=2sin2x+π4，即y=2sin2x+π2，因此只有②③正确.
　　三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
　　17.(本小题满分12分)(2011o烟台调研)向量m=(a+1，sinx)，n=(1,4cos(x+π6))，设函数g(x)=mon(a∈R，且a为常数).
　　(1)若a为任意实数，求g(x)的最小正周期;
　　(2)若g(x)在[0，π3)上的最大值与最小值之和为7，求a的值.
　　[解析]　g(x)=mon=a+1+4sinxcos(x+π6)
　　=3sin2x-2sin2x+a+1
　　=3sin2x+cos2x+a
　　=2sin(2x+π6)+a
　　(1)g(x)=2sin(2x+π6)+a，T=π.
　　(2)∵0≤x&π3，∴π6≤2x+π6&5π6
　　当2x+π6=π2，即x=π6时，ymax=2+a.
　　当2x+π6=π6，即x=0时，ymin=1+a，
　　故a+1+2+a=7，即a=2.
　　18.(本小题满分12分)(2011o四川资阳模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A&0，ω&0,0&φ&π)在x=π6取得最大值2，方程f(x)=0的两个根为x1、x2，且|x1-x2|的最小值为π.
　　(1)求f(x);
　　(2)将函数y=f(x)图象上各点的横坐标压缩到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在[-π4，π4]上的值域.
　　[解析]　(1)由题意A=2，函数f(x)最小正周期为2π，即2πω=2π，∴ω=1.
　　从而f(x)=2sin(x+φ)，∵fπ6=2，
　　∴sinπ6+φ=1，则π6+φ=π2+2kπ，即φ=π3+2kπ，
　　∵0&φ&π，∴φ=π3.故f(x)=2sinx+π3.
　　(2)可知g(x)=2sin2x+π3，
　　当x∈[-π4，π4]时，2x+π3∈[-π6，5π6]，则
　　sin2x+π3∈[-12，1]，
　　故函数g(x)的值域是[-1,2].
　　19.(本小题满分12分)(2011o山西太原调研)在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin2A+B2-cos2C=72.
　　(1)求角C的大小;
　　(2)求△ABC的面积.
　　[解析]　(1)∵A+B+C=180°，4sin2A+B2-cos2C=72.∴4cos2C2-cos2C=72，
　　∴4o1+cosC2-(2cos2C-1)=72，
　　∴4cos2C-4cosC+1=0，解得cosC=12，
　　∵0°(2)∵c2=a2+b2-2abcosC，
　　∴7=(a+b)2-3ab，解得ab=6.
　　∴S△ABC=12absinC=12×6×32=332.
　　20.(本小题满分12分)(2011o辽宁大连联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A&0，ω&0，|φ|&π2)的部分图象如图所示.
　　(1)求函数f(x)的解析式;
　　(2)若fα2=45，0&α&π3，求cosα的值.
　　[解析]　(1)由图象知A=1
　　f(x)的最小正周期T=4×5π12-π6=π，故ω=2πT=2
　　将点π6，1代入f(x)的解析式得sinπ3+φ=1，
　　又|φ|&π2，∴φ=π6
　　故函数f(x)的解析式为f(x)=sin2x+π6
　　(2)fα2=45，即sinα+π6=45，又0&α&π3，
　　∴π6&α+π6&π2，∴cosα+π6=35.
　　又cosα=[(α+π6)-π6]
　　=cosα+π6cosπ6+sinα+π6sinπ6=33+410.
　　21.(本小题满分12分)(文)(2011o浙江宁波八校联考)A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限，C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为等腰直角三角形.记∠AOC=α.
　　(1)若A点的坐标为35，45，求sin2α+sin2αcos2α+cos2α的值;
　　(2)求|BC|2的取值范围.
　　[解析]　(1)∵tanα=4535=43，
　　∴原式=tan2α+2tanα2-tan2α=20.
　　(2)A(cosα，sinα)，B(cos(α+π2)，sin(α+π2))，且C(1,0)
　　|BC|2=[cos(α+π2)-1]2+sin2(α+π2)=2+2sinα
　　而A，B分别在第一、二象限，α∈0，π2，
　　∴|BC|2的取值范围是(2,4).
　　(理)(2011o华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若m=-cosA2，sinA2，n=cosA2，sinA2，且mon=12.
　　(1)求角A的大小;
　　(2)若a=23，三角形面积S=3，求b+c的值.
　　[解析]　(1)mon=-cos2A2+sin2A2=-cosA=12，
　　∴cosA=-12，∵A∈(0°，180°)，∴A=120°.
　　(2)S△ABC=12bcsin120°=3
　　∴bc=4，
　　又∵a2=b2+c2-2bccos120°
　　=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=12，
　　∴b+c=4.
　　22.(本小题满分12分)(2011o黑龙江哈六中期末)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=π3.
　　(1)若△ABC的面积等于3，求a，b;
　　(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求△ABC的面积.
　　[解析]　(1)由余弦定理及已知条件得，a2+b2-ab=4，又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC=3，得ab=4.联立方程组a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.
　　(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
　　当cosA=0时，A=π2，B=π6，a=433，b=233，
　　当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组a2+b2-ab=4，b=2a，
　　解得a=233，b=433.
　　所以△ABC的面积S=12absinC=233.
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