答案：解析：解：∠ABC=30°，∠ACD=45°．
则∠BAC=45°－30°=15°
请选择年级高一高二高三请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：高中数学
来源：数学教研室
吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A如图，山顶上有一电视塔BC，在塔底C处测得地面上一点A的俯角∠α= 45°，在塔顶B处测得A的俯角∠β=60°，已知塔高BC=60米，求山高CD。（精确到1米，=1.732）
解：设山高CD=x（米）∵，，∴ AD=CD= x∵∴∴∴（米）答：山高CD约为82米。
如图所示，在小山顶上有一电视发射塔，在塔顶B处测地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得A点的俯角β=45°，已知塔高BC=72米，求山高CD．（答案保留根号）
如图，山丘顶上有一座电视塔，在塔顶B处测的地面上A的俯角α=60°，在塔底C处测得A的俯角β=45°，已知塔高BC=60米，求山丘CD的高．（
=1.73，结果保留两个有效数字）
如图，在坡角α为30°的山顶C上有一座电视塔，在山脚A处测得电视塔顶部B的仰角为45°，斜坡AC的长为400m，则电视塔BC的高为（
高考全年学习规划
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中考数学分类汇编直角三角形.doc(4.26MB)
类别 : 试卷
（备战中考）江苏省 2012 年中考数学深度复习讲义
（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）
直角三角形
◆考点聚焦[来源:学科网]
1．运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及
简单的实际问题．
2．运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形．
3．折叠问题．
4．将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合
◆备考兵法
1．正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数．21世纪教育网
2．在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程（组）来解
决问题，实现几何问题代数化．
3 ． 在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角
（30°，45°，60°）．若有，则应运用一些相关的特殊性质解题．
4．在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时，常常通过作高转化为直角三角形
5．折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥
空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路．
◆识记巩固
1．勾股定理：____________．
2．勾股定理的逆定理：___________．
识记巩固参考答案:
1．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 c2=a2+b2（c为斜边）
2．如果三角形的三边长 a，b，c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角
◆典例解析
（2011山东德州 20,10分）某兴趣小组用高为 1.2米的仪器测量建筑物
CD的高度．如示意图，由距 CD一定距离的 A处用仪器观察建筑物顶部 D的仰角为
β ，在 A和 C之间选一点 B，由 B处用仪器观察建筑物顶部 D的仰角为 α ．测得
A，B之间的距离为 4米， tan 1.6α = ， tan 1.2β = ，试求建筑物 CD的高度．
【答案】解：设建筑物 CD与 EF的延长线交于点G，DG=x米． …………1分
在Rt △DGF 中, tan DGGFα = ，即 tan
…………2分 21世纪教育网
在Rt △DGE中， tan DGGEβ = ，即 tan
…………3分
xGE β= ．
xEF β= tan
∴4 1.2 1.6
解方程得： x =19.2．
∴ 19.2 1.2 20.4CD DG GC= + = + = ．
答：建筑物高为 20.4米．
………10分
如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=10，点 P 在矩形的边 DC 上，且由点 D
向点 C 运动，沿直线 AP 翻折△ADP，形成如下四种情形．设 DP=x，△ADP 和矩形的
重叠部分（阴影）的面积为 y．
（1）如图丁，当 P 运动到 C 点重合时，求重叠部分的面积 y；
（2）如图乙，当点 P 运动到何处时，翻折△ADP 点 D 恰好落在 BC 边上，这时
重合部分的面积 y 是多少？
（1）如图丁，由题意可知∠DAC=∠D′AC=∠ACE，∴AE=CE．
设 AE=a，则BE=10-a．
在 Rt△ABE中，a2=82+（10-a）2．
解得：a=8.2．
∴重叠部分的面积y= 12 CE·AB=
2 ×8.2×8=32.8（平方单位）．
（2）如图乙，由题意知：△DAP≌△D′AP，
∴AD=AD′=10，PD′=DP=x．
在 Rt△ABD′中，AB=8，AD′=10，
∴BD′= 2 210 8- =6，∴D′C=4．
在 Rt△PD′C中，x2=（8-x）2+42，
∴y= 12 AD·DP=
2 ×10×5=25（平方单位）．
∴当DP=5时，点P恰好落在BC边上，这时y=25．
图形的折叠是新课标下中考命题的一个热点．在解决有关折叠问题时，仔细观
察，认真思考，寻找折叠过程中的不变量，寻找直角三角形，运用方程思想加以解决．
2011 年真题
一、选择题
（ 2011 湖北武汉市， 10， 3 分）如图，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，
∠QON=30°．公路 PQ上 A处距离 O点 240米．如果火车行驶时，周围 200米以内会受到
噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以 72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影
响的时间为
2. （2011湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡 AB的坡比是 1： 3，堤高
BC=5m，则坡面 AB的长度是（
3. （2011山东东营，8，3分）河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5米，迎水坡 AB的坡比
1： 3（坡比是坡面的铅直高度 BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（
A．5 3米 B．10米 C．15米 D．10 3米
4. （2010湖北孝感，10，3分）如图，某航天飞船在地球表面 P点的正上方 A处，从 A处
观测到地球上的最远点 Q，若∠QAP=α，地球半径为 R，则航天飞船距离地球表面的最近距
离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（
- ， ( )90 180
- ， ( )90 180
- ， ( )90 180
5. （2011宁波市，9，3分）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为 h，滑梯的坡角为 a，那么
滑梯长 l为
6. （2011台湾台北，34）图(十六)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针
上有一点 A，且当钟面显示 3点 30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度
为 10公分。如图(十七)，若此钟面显示 3点 45分时，A点距桌面的高度为 16公
分，则钟面显示 3点 50分时，A点距桌面的高度为多少公分
A． 3322－ 　　B． pi＋16 　　C．18　　　D．19
7. （2011山东潍坊，10，3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出
风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝
中最高的是（
同学 甲 乙 丙 丁
放出风筝线长 140m 100m 95m 90m
线与地面夹角 30° 45° 45° 60°
8. （2011四川绵阳 10，3）周末，身高都为 1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们
所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在 A处测得她看塔顶的仰角 α为 45°，小丽站在
B处测得她看塔顶的仰角 β为 30°.她们又测出A、B两点的距离为 30米。假设她们的眼睛离
头顶都为 10cm，则 可计算出塔高约为(结果精确到 0.01，参考数据：=1.414，=1.73)
A.36.21 米
B.37. 71 米
C.40 . 98 米
D.42.48 米
二、填空题
1. （2011山东济宁，15，3分）如图，是一张宽m的矩形台球桌 ABCD，一球从点M
（点M 在长边CD上）出发沿虚线MN 射向边 BC，然后反弹到边 AB上的 P点. 如
果MC n= ， CMN α∠ = .那么 P点与B点的距离为
【答案】 tantan
2. （2011浙江衢州，13,4 分）在一次夏令营活动中，小明同学从营地 A出发，要到 A地
的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了 200m到达 B地，再沿北偏东30°方向走
恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C、 两地相距
【答案】200
3. （2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度 i=1∶ 3，
坝外斜坡的坡度 i=1∶1，则两个坡角的和为
【答案】75
4. （2011广东株洲，11，3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚 A出发，沿与地面成
30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，
则孔明从A到B上升的高度BC是
( 第 15 题 )
（第 13题）
【答案】40
5. （2011浙江义乌，15，4分）右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其
中 AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长
约是 25 m，则乘电梯从点 B到点 C上升的高度 h是
21世纪教育网
6. (2011广东茂名，13，3分）如图，在高出海平面 100米的悬崖顶 A处，观测海平面上一
艘小船 B，并测得它的俯角为 45°,则船与观测者之间的水平距离 BC＝
【答案】100
7. （2011湖北襄阳，14，3分）在 207国道襄阳段改造工程中，需沿 AC方向开山修路（如
图 3所示），为了加快施工速度，需要在小山的另一边同时施工.从 AC上的一点 B取
∠ABD＝140°，BD＝1000m，∠D＝50°.为了使开挖点 E在直线 AC上，那么 DE＝
m.（供选用的三角函数值：sin50°＝0.7660，cos50 °＝0.6428，tan50°＝1.192）
【答案】642.8
8. （2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯 A射出
的光线 AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面离地面的距离为 1m
则该车大灯照亮地面的宽度 BC是
m .（不考虑其它因素）
【答案】1.4
9. （2011重庆市潼南,16,4分）如图，某小岛受到了污染，污染范围可
以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形
区域的直径,在对应⊙O的切线 BD（点D为切点）上选择相距 300米的 B、C两点，分别
测得∠ABD= 30°，∠ACD= 60°，则直径AD=
米.（结果精确到1米）
（参考数据： 414.12 ≈
732.13 ≈ ）
【答案】260
三、解答题
1 . （2011浙江金华，19，6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当 50°≤α≤70°（α为梯
子与地面所成的角），能够使人安全攀爬，现在有一长为 6米的梯子 AB，试求能够使人安
全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度 AC.（结果保留两个有效数字，
sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
【解】由题意知，当 α越大，梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当 50°≤α≤70°时，能够使
人安全攀爬，所以当 α=70°时 AC最大.
在 Rt△ABC中，AB=6米，α=70 °，
sin70°=，即 0.94≈，解得 AC ≈5.6.
答：梯子的顶端能达到的最大高度 AC≈5.6米.
2. （2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道 AB的长度．已知在离
地面 1500m高度 C处的飞机上，测量人员测得正前方 A、B两点处的俯角分别为 60°和
45°．求隧道 AB的长．
（参考数据：=1.73）
【答案】∵OA 35003
3150030tan1500 =×=×= ? ， OB=OC=1500，
∴A B= 001500 =-≈- （m）.
答：隧道 AB的长约为 635m．
3. （2011广东东莞，17，7分）如图，小明家在 A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条
公 路 l ， AB 是 A 到 l 的 小 路 。 现 新 修 一 条 路 AC 到 公 路 l ． 小 明 测 量 出
∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路 l的距离 AD的长度（精确到
0.1m；参考数据： 2 1.414, 3 1.732≈ ≈ ）
【解】设小明家到公路 l的距离AD的长度为xm.
在 Rt△ABD中，
∵∠ABD= 045 ，∴BD=AD=x
在 Rt△ABD中，
∵∠ACD= 030 ，∴ tan ADACD CD∠ = ，即
0tan 30 50
解得 25( 3 1) 68.2x = + ≈
小明家到公路 l的距离AD的长度约为68.2m.
……………………………………………8
4. （2011江苏扬州，25,10分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已
知真空集热管 AB与支架 CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架 CD与水平面AE垂
直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°.
(1)求垂直支架 CD的长度。（结果保留根号）
（2）求水箱半径 OD 的长度。（结果保留三个有效数字，参考数据： 41.12 ≈ ，
73.13 ≈ ）
【答案】解：（1）在 Rt△DCE中，∠CED=60°，DE=76，
∵sin∠CED= DE
∴DC=DE×sin∠CED = 38 3
答：垂直支架 CD的长度为 38 3厘米。
（2）设水箱半径OD=x厘米，则OC=(38 3 +x)厘米，AO=(150+x)厘米，
∵Rt△OAC中，∠BAC=30°
∴AO=2×OC
即：150+x=2(38 3 +x)
解得：x=150－76 3 ≈18.52≈18.5(厘米)
答：水箱半径OD的长度为 18.5厘米。
5. （2011山东德州 20,10分）某兴趣小组用高为 1.2米的仪器测量建筑物 CD的高度．如示
意图，由距 CD一定距离的 A处用仪器观察建筑物顶部 D的仰角为 β ，在 A和 C之间选一
点 B，由 B处用仪器观察建筑物顶部 D的仰角为α ．测得 A，B之间的距离为 4米，
tan 1.6α = ， tan 1.2β = ，试求建筑物 CD的高度．
【答案】解：设建筑物 CD与 EF的延长线交于点G，DG=x米． …………1分
在Rt △DGF 中, tan DGGFα = ，即 tan
…………2分
在Rt △DGE中， tan DGGEβ = ，即 tan
…………3分
xGE β= ．
xEF β= tan
∴4 1.2 1.6
解方程得： x =19.2．
∴ 19.2 1.2 20.4CD DG GC= + = + = ．
答：建筑物高为 20.4米．
………10分[来源:学*科*网 Z*X*X*K]
（2011 山东威海，23，10 分）一副直角三角板如图放置，点 C在 FD 的延长线上，
AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求 CD的长．
解：过点 B作 BM⊥FD于点 M．
在△ACB中，∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°,
BC=AC tan60°=10 3 ,
∵AB∥CF，∴∠BCM=30°．
∴ 1sin 30 10 3 5 32BM BC= × ° = × =
3cos30 10 3 152CM BC= × ° = × =
在△EFD中，∠F=90°, ∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
∴ 5 3MD BM= = ．
∴ 15 5 3CD CM MD= - = - ．
7. （2011山东烟台，21,8分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如
图所示是护城河的一段，两岸 ABCD，河岸 AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均
为 10米.小明先用测角仪在河岸 CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走 50米到达 N点，测
得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽 FR（结果保留两位有效数字）.
（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos
72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【答案】解：过点 F作 FG∥EM交 CD于G.
则MG＝EF＝20米.
∠FGN＝∠α＝36°.
∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝ 36°.
∴∠FGN＝∠GFN，
∴FN＝GN＝50－20＝30（米）.
在 Rt△FNR中，
FR＝FN×sinβ＝30×sin72°＝
30×0.95≈29（米）.
8. (2011 浙江绍兴，20，8分)为倡导“地摊生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图
1所示是一辆自行车的实物图，车架档 AC与CD的长分别为 45cm，60cm，且它们相互垂
直，座杆CE的长为20cm，点 , ,A C E在同一条直线上，且 75CAB∠ = °，如图2.
（1）求车架档 AD的长
（2）求车座点E到车架档 AB的距离.
（记过精确到1cm，参考数据：sin 75 0.959 cos75 0.2588 tan 75 3.7321° ≈ ° ≈ ° ≈，， ）
【答案】解（1） 2 245 60AD = +
∴车档架 AD的长为 75 cm
（2）过点E作EF AB⊥ ，垂足为点F ，
距离 sin 75 =(45 20)sin 75EF AE= ° + ° 62.7835 63cm≈ ≈
∴车座点E到车档架 AB的距离是 63cm
（2011浙江省，21，10分）图 1为已建设封顶的 16层楼房和其塔吊图，图 2为其示意
图，吊臂 AB 与地面 EH 平行，测得 A 点到楼顶 D 的距离为 5m，每层楼高
3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面．
第 20题图 2
(1)求 16层楼房DE的高度；
(2)若 EF=16m，求塔吊的高 CH 的长（精确到 0.1m）.
【答案】据题意得：DE=3.5×16=56，AB=EF=16
∵∠ACB=∠CBG－∠CAB=15°，
∴CB=AB=16.
∴CG=BC×sin30°= 8
CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69.
∴塔吊的高 CH的长为 69m.
10．（2011浙江台州，21,10分）丁丁要制作一个形如图 1的风筝，想在一个矩形材料中
裁剪出如图 2 阴影所示的梯形翅膀，请你根据图 2中的数据帮助丁丁计算出 BE，CD的长
度（精确到个位， 7.13 ≈ ）
【答案】解：在 Rt△BEC中，∠BCE=30?,EC=51，∴BE= 317 ≈30，AE=64
在 Rt△AFD中，∠FAD=45?,FD=FA=51，∴CD=64—51≈13
∴CD=13cm，BE=30cm.
11. （2011浙江丽水，19，6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当 50°≤α≤70°(α为梯子
与地面所成的角)，能够使人安全攀爬，现在有一长为 6米的梯子 AB，试求能够使人安全
攀 爬 时 ， 梯 子 的 顶 端 能 达 到 的 最 大 高 度 AC.( 结 果 保 留 两 个 有 效 数 字 ，
sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)
【解】当 α=70°时，梯子顶端达到的最大高度，
∵sinα=，
∴AC = sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米)
答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约 5.6米.
12. （2011江西，22，9分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称
图形。当点O到 BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为
OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材料做了
一个水桶提手（如图丙 A-B-C-D-E-F，C-D是弧 CD，其余是线段），O是 AF的中点，桶
口直径AF=34cm，AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°。请通过计算判断这个水桶提手是否合
（参考数据： 314 ≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97。）
【答案】解：连结OB，过点O作OG⊥BC于点G.在 Rt△ABO中，
AB=5，AO=17，∴tan∠ABO= 4.35
∴∠ABO=73.6°,
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°
又∵OB= 31475 22 =+ ≈17.72，
∴在 Rt△OBG中，OG=OB×sin∠GBO=17.72×0.97≈17.19＞17.
∴水桶提手合格.
13. （2011湖南常德，24，8分）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败
屡试，永不言弃.（如图 7所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部 A处测得懒羊羊所在地
B处的俯角为 60°，然后下到城堡的 C处，测得 B处的俯角为 30°.已知AC=40米，若灰
太狼以 5m/s的速度从城堡底部 D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个
【答案】解：在 Rt△BCD中，
∵∠BCD=90°－30°=60°
∴ tan 60BDCD = °，,则BD CD= ３，
在 Rt△ABD中，21世纪教育网
∵∠ABD=60°
tan 60ADBD = °，
即 40 3, 203
∴ 3 35 75 5
CDt = ≈ =
故约 7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊.
14. （2011湖南邵阳，20，8分）崀山成功列入世界自然遗产名录后，景区管理部门决定在
八角寨假设旅游索道设计人员为了计算索道 AB（索道起点为山脚 B处，终点为山顶 A
处）的长度，采取了如图（八）所示的测量方法。在B处测得山顶A的仰角为 16°，查阅相
关资料得山高 AC=325 米，求索道 AB 的长度。（结果精确到 1 米，参考数据
sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
【答案】解：AB=AC÷sin 16°= 325÷0.28≈1161米。
15. （2011湖南益阳，18，8分）如图 8,AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线 CDE
不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆 BD，用于
撑起拉线．已知公路的宽 AB为 8米，电线杆 AE的高为 12米，水泥撑杆 BD高
为 6米，拉线 CD与水平线 AC的夹角为 67.4°．求拉线 CDE
的总长 L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大
小忽略不计）．
(参考数据： 12sin 67.4 13≈
? ， 5cos67.4 13≈
? ， 12tan67.4 5=
【答案】解：⑴在 Rt ? DBC中， sin BDDCB CD∠ = ，
6 6 6.512sin sin67.4
BDCD DCB∴ = = = =∠ ? （m）.
DF AE F ABDF⊥作于，则四边形为矩形 ，
8DF AB∴ = = ， 6AF BD= = ， 6EF AE AF∴ = - = ，
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2 2 2 26 8 10Rt EFD ED EF DF? + = + =在中, = （m）.
10 6.5 16.5L∴ = + = （m）
16. （2011江苏连云港，24，10分）如图，自来水厂 A和村庄 B在小河 l的两侧，现要在
A，B间铺设一条输水答道.为了搞好工程预算，需测算出 A，B间的距离.一小船在点 P处
测得 A在正北方向，B位于南偏东 24.5?方向，前行 1200m,到达点 Q处，测得 A位于北偏
西 49?方向，B位于南偏西 41?方向.
（1）线段 BQ与 PQ是否相等？请说明理由；
（2）求 A，B间的距离.
（参考数据：cos41?≈0.75）
【答案】(1)∵B位于 P点南偏东 24.5?方向 ,∴∠BPQ=65.5? ,又∵B位于 Q点南偏西 41?
方向 , ∴∠PQB=49?, ∴∠PBQ=65.5?, ∴PQ=BQ(等角对等边),(2)∵点 P处测得 A
在正北方向 ,在 Rt APQ△ 中 ,cos PQAPQ AQ∠ = ,∴AQ=1600,由(1)得 PQ=BQ=1200，∵
在点 Q处，测得 A位于北偏西 49?方向，B位于南偏西 41?方向，∴∠AQB=90?，在
Rt ABQ△ 中，AB= 2 2 2
2000AQ BQ+ = + = （m） .
18. （2011江苏苏州，25,8分）如图，小明在大楼 30米高（即 PH=30 米）得窗口 P处进行
观测，测得山坡上 A处的俯角为 15°，山脚 B处得俯角为 60°，已知该山坡的坡度 i（即
tan∠ABC）为1： 3，点P、H、B、C、A在同一个平面上.点 H、B、C在同一条直线上，且
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于_____ ___度；
（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据： 3≈1.732）.
【答案】解：（1）30.
（2）由题意得：∠PBH=60°，∠APB=45°.
∵∠ABC=30°，∴∠APB=90°.
在 Rt△PHB中，PB= PBH
∠sin =20 3，
在 Rt△PBA中，AB=PB=20 3≈34.6.
答：A、B两点间的距离约 34.6米.
19. （2011江苏宿迁,23,10分）如图，为了测量某建筑物 CD的高度，先在地面上用测角仪
自 A处测得建筑物顶部的仰角是 30°，然后在水平地面上向建筑物前进了 100m，此时
自 B处测得建筑物顶部的仰角是 45°．已知测角仪的高度是 1.5m，请你计算出该建筑
物的高度．（取 3＝1.732，结果精确到 1m）
解：设 CE＝xm，则由题意可知 BE＝xm，AE＝(x＋100)m．
在 Rt△AEC中，tan∠CAE＝ AE
CE ，即 tan30°＝ 100+x
（第 23题）
45°30°100
x ，3x＝ 3 (x＋100)
解得 x＝50＋50 3＝136.6
∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)
答：该建筑物的高度约为 138m．
20．（2011江苏泰州，23，10分）一幢房屋的侧面外壁的形状如图所示，它由等腰三角形
OCD和矩形 ABCD组成，∠OCD=25°．外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的
形状是四边形 EFGH，测得 FG ∥EH，GH=2.6cm , ∠FGB=65°．
（1）求证：GF⊥OC；
（2）求 EF的长（结果精确到 0.1m）．
(参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91)
【答案】解：（1）设 CD与 FG交于点M，由 CD∥AB，∠FGB=65°，可得∠FGC=65°，
又∠OCD=25°，于是在△FGC中，可得∠CFM=90°，即GF⊥OC．
（2）过点G作GN⊥HE，则GN=EF，在 Rt△GHN中，
sin ∠EHG= GH
GN ,即GN=GH sin ∠EHG=2.6 sin 65°=2.6×0.91=2.366≈2.4cm.
21. （2011广东汕头，17，7分）如图，小明家在 A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条
公 路 l ， AB 是 A 到 l 的 小 路 。 现 新 修 一 条 路 AC 到 公 路 l ． 小 明 测 量 出
∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路 l的距离 AD的长度（精确到
0.1m；参考数据： 2 1.414, 3 1.732≈ ≈ ）
【解】设小明家到公路 l的距离AD的长度为xm.
在 Rt△ABD中，
∵∠ABD= 045 ，∴BD=AD=x
在 Rt△ABD中，
∵∠ACD= 030 ，∴ tan ADACD CD∠ = ，即
0tan 30 50
解得 25( 3 1) 68.2x = + ≈
小明家到公路 l的距离AD的长度约为68.2m.
22. （2011山东聊城，21，8分）被誉为东昌三宝之首的铁塔，始建于北宋时期，是我市现
存的最古老的建筑，铁塔由塔身和塔座两部分组成（如图①）．为了测得铁塔的高度
小莹利用自制的测角仪，在 C点测得塔顶 E的仰角为 45°，在 D点测得塔顶 E的仰角
为 60°，已知测角仪 AC的高为 1．6米，CD的长为 6米，CD所在的水平线 CG⊥EF
于点G（如图②），求铁塔 EF的高（结果精确到 0．1米）．
【答案】设 EG＝x米，在 Rt△CEG中，∵∠ECG＝45°，∴∠CEG＝45°，∴∠ECG＝
∠CEG，∴CG＝EG，＝x米，在 Rt△DEG中，∠EDG＝60°，tan∠EDB＝ DG
= ，∵CG－DG＝CD＝6， ∴ 3
xx - ＝6，解得 x＝9＋ 33 ，∴EF＝EG
＋FG＝9＋ 33 ＋16≈158，所以铁塔高约为 158米
23. （2011山东潍坊，19，9分）今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动.
他们从山脚下 A点出发沿斜坡 AB到达 B点，再从 B点沿斜坡 BC到达山顶 C点，路线
如图所示.斜坡 AB的长为 1040米，斜坡 BC的长为 400米，在 C点测得 B点的俯角为
30°,.已知 A点海拔 121米，C点海拔 721米.
（1）求 B点的海拔；
（2）求斜坡 AB的坡度.
【 解 】 （ 1 ） 如 图 所 示 ， 过 点 C 作 CF⊥AM ， F 为 垂 足 ， 过 点 B 作
BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足.
∵在 C点测得 B点的俯角为 30°，
∴∠CBD=30°，又∵BC=400米，
∴CD=400×sin30°=400× 12 =200（米）.
∴B点的海拔为 721－200=521（米）.
（2）∵BE=521－121=400（米），AB=1040米，
∴ 2 2 2 0AE AB BE= - = - = （米）.
∴AB的坡度 400 5960 12AB
BEi AE= = = ，所以斜坡 AB的坡度为1：2.4.
24. （2011 广东汕头，19，7 分）如图，直角梯形纸片 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝
90°，∠C=30°．折叠纸片使 BC经过点D．点 C落在点 E处，BF是折痕，且 BF= CF =8．
（l）求∠BDF的度数；
（2）求 AB的长．
【解】（1）∵BF=CF，∠C= 030 ，[来源:Z.]
∴∠FBC= 030 ，∠BFC= 0120
又由折叠可知∠DBF= 030
∴∠BDF= 090
（2）在 Rt△BDF中，
∵∠DBF= 030 ，BF=8
∴BD=4 3 [来源:21世纪教育网]
∵AD∥BC，∠A= 090
∴∠ABC= 090
又∵∠FBC=∠DBF= 030
∴∠ABD= 030
在 Rt△BDA中，
∵∠AVD= 030 ，BD=4 3
25. （2011四川广安，26，9分）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，
如图 7所示，测得树底部中心 A到斜坡底 C的水平距离为 8. 8m．在阳光下某一时
刻测得 1米的标杆影长为 0.8m，树影落在斜坡上的部分 CD= 3.2m．已知斜坡 CD
的坡比 i=1： 3，求树高AB。（结果保留整数，参考数据： 3 ≈1.7）
【答案】解：如图，延长 BD与 AC的延长线交于点 E，过点D作DH ⊥ AE于H
26. （2011四川内江，20，9分）放风筝是大家喜爱的一种运动。星期天的上午小明在大洲
广场上放风筝。如图他在 A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了 D处，
此时风筝线 AD与水平线的夹角为 30°。为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了
离A处 7米的 B处，此时风筝线 BD与水平线的夹角为 45°。已知点A、B、C在同一条直线上，
∠ACD=90°。请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为
线段， 2 1.414≈ ， 3 1.732≈ ，最后结果精确到 1米）
【答案】设 BC=CD=x米，得
xx 37 =+ ，解得 2
∴AD－BD=2x－ x2 = 62
)13(7)22( ≈+×- (米)
27. （2011四川宜宾,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）飞行，前方有
一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶 M到飞行路线 AB的距离MN．飞机
能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方 N处才测飞
行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．
（ 22题图）
【答案】解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分
⑴如图，测出飞机在 A处对山顶的俯角为α ，测出飞机在 B处对山顶的俯角为β，测出
AB的距离为 d，连接AM，BM．
⑵第一步，在 AMNRt? 中， AN
第二步，在 BMNRt? 中， BN
其中 BNdAN += ，解得
28. (2011重庆綦江，20，6分)如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的
电子屏幕 CD, 点 A是小刚的眼睛，测得屏幕下端 D处的仰角为 30°，然后他正对屏幕
方向前进了 6米到达 B处，又测得该屏幕上端 C处的仰角为 45°，延长 AB与楼房垂直
相交于点 E,测得 BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离 CD. （结
果保留根号）
【答案】：解：∵∠CBE＝45° CE⊥AE
∴CE＝BE＝21
AE＝21＋6＝27
在 Rt△ADE中，∠DAE＝30°
∴DE＝AE×tan30°＝27× 3
∴CD＝CE－DE＝21－9 3
∴该屏幕上端与下端之间的距离 CD＝21－9 3
29. （2011江西南昌，22，9分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴
对称图形。当点O到 BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半
径为 OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材
料做了一个水桶提手（如图丙 A-B-C-D-E-F，C-D是弧 CD，其余是线段），O是 AF的中
点，桶口直径AF=34cm，AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°。请通过计算判断这个水桶提手
（第 25题解答图）
是否合格。
（参考数据： 314 ≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97。）
【答案】解：连结OB，过点O作OG⊥BC于点G.在 Rt△ABO中，
AB=5，AO=17，∴tan∠ABO= 4.35
∴∠ABO=73.6°,
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°[21世纪教育网]
又∵OB= 31475 22 =+ ≈17.72，
∴在 Rt△OBG中，OG=OB×sin∠GBO=17.72×0.97≈17.19＞17.
∴水桶提手合格.
30. （2011安徽芜湖，18，8分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地
面的古塔 BD的高度，他们先在 A处测得古塔顶端点 D的仰角为 45°，再沿着 BA的方向
后退 20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30° .求该古塔 BD的高度( 3 1.732≈ ,结果
保留一位小数).
解：根据题意可知: 45 , 30 .BAD BCD∠ = ° ∠ = ° 20m.AC =
在Rt ABD△ 中,由 45 ,BAD BDA∠ = ∠ = ° 得 AB BD= .
…………………………2分
在Rt BDC△ 中,由 tan BDBCD BC∠ = .得 3 .tan30
BDBC BD= =
………………………4分
又∵BC AB AC- = ,∴ 3 20BD BD- = .∴ 20 27.33 1BD = ≈- (m).………………7分
答：该古塔的高度约为 27.3m.
31. （2011山东济宁，18， 5分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注
事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄
漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估．如图上午 9时,海检船位于A处，观测到
某港口城市 P位于海检船的北偏西 67.5°，海检船以 21海里/时的速度向正北方向行驶，下
午 2时海检船到达 B处，这时观测到城市 P位于海检船的南偏西 36.9°方向，求此时海检船
所在 B 处与城市 P 的距离？（参考数据： sin36.9°≈ 35， tan36.9°≈
4 ， sin67.5°≈
，tan67.5°≈125 ）
【答案】解：过点 P作 PC⊥AB，垂足为 C，设 PC=x海里．
　　　　在 Rt△APC中，∵tan∠A= PCAC ，∴AC=
tan 67.5 12
．…………2分
　　　　在 Rt△PCB中，∵tan∠B= PCBC ，∴BC=
．…………4分
∵AC＋BC=AB=21×5，∴ 5 4 21 512 3
+ = × ，解得 60x = ．
　　　　∵sin PCB PB∠ = ，∴
60 560 100sin sin 36.9 3
PCPB B= = = × =∠ ° （海里）．
　　　　∴海检船所在 B处与城市 P的距离为 100海里．………………6分
32. （2011四川成都，16,6分）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东
向西行驶．在航行到 B处时，发现灯塔 A在我军舰的正北方向 500米处；当该军舰从 B处
向正西方向行驶至达 C处时，发现灯塔 A在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰行驶的路
程．（计算过程和结果均不取近似值)
【答案】解：由题意可知，在 Rt△ABC中，AB=500 m，∠ACB=90°－60°=30°，
∵ tan∠ACB= BC
∴BC= 350030tan
tan 0 ==∠ACB
AB （m），
∴该军舰行驶的路程为 3500 米.
33. （2011广东省，17，7分）如图，小明家在 A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公
路 l ， AB 是 A 到 l 的 小 路 。 现 新 修 一 条 路 AC 到 公 路 l ． 小 明 测 量 出
∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路 l的距离 AD的长度（精确到
0.1m；参考数据： 2 1.414, 3 1.732≈ ≈ ）
【解】设小明家到公路 l的距离AD的长度为xm.
在 Rt△ABD中，
∵∠ABD= 045 ，∴BD=AD=x
在 Rt△ABD中，
∵∠ACD= 030 ，∴ tan ADACD CD∠ = ，即
0tan 30 50
解得 25( 3 1) 68.2x = + ≈
小明家到公路 l的距离AD的长度约为68.2m.
34. （ 2011 广东省， 19， 7 分）如图，直角梯形纸片 ABCD 中， AD∥BC，∠A＝
90°，∠C=30°．折叠纸片使 BC经过点D．点 C落在点 E处，BF是折痕，且 BF= CF =8．
（l）求∠BDF的度数；
（2）求 AB的长．
【解】（1）∵BF=CF，∠C= 030 ，
∴∠FBC= 030 ，∠BFC= 0120
又由折叠可知∠DBF= 030
∴∠BDF= 090
（2）在 Rt△BDF中，
∵∠DBF= 030 ，BF=8
∵AD∥BC，∠A= 090
∴∠ABC= 090
又∵∠FBC=∠DBF= 030
∴∠ABD= 030
在 Rt△BDA中，
∵∠AVD= 030 ，BD=4 3
35. （2011江苏淮安，23，10分）题 23-1图为平地上一幢建筑物与铁塔图，题 23-2图为其
示意图.建筑物 AB与铁塔 CD都垂直于底面，BD=30m，在 A点测得 D点的俯角为 45°，测
得 C点的仰角为 60°.求铁塔 CD的高度.
【答案】解：如图，设过点 A的水平线与 CD交于点 E，由题意得
∠AEC=∠AED=90°，∠CAE=60°，∠DAE=45°，AE=BD=30m，
∴CD=CE+DE=AE·tan60°+AE·tan45°=30 3 +30(m).
答：铁塔 CD的高度为(30 3 +30)m.
21世纪教育网
36. ．(2011江苏南京，25，7分)如图，某数学课外活动小组测量电视塔 AB的高度，他们
借助一个高度为 30m的建筑物 CD进行测量，在点 C处塔顶 B的仰角为 45°，在点 E处
测得 B的仰角为 37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度 h．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：在 Rt ECD? 中， tan DEC∠ ＝ DCEC ．
∴EC＝ tan
30 400.75 = （ m）．
在 Rt BAC? 中，∠BCA＝45°，∴ BA CA=
在 Rt BAE? 中， tan BEA∠ ＝ BAEA．∴ 0.7540
h =+ ．∴ 120h = （ m）．
答：电视塔高度约为 120 m．
37. （2011四川凉山州，23，8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座 87m长的水库
(第 25题 )
大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图， AD∥ BC，坝高 10m，迎水坡
面 AB的坡度 53i = ，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的
基础上，将迎水坡面 AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面 AE的坡度 56i = 。
（1） 求原方案中此大坝迎水坡 AB的长（结果保留根号）
（2） 如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿
EC方向拓宽 2.7m，求坝顶将会沿 AD方向加宽多少米？
解：⑴过点B作BF AD⊥ 于F 。
在Rt△ABF中，∵ 56
BFi AF= = ，且 10BF m= 。
∴ 6AF m= ， 2 34AB m=
⑵过点E作EG AD⊥ 于G。
在Rt△AEG中，∵ 53
EGi AG= = ，且。 10BF m=
∴ 12AG m= ， 6BE CF AG AF m= = - =
如图，延长EC至点M ， AD至点N ，
∵方案修改前后，修建大坝所需土石方
总体积不变。
S S=△ABE 梯形CMND
( )1 12 2BE EG MC NDo o = + 。
- - - + ≥?
即 BE MC ND= + 。
( )6 2.7 3.3ND BE MC m= - = - = 。
答：坝底将会沿 AD方向加宽3.3m。
38. （2011江苏无锡，24，9分）(本题满分 9分)如图，一架飞机由 A向 B沿水平直线方向
飞行，在航线 AB的正下方有两个山头 C、D。飞机在 A处时，测得山头 C、D在飞机前方，
俯角分别为 60°和 30°。飞机飞行了 6千米到 B处时，往后测得山头 C的俯角为 30°，而
山头D恰好在飞机的正下方。求山头 C、D之间的距离。
解：在 Rt△ABD中，∵∠BAD
= 30°，∴BD = AB·tan30° = 6 ×
= 2．………………(2分)
∵∠BAC = 60°，∠ABC = 30°，∴∠ACB = 90 °，∴BC = AB·cos30° = 6 ×
…………(4
过点 C作 CE⊥BD于点 E，则∠CBE = 60°，CE = BC·sin60° = ．…………(6分)
∴BE = BC·cos60° =
，………………………………(7分)
DE = BD - BE = 2 -
∴在 Rt△CDE中，CD =
答：山头 C、D之间的距离为(km )．…………………………………………………(9分)
39. （2011湖北黄冈，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡 AB的坡比
1: 3i = （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且 AB=20 m．身高为 1.7 m的小明
站在大堤A点，测得高压电线杆端点 D的仰角为 30°．已知地面 CB宽30 m，求高压电
线杆 CD的高度（结果保留三个有效数字， 3≈1.732）.
【答案】 21.7 10 3+ ≈36.0
40. （2011湖北黄石，22，8分）东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二
高峰，山顶上有黄石电视塔，据黄石地理资料记载：东方山海拔 453.20米，月亮山海
拔 442.00米。一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶 D的正上方 A处
测得月亮山山顶 C的俯角为 α，在月亮山山顶 C的正上方 B处测得东方山山顶 D处的
俯角为 β，如图（7），已知 tanα=0.15987，tanβ=0.15847，若飞机的飞行速度为 180
米/秒，则该飞机从 A到 B处需多少时间？（精确到 0.1秒）
【答案】解：设 AB＝x米，根据题意得，
AD＝x·tanβ=0.15847x
BC=x·tanα=0.15987x
0.1=0.15987 x+442.00
解之得，0.
答：该飞机从A到 B处需 44.4秒
41. （2011贵州贵阳，20，10分）
某过街天桥的设计图是梯形 ABCD（如图所示），桥面DC与地面 AB平行，DC=62米，
AB=88米．左斜面 AD与地面 AB的夹角为 23°，右斜面 BC与地面 AB的夹角为 30°，立柱
DE⊥AB于 E，立柱 CF⊥AB于 F，求桥面DC与地面 AB之间的距离．（精确到 0.1米）
（第 20题图）
【答案】解：在 Rt△ADE中，∠A=23°，
在 Rt△BCF中，∠B=30°，
∵DE⊥AB，CF⊥AB，AB∥CD，
∴CD=EF，DE=CF，
∴++62=88．
解得，DE≈6.4．
即桥面DC与地面 AB之间的距离约为 6.4米．
42. （2011江苏盐城，24，10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB长为 40cm，
灯罩 BC长为 30cm，底座厚度为 2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光
线最佳时灯罩 BC与水平线所成的角为 30°，此时灯罩顶端 C到桌面的高度 CE是多少
（结果精确到 0.1cm，参考数据：≈1.732）[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
【答案】过点 B作 BF⊥CD于 F，作 BG⊥AD于G.
在 Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC·sin30°= 30× =15.
在 Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB·sin60°= 40× = 20.
∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6（cm）cm.
答：此时灯罩顶端 C到桌面的高度CE约是51.6cm.
21世纪教育网
43. （2011广东中山，17,7分）如图，小明家在 A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条
公 路 l ， AB 是 A 到 l 的 小 路 。 现 新 修 一 条 路 AC 到 公 路 l ． 小 明 测 量 出
∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路 l的距离 AD的长度（精确到
0.1m；参考数据： 2 1.414, 3 1.732≈ ≈ ）
【解】设小明家到公路 l的距离AD的长度为xm.
在 Rt△ABD中，
∵∠ABD= 045 ，∴BD=AD=x
在 Rt△ABD中，
∵∠ACD= 030 ，∴ tan ADACD CD∠ = ，即
0tan 30 50
解得 25( 3 1) 68.3x = + ≈
小明家到公路 l的距离AD的长度约为68.3m.
44. （2011湖北鄂州，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡 AB的坡比
1: 3i = （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且 AB=20 m．身高为 1.7 m的小明
站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为 30°．已知地面 CB宽 30 m，求高压电
线杆 CD的高度（结果保留三个有效数字， 3≈1.732）.
【答案】 21.7 10 3+ ≈36.0
45. （2011广东湛江 24,10分）五一期间，小红到美丽的世界地质公园光岩参加社会实践活
动，在景点 P处测得景点 B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东60°方向走 100米到达景点
A，此时测得景点 B正好位于景点 A的正南方向，求景点 A与景点 B之间的距离．（结果
精确到 0.1米）
【答案】过 P作PD AB⊥ ，垂足为D，则 AB AD BD= + ,21世纪教育网
所以 60 , 30A APD° °∠ = ∠ = ，且 100PA = 米，
所以AD=50米，
又， 45B DPB °∠ = ∠ = ,所以DB=DP，而 2
3DP = - = ,
所以 50 50 3 136.6AB = + ≈ 米。
46. （2011贵州安顺，21，8分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河
宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的
方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，
求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈ 5
【答案】过点 C作 CD ⊥ AB于D ，
由题意 ?31=∠DAC ， ?45=∠DBC ，设 CD
x 米，则 AD
=（40+x）米，
在 Rt ACD? 中，tan DAC∠ = AD
x ，解得 x = 60（米）．
47. （2011湖南湘潭市，19，6分）（本题满分6分）
莲城中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度，如图，在C点测得旗杆
顶端 A的仰角为30°，向前走了 6米到达 D点，在D点测得旗杆顶端 A的仰角
为60°(测角器的高度不计).
北 AD＝_______米; 21世纪教育网
北 求旗杆 AB的高度（ 73.13 ≈ ）.
【答案】解：（1）6
（2）在 Rt△ABD中， sin 6sin 60 3 3 3 1.73 5.19AB AD ADB= ∠ = ° = ≈ × = (米 )所以
旗杆 AB 的高度为 5.19米．
48. （2011湖北荆州，21，8分）（本题满分8分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸
筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示.已知上、下桥的坡面线 ME、NF与半圆相切，
上、下桥斜面的坡度 i＝1：3.7，桥下水深 OP＝5米，水面宽度CD＝24米.设半圆的圆心为
O，直径 AB在直角顶点 M、N的连线上，求从 M点上坡、过桥、下坡到 N点的最短路径长.（参
考数据： 3≈pi ， 7.13 ≈ ， 32
【答案】 解：连结OD、OE、OF，由垂径定理知：PD＝ 1 2 CD＝12（m）?
在 Rt△OPD中，
=+=+= OPPDOD （m），
∴OE＝OD＝13m
∵tan∠EMO=i= 1： 3.7 ， 32
= ≈ 1：3.7
∴∠EMO＝15°
由切线性质知∠OEM＝90°
∴∠EOM=75°?
同理得∠NOF＝75°
∴∠EOF＝180°-75°×2＝30°?
在 Rt△OEM中，tan15°＝ EM
∴EM＝3.7×13＝48.1（m）
又 EF的弧长＝30π×13÷180 ＝6.5（m）
∴48.1×2+6.5＝102.7（m）[来源:21世纪教育网]
即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为 102.7米.
2011中考模拟分类汇编：直角三角形与勾股定理
1、 选择题
1、(2011浙江杭州模拟 14)如图折叠直角三角形纸片的直角，使点 C落在斜边 AB上的点 E
处. 已知 AB= 38 , ∠B=30°, 则 DE的长是(
（第 3题）
2.（2011湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为 7，面积为6，则斜边长为
3．（2011年杭州市上城区一模）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜
边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，
且S1 +S3 =4S2，则CD=（
4．（2011年浙江省杭州市模 2）直角三角形两直角边和为 7，面
积为6，则斜边长为（　　）
2、 填空题
1、（2011年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的
四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正
方形的边长为 5cm，则正方形A、B、C、D的面积和是
答案：25cm2[来源:Z,]
2．（学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量
检测试题）如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为
3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该
顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为 SA，SB，已知 SA+SB=13，则纸片
3、(2011浙江杭州模拟 15)如图，将含30°角的直角三角尺 ABC绕点B顺时针旋转150°后
得到△EBD，连结CD.若AB=4cm. 则△BCD的面积为　　　　．
答案： 23cm
4．(2011年宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB =14cm，则阴影部分的面
积_________cm2．
5.(2011浙江省杭州市 8模)如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”
的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若 AC=6，BC=5，将
四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向外延长一倍，得到图 2所示的“数学风车”，
则这个风车的外围周长是__________；
(第 5题图)
6、（2011年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处
放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD的顶端 C处，已知
AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是
7、（2011年浙江杭州八模）如图，小明在 A时测得某树的影长为 3米，B时又测得该树的
影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米.
BF 30°45°
（第 7题）
8、（2011年浙江杭州八模）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四
个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别
向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；
9. (浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，
将边长为 33 + 的等边△ABC折叠，折痕为DE，点 B与点 F
重合，EF和DF分别交 AC 于点M、N，DF ⊥ AB，垂足为
D，A D＝1，则重叠部分的面积为
答案： 3 934 4+
1．（ 2011年杭州三月月考）将一副三角板按如图 1位置摆放,使得两块三角板的直角边
AC和 MD 重合.已知 AB=AC=8 cm,将△MED绕点 A(M)逆时针旋转
60°后(图 2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是
答案： 31648 -
2．（2011年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程 2 7 12 0x x- + = 的两根恰好是一直
角三角形的两边长，则该直角三角形的面积为
3、（2011年浠水模拟 2）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个
全等的直角三角形围成的，若 AC=6，BC=5，将四个 直角三角形中边长为 6的直角边分
别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________
4. （2011年杭州市模拟）侧棱长为15cm的直三棱柱的三个侧面面积分别为 25 2 2cm 、
25 5 2cm 和 25 3 2cm ，则该棱柱上底面的面积为　　　　　　 2cm ．
答案： 25 618
5. （2011年海宁市盐官片一模）已知 cba ,, 是直角三角形的三条边，且 cba && ，斜边
上的高为h，则下列说法中正确的是
。（只填序号）
① ( hbahba ++=+ ；② 22224 cbhcb =+ ；
③由 cba ,, 可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是 2
答案：②③
6．（2011北京四中一模）在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸 A，B两处之间的距
离，先从 A处出发与 AB成 90°方向，向前走了 10 米到 C处，在 C处测得∠ACB＝60°(如
图所示)，那么A，B之间的距离约为
米（计算结果精确到0.1米)
7. （2011深圳市中考模拟五）等腰三角形的腰长为 2，腰上的高为 1，则它
的底角等于
答案: 15°或75°
3、 解答题
1、(2011浙江杭州模拟 14)
如图，直角梯形 ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点 M以每秒 1个单位
长的速度，从点 A沿线段AB向点 B运动；同时点 P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A 向
点 A运动．当点 M到达点 B时，两点同时停止运动．过点 M作直线 l∥AD，与折线 A-C-B
的交点为 Q．点 M运动的时间为 t（秒）．
（1）当 0.5t = 时，求线段QM 的长；
（2）点 M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，
若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；
解：（1）由 Rt△AQM∽Rt△CAD．
……………………………………………2分
= ，∴ 1QM = ． …………………………………1
（2） 1t = 或 53或 4．
……………………………………………3分
（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线 l交CD于点 E
由（1）可得 CD
即 QM=2t．∴QE=4-2t．………………………2分
∴S△PQC = 2
1 PC·QE= tt 22 +-
………………………………………………1分
即 tty 22 +-=
当 t＞2时，过点C作CF⊥AB交 AB于点 F，交PQ于点 H.
4 ( 2) 6PA DA DP t t= - = - - = - ．
由题意得， 4BF AB AF= - = ．
∴ CF BF= ．
∴ 45CBF∠ = °．
∴ 6QM MB t= = - ．
∴QM PA= ．
∴ 四边形AMQP为矩形．
∴ PQ∥ AB．CH⊥PQ，HF=AP=6- t
∴ CH=AD=HF= t-2
…………………………………………………………1分
∴S△PQC = 2
1 PQ·CH= tt -22
………………………………………1分
即 y= tt -22
综上所述 )20(22 ≤&+-= ttty 或 y= tt -22
( 2& t &6) …………………1分
2、(2011浙江杭州模拟 16)
数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情
形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即 “以数解形”；
或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即 “以形助
如浙教版九上课本第 109 页作业题第 2 题：如图 1，已知在△ ABC 中，
∠ACB=900，CD⊥AB，D 为垂足。易证得两个结论：(1)AC·BC = AB·CD
(2)AC2= AD·AB
（1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图 2，已知在
△ABC中（AC&BC），∠ACB=900，CD⊥AB，D为垂足， CM平分∠ACB,且
BC、AC是方程x2-14x+48=0 的两个根，求AD、MD的长。
（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解： 设 a、b、c、d都是正数，满足 a：
b=c：d,且a最大。求证：a+d&b+c（提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图1）
解：（1）显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8， 1分
∴AC=8，BC=6
由勾股定理AB=10
△ACD∽△ABC，得AC2= AD·AB
∴AD=6.4 -------------------------------2分
∵CM平分∠ACB
∴AM：MB=AC：CB
解得，AM= 7
40 --------------------------------- 1分
∴MD=AD-AM= 35
24 -----------------------------1分
（2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c
由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC
2AB·CD=2AC·BC
-------------------------1分
又勾股定理，得AB2=AC2+BC2
∴AB2+2AB·CD =AC2+BC2+2AC·BC(等式性质)
∴AB2+2AB·CD =（AC+BC）2----------------------1分
∴AB2+2AB·CD+CD2 &（AC+BC）2--------------------2分
∴(AB+CD) 2 &（AC+BC）2
又 AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD&AC+BC即 a+d&b+c--------------------1分
3. （2011年北京四中中考全真模拟 17）如图，有两棵树，一棵高 10米，另一棵高 4米，
两树相距8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
1、探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和
（或差）的有关问题，这种方法称为面积法。请你运用面积法求解下列问题：在等腰三
角形ABC中，AB=AC,BD为腰 AC上的高。
(1)若BD=h，M时直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为 1 2h h， 。
若 M在线段BC上，请你结合图形①证明： 1 2h +h = h；
2 当点 M在BC的延长线上时， 1 2h h， ，h之间的关系为
（请直接写出结论，不必证明）
（2）如图②，在平面直角坐标系中有两条直线 1l ：y = 34 x + 6 ； 2l
：y = -3x+6
若 2l 上的一点 M到 1l 的距离是3，请你利用以上结论求解点 M的坐标。
（1）证明：连结AM
①∵ ABC ABM ACMS S S= +V V V , EM⊥AB , MF⊥AC, BD⊥AC
∴ 12 AC.h =
又∵AB = AC
………………………………………………2分
= h ………………………………………………3分
（2）由题意可知，DE = DF =10,
∴△EDF是等腰三角形。………………………………………4分
当点 M在线段 EF上时，依据（1）中结论，
∵h = EO=6，∴M到DF（即x轴）的距离也为3.
∴点 M的纵坐标为3，此时可求得 M(1,3)……………………6分
当点 M在射线 FE上时，依据（1）中结论
∵h = EO=6，∴M到DF（即x轴）的距离也为 9.
∴点 M的纵坐标为 9，此时可求得 M(-1,9)………………………………8分
故点 M的坐标为(1,3)或(-1,9)
4、（2011年江苏盐都中考模拟） οο pi )2010(30tan212 -+-
解：原式= 133
5．（2011年黄冈中考调研六）(满分14分) 如图,以等边△OAB 的边 OB所在直线为 x轴,
点 O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为 6个单位，点
P从 O点出发沿折线 OAB向 B点以3单位/秒的速度向B点运动,点 Q从 O点出发以2单位/秒
的速度沿折线 OBA向 A点运动，两点同时出发，运动时间为 t（单位：秒），当两点相遇时
运动停止。
1 点 A坐标为_____________，P、Q两点相遇时交点的坐标为________________;
2 当 t=2时， S =△OPQ ____________;当 t=3时， OPQS =△ ____________;
3 设△OPQ的面积为 S，试求 S关于 t的函数关系式;
4 当△OPQ的面积最大时，试求在y轴上能否找一点 M，使得以 M、P、Q为顶点的三角形是
Rt△，若能找到请求出 M点的坐标，若不能找到请简单说明理由。
(1) A点坐标为 ( )3,3 3 、交点坐标为（ 27 3( , 3)5 5
(2)当 t=2时， S =△OPQ 6 3；
当 t=3时， S =△OPQ 9 32
3 3 (0 2)2
3 3 6 3 (2 )2
15 3 27 3(3 )2
(4)对（3）中的分段函数进行计算后得知当 t=2， S 有最大值，此时 P 与 A 重合，
OP=6，OQ=4，过P作PC⊥OB于 C点，计算得 OC=3，AC=3 3，CQ=1，PQ= 2 7
1 如图①，过 P 作 PM⊥PQ 交 y 轴于 M 点，过 M 作 MN⊥AC 于 N，则 MN=OC=3，易得
Rt△PMN∽△QPC，有 MN PNPC CQ= 即
= ，得 PN= 33 ，MO
=NC= 8 33 故M点坐标为
2 过 Q 作 MQ⊥PQ 交 y 轴 于 M 点 ， 通 过
△MOQ∽△QCP，求得 M坐标为 4(0, 3)9-
3 以 PQ为直径作⊙D，则⊙D半径 r为 7 ，再过P作PE⊥y轴于 E点，过D作DF⊥y轴于
F点，由梯形中位线求得DF= 72 ，显然 r＜DF，故⊙D与 y同无
交点，那么此时在y轴上无 M点使得△MPQ为直角三角形.
综上所述，满足要求的 M点 8(0, 3)3 或
6. (2011浙江省杭州市 8模)（本题满分8分）某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制
造了一个超大的“不倒翁”。小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个
空心的半球做成的，并在底部的中心（即图中的 C处）固定一个重物，再从正中心立起一
根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会
完全倒下去。小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点O的木杆 CD长为
260㎝,OA、OB为圆弧的半径长为 90㎝（作为木杆的支架），且OA、OB关于 CD对称，弧
AB的长为30pi ㎝。当木杆 CD向右摆动使点 B落在地面上（即圆弧与直线 l相切于点 B）
时，木杆的顶端点D到直线 l的距离DF是多少㎝？
（第 6题）
解：由弧AB的长可得，∠AOB＝60°，
从而∠BOE＝∠COB＝30°，（2分）
∵OB＝90cm，
∴OE＝ 360 cm，（2分）
∴DE＝170+ 360
cm， （2分）
∴DF＝180+ 385
7.（2011广东南塘二模）如图，在小山的东侧 A处有一热气球，以每分钟 30m
的速度沿着仰角为60°的方向上升，20分钟后升到B处，这时
气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的C处有一着火点，
求气球的升空点A与着火点C的距离（结果保留根号）.
答案：过 B作 BD⊥CA于 D，则 AB＝600m，AD＝300m，BD＝CD＝300 3 m，CA＝300( 3 －
8. （2011深圳市全真中考模拟一）△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若 90C∠ = °，如
图 l，根据勾股定理，则 2 2 2a b c+ = 。若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比
勾股定理，试猜想 2 2a b+ 与 2c 的关系，并证明你的结论．
答案：解：若△ABC是锐角三角形，则有 2 2 2a b c+ &
…… (1分)
若△ABC是钝角三角形， C∠ 为钝角，则有 2 2 2a b c+ & 。
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作AD⊥ BC，垂足为D，设CD为 x，则有BD＝a x- ……（3分）
根据勾股定理，得 2 2 2 2 2( )b x AD c a x- = = - -
即 2 2 2 2 22b x c a ax x- = - + - 。
∴ 2 2 2 2a b c ax+ = + …………………………（5分）[来源:21世纪教育网]
∵ 0, 0a x& & ，
∴2 0ax & 。
∴ 2 2 2a b c+ & 。…………………………（6分）
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过B作BD⊥ AC，交AC的延长线于D。
设CD为 x，则有 2 2 2BD a x= - …………………………（7分）
根据勾股定理，得 2 2 2 2( )b x a x c+ + - = ．
即 2 2 22a b bx c+ + = 。…………………………（9分）
∵ 0, 0b x& & ，
∴2 0bx & ，
∴ 2 2 2a b c+ & 。…………………………（10分）
解直角三角形
一、选择题
1.（2010年教育联合体）在△ABC中，已知 AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（
）21世纪教育网
2.（2010年安徽省模拟）如图，△ABC为边长是 5的等边三角形，点 E在AC边上，点 F在
AB边上，ED⊥BC,且 ED=AE,DF=AF,则CE的长是（
C．20 10 3+
D．20 10 3-
3.（2010年北京市朝阳区模拟）正方形网格中， AOB∠ 如图放置，则 cos AOB∠ 的值为（
4.(2010年三亚市月考)在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C
的对边，下列各式成立的是（
A. b=a·sinB
B. a=b·cosB
C. a=b·tanB
D. b=a·tanB
5.(2010年聊城冠县实验中学二模)正方形网格中，∠AOB如下图放置，则
tan∠AOB的值为（
A．2 B． 5
6.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC
于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF，AD的延长线相交于G，下面结论：①BD＝ 2
BE，②∠A＝∠BHE，③AB＝BH，④△BHD∽△BDG。其中正确的结论是（
A．①②③④
B．①②③ C．①②④
7.（2010年江西南昌一模）如图，点 A的坐标为(－1，0)，点B在直线 y=x上运动，当线
段AB最短时，点B的坐标为
D．（0，0）
8.（2010年武汉市中考拟）如图，AB 为⊙O的直径，CA切⊙O于
CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则 sinB=（
9.(2010年厦门湖里模拟)在 Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则 =Atan
10.（2010年杭州月考）已知在Rt ABC△ 中， 390 sin 5C A∠ = =°， ，则 tan B的值为（
11.（2010 年天水模拟）如图为了测量某建筑物 AB 的
高度，在平地上 C 处测得建筑物顶端 A 的仰角为
30°，沿 CB 方向前进 12m到达 D 处，在 D 处测得建筑
物项端 A 的仰角为 45°，则建筑物 AB 的高度等于（
A.6（ 13 + ）m
B.6（ 13 - ）m
C.12（ 13 + ）m
D.12（ 13 - ）m
12.（2010年广州中考数学模拟试题一）已知α为等边三角形的一个内角，则 cosα等于
13．( 2010年山东菏泽全真模拟 1) 王英同学从A地沿北偏西 60?方向走 100m到B地，再
从B地向正南方向走 200m到C地，此时王英同学离A地 （　　）
14．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)如图，△ABC的顶点都是正方形网格中
的格点,则cos∠ABC的值为(
二、填空题
1.（2010年安徽省模拟）化简 2sin 30 =°
2.(2010年三亚市月考).如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，
上底宽为6m,路基高为4m,则路基的下底宽为
3.（2010年天水模拟）如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为 20cm，深为
30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设
计斜坡的坡度 i= 5
1 ,则AC的长度是
.[来源:学科网 ZXXK]
答案：240cm
4.（2010年重庆市綦江中学模拟 1）如图，身高 1.6m的小丽用
一个两锐角分别为 30°和 60°的三角尺测量一棵树的高度，已
知她与树之间的距离为 6m，那么这棵树高大约为（结果精确到
0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）
答案： 5.1m
5.（2010年江西南昌一模）如图，在正方形网格中，∠AOB 的正切值
6.（2010年山东新泰）若△ABC中，∠C=90°,AC:BC=3:4,那么 sinA=　
7.（2010年天津市中考模拟）如图，有一个边长为5的正方形纸片 ABCD，要将其剪拼成
边长分别为 a b， 的两个小正方形，使得 2 2 25a b+ = ．① a b， 的值可以是________
（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼
接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：
__________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
答案：① 3，4（提示：答案不惟一）；
②裁剪线及拼接方法如图所示：图中的点E可以是以BC为直径的半圆上的任意一点（点
B C， 除外）.BE CE， 的长分别为两个小正方形的边长
8.（2010年辽宁抚顺中考模拟）将一个含 30°角的三角板和一个含 45°角的三角板如图
摆 放 ， ACB∠ 与 DCE∠ 完 全 重 合 ， 90C∠ = °，
45 60 4 2 6A EDC AB DE∠ = ∠ = = =°，°，， ，则EB =
答案：3 3 4-
9．(2010年江西省统一考试样卷)比较大小：sin33°＋cos33°
1.（可用计算器辅
10.（2010年河南中考模拟题1）
B（第 8题图）
三、解答题
1.（2010年湖里区二次适应性考试））如图，抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点
O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点 M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连结 OA，AB，在 x轴下方的抛物线上是否存在点 N，使△OBN与△OAB 相似？若
存在，求出 N点的坐标；若不存在，说明理由．
答案：（1）由题意，可设抛物线的解析式为 2( 2) 1y a x= - + ，
∵抛物线过原点，
∴ 2(0 2) 1 0a - + = ， 14a = - ．
∴抛物线的解析式为 21 ( 2) 14y x= - - +
4 x x= - + ．
（2） AOB△ 和所求 MOB△ 同底不等高， 3MOB AOBS S=△△且 ，
∴ MOB△ 的高是 AOB△ 高的3倍，即 M点的纵坐标是 3- ．
∴ 213 4 x x- = - + ，即
2 4 12 0x x- - = ．
解之，得　 1 6x = ， 2 2x = - ．
∴满足条件的点有两个： 1(6 3)M -， ， 2 ( 2 3)M - -， ．
（3）不存在．
由抛物线的对称性，知 AO AB= ， AOB ABO∠ = ∠ ．
如图，若 OBN△ 与 OAB△ 相似，必有 BON BOA BNO∠ = ∠ = ∠ ．
设ON交抛物线的对称轴于 A′点，显然 (2 1)A′ -， ．
∴直线ON的解析式为 12y x= - ．21世纪教育网
由 21 12 4x x x- = - + ，得 1 0x = ， 2 6x = ．
∴　 (6 3)N -， ．
过N 作NE x⊥ 轴，垂足为E．在Rt BEN△ 中， 2BE = ， 3NE = ，
∴ 2 22 3 13NB = + = ．
∴NB OB≠ ， BON BNO∠ ≠ ∠ ， OBN△ 与 OAB△ 不相似．
同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点．
所以在该抛物线上不存在点 N，使 OBN△ 与 OAB△ 相似．
2.（2010年北京市朝阳区模拟） °+-+-- 3tan60)4(27)2
1( 02 pi .
解：原式= 331334 ++-
3.（2010年北京市朝阳区模拟）小明站在 A处放风筝，风筝飞到 C处时的线长为 20米，这
时测得∠CBD=60°，若牵引底端 B离地面 1.5 米，求此时风筝
离地面高度。(计算结果精确到0.1米， 3 1.732≈ )
解：在 Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20× 3 =10 32
又∵DE=AB=1.5
∴CE=CD＋DE=10 3 1.5 17.32 1.5 18.8+ ≈ + ≈ (米)
答：此时风筝离地面的高度约是18.8米.[来源:21世纪教育网]
4.（2010年教育联合体）计算： ( ) ( ) tan6201021 ×--+--- pi
36121 ×-+-
5.（2010年安徽省模拟）为测量大楼 CD的高度，某人站在 A处测得楼顶的仰角为450，前
进 20m后到达 B处测得楼顶的仰角为600，求大楼 CD的高度。
解：如图，依题意得∠CBD=600 , ∠CDB=900,设BD=x m,则AD=(20+x) m
在 Rt△ACD中，∠CAD=450 , ∠CDA=900
∴20+x= 3x
∴x=10( 3 +1)
∴CD= 3 x=(30+ 3 ) m ,即楼高为(30+ 3 ) m
6.(2010年三亚市月考) 如图，为测量某塔 AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，
仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度。（ 2 ≈1.41， 3≈1.73）
解：由题意可知 CD=10米，BD=1.5米，∠ACD=60°.
在 Rt△ACD中，AD=CDtan60°= 10 3
∴AB=AD+DB=10 3
+ 1.5 ≈10×1.73 + 1.5 =18.8（米）
答：该塔的高度是18.8米
7.(2010年聊城冠县实验中学二模)九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测
量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角 α∠ .
（1）如上图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度
相等，如果测量得到∠EFB＝36°，那么 α∠ 的度数是___________；
（2）如上图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米
时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；
（3）全班总结了各组的方法后，设计了如上图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一
根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B
的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用 cba 、、 表示出护坡石坝的垂直高度A
H。（ 95.072sin ≈° ， 3.072cos ≈° ， 372tan ≈° ）
解．（1）72°
8.（2010年年广州市中考六模）、如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的
同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高 2.5米的自行车场，第二层起为宿舍。已知该
地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此时太阳光线 AB 的入射角∠ABD＝
55°，为使第二层起能照到阳光，两楼间距 EF至少是多少米？（精确到0.1米）。
（参考数据：tan55°=1.4281,tan35°=0.7002）。
(1) 由矩形BCEF得到CE=BF，BC=EF 21世纪教育网
(2) 得到∠CAB=55o
得到BC=ACtan55o
9.（2010年广州市中考七模）、如图，某电信公司计划修建一条连接 B、C两地的电缆。测量
人员在山脚 A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B
处测得 C地的仰角为 60°，已知 C地比 A地高 200m，求电缆
BC的长（结果保留根号）.
解：画 BE、CF均垂直于AM，垂足分别为 E、F；画 BD⊥CF于D.
则四边形BEFD是矩形. 设 BD=x，由题意得
AF=CF=200，EF=BD=x,AE=200－ x
∵∠CBD=60°，
∴CD=tan60°·BD= 3 x，BE=DF=200－ 3 x
∵ BEAE = tan∠BAE= tan30°=
即 200 3200
解得x =100 3 100- ，21世纪教育网
∴BC=2x=200 3 200-
10.（2010年广东省中考拟）如图所示，把一个直角三角
尺ＡＢＣ绕着６０°角的顶点Ｂ顺时针旋转，使得点Ｃ与ＡＢ的延
长线上的点Ｄ重合，已知ＢＣ＝６．
（１）三角尺旋转了多少度？连结ＣＤ，试判断⊿ＢＣＤ的
（２）求ＡＤ的长；
（３）连结ＣＥ，试猜想线段ＡＣ与ＣＥ的大小关系，并证明你的结论．
解：（１）三角尺旋转了１２０°； 　
⊿ＢＣＤ为等腰三角形．　
（２）∵三角尺ＡＢＣ为直角三角形，∠ＡＣＢ＝９０°，
　且∠Ａ＝３０°，　
∴　ＡＢ＝２ＢＣ＝２×６＝１２
∵ＢＤ＝ＢＣ，Ａ、Ｂ、Ｄ三点在一直线上，
∴ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＤ＝１２＋６＝１８　
（３）如图，连结ＣＥ，则ＡＣ＝ＣＥ　　
证明如下：
∵ＢＣ＝ＢＤ（旋转变换的性质）
即⊿ＢＣＤ为等腰三角形，
又∵∠ＥＢＤ＝∠ＡＢＣ＝６０°（旋转变换的性质），
而点Ａ、Ｂ、Ｄ在一条直线上，
∴∠ＣＢＥ＝１８０°－（∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＤ）
＝６０°＝∠ＤＢＥ　
即ＢＥ平分等腰⊿ＢＣＤ的顶角，
∴ＢＥ垂直平分底边ＣＤ（“三线合一”定理）
∴ＣＥ＝ＤＥ（线段中垂线性质）
而ＤＥ＝ＡＣ
故ＡＣ＝ＣＥ　
（也可证⊿ＢＣＥ≌⊿ＢＣＡ，可参照给分）
11.（2010年广东省中考拟）计算 ： 03 )tan33 pi---°?+- .
解:　原式＝ 123
　　＝ 1213 --+
（注：只写后两步也给满分.）
12.（2010 年河南模拟）计算： ( ) ( )1 03 0cos
- -? ÷? ?
答案：-8；
13.（2010 年河南模拟）计算：－22 + ()0 + 2sin30?
答案：解：原式＝－4＋1＋1＝－2
14.（2010 年河南模拟）又到了一年的春游季节，某班学生利
用周末到白塔去参观“晏阳初博物馆”.下面是两位同学的对话：
甲：“我站在此处看到塔顶仰角为60°.”
乙：“我站在此处看到塔顶仰角为
甲：“我们的身高都是1.5米.”
乙：“我们相距20米.”
请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）.
答案：36米
15.（2010 河南模拟）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵
高4米，两树相距8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树
的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
16.（2010年杭州月考）如图，沿江堤坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶 AD=4m，坝高 AE=6
m ， 斜 坡 AB 的 坡 比 2:1=i ， ∠C=60°，求斜
坡 AB、CD的长。
答案：∵斜坡 AB的坡比 2:1=i ，
∵AE：BE=1: 2，又 AE=6 m
∴AB= 2 2 2 26 12 6 1 2 6 5+ = + = （m）
作DF⊥BC于 F，则得矩形AEFD，有DF=AE=6 m，
∵∠C=60° ∴CD=DF·sin60°= 33
答：斜坡 AB、CD的长分别是6 5
17.（2010年铁岭市加速度辅导学校）如图，为了测量电线杆的高度 AB，在离电线杆 25
米的D处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端 A的仰角 22α = ?，求电线杆 AB的
高．（精确到0.1米）
参考数据：sin 22 0.3746=? ，cos 22 0.9272=? ， tan 22 0.4040=? ，cot 22 2.4751=? ．
解：在Rt ACE△ 中，
tanAE CE α∴ = ×
tanDB α= ×
25 tan 22= × ?
10.10 1.20 11.3AB AE BE AE CD∴ = + = + = + ≈ （米）
答：电线杆的高度约为11.3米
18．（2010年广州中考数学模拟试题(四)）杭州市在规划钱江新城期间，欲拆除钱塘江岸
边的一根电线杆 AB(如图)，已知距电线杆 AB水平距离14米处是河岸，即 BD＝14米，该河
岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2（即 tan∠CDF=2），岸高CF为2米，在坡顶C处测
得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽 2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆 AB
时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点 B为圆心，以AB长为半径的圆形
（第 17题）
区域为危险区域)
答案：由 tan∠CDF＝ CFDF ＝2，CF＝2米.
∴DF＝1米，BG＝2米.
∵BD＝14米,
∴BF＝GC＝15米.
在 Rt△AGC中，由 tan30°＝ 33 ,
∴AG＝15× 33 ＝5 3≈5×1.732＝8.660米.
∴AB＝8.660＋2＝10.66米,BE＝BD－ED＝12米.
∴不需要封人行道.
19.（2010年河南省南阳市中考模拟数学试题）课外实践活动中，数学老师带领学生测量
学校旗杆的高度．如图，在 A处用测角仪（离地高度为 1.5 米）测得旗杆顶端的仰角为
15?，朝旗杆方向前进 23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30?，求旗杆EG的高度．
答案： 015ECD∠ =Q ， 030EDF∠ = ，
第 18 题图
015CED∴∠ = .
CED ECD∴∠ = ∠ .
所以DC=DE=23米.
在Rt EDFV 中,由sin EFEDF DE∠ = ，得
sinEF DE EDF= × ∠ 023 sin 30= × 123 2= × 11.5(= 米).
又 FG=CA=1.5米,
因此EG=EF+FG=11.5+1.5=13（米）.
答：旗杆EG的高度为13米.
20.（2010年河南中考模拟题 2）如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，
鱼漂露出水面部分 AB=6cm，微风吹来时，假设铅锤 P不动，鱼漂移动了一段距离ＢＣ，且
顶端恰好与水面平齐（即ＰＡ＝ＰＣ），水平线Ｌ与ＯＣ的夹角ａ＝８０（点Ａ在ＯＣ
上）。请求出铅锤Ｐ处的水深ｈ。[来源:Z|]
（参数数据：sin80≈ 2
，cos80≈ 7 2
，tan80 ≈ 1
答案：∵l∥BC
∴∠ACB=α =80
在 Rt⊿ABC中，tanα = AB
，∴BC= AB
根据题意得 h2+422=(h+6)2，∴h=144
(内容：解直角三角形
满分 150 分)
一、选择题(本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分)
每一个小题都给出代号为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个结论，其中只有一个是正确的，
把正确结论的代号写在题后的括号内．每一小题：选对得 4 分，不选、选错或选出的
代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得 0 分。
1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是
A. 9,12,15
B. 7,24,25
2．cos60°的值等于
3.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形
A. 可能是锐角三角形
B. 不可能是直角三角形
[来源:21 世纪教育网]
C. 仍然是直角三角形
D. 可能是钝角三角形
4．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（
C．10或 2 7
D．无法确定
5．直角三角形的一条直角边比斜边上的中线长2cm，且斜边为8cm，则两直角边的长分别
D．2， 152
6．在测量旗杆的方案中，若旗杆高为 21m，目测点到杆的距离为 15m，则目测点到杆顶的
距离为（设目高为1m）
7．菱形中较长的对角线与边长的比为 3：1，则菱形的四个角为（
A．30°，30°，150°，150°
B．45°，45°，135°，135°
C．60°，60°，120°，120°
D． 90°，90°，90°，90°
8．如图，已知Rt ABC△ 中， 90 30 2 3cmABC BAC AB∠ = ∠ = =°，°， ，将 ABC△
绕顶点 C顺时针旋转至 A B C′ ′ ′△ 的位置，且 A C B′、、 三点在同一条直线上，则点 A
经过的最短路线的长度是（
）cm．21 世纪教育网
A．8 B．4 3 C． 32 π3 D．
9. 如图，小明要测量河内小岛 B到河边公路 l的距离，在A点测得 30BAD∠ = °，在C点
测得 60BCD∠ = °，又测得 50AC = 米，则小岛 B到公路 l的距离为（
）米．21 世纪教育网
A．25 B．25 3
C．100 33 D．25 25 3+
二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分)
11． 1 04cos30 sin60 ( 2) ( )-° ° + - - - =______．
12．已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+cosβ= 3，则α=_________。
13．如图2所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最
短 2厘米，那么这只玻璃杯的内径是_________厘米。
14．如图3，3×3网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长为 1，则四边形ABCD
的周长是_________。
三、(本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分)
15．计算下列各题：
°-° 60cos245tan60tan1
45cot60tan
（2）tan2°tan4°·tan6°…tan88°
16．如图，在ΔABC中，∠B,∠C均为锐角，其对边分别为b、c，求证： C
sinsin = 。
[来源:21 世纪教育网]
21 世纪教育网
四、(本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 21 世纪教育网
17．在学习实践科学发展观的活动中，某单
位在如图 8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为
米的宣传条幅 AE，张明同学站在离办公楼的地面 C
测得条幅顶端 A的仰角为50°，测得条幅底端 E的仰
角为 30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距
多远的地方进行测量？（精确到整数米）?
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°
≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，?tan30°≈0.58）
五、(本题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分)
18．如图，平地上有甲乙两楼，甲楼高15米。已知从甲楼顶测得乙楼底的俯角为30°，又
测得乙楼顶的仰角为15°。求乙楼的高，（tg15°=0．2679，精确到0．01）
[来源:学科网 ZXXK]
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，∠BAC 的平分线交 BC于 D，AD= 3
∠B，AB，BC。
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]
六、(本题满分 12 分)
20．拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，
如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③
可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________
（填“大于”、“小于”或
“等于”）图③中小正方形的面积，用关系式表示为________
.（2）拼图二：用4
张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方
形，它们的面积之间的关系是________
，用关系式表示为_____
.（3）拼图三：
用 8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中 3个正方形的面积之间的关系是_____
，用关系式表示________
七、(本题满分 12 分)
21．如图所示，在矩形 ABCD中， 12AB AC= ，=20 ，两条对角线相交于点O．以OB、
OC为邻边作第 1个平行四边形 1OBB C，对角线相交于点 1A，再以 1 1A B 、 1AC为邻边作
第 2个平行四边形 1 1 1A B C C，对角线相交于点 1O ；再以 1 1O B 、 1 1O C 为邻边作第 3个平行四
边形 1 1 2 1O B B C ……依次类推．
（1）求矩形 ABCD的面积；
（2）求第 1个平行四边形 1OBB C、第 2个平行四边形 1 1 1A B C C和第 6个平行四边形的面积．
21 世纪教育网
21 世纪教育网
21 世纪教育网
八、(本题满分 14 分)
22． 如图1， Rt ABC? 中， 90A∠ = °， 3tan 4B = ，点 P在线段 AB上运动，点Q、 R
分别在线段BC、AC上，且使得四边形 APQR是矩形．设 AP的长为 x，矩形 APQR的
面积为 y，已知 y是 x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图 2所
（1）求 AB的长；
（2）当 AP为何值时，矩形 APQR的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？21 世纪教育网
李明：因为抛物线上的点 ( , )x y 是表示图1中 AP的长与矩形 APQR面积的对应关系，
那么，（12，36）表示当 12AP = 时， AP的长与矩形 APQR面积的对应关系.
赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出 AB，这个问题就可以解决了.
请根据上述对话，帮他们解答这个问题.
21 世纪教育网
二、11、 32；12、60°；1 3、6 ； 14、3 2 +2 5。
三、15、（1）2；
（2）原式=tan2°·tan4°·tan6°·…cot6°·cot4°·cot2°
=（tan2°·cot2°）（tan4°·cot4°）·（tan6°·cot6°）… [来源:21 世纪教育网]
16、提示：作 AD⊥BC，垂足为 D。
四、17、解：方法一：过 D 点作 DF⊥AB 于 F点……………………………………1 分?
在 Rt△DEF 中，设 EF=x，则 DF= 3 x…………………………………………………
2 分 在? Rt△ADF中，tan50°= 303
+ ≈1.204 分?
30+x= 3 x×1.20
x≈27.8…………………………………………………6 分?
∴DF= 3 x≈48…………………………………………7分?
答：张明同学站在离办公楼约 48 米处进行测量的.………………………………
方法二：过点 D 作 DF⊥AB 于 F点………………………………………………1 分
在 Rt△DEF 中
EF=FD·tan30°……………………………………………………3 分?
在 Rt△AFD 中
AF=FD·tan30°……………………………………………………5 分?
∵AE+EF=AF?
∴30+FDtan30°=FD·tan50°……………………………………………………
∴FD≈48………………………………………………………………………………
答：张明同学站在离办公楼约 48 米处进行测量的.………………………………
（其他方法参照给分）?
五、18、如图，在△ACE中，∠E=90°，∠CAE=30°，EC=15 米．
则 AC=15×2=30（米）
又∵DE=AEtg15°=25.98×0.267=6.94（米）
∴乙楼 DC=CE+ED=15+6.94=21.94（米）
答：乙楼的高为 21.94 米．
19、如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AC=5cm，AD 为∠A 的平分线，
∴α=30°,
∠BAC=60°，∠B=90°－60°=30°
从而 AB=5×2=10（cm）
20、13．等于，其证明方案即为勾股定理的证明，最后的结论就是勾股定理。
21．解：（1）在 Rt ABC△ 中，
2 2 2 220 12 16BC AC AB= - = - = ，
12 16 192ABCDS AB BC= = × =g矩形 ．（2）Q矩形 ABCD，对角线相交于点O，
4ABCD OBCS S∴ = △ ． Q四边形 1OBB C是平行四边形，
1 1OB CB OC BB∴ ∥，∥ ，
1 1OBC B CB OCB B BC∴∠ = ∠ ∠ = ∠， ．
又 BC CB=Q ，
1OBC B CB∴△≌△ ， 1
12 962OBB C OBC ABCDS S S∴ = = =△ ，
同理， 1 1 1 1
1 1 1 482 2 2A B C C OBB C ABCDS S S= = × × = ，
第 6 个平行四边形的面积为 6
1 32 ABCDS =
22．（1）当 12AP = 时， 36AP PQ× =
∴ 3PQ = ，
又在 Rt BPQ? 中， 3tan 4B = ，∴
（2）解法一：若 AP x= ，则 16PB x= - ， 3 (16 )4PQ x= - ，∴
3 (16 )4y x x= - ，
整理得 23 ( 8) 484y x= - - +
………… 9分
∴ 当 8x = 时， 48y最大值＝ .
……………
…… 10 分
解法二：由 16AB = ，结合图象可知抛物线经过点（ 0， 0）、（ 16 ， 0）、
（12，36），可设抛物线解析式为 ( 16)y ax x= - ，将（12，36）代入求得 34a = - ，
∴ 3 ( 16)4y x x= - - ， 整 理 得
23 ( 8) 484y x= - - + ， ∴
当 8x = 时 ， 48y最大值＝ .
………………… 10 分
解法三：由 16AB = ，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线
对称轴为 8x = ，∴抛物线顶点的横坐标为 8.∴当 8AP = 时，矩形 APQR的面积最
大，此时， 8PB = ，
∴ 38 64PQ = × = ，
∴最大面积为 48.
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