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已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（a+b2）＜（b-a）ln2．
题型：解答题难度：中档来源：黑龙江
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．f′(x)=11+x-1．令f′（x）=0，解得x=0．当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．（Ⅱ）证明：g(a)+g(b)-2g(a+b2)=alna+blnb-(a+b)lna+b2=aln2aa+b+bln2ba+b．由（Ⅰ）结论知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），由题设0＜a＜b，得b-a2a＞0，-1＜a-b2b＜0，因此ln2ba+b=-ln(1+b-a2a)＞-b-a2a，ln2ba+b=-ln(1+a-b2b)＞-a-b2b，所以aln2aa+b+bln2ba+b＞-b-a2-a-b2=0．又2aa+b＜a+b2b，aln2aa+b+bln2ba+b＜alna+b2b+bln2ba+b．=（b-a）ln2ba+b＜（b-a）ln2综上0＜g(a)+g(b)-2g(a+b2)＜(b-a)ln2．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的最值与导数的关系
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
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262541274410299525591603486443296243设函数fx=ln（kx-1/x-1),若fx在[e,+∞]上单调递增,求k的取值范围_百度作业帮
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这是一个复合函数：外层单增,复合单增,故而内层kx-1/x-1在[e,+∞)单增即可你是高几?高三的话可以用导数高三：则导函数k+1/x²≥0,k≥-1/x² 其中x∈[e,+∞),则-1/x²∈[-1/e²,0)∴k≥0另外,kx-1/x-1＞0对x∈[e,+∞)恒成立,且kx-1/x-1单增,故ke-1/e-1＞0即可,则k＞1/e²+1/e综上：k＞1/e²+1/e高一：首先,kx-1/x-1＞0对x∈[e,+∞)恒成立,且kx-1/x-1单增,故ke-1/e-1＞0即可,则k＞1/e²+1/e （※）显然,k＞1/e²+1/e＞0时,kx-1/x-1单增当k≤0时,总有kx-1/x-1＜0 其中x∈[e,+∞),不符合题意综上：k＞1/e²+1/e即可0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值若使f(x)>k/(x+1)恒成立 即(1+ln(x+1))/x>k/(x+1)恒成立 因x+1>1 故即是使(x+1)(1+ln(x+1))/x>k恒成立 令g(x)=(x+1)(1+ln(x+1))/x 显然只要g(x)最小">
已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值若使f(x)>k/(x+1)恒成立 即(1+ln(x+1))/x>k/(x+1)恒成立 因x+1>1 故即是使(x+1)(1+ln(x+1))/x>k恒成立 令g(x)=(x+1)(1+ln(x+1))/x 显然只要g(x)最小_百度作业帮
已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值若使f(x)>k/(x+1)恒成立 即(1+ln(x+1))/x>k/(x+1)恒成立 因x+1>1 故即是使(x+1)(1+ln(x+1))/x>k恒成立 令g(x)=(x+1)(1+ln(x+1))/x 显然只要g(x)最小
已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值若使f(x)>k/(x+1)恒成立 即(1+ln(x+1))/x>k/(x+1)恒成立 因x+1>1 故即是使(x+1)(1+ln(x+1))/x>k恒成立 令g(x)=(x+1)(1+ln(x+1))/x 显然只要g(x)最小值＞k即可 g′(x)=[x-1-ln(x+1)]/x² 令h(x)=x-1-ln(x+1) h′(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1) 故x>0时,h′(x)>0 即h(x)在(0,+∞)上单调递增 故h(x)>h(0)=-1 显然g′(3)=[2-ln4]/9>0 g′(2)=[1-ln3]/4
g(x)的最小值为g(t0),取值在3到4之间,k小于g(x)最小值,k最大能取到3（正整数）
首先最重要的一点就是基础知识一定要扎实，这种扎实，不是说你仅仅会这条公式，而是要清楚这条公式是怎么来的，反过来可以怎么用。即使你在考试的时候忘记公式了，你也能够推导出来。能做到这样子，基本上什么题型都不怕了。高考的题型再新，也无非是换汤不换药。还是考一个学生的基础知识求采纳为满意回答。...已知函数f（x）=（x+1）[1+ln（x+1）]-kx，k∈R，e≈2.72．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）_百度知道
已知函数f（x）=（x+1）[1+ln（x+1）]-kx，k∈R，e≈2.72．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）
+∞）上恒成立，e≈2；若不存在；（2）是否存在正整数k，求出k的最大值.72．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间已知函数f（x）=（x+1）[1+ln（x+1）]-kx，使得f（x）＞0在（0，k∈R？若存在
我有更好的答案
90%">0<td style="padding-top，则<span style="vertical-align:super:1px solid black，h（x）＞h（x0）=0，知g（x）min=x0+1∈（3:normal"><table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="margin-(x＞0):normal:90%">′(x)＝xx<span style="vertical-align:1wordWrap:sub，使得&nbsp，e-1-1）．（2）假设存在正整数k使得f（x）＞0在（0，由&nbsp:padding-(x＞0):sub:1px"><td style="border-font-size，4）．所以存在正整数k:1font-size:90%">0+1)]<td style="padding-top，即-1＜x＜e-1-1．所以函数f（x）的增区间为（e-1;font-size:90%">(x=x0+1．因此f（x）＞0在（0，减区间为（-1:font-size，得&wordWfont-size:1padding-bottom，得1+ln（x+1）＞0:normal:1px"><td style="border-在（0，而h（2）=1-ln3＜0;padding-wordSpacing:1px">gg<span style="vertical-align，存在x0∈（2，+∞）&nbsp:1px solid black:1px solid black">1x+1＝xx+1＞0:nowrap:padding-font-font-size:90%">(x+1)[1+ln(x+1)]x&nbsp，x0）时，+∞）上的最小值g（x）min=g（x0）=:wordSpacing:1px:90%">′(x)＝h(x)<td style="padding-wordSpacing:1font-font-&font-size，即1+ln（x0+1）=x0;font-size，+∞）上恒成立等价于k＜g（x）min=x0+1．由x0∈（2;font-size:normal">h<span style="vertical-align，所以g（x）在（0，f′（x）=1+ln（x+1）+1-1:90%">h(x)g<span style="vertical-font-size，由零点存在定理，使得f（x）＞0&wordWrap:normal:90%">0+1)[1+ln(x<span style="vertical-align:1px:1padding-font-wordSpacing，+∞）时，由f′（x）＞0，＜0:font-font-size，h（3）=2-ln4＞0:90%">x2＞0:90%">(x+1)[1+ln(x+1)]x&nbsp，x0）时:90%">x;f′（x）＜0:90%">(x′(x)＝1，即x＞e-1-1，3）:1px">0＝<table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="margin-&1+ln（x+1）＜0;padding-bottom:1px，则+1)x′(x)＝<table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="margin-right，又函数 h（x）在（0:sub:1px solid black:1px"><td style="border-font-size:super?ln(x+1)<td style="padding-top（1）函数f（x）的定义域为（-1;font-size
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