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海淀分局备案编号微积分[数学概念] -
微积分是现代数学的重要基础与起点，它不仅在物理、力学、化学、生物等领域中已有非常广泛的应用，近几十年来它已应用社会、经济、人文等领域，成为这些领域的一个重要的研究工具。微积分学起源于资本主义工业革命，工业的发展要求精确刻画各种运动—机械运动、天体运动、流体与气体运动等等的规律性，为此作为研究变量的数学-微积分学诞生了，十七世纪牛顿、建立了微积分学，又经过一个半多世纪才形成现在应用的微积分学的体系。经济学与现代数学关系密切，据统计自1969年起建立的的得主有半数以上得益于有效的应用现代数学，因此作为现代数学基础的微积分学也是经济学专业一门重要基础课。作为研究变量数学的微积分学不同于以研究常量为主的初等数学，在学习方法上要注意它的特点。
微积分[数学概念] -
极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔、戴徳金等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在、、、、、等、及各个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，和的思想在古代就已经产生了。
三世纪，的在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的的问题中，采用了穷竭法，就隐含着近代积分学的思想。而就作为微分学基础的理论来说，早在古代就有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。（注：在这并非庄子的观点，而是庄子的论敌公孙龙等的观点。）三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。另外，微积分的现代基础——实数理论，最早也是奠基于古希腊。古希腊的提出了“万物皆数”的思想，他所指的数实际上是整数和整数之比（分数），但他的弟子却发现了边长为１的正方形的对角线长不能表示为分数，这就导致了一次深刻的数学危机。这一问题实际上涉及实数的完备性。为了解决这一问题，古希腊最伟大的数学家之一欧多克索斯提出了天才的比例论，使穷间竭法处于非常严密的数学逻辑的控制下。但遗憾的是，这种做法使得几何上的量和算术代数体系中的数分开，这种分法严重阻碍了作为分析学的解析体系的发展，直至戴徳金才将这一问题解决。针对这一段历史，伟大的英国数学家说过，欧多克索斯的比例论的精神“令人吃惊地是现代的，并对晚近的哲学有重大的影响。”实际上，欧氏比例论中所传递的思想要远远超出实数论和微积分的领域。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的和问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的、、、笛沙格；英国的、；德国的；意大利的等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家和德国数学家分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。
和建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见多年。
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零,而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。
直到１９世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。
任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟、欧拉、法国的拉格朗日、科西……
欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。
微积分[数学概念] -
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。
本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括：极限理论、、微分等。
积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
微积分[数学概念] -
在我们的周围，变化无处不在。我们所看到的事物都在变化。其中，有一些变化着的现象中存在着两个变化的量，简称变量。这两个变化着的量不是彼此孤立的，而是相互联系、相互制约的。当其中一个量在某数集内取值时，按一定的规则，另一个量有惟一确定的值与之对应。变量之间的这种数量关系就是函数关系。
设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集。若对于每一个数x∈D，按照某一确定的对应法则f，变量y总有惟一确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x),x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，数集D称为该函数的定义域。
微积分[数学概念] -
极限与连续
微积分按正整数顺序1，2，3，…排列的无穷多个数，称为数列.数列通常记作或简记作｛ ｝。数列的每个数称为数列的项，依次称为第一项，第二项，…。第n项 称为通项或一般项。?若以函数表示数列： 全体正整数的集合记作N＋，则数列可表示为y=f(n)，n∈N＋。 微积分设函数f(x)在|x|&a (a&0)时有定义，若当x→∞时，函数f(x)趋于常数A，则称函数f(x)当x趋于无穷大时以A为极限。在左极限与右极限，就是仅讨论当x→ 时，或x→ 时，函数f(x)的极限。
微积分[数学概念] -
导数与微分
微积分导数是微积分中的重要概念。导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。一个变量随某个变量变化时的速度或变化率；例如路程对于时间的导数便是。 若变量y 随变量x 变化的函数关系记为y=?(x)，则它在一点x处的导数记为y┡=?┡(x),按定义，它是变化量之比的极限：当这个极限存在时，就说函数?(x)在这点x处可导或者可微。导数y┡=?┡(x)，在函数?(x)可导的范围内是x的一个函数,称为函数?(x)的导函数，亦称导数。
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。微分的思想就是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，而线性函数总是比较容易进行数值计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。
微积分[数学概念] -
函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。
微积分[数学概念] -
设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x) C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
由定义可知：求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。
微积分[数学概念] -
微积分设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点a=x0&x1&...&xn-1&xn=b，把区间[a，b]分成n个小区间，[x0，x1]，...[xn-1，xn]。在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，并作出和。微积分如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
微积分[数学概念] -
无穷级数与多元函数
微积分无穷级数是对一个有次序的无穷个数求和的方法，无穷级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。 包括数项级数、、Fourier级数。设D为非空的n元有序数组的集合，如果对于每一个有序数组，按照某一法则 ，都有确定的实数y与之对应，则称此法则为定义在D上的n元函数。
微积分[数学概念] -
微分方程与差分方程
含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0，其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。的总称。含自变量、未知函数和它的微商（或）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。
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微积分（第2版）（下）
作者：苏德矿
出版：高等教育出版社
微积分（第2版）（下）《微积分（第2版）（下）》在教育部&高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划&的研究成果的基础上，根据教育部非数学类专业数学基础课程教学指导分委员会修订的新的&工科类本科数学基础课程教学基本要求&，并结合教学实践经验修订而成。为适应广大高校教师的教学需求，作者广泛吸取教师使用意见，在保留第一版注重分析综合、将数学建模的基本内容和方法融人教材等特色的基础上，修改了。些重要概念的论述和重要定理的证明，增加了部分教学内容，调整了一些内容的讲述顺序，使《高等学校教材：微积分（下）（第2版）》内容更加丰富，系统更加完整，有利于教师教学和学生学习。
　　《微积分（第2版）（下）》分上、下两册。上册共6章，主要内容有：函数与极限，导数与微分，微分中值定理及导数的应用，不定积分，定积分及其应用，常微分方程；下册共6章，主要内容有：矢量代数与空间解析几何，多元函数微分学，多元函数积分学，第二类曲线积分与第二类曲面积分，级数，含参量积分。
　　《微积分（第2版）（下）》可作为高等院校工科、理科、经济及管理类专业的微积分教材。第七章 矢量代数与空间解析几何
1 二阶、三阶行列式及线性方程组
1.1 二阶行列式和二元线性方程组
1.2 三阶行列式和三元线性方程组
2 矢量概念及矢量的线性运算
2.1 矢量概念
2.2 矢量的加法
2.3 矢量的减法
2.4 数量与矢量的乘法
2.5 矢量的线性组合与矢量的分解
3 空间直角坐标系与矢量的坐标表达式
3.1 空间直角坐标系
3.2 空间两点间的距离
3.3 矢量的坐标表达式
3.4 矢量的代数运算
4 两矢量的数量积与矢量积
4.1 两矢量的数量积
4.2 两矢量的矢量积
5 矢量的混合积与二重矢积
5.1 三矢量的混合积
5.2 三矢量的二重矢积
6 平面与直线方程
6.1 平面及平面方程
6.2 空间直线方程
6.3 平面束方程
7 曲面方程与空间曲线方程
7.1 曲面方程
7.2 空间曲线方程
8 二次曲面
第七章综合题
第八章 多元函数微分学
1 多元函数的极限与连续性
1.1 多元函数的概念
1.2 平面点集
1.3 二元函数的极限与连续
2 偏导数与全微分
2.1 偏导数
2.2 全微分
3 复合函数微分法
3.1 复合函数的偏导数
3.2 复合函数的全微分
4 隐函数的偏导数
4.1 隐函数的偏导数
4.2 隐函数组的偏导数
4.3 反函数组的偏导数
5 场的方向导数与梯度
5.1 场的概念
5.2 场的方向导数
6 多元函数的极值及应用
6.1 多元函数的泰勒公式
6.2 多元函数的极值
7 偏导数在几何上的应用
7.1 矢值函数的微分法
7.2 空间曲线的切线与法平面
7.3 空间曲面的切平面与法线
第八章综合题
第九章 多元函数积分学
1 二重积分的概念
1.1 二重积分的概念
1.2 二重积分的性质
2 二重积分的计算
2.1 在直角坐标系中计算二重积分
2.2 在极坐标系中计算二重积分
2.3 在一般曲线坐标中计算二重积分
3 三重积分
3.1 三重积分的概念
3.2 在直角坐标系中计算三重积分
3.3 在柱面坐标系、球面坐标系及一般曲面坐标系中计算三重积分
4 第一类曲线积分与第一类曲面积分
4.1 第一类曲线积分
4.2 第一类曲面积分
5 点函数积分的概念、性质及应用
第九章综合题
第十章 第二类曲线积分与第二类曲面积分
1 第二类曲线积分
1.1 第二类曲线积分的概念
1.2 格林公式
1.3 平面曲线积分与路径无关性
2 第二类曲面积分
2.1 第二类曲面积分的概念
2.2 第二类曲面积分的计算
2.3 高斯公式
2.4 散度场
3 斯托克斯公式、空间曲线积分与路径无关性
3.1 斯托克斯公式
3.2 空间曲线积分与路径无关性
3.3 旋度场
3.4 势量场
3.5 向量微分算子
第十章综合题
第十一章 级数
1 数项级数的基本概念
1.1 数项级数的概念
1.2 数项级数的基本性质
2 正项级数收敛性的判别法
3 一般数项级数收敛性的判别法
3.1 交错级数
3.2 绝对收敛级数与条件收敛级数
3.3 绝对收敛级数的性质
4 函数项级数与一致收敛性
4.1 函数项级数的基本概念
4.2 函数项级数一致收敛的概念
4.3 函数项级数一致收敛性的判别法
4.4 一致收敛级数的性质
5 幂级数及其和函数
5.1 幂级数及其收敛半径
5.2 幂级数的性质及运算
5.3 幂级数的和函数
6 函数展成幂级数
6.1 泰勒级数
6.2 基本初等函数的幂级数展开
6.3 函数展成幂级数的其他方法
7 幂级数的应用
7.1 函数的近似公式
7.2 数值计算
7.3 积分计算
8 函数的傅里叶展开
8.1 傅里叶级数的概念
8.2 周期函数的傅里叶展开
8.3 有限区间上的傅里叶展开
8.4 复数形式的傅里叶级数
8.5 矩形区域上二元函数的傅里叶展开
第十一章综合题
第十二章 含参量积分
1 含参量的常义积分
2 含参量的反常积分
2.1 含参量的反常积分
2.2 含参量的反常积分的性质
3 T函数和B函数
3.3 T函数与B函数的关系
第十二章综合题
附录V 度量空间与连续算子
5.1 度量空间的基本概念
5.2 度量空间中的邻域、极限、连续
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