第07讲 等差数列综合 三年级奥数超常班讲义90
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第07讲 等差数列综合 三年级奥数超常班讲义90
第七讲??等差数列综合?；由于第一讲我写的比较细，本讲和第一讲重复内容参见；等差数列公式繁多，而一道题有可能考了2\4个甚至；公式复习：?；（一）首项，第n项，项数n，公差，知三求一；1.第n项=首项+（n\1）×公差?；2.首项=第n项\（n\1）×公差?；3.项数n=（第n项－首项）÷公差+1?；4.公差=（第n项－首项）÷（项数n－1）?；公差=（第n
第七讲??等差数列综合?由于第一讲我写的比较细，本讲和第一讲重复内容参见第一讲。?等差数列公式繁多，而一道题有可能考了2\4个甚至更多的公式，这就要求一定要熟记公式，唯有理解并且多练。?公式复习：?（一）首项，第n项，项数n，公差，知三求一。?1. 第n项=首项+（n\1）×公差?2. 首项=第n项\（n\1）×公差?3. 项数n=（第n项－首项）÷公差+1?4. 公差=（第n项－首项）÷（项数n－1）?公差=（第n项－第m项）÷（n－m）?（二）求和公式?前n项和=（首项+第n项）×项数n÷2?（三）中项定理???中间项=（首项+末项）÷2?和=中间项×项数n??（一） 公式综合运用??作业1：求项数：本题较简单，都可用公式来求，但也有其他求法：?（1）3、4、5、6、……76、77、78?连续的自然数列：项数=末项\首项+1=78\3+1?（2）2、4、6、8、……98，100?首项和公差相等的等差数列：项数=末项÷公差=100÷2?特别地，偶数列：项数=末项÷2=100÷2?3,6,9,12，……99?首项和公差相等的等差数列：项数=末项÷公差=99÷3?变化一下，33,36,39,?……99?相当于3的11,12,13……33倍共33\11+1项?（3）1,3,5,7，……91?奇数列：项数=（末项+1）÷2=（91+1）÷2?（4）4,7,10,13，……46?每项都减1，变成3,6,9,12……45，共45÷3=15项?小结：还是希望同学们熟记公式，但不要死记公式，遇到题目是多想想有没有更为简单的办法。??我们来看个小例子：?3、?7、?11、?15、19、23、27??首项3，??公差4?2、?5、?8?、?11、14、17、20??首项2，??公差3????和：5、12、?19、?26、33、40、47??首项3+2，公差4+3????差：1、?2、?3、??4、?5、?6、?7???首项3\2，公差4\3??两个等差数列的对应项的和与差依然为等差数列。并且首项和公差为原数列首项和公差的和或差。?这个知识点很好理解，它对我们做很多题时会提供一些思路。??例4：（10年迎春杯中年级复赛）张杰从27起写了26个连续奇数，王强从26起写了26个连续自然数，然后分别将自己写的26个数求和，那么这两个和的差是多少？?分析与答：方法一：分别算出张杰与王强的和再相减。?王强写的最后一个数为26+（26\1）×1=51?和为（26+51）×26÷2=(77×13=11×7×13=可以巧算)1001?张杰写的最后一个数为27+（26\1）×2=77?和为（27+77）×26÷2=1352?两个和的差值为1?方法二：根据两个等差数列的差，那么结果一定是等差数列。?张杰：27,??29,??31……?王强：26,??27,??28……?对应的差值为1,???2,???3，……?共26项，那么和为（1+26）×26÷2=351?小结：希望体会一下方法二的优越与简便。??例2：按规律写出一些算式：\4,986\7,979\10，……，如果要保证被减数比减数大，最多能写出几个算式？请写出最后的算式。?分析与答：?我们发现这是两个等差数列的差，那么结果一定是等差数列。依次算出结果：?\4,986\7,979\10，……，?999，?989，979，969，公差为10，如果要保证被减数比减数大，最终会写到9。?最多能写出几个算式相当于求项数。?项数n=（999\9）÷10+1=100，即最多写100个算式。?最后是一个减法算式，差为9，即只要找出被减数或减数之一，问题即可解决。?观察被减数,979，……?减数：1,4,7,10，……?都是100项，发现用减数算计算量相对小些。?第100项=1+(100\1)?×3=298?则被减数为298+9=307?最后的算式为307\298?小结：本题运用了项数公式及公差公式。??例6?：1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3，……，100问：?（1） 这个数列一共有多少项？?（2） 这个数列所有数之和是多少？?分析与答：当直接找规律不明显时，可以试着跳着看：?1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3，……，100为双重数列：?奇数位：是首项为1，公差为3的等差数列；?偶数位：1,2,3循环数列，周期为3??（1）求项数显然要通过奇数位来求，奇数位比偶数位多一项。?奇数位：1,4,7,10，……，100共有（100\1）÷3+1=34项?则偶数位共34\1=33项?共34=33=67项?（2） 分别求和奇数和为：（1+100）×34÷2=1717?偶数位（1+2+3）×33÷3=66（每三数一组共33÷3恰好分组）?所有数总和为：3??作业6：已知一个等差数列的前15项的和为450，前20项的和为750，请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？?分析与答：想求公差，公差=（第n项－第m项）÷（n－m）?如果已知这个数列的任意两项那么公差就可以求了。?根据中项定理：前15项的和为450，可推出第8项为450÷15=30?前15项的和为450，前20项的和为750，第16项到20项之和为750\450=300?可推出第18项为300÷5=60?公差=（第18项－第8项）÷（18－8）=（60－30）÷（18－8）=3?首项=第n项\（n\1）×公差=30\（8\1）×3=9?小结：（1）本题考了公差公式，及首项公式，此公式平时练得少，所以孩子们不熟悉。?（2）题中给了前二十项的和，而20为偶数，不能直接用中项公式，因此想到求第16项到20项之和，进而求出第18项，这也算是一个难点。??（二） 运用鸡兔同笼思想解决等差数列问题??作业5：把248表示成8个连续偶数的和，其中最大的那个偶数是多少？?方法一：如果是最小的8个连续偶数的和，和为2+4+6+8+10+12+14+16=72?少算了248\72=176，?每个数少算了176÷8=22，?那么每个数都应加上22，?最大的数应为16+22=38?方法二：假设所有的数都和最大的数一样大，那么和应增加?（1+2+3+4+5+6+7）×2=56?即和为248+56=304?最大的数为304÷8=38?方法三：等差数列为偶数项时，是成对存在的共8÷2=4对，每对和为248÷4=62?这时又有两种方案：算出中间两数，或算出首末，如?首+末=62?首\末=7×2=14（第8项比第1项多7个公差）?为和差问题，可分别求出首末最大数应为（62+14）÷2=38?方法四：算出平均数：248÷8=31，可推算出中间两数为30,32进而求出最大数为38.?小结：本题也较简单，但希望同学们多思考不同的方法。?方法一二用的是鸡兔同笼的方法（假设法）方法三四是运用中项定理。??例5（2011年迎春杯中年级复赛）有37人排成一行报数，第一个人报1，以后每个人报的数都是把前一个人报的数加3，报数过程中有一个人报错了，把前一个人报的数减3报了出来，最后这37个人报的数加起来恰好等于2011，那么是第几个报数的人报错了？?分析与答：遇到复杂问题，可以自己先举简单例子：假设共有6个人，第5个人报错，那么?正确报法为：1、4、7、10、13、16?错误报法为：1、4、7、10、7?、10?通过这个例子我们发现：虽然只有一个人报错，但在报错的人的影响下，后面的人都跟着报错，并且从此人开始，后面每个人都少6，（本来应该+3，结果\3，所以差了3+3=6）?这样想来我们就可以用鸡兔同笼（即假设法的思想）来做这道题了?如果这37个人全部报对的话，第37个人应报1+（37\1）×3=109?37个人报数之和为（1+109）×37÷2=2035?这比实际的和多，?从开始报错的人起，每个人比正确的数少3+3=6,?说明倒数第24÷6=4人报错，即正数第34人。?（最后一步如果数字比较大，可以这样列算式：?报对的人数为37\4=33，所以第33+1=34人报错）??巩固练习（超常学案4）：100个人排成一行报数，第一个人报1，后面每一个人报的数都是在前一个人的基础上加3，中间有一个人报错了，应该加3结果加了1，最后把这100个人报的数加起来等于14884，那么是第几人报错了。?分析与答：假设100人全部报对，第100人应报1+3×（100\1）=298?和应为（1+298）×100÷2=14950?比实际多=66?从报错的那个人开始，每个人应加3结果加1，差了3\1=2?共66÷2=33人，即倒数第33人出错，?报对人数：100\33=67，所以第68人出错。??超常123班学案4（2011学而思超常1A班选拔考试中年级试题）：小马虎计算51+52+53+……+60，抄写时不慎漏写一个加号，把两个两位数当成一个四位数，计算结果正好是6000，这个四位数是多少？?分析与答：?方法一：（假设法，与例题类似）?举个小例子如果是51+52中间的加号漏掉，这时变成=51×100+52,则多算了51×100+52\（51+52）=99×51即多算了99个加号前的数字。??假设没有漏掉加号，和为（51+60）×10÷2=555，?算错之后多算了5?，所以漏掉了55+56之间的加号，即这个四位数为5556?方法二：（尾数分析）假设没有漏掉加号个位为1+2+3+4+5+6+7+8+9+0=45的个位5，漏掉了一个加号之后个位为6000的个位0，漏掉了一个加号个位相当于漏加了一个数字，只能是55的个位5.?小结：方法一是通用方法，方法二比较巧妙，因本题只有十个数字，个位没有重复，如果有重复此方法就不行了。??（三）与等差数列相关的应用题??例7：盒子里装有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1只球，将它变成3只球后放回盒子里；第2次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球放回到盒子里……第十次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只放回到盒子里，这时盒子里共有多少只球？?分析与答：一只球变成3只球，其实增加2只球，第一次增加了2只，第2次增加了2×2只，第三次增加2×3只，……，第十次增加2×10只。共有：?3+2+2×2+2×3+……+2×10=3+2×（1+2+3+……10）=113?小结：本题运用到的等差数列工具很简单，难点在仔细分析题意后，发现实际上是按等差数列的规律递增的。??例8：用3跟等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示，铺满一个大的三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10跟火柴，那么一共要放多少根火柴？??分析与答：方法一：只看正立的三角形就会发现，所有的火柴棒就是正立三角形的边数之和。正立三角形个数为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，那么共有?3×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=165根火柴棒。??包含各类专业文献、各类资格考试、专业论文、高等教育、应用写作文书、生活休闲娱乐、幼儿教育、小学教育、第07讲 等差数列综合 三年级奥数超常班讲义90等内容。　
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已知一列按一定规律排列的数：-1,3,-5,7,-9,…,-17,19,如果从中任意选出若干个数相加,使它们的和为0,那么至少要选（
）个数,请列出算式（
）(写出_百度作业帮
求老师解答：已知一列按一定规律排
已知一列按一定规律排列的数：-1,3,-5,7,-9,…,-17,19,如果从中任意选出若干个数相加,使它们的和为0,那么至少要选（
）个数,请列出算式（
求老师解答：已知一列按一定规律排
已知一列按一定规律排列的数：-1,3,-5,7,-9,…,-17,19,如果从中任意选出若干个数相加,使它们的和为0,那么至少要选（&&&& ）个数,请列出算式（&&&& ）(写出一个正确的即可)
4个；（-1+7+3-9）（答案不唯一）第一列1,4,9…第二列4,8,12…第三列5,10,15…第四列10,12,14…那么81所在的行和列是多少,100呢?请写出算式或详细过程_百度作业帮
第一列1,4,9…第二列4,8,12…第三列5,10,15…第四列10,12,14…那么81所在的行和列是多少,100呢?请写出算式或详细过程
第一列1,4,9…第二列4,8,12…第三列5,10,15…第四列10,12,14…那么81所在的行和列是多少,100呢?请写出算式或详细过程
根据你给的信息,我们可以知道,81是一个奇数,不可能出现在第二、第三、第四列,因为这后三列都是偶数.从第一列的规律可以知道,他们分别是1的平方、2的平方、3的平方…………81就是9的平方,所以81在第一列第9行.100可以看成是10的平方,所以在第一列第10行就是100； 根据第二列的规律,4是1的4倍、8是2的四倍、12是3的4倍……100是25的4倍,所以100还出现在第二列第25行.
按照第二列的方法来考虑第三列,那么100还出现在第三列第20行；
第4列的规律是以2递增,那么100也出现在第4列第46行；观察下列算式：①1×3-2²=3-4=-1②2×4-3²=8-9=-1 ③3×5-4²=15-16=-1观察下列算式：①1×3-2的平方 =3-4=-1②2×4-3的平方 =8-9=-1 ③3×5-4的平方=15-16=-1（1）请你按以上规律写出第四个算式（2） _百度作业帮
观察下列算式：①1×3-2²=3-4=-1②2×4-3²=8-9=-1 ③3×5-4²=15-16=-1观察下列算式：①1×3-2的平方 =3-4=-1②2×4-3的平方 =8-9=-1 ③3×5-4的平方=15-16=-1（1）请你按以上规律写出第四个算式（2）
观察下列算式：①1×3-2²=3-4=-1②2×4-3²=8-9=-1 ③3×5-4²=15-16=-1观察下列算式：①1×3-2的平方 =3-4=-1②2×4-3的平方 =8-9=-1 ③3×5-4的平方=15-16=-1（1）请你按以上规律写出第四个算式（2） 把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为第一问中所写的式子一定成立吗?并说明理由
（1）请你按以上规律写出第四个算式：4×6-5²=-1（2） 把这个规律用含字母的式子表示出来：（a-1)(a+1)-a²=-1；（3）第一问中所写的式子一定成立因为：（a-1)(a+1)=a²-1所以：（a-1)(a+1)-a²=a²-1-a²=-1
帮忙回答一下：/question/.html?
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/question/.html?这个不用你回答