第五题第三小题，高等代数集合习题解答，大学，求大神解答

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-18 03:08 标签： 求大神给个网站你懂的
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&>&&>&高等代数答案
高等代数答案
广州大学学年第1学期考试卷
《高等代数》A卷参考答案
一、选择题：（满分10分，每小题2分，共5个小题）
1、令a,b是实数集合A中的元素，那么下列规则可以构成映射的是（C）(A)（a,b）→ab
(C)(a,b)→a(D)(a,b)→a或bb
2、多项式f(x)与其导数f′(x)不互素，是f(x)有重因式的（A）(A)充分必要条件(C)必要不充分条件
(B)充分不必要条件(D)非充分非必要条件
3、设非齐次线性方程组Am×nx=b中，R(A)=r,则(B)(A)(B)(C)(D)
r=n时，方程组Am×nx=b有唯一解r=m时，方程组Am×nx=b有解
r&m时，方程组Am×nx=b有无穷多解
m=n时，方程组Am×nx=b有唯一解
4、设D是一个n阶行列式，那么（A）
行列式与它的转置行列式相等；
(B)D中两行互换，则行列式不变符号；(C)若D=0，则D中必有一行全是零；(D)若D=0，则D中必有两行成比例。
5、设多项式的最大公因式（f(x),f(x)+g(x)）等于(B)(A)f(x)(B)（f(x),g(x)）(C)
(D)f(x)+g(x)
二、填空题：（满分30分，每小题3分，共10个小题）
1、g(x)∈C[x],若g2(x)+x2=0,则g(x)=
2、满足f(1)=6,f(-1)=4,f(2)=13的次数小于3的多项式f(x)=
3、多项式f(x)=x4+x2-2在实数域R上的标准分解为
(x+1)(x-1)(x2+2)
4、排列5432167的逆序数是5、若将n阶行列式D中的每个元素添上负号后得一新行列式D′，则D′＝(-1)nD
6、设集合A={x,y},B={1,2},A×，B×。7、数集A1={0},
A2={1,2,3},a,b∈Q}中有
A3={7n|n∈Z},个数环
A4={2n+1|n∈Z},个数域。
8、如果D=a21
a133a114a11-a124a21-a224a31-a32
-a23=。-a33
9、四阶行列式...
a23=M，则3a21a333a31
......中带负号，且含a23的项是-a11a23a32a44,-a12a23a34a41,...a44
-a14a23a31a42
?kx +y-z=0 ?
10、已知齐次线性方程组?x+ky-z=0仅有零解，那么k的取值范围是
?2x - y+z=0 ?
三、判断题：（满分10分，每小题2分，共5个小题）
1、全体整数组成的集合是一个数域。
2、如果存在u(x),v(x)∈F[x]，使u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)，那么最大公因式
(f(x),g(x))=d(x)。（×）
3、由克莱姆法则可知，若n阶行列式det(解。（√）
4、一个秩为r的矩阵的所有r阶子式全非零。（×）5、最小数原理并不是只对正整数集成立。（√）
A)非0当且仅当齐次线性方程组AX=0只有零
四、解答题：（满分35分，每小题7分，共5个小题）
1、试求多项式f(x)=x4-3x3-3x2-4x-3的有理根。22
解：先将多项式写成整系数多项式f(x)=2x4-3x3-6x2-8x-3。
首项系数的因子为±1,±2，常数项的因子为±1,±3，因此可能的有理根为±1,±3,±1/2,
因为f(1)=-18≠0,f(-1)=4≠0，因此±1不是根。当α=3时，因为
f(1)-18f(-1)4
==9,==1，因此α=3可能是根，利用综合除1-3-21+34
法可知f(x)=(x-3)(2x3+3x2+3x+1).
当α=-3时，因为
==不是整数，因此α=-3不是根。
f(1)-18f(-1)8
==-36,=不是整数，因此α=1/2不是根.
1-1/21/21+1/23f(1)-18f(-1)4
==-12,==8，因此α=-1/2可
1-(-1/2)3/21-1/21/2
当α=1/2时，因为
当α=-1/2时，因为
能是根，利用综合除法可知f(x)=(x-3)(2x+1)(x2+x+1).
因为x2+x+1没有有理数根，因此f(x)的有理根为-1/2和3.
2、设f(x)=2x3-2x2+x-1,g(x)=x2-3x+2，求(f(x),g(x))；（要求写出计算
解法一：易知g(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2)，另一方面f(x)=(x-1)(2x2+1)，由此可知(f(x),g(x))=(x-1).
解法二：利用辗转相除法。
f(x)=(2x+4)g(x)+9(x-1),g(x)=(x-1)(x-2)+0，所以(f(x),g(x))=(x-1).
3、计算行列式D=的值。
解：根据行列式的性质有
是范德蒙行列式
(-1)2(-1)3
=(-2-2)(3-2)(-1-2)(3-(-2))(-1-(-2))(-1-3)=-240
4、设A为实数集，B为整数集,请建立一个A到B的满射.
5、k取何值时,线性方程组
?kx1+x2+x3=1,?
?x1+kx2+x3=k,?2x+x+kx=k.?123
(1)有唯一解?解
(2)无解?(3)有无穷多解?
有解时求出全部解.
方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为
?11?1??1?,k???k
1??k?.k2??
(1)当R(A)=R(=3,即当A≠0时,方程组有唯一解.
A=1k1=(k-1)2(k+2),
所以当k≠1且k≠-2时,方程组有唯一解.
1=(k-1)2,k
k1=-(k-1)2(k+1),1k1
D3=1kk=(k-1)2(k+1)2,
根据克拉默法则,得到唯一解
Dk+1x1=1=-,
（2）当k=-2时,
Ak+2D3(k+1)2
??→?0-33-3?,
11?r+r+r?0-33-3??-21
??321??=?1-21-2?→?1-21-2?
?1?r1+2r2?????
可得R(A)=2,R(=3,故方程组无解.
(3)当k=1时,=?1111?→?0000?
可得R(A)=R(=1&3,故方程组有无穷多解,通解中含有3-1=2个任意常数.令
x2=c1,x3=c2,则方程组通解为
?x1=1-c1-c2,
?x2=c1,?x=c2.?3
五、证明题：（满分15分，第1小题8分，第2小题7分）1.设f(x)=xn+an-1xn-1+an-2xn-2+???+a1x+a0，其中a0≠0,
g(x)=xn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+???+a1.证明：1)(f(x),g(x))=1;
2）(x-1)|f(x)的充分必要条件是g(1)=-a0
证明：(1)利用带余除法f(x)=xg(x)+a0，因为a0≠0，而且
g(x)=a0(1/a0)g(x)+0，因此(f(x),g(x))=1。
(2)(x-1)|f(x)的充分必要条件是f(1)=0。另一方面
f(1)=1+an-1+an-2+L+a1+a0=g(1)+a0
因此f(1)=0的充分必要条件是g(1)+a0=0，即g(1)=-a0，命题得证。
2.证明：Dn=
n(n-1)2?n+1?n-1
=(-1)??n.L?2?
1Ln-3n-22Ln-2n-1
Ln-1LnL1LL
证明：第n行减去第n-1行，第n-1减去第n-2行，……,第3行减去第2行，第2行减去第1行得：
LLLLLLLLn-1n1Ln-3n-111-nn12Ln-2n-111-n1
将第2，3，……，n列依次加到第一列可得
Ln-1LnL1Ln-1nL11-nL1-n1LLL
-n1-n1Ln-1nL11-nL1-n1n(n+1)
11-nL11-11-n
L11-nL1-n1LLLLL
11L0-nL-n0LLLL00L00
(-1)*c1(-1)LL
11-n11=(-1)(-1)
π(n-1,n-2,L,2,1)
LLL31(-1)L
n(n-1)n(n+1)?n+1?n-1
D'=(-1)??n.2?2?
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