一道高数题(无穷小等价代换习题)

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无穷小量的阶与一道极限题的初等解法--《曲阜师院学报(自然科学版)》1985年03期
无穷小量的阶与一道极限题的初等解法
【摘要】：正 关于同阶无穷小量的概念,在数学分析教材中通常出现两种不同的定义。第一种定义是:设x→x_0时,f(x)与g(x)均为无穷小量,如果存在正数K与L,使得在x_0的某空心邻域内,有K≤|f(x)/g(x)|≤L,则称当x→x_0时,f(x)与g(x)同阶无穷小。例如华师大数学系
【关键词】：
【正文快照】：
关于同阶无穷小量的概念,在数学分析教材中潭常出现两种不同的定义。第一种定义是:设x”x。时,厂(x)与g(x)均为无穷小量,如果存在正数K与L,使得在x。的某空心邻域一一。_{f(x)!_二~,~、:,,:、,__、、,~。*一~,_,.,_,。、奋.,、。~内,有K压1扮试1‘L,则称当x、x。时,f(x)与g(x
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注意到 (1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2x)^{\frac{1}{2x}}=-\int_{x}^{2x}\frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}}{1+t}\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2} dt
以及当 t--&0时，(1+t)^{\frac{1}{t}}-&e 并且\frac{t-(1+t)\ln(1+t)}{t^2}\to\frac{1-\ln(1+t)-1}{2t}\to\frac{-\frac{1}{1+t}}{2}
知道 原式\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{1/x}-(1+2x)^{1/(2x)}}{\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\int_{x}^{2x}\frac{-e}{2}dt}{\sin{x}}=\frac{e}{2}
这个方法最好，刚开始学高数，哪有积分，罗比它法则，就只有等价无穷小和两个重要极限的知识
发错了，该发到上面
这个方法最好
数学老学徒&&shabaolin 霞栖影
这个解法是错误的， 原因有二：
（1） 等价无穷小 不适合用于 带加减的表达式中， 按 wurongjun 专家的结论，可以用于乘法因子的替换
(2), 如果解法中的成立， 那么可否推出 (1+x)^{\frac{1}{x}}\sim (1+x\cdot \frac{1}{x})
所以我觉得， 能够得到同样的答案是纯属巧合， 证明过程可以写的更加严谨的
我是搞工程的，等价无穷小的替换确实有好多讲究，我没有研究过，这些知识只是为了对付考研积累的，也没看过类似的专著
我只觉得你有欠考虑，虽然你已经考虑了很多。
不好意思，我有些吹毛求疵了。按邓Core说法，不管黑猫白猫，能逮到耗子就是好猫。
就像Euclid 不在乎第五公设，Euler 类比求出平方数倒数和， Newton到处应用无穷小量，Dirichlet耕耘调和分析，Kempe宣告证明四色定理，都是一时佳话。
麻烦问一下，你的第一个积分是怎么积出来的？
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