高数二重积分习题重积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-06-08 13:55 标签： 曲面积分
第十章 重积分(吴赣昌第四版高数答案)_中华文本库
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第九章 重积分
课后习题全解
★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布着面密度为???(x,y)
的电荷，且?(x,y)在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.
解：将D任意分割成n个小区域???i?，在第i个小区域上任取一点(?i,?i)，由于?(x,y)在D上连
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徐小湛《高等数学》第109讲
重积分的应用 (曲面的...
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徐小湛《高等数学》第109讲
重积分的应用 (曲面的面积)
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高数下册之重积分
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重积分发展史况
重积分发展史况
重积分可以认作是一元函数定积分思想到多元函数的自然推广。它在几何学、静力学等学科中有其广泛的应用。
多元函数积分法实际上在牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》中已有讨论。牛顿在研究球与球壳作用于质点上的l万有引力时曾涉及到二重积分。但他采用的是几何叙述。在十八世纪时，这才被人们以分析形式加以考虑并推广，出现了重积分，并用以表的解。如用它来确定一个薄片作用在一个质点上的万有引力。在厚度为的椭圆薄片作用在椭圆中心正上方个单位某质点上的引力为
的常数倍·其积分域为椭圆域：。欧拉于1738年用先对y积分，然后将新的被积函数展成为x的无穷级数积出。
1770年左右，欧拉对由弧围成的有界区域上的二重积分有了清楚的概念。他给出了用累次积分计算二重积分的方法；还讨论了二重积分的变量替换同题。拉格朗日在他1773年关于旋转椭球引力的著作中用三重积分表示引力，并按照累次积分进行计算。当他用直角坐标计算感到困难后，他采用了球坐标。他在研究三重积分的变量替换时，得到了与欧拉类似的结果：在新变量的积分表达式中，乘上了一个函数行列式。法国数学家拉普拉斯于1772年也给出了球坐标变换。1834年俄国数学家、力学家奥斯特洛格拉得斯基(Ocтporpaдckий 180l～1862年)在一篇题为《多重积分变换》的论文中，以极坐标为例，指明了拉格朗日的结论有误。他用几何方法导出，经过变量替换后导出的函数行列式乃是变换前后面积元素或体积元素之比。几乎与此同时，雅可比(Jacobi )也研究了同一问题。1841年，雅可比在一篇论文的中专门讨论了函数行列式的性质，并把它用于隐函数理论。后来将此函数行列式冠以雅可比行列式之称。
二重积分的理论于十九世纪得到完整解决。柯西在1814年的论文中指出，如果被积函数在积分区域中不连续，则在计算时，积分的次序至关重要。柯西还特别指出，当无界时，累次积分不一定相等。
1876年托梅(Karl J. Thomae 年)将黎曼的积分理论推广到二元函数。1878年他又给出了有界函数的一个简单例子：上面形式的第二个累次积分存在，但第一个累次积分不存在。
但是，柯西和托梅的例子都属于二重积分不存在的情形。1883年达布证明了，即使二重积分存在，但两个累次积分也不一定存在。在二重积分的情形，最有意义的推广是由勒贝格做出的。
随着n维空间的引进，二重积分、三重积分也推广到n重积分。但已不象二重积分那样几何直观。高数 重积分_百度文库
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