量子力学波函数归一化问题
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|系统分类:|关键词:量子力学
量子力学引进了几率波作为该学科的主线，几率波的统计物理意义解释得很清楚。第一：几率波具有确定的动量，不确定的轨道。第二：几率波可以线性叠加，不是描述周期性运动的。几率波即态函数具有几个物理意义必须达到几个条件：单值、有限、连续、归一。
&对于归一化问题，分为三类：归一化为1，也就是几率幅模的平方为1。另外，就是平面波归一化后为delt函数，但是在动量表象与坐标表象下二者是一一对应的，即C（P）模的平方代表相对几率，其归一化后也为1。这里有个问题让人费解自由粒子平面波的归一化问题是理想非物理的，所以平方不可积，归一化为delt函数。那么坐标空间中波函数为所有动量的叠加，才有了系数C(P)，在坐标空间中是不是理想的非物理的呢？坐标空间与动量空间互为傅里叶变换。最后是箱归一化，也就是有边界限制时波函数的归一化问题，这个比较好理解，其几率是对确定动量的波函数可以做积分，最后得到L3，如果L取无穷，则平方不可积，也就是连续谱的情况，这种情况就转化为理想的非物理的情况。如果取有限值，也就是平方可积，就转化为分离谱，归一化系数为1。不知道分离谱与连续谱的区别最本质的因素是不是粒子由自由状态转变到不自由状态的缘故。如果有外加势场，粒子不自由是不是就是分离谱了呢？就有归一化系数为1了呢？
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第二章 波函数和薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 薛定谔方程 §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 §2.5 定态薛定谔方程 §2.6 一维无限深势阱 §2.7 线性谐振子 2.8势垒贯穿 §2.8势垒贯穿
本章主要介绍了波函数的统计解释、 本章主要介绍了波函数的统计解释、薛定谔方 程的建立过程、 程的建立过程、用定态薛定方程处理势阱问题和 线性谐振子问题。 线性谐振子问题。
§2.1 波函数的统计解释
（一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质
（一）波函数
?i r r ? Ψ = A exp ? ( p ? r ? Et )? ?h ?
描写自由粒子的 平 面 波
称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。 此式称为自由粒子的波函数。 ?如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动， 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动 量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不 量和能量不再是常量（或不同时为常量） 能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为： 能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
r Ψ (r , t)
? 3个问题？ 个问题？ (1) (2) (3) 是怎样描述粒子的状态呢？ ψ 是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ ψ 如何体现波粒二象性的？ 描写的是什么样的波呢？ ψ 描写的是什么样的波呢？
描写粒子状 态的波函数， 态的波函数， 它通常是一 复函数。 个复函数。
Q （1）两种错误的看法
1. 波由粒子组成 水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的， 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射 实验。 实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长， 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加 呈现出衍射花纹。 呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空 间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（ 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只 含一个电子！） ！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些 含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些 量子现象。 量子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面 夸大了粒子性的一面， 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹
杀了粒子的波 动性的一面，具有片面性。 动性的一面，具有片面性。 2. 粒子由波组成 电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空 间中连续分布的某种物质波包 波包。 间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动 现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动 现象。波包的大小即电子的大小， 速度。 速度。 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 什么是波包？波包是各种波数（ 平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面 波振幅与位置无关。如果粒子由波组成， 波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满 整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在 一个原子内，其广延不会超过原子大小≈ 一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 ? 。 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说， 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是 粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。 粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波， 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念 中的粒子。 中的粒子。
经典概念中 属性; 属性;
1.有一定质量、电荷等“颗粒性” 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的 有一定质量
有确定的运动轨道， 粒子意味着 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一 定位置和速度。 定位置和速度。 经典概念中 的变化; 的变化; 1.实在的物理量的空间分布作周期性 1.实在的物理量的空间分布作周期性
干涉、衍射现象，即相干叠加性。 波意味着 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 我们再看一下电子的衍射实验 1.入射电子流强度小 开始显示电子的微粒性， 入射电子流强度小， 1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显 示衍射图样; 示衍射图样; 入射电子流强度大，很快显示衍射图样. 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样. P
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验
中的统计结果， 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 电子在许多次相同实验中的统计结果。 电子在许多次相同实验中的统计结果。 Born提出了波函数意义的统计解释。波函数是为了 Born提出了波函数意义的统计解释。波函数是为了 提出了波函数意义的统计解释 描述粒子的这种行为而引进的。 描述粒子的这种行为而引进的。
他认为在电子衍射实验中，照相底片上 他认为在电子衍射实验中，
正比于该点附近出现的电子数目， ～正比于该点附近出现的电子数目， ～正比于电子出现在 r 点附近的几 率。
r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， ～正比于该点附近感光点的数目，
描述，与光学相似， 假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与光学相似，衍射花纹 描述，但意义与经典波不同。 的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不同。 |Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小 确切的说， 点处， 确切的说，|Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积 Δz中找到粒子的几率 中找到粒子的几率。 元Δx Δy Δz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强 振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例， 度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，
据此，描写粒子的波可以认为是几率波， 据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。 动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。 Ψ(r)有时也称为几率幅 提出的波函数的几率解释 它是量子 波函数的几率解释， 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的基本原理。 力学的基本原理。
（三）波函数的性质 （1）几率和几率密度 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： ? 在 t 时刻，r 点，dτ= dx dy dz 体积内，找到由波 时刻， 体积内， 函数Ψ (r,t)描写的粒子的几率是 描写的粒子的几率是： 函数Ψ (r,t)描写的粒子的几率是： dτ， d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ， 其中， 是比例系数。 其中，C是比例系数。 单位体积内找到粒子的几率是： 在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ(r,t)|2 称为 几率密度。 几率密度。 在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： 时刻找到粒子的几率为： W(t) =∫V dW =∫Vω( r, t )dτ= C∫V|Ψ(r,t)|2dτ
（2） 平方可积 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到
粒子的几率应为一， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 1, 从而 之值为： 得常数 C 之值为： C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ 这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ 这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值 平方可积的函数。 平方可积的函数。 若 ∫∞|Ψ (r , t)|2 dτ → ∞, 这是没有意义的。 这是没有意义的。 则 C → 0,
r ?i r r ? 注意： 注意：自由粒子波函数 Ψ ( r , t ) = A exp? ( p ? r ? Et )? ?h ? 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题， 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题， 以后再予以讨论。 以后再予以讨论。
（3）归一化波函数 Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 所描写状态的相对几率 是相同的， 是常数。 时刻， 是相同的，这里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任 处找到粒子的相对几率之比是： 意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之比是：
r C Ψ ( r1 , t ) r C Ψ ( r2 , t )
r Ψ ( r1 , t ) = r Ψ ( r2 , t )
可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几 可见， 率波，所以波函数有一常数因子不定性。 率波，所以波函数有一常数因子不定性。 所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间 各点强度的相对大小 而不取决于强度的绝对大小 相对大小， 绝对大小， 各点强度的相对大小，而不取决于强度的绝对大小，因 将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变， 而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变， 即 Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态
? 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的2倍），则 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的2 ），则 相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波 动状态。 动状态。 归一化常数 没有归一化， 若 Ψ (r , t ) 没有归一化， 是大于零的常数） ∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常数） )| 则有 ∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1 注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。 注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。 模为一的因子不定性 )是归一化波函数 那末，exp{iα}Ψ 是归一化波函数， 若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末，exp{iα}Ψ (r , t ) 也是归一化波函数（其中α是实数）， ），与前者描述同一几率 也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几率 波。 也就是说， )是归一化的波函数 是归一化的波函数， 也就是说，(A)-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数，与Ψ (r , t )描写同一几率波， (A)-1/2 称为归一化因子。 )描写同一几率波， 称为归一化因子。 描写同一几率波
（4）平面波归一化 I Dirac δ—函数 函数 定义： 定义：
?0 δ ( x ? x0 ) = ? ?∞ x ≠ x0 x = x0
δ ( x ? x0 )
δ ( x ? x0 )dx = ∫ δ ( x ? x0 )dx = 1
或等价的表示为：对在x=x0 邻域连续的任何函数 f（x）有： 或等价的表示为：对在x=x
性质： 性质：
f ( x)δ ( x ? x0 )dx = f ( x0 )
1 δ (ax) = δ ( x) |a|
δ (? x) = δ ( x)
f ( x)δ ( x ? x0 ) = f ( x0 )δ ( x ? x0 )
积分形式： δ—函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 函数
1 ∞ ik ( x?x0 ) δ (x ? x0 ) = ∫ e dk ?∞ 2π
令 k=px/h, dk= dpx/h, 则
i 1 ∞ h px ( x? x0 ) dpx δ ( x ? x0 ) = ∫?∞ e 2πh
p 作代换： 作代换： x ? x，p′ ? x0，则 x 1 δ ( px ? p′ ) = x ∫?∞ e 2πh
∞ i ( px ? p′ ) x x h
平面波 归一化 t=0 时的平面波
i r r i [ p?r ? Et ] r r ? h Et r r Ψp (r , t ) = Ae h = Φ p (r )e
写成分量形式
i r r [ p?r ] r h r Φ p (r ) = Ae = Φ px ( x)Φ py ( y)Φ pz (z)
i [ px x] h
i [ py y ] h
i [ pz z ] h
考虑一维积分
Ψp′x (x, t)Ψpx (x, t)dx = e
i [ E′ ? E x ]t x h
Φ p′x ( x)Φ px ( x)dx
2 px 2 i p′x [ ]t ? h 2μ 2μ
Φ p′x ( x )Φ p x ( x )dx
Φ p′x ( x)Φ px ( x)dx= A2 1
i [ px ? p′ ] x x h
2 dx = A1 2πhδ ( px ? p′ ) x
i 1 ∞ h ( px ? p′x ) x δ ( px ? p′ ) = dx x ∫?∞ e 2πh
若取 A12 2πh = 1，则
A1= [2πh]-1/2, 于是
Φ p′x ( x)Φ px ( x)dx = δ ( px ? p′ ) x
i px x 1 h e Φ px ( x) = 2πh
2 px 2 i p′x [ ]t ? h 2μ 2μ
Ψ p′x ( x , t )Ψ p x ( x , t )dx = e
δ ( p x ? p′x ) = δ ( p x ? p′x )
f ( x)δ ( x ? x0 ) = f ( x0 )δ ( x ? x0 )
平面波可归一化为 δ ( px ? p′x ) 函数
三维情况： 三维情况：
r r r r r r Φp′* (r )Φp (r )dτ == δ ( px ? p′ )δ ( py ? p′ )δ ( pz ? p′ ) = δ ( p ? p′) x y z
i [ E ′ ? E ]t ∞ r r r * * r h r ( r , t ) Ψ r ( r , t )d τ = e r ( r ) Φ r ( r )d τ Ψ p′ p p ∫ Φ p′ ?∞
1 A = A1 A2 A3 = [2πh]3/ 2
r r (r , t ) = Ψp
i [ E ′ ? E ]t h
r r r r ′) = δ ( p ? p′) δ(p? p
i r r i [ p ? r ? Et ] r ? h Et 1 r eh = Φ p ( r )e 3/2 [ 2π h ]
r r (r ) = 其中 Φ p
i [ p?r ] 1 h e 3/2 [ 2π h ]
注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度， 注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度， 依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率 相同。 相同。
描写同一状态？ 些与 ψ 1描写同一状态？
请问下列波函数中， 请问下列波函数中，哪
ψ 1 = e i2x /h , ψ 4 = ?e i
ψ 2 = e ?i2 x /h , ψ 5 = 3e ? i ( 2 x + π h ) / h ,
ψ 3 = e i3x /h , ψ 6 = (4 + 2 i )e i 2 x / h .
已知下列两个波函数： | x |≤ a | x |& a | x |≤ a | x |& a m = 1, 2, 3, L n = 1, 2, 3, L
nπ ? A sin (x ? a) ? ψ 1( x) = ? 2a ?0 ? mπ ? (x + a) A sin ? ψ 2 ( x) = ? 2a ?0 ?
请 问 ： I 、 波 函 数 ψ 1 ( x ) 和 ψ 2 ( x )是 否 等 价 ？ II 、 对 ψ 1 ( x ) 取 n = ± 2 两 种 情 况 ， 得 到 的 两 个 波函数是否等价？
态叠加原理 §2.2 态叠加
? （一） （二）
态叠加原理 动量空间（表象） 动量空间（表象）的波函数
态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。 微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和 衍射的本质在于波的叠加性 即可相加性， 波的叠加性， 衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相 加波的干涉的结果产生衍射。因此， 加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的 叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。 叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因 为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态， 为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称 波函数为状态波函数， 波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理 态叠加原理。 称为态叠加原理 称为态叠加原理。
考虑电子双缝衍射
S1 一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状 态，Ψ 是这两种状 态的叠加。 态的叠加。
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是： 空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*] 电子穿过狭缝 出现在Ｐ １出现在Ｐ点 的几率密度 电子穿过狭缝 出现在Ｐ ２出现在Ｐ点 的几率密度 相干项 ：正是由于相 正是由于相 干项的出现， 干项的出现，才产生 了衍射花纹。
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那末它 们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理 。 态叠加原理一般表述： 态叠加原理一般表述： ,...是体系的一系列可能的 若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的 状态， 状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ ,...为复常数 为复常数) CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)。也是 体系的一个可能状态。 体系的一个可能状态。 处于Ψ态的体系， 部分的处于Ψ 处于Ψ态的体系，部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2态 ...，部分的处于Ψ ...，部分的处于Ψn，...
Ψp 电子在晶体表面反射后， 电子在晶
体表面反射后，电 例： Ψ 可能以各种不同的动量 子可能以各种不同的动量 p θ 运动。 运动。具有确定动量的运动 状态用de 状态用de Broglie 平面波 d 表示 ? i r r ? r = A exp ( p ? r ? Et ) ? Ψp ? ?h ? 根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表 示成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即
r r r r Ψ (r , t ) = ∑ c( p )Ψ p (r , t ) r
r 由于p是连续变化的，所以后式应用积分代替了求和。 r r r r r ( r , t ) dp， Ψ (r , t ) = ∫ c( p )Ψ p r 其中dp = dpx dp y dpz，
而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。
动量空间（表象） 动量空间（表象）的波函数
波函数Ψ (r,t) 可用各种不同动量的平面波表示，下面我们 给出简单证明。 令
可按Ф 则 Ψ可按Фp 展开
∞ r r r r r Ψ(r , t ) = ∫ c( p, t )Φ p (r )dp =
r 1 i r r r Φ p (r ) = exp[ p ? r ] 3 h （2πh）/ 2
1 (2πh )3 / 2
r i r r c( p, t ) exp[ p ? r ]dpx dp y dpz h
∞ r r r r r c( p, t ) = ∫ Φ? p (r )Ψ(r , t )dr = ?∞
1 3 （2πh）/ 2
r i r r Ψ ( r , t ) exp[? p ? r ]dxdydz h
显然，二式互为Fourier变换式，故而总是成立 的。 r r 所以Ψ(r , t )与c( p, t)一一对应，是同一量子态的两种不同描述方式。
(r,t)是以坐标 为自变量的波函数， Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数，被称为坐标 空间中的波函数，或者是坐标表象下的波函数。 坐标表象下的波函数 空间中的波函数，或者是坐标表象下的波函数。 C(p, 为自变量的波函数， t) 是以动量 p为自变量的波函数，它被称为动量空间 动量表象下的波函数 波函数，或者动量表象下的波函数； 波函数，或者动量表象下的波函数； 二者描写同一量子状态。 二者描写同一量子状态。 若Ψ (r,t)已归一化，则 C(p, t)也是归一化的
证明： 证明： ∞ r r r ?r r ∝ r r r r r c( p, t ) = ∫ Φ p (r )Ψ(r , t )dr ?∞ |c( p, t ) |2 dp = ∫ c ? ( p, t )c( p, t )dp ∫?∝ r r r r r ? r ?r r r ( r )dr ][ = ∫ [ ∫ Ψ ( r , t )Φ p ∫ Ψ(r ' , t )Φ p (r ' )dr ' ]dp
r r r r r ?r r r r ( r )Φ p ( r ' )dp = ∫∫ Ψ ( r , t )Ψ( r ' , t )dr dr ' ∫ Φ p r r r r r ? r = ∫∫ Ψ ( r , t )Ψ( r ' , t )dr dr ' δ ( r ? r ' )
r r r = ∫ Ψ ( r , t )Ψ( r , t )dr = 1
其中使用了
r ?r r r r r ∫ Φ ( r )Φ p ( r ' )dp = δ ( r ? r ' ) 关系式
函数的目的。 由此我们也可以看出把 平面波归一化为 δ ? 函数的目的。
r r c(r , t ) 与 Ψ(r , t )
具有类似的物理含义
r r r 2 dW ( r , t ) = | Ψ ( r , t ) | d r r t 时刻粒子出现在 r 点附近 → r d r 体积元内的几率； 体积元内的几率； r r r 2 dW ( p, t ) =| c(r , t ) | dp r t时刻粒子出现在动量点附近 p → r dp体积元内
的几率。 体积元内的几率。
力学量的平均值和算符的引进
? （一）力学量平均值 （1）坐标平均值 （2）动量平均值 （二）力学量算符 （1）动量算符 （2）动能算符 （3）角动量算符 （4）Hamilton 算符
力学量平均值
在统计物理中知道， 在统计物理中知道，
当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等于物理 当可能值为离散值时 量出现的各种可能值乘上相应的几率求和 几率求和； 量出现的各种可能值乘上相应的几率求和； 当可能值为 连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几 连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几 率密度求积分。 基于波函数的几率含义， 率密度求积分。 基于波函数的几率含义，我们马上可以 得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况， 得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再 推广至三维。 推广至三维。
（1）坐标平均值
为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间的变化） 为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间的变化） 是归一化波函数， 是粒子出现在x点的几率密度， 设ψ(x) 是归一化波函数，|ψ (x)|2 是粒子出现在x点的几率密度， 则
x =& x &= ∫
x | Ψ( x) |2 dx
对三维情况， 是归一化波函数， 对三维情况，设ψ(r) 是归一化波函数，|ψ(r)|2是粒子出现 在 r 点的几率密度，则x的平均值为 点的几率密度，
r x | Ψ ( r ) |2 d τ
（2）动量平均值
1 c( px ) = ( 2π h ) 1 / 2 p x =& p x &=
一维情况： ψ(x)是归一化波函 一维情况：令ψ(x)是归一化波函 数，相应动量表象波函数为
Ψ ( x ) exp( ? ip x x / h ) dx p x 的几率密度，则 的几率密度，
| c ( p x ) | 2 → 粒子动量为
p x | c ( p x ) | 2 dp
（二）力学量算符
（1）动量算符
既然ψ(x) 是归一化波函数， 既然ψ(x) 是归一化波函数，相应动量表象波函 数为c(p 对应， 数为c(px) 一 一 对应，相互等价的描述粒子的同一状 态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用ψ(x)表示 那末动量的平均值也应可以在坐标表象用ψ(x)表示 ψ(x) 出来。但是ψ(x)不含p 变量，为了能由ψ(x) ψ(x)不含 ψ(x)来确定动 出来。但是ψ(x)不含px变量，为了能由ψ(x)来确定动 量平均值， 的形式， 量平均值，动量 px必须改造成只含自变量 x 的形式， 的算符形式， 这种形式称为动量 px的算符形式，记为
? 简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数 简言之，由于量子力学和经典力学完全不同， 描写状态， 描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符
形式（称为第一次量子化）。 形式（称为第一次量子化）。
一维情况： 一维情况：
p x =& p x &= ∫
p x | c( p x ) |2 dp x = ∫ c ? ( p x ) p x c( p x )dp x
i px x 1 ? h ∫ Ψ ( x )e dx 2πh
p x c( px )dpx
1 = 2πh ∫ 1 = 2πh ∫
∫ Ψ ( x )e
p x c( p x )dxdp x
i d h px x ∫ Ψ ( x )( ? ih dx )e c( p x )dxdp x
i px x d 1 h = ∫ dxΨ ( x )( ? ih )[ ∫ e c( p x )dp x ] dx 2πh d ? = ∫ Ψ? ( x )(? ih )Ψ( x )dx = ∫ Ψ? ( x ) px Ψ( x )dx dx
比较上面二式得两点结论： 比较上面二式得两点结论：
描写时， 体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) 描写时， 的算符就是其自身， 坐标 x 的算符就是其自身，即
说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。 说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。 在坐标表象（非自身表象） 而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式必 须改造成动量算符形式： 须改造成动量算符形式： d
? p x = ? ih
三维情况： 三维情况：
r r ? = r r r r r r ? = ? ih [ i ? + j ? + k ? ] = ? ih ? p ?y ?x ?z
由归一化波函数ψ(r)求 力学量平均值时， 由归一化波函数ψ(r)求 力学量平均值时，必须 ψ(r) 把该力学量的算符夹在ψ (r)和ψ(r)之间 对全空间积分， 之间, 把该力学量的算符夹在ψ*(r)和ψ(r)之间,对全空间积分， 即
一维情况： 一维情况： x =& x &= ∫
Ψ? ( x) xΨ( x)dx
px =& px &= ∫ F =& F &= ∫
? Ψ? ( x) px Ψ( x)dx
F 是任一 力学量算符
? Ψ? ( x)FΨ( x)dx
三维情况： 三维情况：
r r r ? x =& x &= Ψ ? ( r ) x Ψ ( r )d r ∫∫∫ ? r r r ? ? p x =& p x &= ∫∫∫ Ψ ? ( r ) p x Ψ ( r ) d r ? ? r r ? r ? Ψ ( r )d r ? F =& F &= ∫∫∫ Ψ ( r ) F ?
若波函数未归一化， 若波函数未归一化，则 r ? r r Ψ? (r )FΨ(r )dr ∫∫∫ F =& F &= r r ? r ∫∫∫ Ψ (r )Ψ(r )dr
（2）动能算符
p2 在经典力学中， T = 在经典力学中， 所以动能算符 2m r ? r r T =& T &= ∫∫∫ Ψ ? ( r )T Ψ ( r )d r 则 ? p2 ? T = 2m
（3）角动量算符
r r r L= r × p
r r r ? ? L= r × p
r r r r ? Ψ ( r ) LΨ ( r )d r
三个分量： 三个分量： ? ? ? ? ? ) Lx = ypz ? zpy = ?ih( y ?z ?z ?y ? ? ? ? ? Ly = zpx ? xpz = ?ih( z ) ?x ?x ?z ? = xp ? yp = ?ih( x ? ? y ? ) ?y ?x Lz ?y ?x
（4）Hamilton 算符
r 在势场中 V ( r )的粒子 H = T +V r r h2 2 ? = T + V (r ) = ? ? → H ? + V (r ) 2m 对于有经典对应的力学 量， 相应算符的写法以及力 算符之间更深刻的关系 四章中讨论。 学量与 将在第
证明： （1）证明：如果波函数是
实数， 实数，则 p x = 0 .
?α 2 x 2 / 2
( 2 )一维谐振
子处于 ψ ( x ) = Ae 其中 α 为实常量，求： 为实常量，
状态中， 状态中，
I 、归一化系数 A ； II 、动能平均值。 动能平均值。
§2.3 Schrodinger 方程
（一） （二） （三） （四） （五）
引 引进方程的基本考虑 自由粒子满足的方程 势场 V (r) 中运动的粒子 多粒子体系的Schrodinger Schrodinger方程 多粒子体系的Schrodinger方程
微观粒子量子状态用波函数完全描述， 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之 后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能 值和相应的几率分布也都被完全确定， 值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描 写微观粒子的状态。 写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是 要解决以下两个问题： 要解决以下两个问题： (1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； 在各种情况下 (2)波函数如何随时间演化 波函数如何随时间演化。 (2)波函数如何随时间演化。 ? 这些问题在1926年Schrodinger 提出了波动方程 这些问题在1926年 1926 之后得到了圆满解决。 之后得到了圆满解决。
引进方程的基本考虑
让我们先回顾一下经典粒子运动方程， 让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能 给我们以启发。 （1）经典情况
r r dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m 时刻，已知初态是： dt
2r r d r 粒子满足的方程是牛顿 方程： 方程：F = m 2 dt
? 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状 从牛顿方程， 态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的 一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。 一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
（2）量子情况
时刻，已知的初态是ψ( 1．因为，t = t0 时刻，已知的初态是ψ( r, t0) 且 因为， 只知道这样一个初条件，所以， 只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函 只能含ψ 的一阶导数。 数所满足的方程只能含 数所满足的方程只能含ψ对时间 的一阶导数。 2．另一方面，ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1( r, 另一方面， 要满足态叠加原理， )是方程的解 那末。 是方程的解， t ) 和ψ2( r, t )是方程的解，那末。 ψ( r, t)= C1ψ1( r, t ) + C2ψ2( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的， 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也 对时间的一阶导数和 就是说方程中只能包含ψ 就是说方程中只能包含ψ, ψ对时间的一阶导数和 对坐标各阶导数的一次项， 对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开 方项。 方项。 第三方面，方程不
能包含状态参量 不能包含状态参量， 3．第三方面，方程不能包含状态参量，如 p, E 否则方程只能被粒子特定的状态所满足， 等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而 不能为各种可能的状态所满足。 不能为各种可能的状态所满足。
自由粒子满足的方程
?i r r ? Ψ = A exp ? ( p ? r ? Et ) ? ? ?h
描写自由粒子波函数: 描写自由粒子波函数:
应是所要建立的方程的解。 应是所要建立的方程的解。 微商， 将上式对 t 微商，得：
i ?Ψ = ? EΨ h ?t → ih ? Ψ = EΨ ?t （ 1）
这不是所要寻找的方程， 这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将 对坐标二次微商， Ψ对坐标二次微商，得：
i ( p x x + p y y + p z z ? Et ) i ?Ψ ? h Ae = = pxΨ h ?x ?x 2 px ? 2Ψ = ? 2 Ψ， 2 h ?x
同理有 py ? 2Ψ =? 2 Ψ 2 h ?y p ? 2Ψ = ? z2 Ψ ?z 2 h
1 2 ? 2 Ψ ? 2Ψ ? 2 Ψ 2 + + = ? 2 [ px + p2 + pz ]Ψ y h ?x2 ?y2 ?z2
1 ? 2Ψ = ? 2 p2Ψ h
h2 2 p2 ? ? Ψ= Ψ 2μ 2μ
( 2) (1) (2)式 (1)–(2) (2)式
(1)–(2)式 (1) (2)式 (2)
p2 对自由粒子， E 对自由粒子， = 2μ
h2 2 p2 ? ( ih )Ψ + ? )Ψ = ( E ? 2μ ?t 2 μ
h2 2 ? ih Ψ = ? ?Ψ 2μ ?t
满足上述构造方 程的三个条件
通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果 通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出， 讨论： 讨论： 能量关系式 写成如下方程形式： E = p2/2μ 写成如下方程形式：
? ?E ?r ? 算符替换（ 做算符替换（4）即得自由 ? p ? r2 粒子满足的方程（ 粒子满足的方程（3）。 ? p ? ?
p2 (E ? )Ψ = 0 2μ
r ? p = ? ih ? r ? p 2 = ? h 2? 2
（四）势场 V(r) 中运动的粒子
中运动，则能动量关系变为： 若粒子处于势场 V(r) 中运动，则能动量关系变为：
r p2 E= +V (r ) = H 2μ r p2 EΨ = [ +V (r )]Ψ 2μ
将其作用于波函数得： 将其作用于波函数得：
做（4）式的算符替换得： 式的算符替换得：
? h2 2 r r r r ? ih Ψ (r , t ) = [? ? + V ( r )]Ψ ( r , t ) = H Ψ ( r , t ) ?t 2μ ? 式中 H 是体系 的 Hamilton算符， 亦常称为 Hamilton量。
方程，也常称为波动方程。 该方程称为 Schrodinger 方程，也常称为波动方程。
（五）多粒子体系的 Schrodinger 方程
? 设体系由 N 个粒子组成， 个粒子组成， 质量分别为 μi (i = 1, 2,..., N) 体系波函数记为 ψ( r1, r2, ..., rN ; t) 第i个粒子所受到的外场 Ui(ri) 粒子间的相互作用 V(r1, r2, ..., rN) 方程可表示为： 则多粒子体系的 Schrodinger 方程可表示为：
ih r r r ? Ψ ( r1 , r2 , L , r N ; t ) = ?t ? N r r r r h2 2 = ?∑ [? ? i + U i ( ri )] + V ( r1 , r2 , L , r N 2μ i ? i =1
) ? Ψ ( r1 , r2 , L , r N ; t ) ?
多粒子体系 Hamilton 量
r r r r h2 2 ? = [? H ∑ ? i + U i ( ri )] + V ( r1 , r2 , L , rN ) 2μ i i =1
例如： 例如： 对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥 个电子的原子， 作用： 作用： Z r r r e2 V ( r1 , r2 , L , rZ ) = ∑ r r i & j | ri ? r j | 吸引能为： 而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为： r Ze 2 U i ( ri ) = ? ri 假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。 假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
（一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质
（一） 定域几率守恒
在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后， 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进 一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随 时间变化。 时间变化。粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内粒子 出现的几率即几率密度是： 出现的几率即几率密度是： r r r ? r ω ( r , t ) = Ψ ( r , t ) Ψ ( r , t ) = | Ψ ( r , t ) |2 考虑低能非相对论实物粒子情况， 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生 和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言， 和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言， 在全空间找到它的几率总和应不随时间改变， 在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即 ∞ r d ∫? ∞ ω ( r , t )d τ = 0 dt
证明： –考虑 Schrodinger 方程及其共轭式： 考虑 方程及其共轭式： 取共轭
h2 ? ih Ψ = [? ? 2μ ?t
h2 2 ? ? ? ih Ψ = [? ? +V ]Ψ? 2μ ?t
将 Ψ ? × ( 5 ) ? Ψ × ( 6 ) 式得： 式得：
h2 ? ? ? ihΨ? [Ψ??2Ψ ? Ψ?2Ψ? ] Ψ + ihΨ Ψ = ? 2μ ?t ?t
h2 ? i h （ Ψ ? Ψ ）= ? ? [Ψ ? Ψ ? ? Ψ ?? Ψ ] 2μ ?t
在空间闭区域τ中将上式积分，则有： 在空间闭区域 中将上式积分，则有： 中将上式积分
d h2 ih ∫（Ψ?Ψ）dτ = ? ?[Ψ?Ψ? ? Ψ??Ψ]dτ τ dt τ 2μ ∫ d ih ? （Ψ Ψ）dτ = ? ? ?[Ψ?Ψ? ? Ψ??Ψ]dτ dt ∫τ 2μ ∫τ
r r ω ( r , t )d τ = ? ∫ ? ? J d τ
? ω + ? ? J = 0 ?t
r ih J= [Ψ?Ψ? ? Ψ??Ψ] 2μ r
其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同
使用 Gauss 定理 闭区域 τ上找 到粒子 的总几 率在单 位时间 内的增 量
r r r d ∫τ ω(r , t )dτ = ?∫S J ? dS dt r ω(r , t ) = Ψ?Ψ S是体积 的表面。 τ的表面。
r r ω ( r , t )d τ = ? ∫ ? ? J d τ
J是几率流密度，是一矢量。它代表单位时 是几率流密度，是一矢量。 流入（ 间内通过单位面积的封闭表面 S 流入（面 积分前面的负号）区域τ的几率，
当然几率 积分前面的负号）区域τ的几率， 并不是流水， 并不是流水，我们只不过是做了一个形象的 比喻
所以(7)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。 所以(7)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。 (7)式是几率
Eq.（ 即让积分对全空间进行， 令 Eq.（7）τ趋于 ∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何 真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零， 真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则 式右面积分趋于零， Eq.（ 变为： 式右面积分趋于零，于是 Eq.（7）变为：
r ω ( r , t )d τ = 0
表明波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也 表明波函数归一化不随时间改变， 未消灭。 未消灭。 讨论： 讨论： （1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了， 这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了， 必然另外一些地方几率增加，使总几率不变， 必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来 实现这种变化。 实现这种变化。
以粒子质量μ （2） 以粒子质量μ 乘连续性方程等号 两边，得到： 两边，得到：
r ? ωμ + ? ? Jμ = 0 ?t
量子力学的质 量守恒定律
r 2 ?ωμ ≡ μω = μ | Ψ(r , t) | ? r ih ?r Jμ ≡ μJ = (Ψ?Ψ? ? Ψ??Ψ) ? 2 ?
同理可得量子力 学的电荷守恒定 律：
r ? ω e + ? ? J e = 0 质量密度 和 质量流密 ?t 度矢量
r 2 ?ωe ≡ eω = e | Ψ(r , t ) | ? r ih ?r Je ≡ eJ = e (Ψ?Ψ? ? Ψ??Ψ) ? 2μ ?
表明电荷总量不随时 间改变
电荷密度 和 电流密度 矢量
（二）再论波函数的性质
（1）波函数完全描述粒子的状态 ? 1. 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数 的统计解释可知， 已知后，就知道了粒子在空间的几率分布， 已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即 d ω(r, t) = |ψ(r, t)|2 d τ 2. 已知 ψ(r, t)， 则任意力学量的平均值、可 t)， 则任意力学量的平均值、 能值及相应的几率就都知道了，也就是说， 能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒 子状态的一切力学量就都知道了。 子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称 为状态波函数或态函数。 为状态波函数或态函数。 3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的 3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的 状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的 状态后， Schrodinger方程即可确定以后时刻的 状态。 状态。
（2）波函数标准条件 根据Born Born统计解释 t)是粒子 1. 根据Born统计解释 ω(r, t) = ψ*(r, t) ψ(r, t)是粒子 点的几率，这是一个确
定的数， 在t时刻出现在 r点的几率，这是一个确定的数，所以要求 t)应是 t的单值函数且有限 的单值函数且有限。 ψ(r, t)应是 r, t的单值函数且有限。 2.根据粒子数守恒定律 2.根据粒子数守恒定律 : r r r d ∫τ ω ( r , t ) d τ = ? ∫ S J ? d S dt r ih ? ? = ? ∫S [ Ψ ? Ψ ? Ψ ? Ψ ] ? d S 2μ 式右含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ 式右含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ是任意 选取的，所以S是任意闭合面。要是积分有意义，ψ必须在变数 选取的，所以S是任意闭合面。要是积分有意义， 的全部范围，即空间任何一点都应是有限、 的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦 连续。 连续。 概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三 概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三 个条件，该条件称为波函数的标准条件。 个条件，该条件称为波函数的标准条件。
（3）量子力学基本假定 I、 II
量子力学基本假定 I 波函数完全描述粒子的状态
量子力学基本假定 II 波函数随时间的演化遵从 Schrodinger 方程
§2.5定态Schrodinger方程 2.5定态Schrodinger方程 定态Schrodinger
? （一）定态Schrodinger方程 定态Schrodinger方程 Schrodinger Hamilton算符和能量本征值方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质
定态Schrodinger Schrodinger方程 （一）定态Schrodinger方程
V(r)与 无关时， 现在让我们讨论 有外场情况下的定态 V(r)与t无关时，可 以分离变量 方程： Schrodinger 方程：
r r r h2 ? 2 ih Ψ (r , t ) = [? ? + V ( r )] Ψ ( r , t ) 2μ ?t r r Ψ (r , t) = ψ (r ) f (t) 令：
r d r h2 2 ihψ (r ) f (t ) = f (t )[? ? +V ] (r ) ψ dt 2μ
两边同除 r ψ (r ) f (t )
r 1 d 1 h2 2 ih f (t ) = ψ ? +V ] (r ) = E r [? f (t ) dt ψ (r ) 2μ
等式两边是相互无关的物理量， 等式两边是相互无关的物理量， 故应等于与 t, r 无关的常数
? ? ih ? ? ?[ ? ? ?
d f ( t ) = Ef ( t ) dt r r h2 2 ? + V ]ψ ( r ) = E ψ ( r ) 2μ i
f (t ) ~ e ? iEt / h
于是： 于是：
r r ? h Et Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由 ω=2πE/h Broglie关系可知 关系可知： 就是体系处于波函数Ψ(r,t) Ψ(r,t)所描写 de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值 体系能量有确定的值， 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态 波函数Ψ(r,t)称为定态波函数
定态， Ψ(r,t)称为定态波函数。 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。 r r h2 2 [? ? + V ]ψ ( r ) = E ψ ( r ) 空间波函数ψ(r) ψ(r)可由 空间波函数ψ(r)可由 2μ 方程 和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。 和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。 ψ(r)应满足的边界条件得出 该方程称为定态 方程，ψ(r)也可称为定态波函 该方程称为定态 Schrodinger 方程，ψ(r)也可称为定态波函 或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。 t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数 数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。
Hamilton算符和能量本征值方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程
r （1）Hamilton 算符 × ψ ( r ) Ψ 注意到 = ψ exp[?iEt / h]，得：
? d × exp[ ? iEt / h ] ? i h dt f ( t ) = Ef ( t ) ? ? r r h2 2 ?[ ? ? + V ]ψ ( r ) = E ψ ( r ) ? 2μ ?
? ? ih ? ? ?[ ? ? ? ? Ψ = EΨ ?t h ? 2 + V ]Ψ = E Ψ 2μ
二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r, t)等于 等于EΨ(r, 二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r, t)等于EΨ(r, t)。所以这两个算符是完全相当的（ t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果 一样）。 一样）。 方程： 再由 Schrodinger 方程：
r r r h2 2 ? ih Ψ(r , t ) = [? ? +V (r )]Ψ(r , t ) 2μ ?t
也可看出，作用于任一波函数 上的二算符 也可看出，作用于任一波函数Ψ上的二算符 ? ? ? ih ? t 是相当的。 是相当的。 ? ? h2 2 这两个算符 ? ?? ? +V = H ? 2μ 都称为能量 ?
与经典力学相同， 与经典力学相同， ? H称为Hamilton量， 算符。 亦称Hamilton算符。
（2）能量本征值方程 将
[? h ? 2μ
+ V ]Ψ = E Ψ
? HΨ = EΨ
（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与 数学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中： 边界条件构成本征值问题； 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题； （2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理 量子力学中：波函数要满足三个标准条件， 方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。因此在量子力 方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。 波函数的自然边界条件 学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 称为算符 学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 E 称为算符 H 本征值； 称为算符 本征函数。 由上面讨论可知， 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 （3）由上面讨论可知， 当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态 能量本征态） 当体系处于能量算符本征函数所描写的
状态（简称能量本征态） 粒子能量有确定的数值， 时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应 的能量算符的本征值。 的能量算符的本征值。
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ( r, t) 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ( 其具体步骤如下： 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下： r r 列出定态Schrodinger Schrodinger方程 （1）列出定态Schrodinger方程 [ ? h 2 ? 2 + V ]ψ ( r ) = E ψ ( r ) 2μ 的本征值问题， （2）根据波函数三个标准条件求解能量 E 的本征值问题，得： 本征值 E , E ,L, E ,L
本征函数 ψ 1， ψ 2 ,L,
（3）写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
r r Ψ n ( r , t ) = ψ n ( r ) exp[ ? iE n t / h ]
（4）通过归一化确定归一化系数 Cn
r 2 | C nψ n ( r ) | d τ = 1
（四）定态的性质
（1）粒子在空间几率密度与时间无关
r ω n ( r , t ) = Ψ n ? Ψ n = [ψ
exp( ? iE n t / h )] ? [ψ
exp( ? iE n t / h )]
exp( iE n t / h )ψ r ? r = ψ n ( r )ψ n ( r )
exp( ? iE n t / h )
（2）几率流密度与时间无关
r r ih ? ? [Ψn? Ψn ? Ψn ? Ψn ] J n (r , t ) = 2μ ih ? [ψ n exp( ? iE n t / h )? ψ n exp( iE n t / h ) = 2μ
? ψ n exp( iE n t / h )? ψ n exp( ? iE n t / h )]
r r r r ih ? r ? r [ψ n ( r ) ? ψ n ( r ) ? ψ n ( r ) ? ψ n ( r )] = J n ( r ) = 2μ
（3）任何不显含t得力学量平均值不随时间变化 任何不显含t r ? r ? Ψ ( r , t )d τ F = ∫ Ψn ( r , t ) F n r ? r ? ψ ( r ) exp( ?iE t / h ) d τ = ∫ψ n ( r ) exp(iE n t / h ) F n n
r ? r = ∫ ψ ( r )Fψ n ( r )d τ
（4）任何不显含t得力学量取各种可能测值的概率分布也 任何不显含t 不随时间变化 ? 综上所述，当Ψ满足下列三个等价条件中的任何一 综上所述， 个时，Ψ就是定态波函数： 个时， 就是定态波函数： Ψ描述的状态其能量有确定的值 描述的状态其能量有确定的值； 1. Ψ描述的状态其能量有确定的值； Ψ满足定态Schrodinger方程 满足定态Schrodinger方程； 2. Ψ满足定态Schrodinger方程； 无关。 3. |Ψ|2 与 t无关。
? 周世勋 《量子力学教程》2.1 量子力学教程》
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