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在等比数列an中,a1+a2+a3+a4+a5=5,a6+a7+a8+a9+a10=-160,则公比q=________
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半径为R的圆内接正八边形的面积,怎么算?
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把正八边形分成8个三角形,每个三角型面积为S=1/2*R*R*SIN45=根号2/4R^28S=2*根号2R^2
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北京市西城区数学学习·探究·诊断（九年级上册）第二十四章 圆
北京市西城区数学学习·探究·诊断（九年级上册）第二十四章 圆
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第二十四章
理解圆的有关概念，掌握圆和弧的表示方法，掌握同圆的半径相等这一性质．
课堂学习检测
一、基础知识填空
1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．
2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是________________．
3．由圆的定义可知：
(1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．
(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．
4．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．
5．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．
6．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．
7．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．
8．半径相等的两个圆叫做____________．
二、填空题
9．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．
(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．
综合、运用、诊断
10．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
(1)求证：∠AOC=∠BOD；
(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．
11．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．
拓广、探究、思考
12．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．
垂直于弦的直径
1．理解圆是轴对称图形．
2．掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论．
课堂学习检测
一、基础知识填空
1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．
2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．
3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．
二、填空题
4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．
5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．
7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．
8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______．
9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．
10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．
综合、运用、诊断
11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．
12．已知：如图，试用尺规将它四等分．
13．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)．
14．已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．
15．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．
求这两条平行弦AB，CD之间的距离．
拓广、探究、思考
16．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．
(1)在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；
(2)若CD=4cm，求AP＋PB的最小值．
17．如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m(竹排与水面持平)．问：该货箱能否顺利通过该桥?
弧、弦、圆心角
1．理解圆心角的概念．
2．掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．
课堂学习检测
一、基础知识填空
1．______________的______________叫做圆心角．
2．如图，若长为⊙O周长的，则∠AOB=____________．
3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_
_____________________．
4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．
二、解答题
5．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．
求证：∠AOC=∠DOB．
综合、运用、诊断
6．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．
7．已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．
拓广、探究、思考
8．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是(
C．ABr点P在⊙O______；d=r点P在⊙O______；dr2)分别是⊙O1和⊙O2的半径，则
⊙O1与⊙O2外离d________________________；
⊙O1与⊙O2外切d________________________；
⊙O1与⊙O2相交d________________________；
⊙O1与⊙O2内切d________________________；
⊙O1与⊙O2内含d________________________；
⊙O1与⊙O2为同心圆d____________________．
二、选择题
5．若两个圆相切于A点，它们的半径分别为10cm、4cm，则这两个圆的圆心距为(
C．14cm或6cm
6．若相交两圆的半径分别是和，则这两个圆的圆心距可取的整数值的个数是(
A.1 B.2 C．3 D．4
综合、运用、诊断
一、填空题
7．如图，在12×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位)，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移______个单位．
8．相交两圆的半径分别是为6cm和8cm，请你写出一个符合条件的圆心距为______cm．
二．解答题
9．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点．求证：直线O1O2垂直平分AB．
10．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，若⊙O1的半径r1=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长．
11．已知：如图，两圆相交于A，B两点，过A点的割线分别交两圆于D，F点，过B点的割线分别交两圆于H，E点．
求证：HD∥EF．
12．已知：相交两圆的公共弦的长为6cm，两圆的半径分别为，，求这两个圆的圆心距．
拓广、探究、思考
13．如图，工地放置的三根外径是1m的水泥管两两外切，求其最高点到地平面的距离．
14．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，圆心O1在⊙O2上，过B点作两圆的割线CD，射线DO1交AC于E点．
求证：DE⊥AC．
15．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过A点的割线分别交两圆于C，D，弦CE∥DB，连结EB，试判断EB与⊙O2的位置关系，并证明你的结论．
16．如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A，⊙B的半径均为1cm．⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1＋t(t≥0)．
(1)试写出点A，B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式；
(2)问点A出发多少秒时两圆相切?
正多边形和圆
1．能通过把一个圆n(n≥3)等分，得到圆的内接正n边形及外切正n边形．
2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念，并能进行简单的计算．
课堂学习检测
一、基础知识填空
1．各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形．
2．把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．
3．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．
4．正n边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．
5．设正n边形的半径为R，边长为an，边心距为rn，则它们之间的数量关系是______．这个正n边形的面积Sn=________．
6．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______．
7．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______．
8．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______．
二、解答题
9．在下图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．
(1)正三角形
(3)正五边形
(4)正六边形
(5)正八边形
(6)正十二边形
综合、运用、诊断
一、选择题
10．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的(
A．3倍 B．5倍 C.4倍 D．2倍
11．已知正方形的周长为x，它的外接圆半径为y，则y与x的函数关系式是(
A． B． C． D．
12．有一个长为12cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是(
A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
二、解答题
13．已知：如图，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的⊙O．
(1)求A1A3的长；(2)求四边形A1A2A3O的面积；(3)求此正八边形的面积S．
14．已知：如图，⊙O的半径为R，正方形ABCD，A′B′C′D分别是⊙O的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．
拓广、探究、思考
15．已知：如图，⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．
弧长和扇形面积
掌握弧长和扇形面积的计算公式，能计算由简单平面图形组合的图形的面积．
课堂学习检测
一、基础知识填空
1．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l=_______．
2．____________和______所围成的图形叫做扇形．在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形=__________；若l为扇形的弧长，则S扇形=__________．
3．如图，在半径为R的⊙O中，弦AB与所围成的图形叫做弓形．
当为劣弧时，S弓形=S扇形－______；
当为优弧时，S弓形=______＋S△OAB．
4．半径为8cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长为______；弧长为8cm的圆心角约为______(精确到1′)．
5．半径为5cm的圆中，若扇形面积为，则它的圆心角为______．若扇形面积为15?cm2，则它的圆心角为______．
6．若半径为6cm的圆中，扇形面积为9?cm2，则它的弧长为______．
二、选择题
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为(
8．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为(
9．如图，△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则圆中阴影部分的面积是(
综合、运用、诊断
10．已知：如图，在边长为a的正△ABC中，分别以A，B，C点为圆心，长为半径作
，，，求阴影部分的面积．
11．已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A点为圆心，AC长为半径作，求∠B与围成的阴影部分的面积．
拓广、探究、思考
12．已知：如图，以线段AB为直径作半圆O1，以线段AO1为直径作半圆O2，半径O1C交半圆O2于D点．试比较与的长．
13．已知：如图，扇形OAB和扇形OA′B′的圆心角相同，设AA′＝BB′＝d．＝l1，＝l2．
求证：图中阴影部分的面积
圆锥的侧面积和全面积
掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式．
课堂学习检测
一、基础知识填空
1．以直角三角形的一条______所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做______．连结圆锥______和____________的线段叫做圆锥的母线，圆锥的顶点和底面圆心的距离是圆锥的______．
2．沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是一个______．若设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为______，扇形的弧长为______，因此圆锥的侧面积为______，圆锥的全面积为______．
3．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC＝3cm，以直线BC为轴旋转一周所得圆锥的底面圆的周长是______，这个圆锥的侧面积是______，圆锥的侧面展开图的圆心角是______．
4．若把一个半径为12cm，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的周长是______，半径是______，圆锥的高是______，侧面积是______．
二、选择题
5．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则它的侧面积为(
A．2?cm2 B．3?cm2 C．6?cm2 D．12?cm2
6．若圆锥的底面积为16?cm2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为(
A．240° B．120° C．180° D．90°
7．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为(
A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm
8．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角为(
A．120° B．1 80° C．240°
综合、运用、诊断
一、选择题
9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R与r之间的关系是(
10．如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为(
二、解答题
11．如图，矩形ABCD中，AB=18cm，AD=12cm，以AB上一点O为圆心，OB长为半径画恰与DC边相切，交AD于F点，连结OF．若将这个扇形OBF围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S．
拓广、探究、思考
12．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．
求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长．
答案与提示
第二十四章
1．平面，旋转一周，图形，圆心，半径，⊙O，圆O．
2．圆，一中同长也．
3．(1)半径长，同一个圆上，定点，定长，点．
(2)圆心的位置，半径的长短，圆心，半径长．
4．圆上的任意两点，线段，圆心，弦，最长．
5．任意两点间，弧，圆弧AB，弧AB．
6．任意一条直径，一条弧．
7．大于半圆的弧，小于半圆的弧．
9．(1)OA，OB，OC；AB，AC，BC，AC；；及
(2)40°，50°，90°．
10．(1)提示：在△OAB中，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B．同理可证∠OCD＝∠ODC．
又 ∵ ∠AOC＝∠OCD－∠A，∠BOD＝∠ODC－∠B，∴ ∠AOC＝∠BOD．
(2)提示：AC＝BD．可作OE⊥CD于E，进行证明．
11．提示：连结OD．不难得出∠C＝36°，∠AOC＝54°．
12．提示：可分别作线段AB、BC的垂直平分线．
1．轴，经过圆心的任何一条直线，中心，该圆的圆心．
2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．弦，不是直径，垂直于，弦所对的两条弧．
5．8； 6．
12．提示：先将二等分(设分点为C)，再分别二等分和．
13．提示：题目中的“问径几何”是求圆材的直径．答：材径二尺六寸．
14．75°或15°．
15．22cm或8cm．
16．(1)作法：①作弦⊥CD．
②连结，交CD于P点，连结PB．则P点为所求，即使AP＋PB最短．
17．可以顺利通过．
1．顶点在圆心，角．2． 3．它们所对应的其余各组量也分别相等
4．相等，这两条弦也相等．
5．提示：先证＝．
6．EF＝GH．提示：分别作PM⊥EF于M，PN⊥GH于N．
．提示：设∠COD＝α，则∠OPD＝2α，∠AOD＝3α＝3∠BOC．
10．(1)作OH⊥CD于H，利用梯形中位线．
(2)四边形CDEF的面积是定值，＝54．
1．顶点，与圆相交．
2．该弧所对的，一半．
3．同弧或等弧，相等．
4．半圆(或直径)，所对的弦．
5．72°，36°，72°，108°．
6．90°，30°，60°，120°．
7．60°，120°．
14．提示：作⊙O的直径，连结．不难得出＝
16．提示：连结AH，可证得∠H＝∠C＝∠AFH．
17．提示：连结CE．不难得出
18．提示：延长AO交⊙O于N，连结BN，证∠BAN＝∠DAC．
19．提示：连结MB，证∠DMB＝∠CMB．
1．外，上，内．
2．以A点为圆心，半径为R的圆A上．
3．连结A，B两点的线段垂直平分线上．
4．不在同一直线上的三个点．
5．内接三角形，外接圆，外心，三边的垂直平分线．
6．内，外，它的斜边中点处．
10．20πcm．
17．A点在⊙O内，B点在⊙O外，C点在⊙O上． 18．，作图略．
10．60°或120°．
11．提示：先证OD＝OE．
13．，提示：连结AD．
15．∠CAD＝30°，
提示：连结OC、CD．
1．三，相离、相切、相交．
2．有两个公共点，圆的割线；有一个公共点，圆的切线，切点；没有公共点．
3．d>r；d＝r；dr1＋r2；
d＝r1＋r2；
r1－r2<d<r1＋r2；
d＝r1－r2；
0≤d<r1－r2；
8．4．(d在2<d5.5时，d＝2t－11．
(2)①第一次外切，t＝3；②第一次内切，
③第二次内切，t＝11；④第二次外切，t＝13．
1．相等，角．
2．内接正n边形．
3．外接圆的圆心，外接圆的半径，圆心角，距离．
6．135°，45°．
11．B． 12．B．
14．AB∶A′B′＝1∶，S内∶S外＝1∶2．
15．AB∶A′B′＝∶2，S内∶S外＝3∶4．
2．由组成圆心角的两条半径，圆心角所对的弧，
3．S△OAB，S扇形．
5．120°，216°．
6．3πcm．
12．的长等于的长．提示：连结O2D．
13．提示：设＝R，∠AOB＝n°，由可得R(l1－l2)＝l2d．而
1．直角边，圆锥，顶点，底面圆周上任意一点，高．
2．扇形，l，2πr，πrl，πrl＋πr2．
3．8πcm，20πcm2，288°．4．8πcm，4cm，48πcπcm2．
提示：先求得圆锥的侧面展开图的圆心角等于180°，所以在侧面展开图上，
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资源库-微信公众号& 正多边形和圆知识点 & “已知：如图，正八边形A1A2A3A4A5...”习题详情
129位同学学习过此题，做题成功率86.8%
已知：如图，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的⊙O．（1）求A1A3的长；（2）求四边形A1A2A3O的面积；（3）求此正八边形的面积S．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知：如图，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的⊙O．（1）求A1A3的长；（2）求四边形A1A2A3O的面积；（3）求此正八边形的面积S．”的分析与解答如下所示：
（1）根据正多边形中心角求法得出∠A3OA2=∠A2OA1=360°8=45°，进而得出∠A3OA1=90°，再利用勾股定理求出A3A1；（2）利用已知得出OA2⊥A1A3，得出四边形A1A2A3O的面积为：12OA2oA3B+12OA2oA1B进而求出即可；（3）利用（2）中所求即可得出正八边形的面积S为：36090×√22R2得出答案即可．
解：（1）∵正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的⊙O．∴∠A3OA2=∠A2OA1=360°8=45°，∴∠A3OA1=90°，∵OA3=OA1=R，∴A3A1=√O&A23+OA21=√2R2=√2R；（2）∵∠A3OA2=∠A2OA1=45°，∴A3A2=A2A1，∴OA2⊥A1A3，四边形A1A2A3O的面积为：12OA2oA3B+12OA2oA1B=12OA2oA1A3=12Ro√2R=√22R2；（3）∵四边形A1A2A3O的面积为：√22R2，∠A3OA1=90°，∴正八边形的面积S为：36090×√22R2=2√2R2．
此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，根据已知得出中心角∠A3OA1=90°再利用勾股定理得出是解题关键．
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已知：如图，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的⊙O．（1）求A1A3的长；（2）求四边形A1A2A3O的面积；（3）求此正八边形的面积S．...
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经过分析，习题“已知：如图，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的⊙O．（1）求A1A3的长；（2）求四边形A1A2A3O的面积；（3）求此正八边形的面积S．”主要考察你对“正多边形和圆”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
与“已知：如图，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的⊙O．（1）求A1A3的长；（2）求四边形A1A2A3O的面积；（3）求此正八边形的面积S．”相似的题目：
[2014o河北o中考]如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S阴影S空白=（　　）3456
[2014o南京o中考]如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=&&&&°．
[2014o呼和浩特o中考]已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（　　）3√33√632√332√6
“已知：如图，正八边形A1A2A3A4A5...”的最新评论
该知识点好题
1（2013o自贡）如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（　　）
2一个边长为1的正方形的边心距和中心角分别是（　　）
3一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（　　）
该知识点易错题
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(考试时间：80分钟
满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）__________
1. 正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8边长为1，任取两点AiAj，则AiAj?A1A2最大值为__________
i=020072. 若f(x)=∑(-1)Ckk=0k2007(3-x)=
2k∑axi2007-i，则∑ak=1k＝_________ 3. 若关于x的方程x-(a+b-6b)x+a+b+2a-4b+1=0的两个实数根x1,x2满足
4. 设P双曲线1右支上一动点，过P向两条渐近线作垂线，垂足分别为点A,B，若点A,B始 ab终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e的取值范围是___________.
5. 对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数。对于某个整数k，恰存在2008个正整数n1,n2, ,n2008，满足k=≤x2≤1,则a2+b2+4a+4的最小值为______________, 最大值分别为____________ n]=n]= =n]，并且k整除n(i=1,2, 2008)，则k=___________. 122008i
6. A、B两队进行乒乓球团体对抗赛，每队各三名队员，每名队员出场一次。A队的三名队员是A1,A2,A3，
iB队三名队员是B1, B2, B3,，且Ai对Bj的胜率为≤i, j≤3)，A队得分期望的最大可能值是________. i+j
7. △ABC的三边长分别为13, 14, 15, 有4个半径同为r的圆O, O1, O2, O3放在△ABC内，并且⊙O1与 边AB、AC相切，⊙O2与边BA、BC相切，⊙O3与边CB、CA相切，⊙O与⊙O1, O2, O3相切,
则r=_________.
都是正整数，且a+=1(
n100，则ab的个位数字是__________ 二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分） 19．已知：实数ai(i=1,2, ,n)满足a≥(i=1,2,,n)，证明： i112(a+1)(a+)(a+)≥(1+a+2a++na) 2n(n+1)!i12n12n
210. 已知数列{an}由a=,a=a+a+a,(n∈N)确定, 若对于任意n∈N*， 3
111++&M恒成立。求M得最小值。 a+1a+1a+nn-1112n
11. 在双曲线C451中，F1,F2分别为双曲线C的左右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内 的点，?PF1F2的重心为G，内心为I.
(1) 是否存在一点P, 使得IG||F1F2；
(2) 已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点F2与双曲线C交于M，N两点，若AM，AN的斜
1率k1,k2满足k1+k2=－l的方程. 2
2011模拟卷（5）
第 1 页 共 6页
2011年全国高中数学联赛模拟卷(5)加试
(考试时间：150分钟
满分：180分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、（本题满分40分）如图⊙O切△ABC的边AB于D，切边AC于C，M是BC上一点， AM交DC于点N，求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC
二、（本题满分40分）有一个m?n?p的长方体盒子, 另有一个(m+2)?(n+2)?(p+2)的长方体盒子, 其中m,n,p均为正整数(m≤n≤p), 并且前者的体积是后者一半, 求p的最大值.
三、（本题满分50分）求方程x2＋x＝y4＋y3＋y2＋y的整数解．
四、（本题满分50分）设n∈N*，把集合{1, 2, …, n}分拆为两个非空集合A与B（即有A∩B＝Φ，A∪B＝{1, 2, …, n}），使得对A中任意两个不同的元素a、b，有a+b?A；对B中任意两个不同的元素c、d，有cd?B．求n的最大可能值，使得存在满足题意的分拆．
2011模拟卷（5）
第 2 页 共 6页
2011年全国高中数学联赛模拟卷(5)答案
1、解：根据向量内积的几何意义，只要看向量在A1A2方向上的投影即可。最大值为2+1
2、令x=1得
∑ak=∑(-1)
C20072=∑C2007(-2)=(1-2)=-1，
(3-x)展开式中最高次项的系数-1，则∑ak=-2
3、解：设f(x)=x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1=0，则f(0)≤0,f(1)≥0，整理得
(a+1)2+(b-2)2≤4，且a+b+1≥0，在以a,b分别为横轴和纵轴的坐标系中画出上面两个不等式所表示的规划区域。则a2+b2+4a+4=(a+2)2+b2，点(-2,0)到规划区域最小值即为到直线
a+b+1=0的距离
a+b+4a+4的最小值为距离的平方(-2,0)到规划区域最大值
为(-2,0)的圆心(-1,2)的距离与半径2的和5+2，则a+b+4a+4的最大值为(+2)2=9+45
4、解：由对称性，我们只讨论A在第一象限情形.设P(x0,y0)，A(xA,yA)，则直线PA的方程为
y-y0=-(x-x0)，与y=x联立，得：(+)xA=x0+y0&0=>x0&-y0.
若P在第一象限显然满足，若P在第四象限或坐标轴上，则y0≤0=>2x0&y0=b(2-1)，
a2b22a2b22
所以(2-2)x0&-b，只须2-2≥0,∴a≥b,1&e≤2
5、解：若n-1&k≤n，则k≤n,(k+1)&n，满足k整除n，则n可取
,k=668 k3,k3+k, k3+3k2+3k，共3k+4个，所以3k+4=200891
6、解：讨论可知，A1:B3;A2:B1;A3:B2，最大期望Eξ=
7、解：不妨设a=13,b=14,c=15。可知?ABC与?O1O2O3相似，且O为?O1O2O3的外心，
外接圆半径为2r，则cos∠O1O3O2=cosC=，sin∠O1O3O2=，由正弦定理
O1O2=4rsin∠O1O3O2=,sinB=，同理可得cosA=,sinA=，cosB=，
48r15r260AB1
--r=15-r，所以又O1O2=15-rcot-rcot=15-r，r= sinAsinB4
8、由二项式定理：a-=1
?? b=1+-11+-1，故ab=
100100nn?=3+-3-?，设xn=3+-3-?，
(((nnn-1n-1
-xyxn-2-yn-2得： 则x1=1,x2=6，由恒等式x-y=(x+y)x-y
xn=6xn-1-xn-2(n≥3)，{xn}的个位数字依次为1，6，5，4，9，0，1，6，5，4，9，
0，…，所以xn+6≡xn(mod10)，x100≡x6?16+4≡x4=4(mod10)
2011模拟卷（5）
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