，点C的坐标为；（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？
分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0即得二次函数与y轴交点A的纵坐标，令y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标．（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论：①CD=DE，由于OD=3，OA=4，那么DA=DC=5，此时A点符合E点的要求，即此时A、E重合；②CE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质知：E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一半，然后将其代入直线AC的解析式中，即可得到点E的坐标；③CD=CE，此时CE=5，过E作EG⊥x轴于G，已求得CE、CA的长，即可通过相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例线段求得EG、CG的长，从而得到点E的坐标．（3）过P作x轴的垂线，交AC于Q，交x轴于H；设出点P的横坐标（设为m），根据抛物线和直线AC的解析式，即可表示出P、Q的纵坐标，从而可得到PQ的长，然后分两种情况进行讨论：①P点在第一象限时，即0＜m＜8时，可根据PQ的长以及A、C的坐标，分别表示出△APQ、△CPQ的面积，它们的面积和即为△APC的面积，由此可得到S的表达式，通过配方即可得到S的取值范围；②当P在第二象限时，即-2＜m＜0时，同①可求得△APQ、△CPQ的面积，此时它们的面积差为△APC的面积，同理可求得S的取值范围；根据两个S的取值范围，即可判断出所求的结论．解答：解：（1）在二次函数中令x=0得y=4，∴点A的坐标为（0，4），令y=0得：-14x2+32x+4=0，即：x2-6x-16=0，∴x=-2和x=8，∴点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（8，0）．（2）易得D（3，0），CD=5，设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：b=48k+b=0，解得k=-12b=4；∴y=-12x+4；①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3，∴DA=5，∴E1（0，4）；②过E点作EG⊥x轴于G点，当DE=EC时，由DG=8-32=52，把x=OD+DG=3+52=112代入到y=-12x+4，求出y=54，可得E2（112，54）；③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO，∴EGOA=CGOC=CEAC，又OA=4，OC=8，则AC=45，DC=EC=5，∴EG=5，CG=25，∴E3（8-25，5）；综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（112，54）、E3（8-25，5）．（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q；设P（m，-14m2+32m+4），则Q（m，-12m+4）．①当0＜m＜8时，PQ=（-14m2+32m+4）-（-12m+4）=-14m2+2m，S=S△APQ+S△CPQ=12×8×（-14m2+2m）=-（m-4）2+16，∴0＜S≤16；②当-2≤m＜0时，PQ=（-12m+4）-（-14m2+32m+4）=14m2-2m，S=S△CPQ-S△APQ=12×8×（14m2-2m）=（m-4）2-16，∴0＜S＜20；∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，-2＜m＜0中m有一个值，此时有三个；当16＜S＜20时，-2＜m＜0中m只有一个值；当S=16时，m=4或m=4-42这两个．故当S=16时，相应的点P有且只有两个．点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、等腰三角形的构成条件、图形面积的求法等知识，（3）题的解题过程并不复杂，关键在于理解题意．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（，），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．（1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的三角形与△BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0）两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）求此二次函数的解析式，并写出它的对称轴；（2）若直线l：y=kx（k＞0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若直线l′：y=m与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
科目：初中数学
如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+b与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，4），点B在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象交于点E．（1）求b的值及这个二次函数的关系式；（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点，则四边形DCEP能否构成平行四边形？如果能，请求出此时P点的坐标；如果不能，请说明理由．（4）以PE为直径的圆能否与y轴相切？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．
科目：初中数学
如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点C（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，-2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．
科目：初中数学
（2012?衡水一模）如图，已知二次函数2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积；（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．教师讲解错误
错误详细描述：
（2009年兰州市）二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…A2008在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…B2008在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，则△A2007B2008A2008的边长＝________．
下面这道题和您要找的题目解题方法是一样的，请您观看下面的题目视频
二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2008在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2008在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，则△A2007B2008A2008的边长＝________．
【思路分析】
先计算出△A0B1A1；△A1B2A2；△A2B3A2的边长，推理出各边长组成的数列各项之间的排列规律，依据规律得到△A2007B2008A2008的边长．
【解析过程】
解：作B1A⊥y轴于A，B2B⊥y轴于B，B3C⊥y轴于C．设等边△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3中，AA1=a，BA2=b，CA2=c．①等边△A0B1A1中，A0A=a，所以B1A=atan60°=a，代入解析式得×（a）2=a，解得a=0（舍去）或a=，于是等边△A0B1A1的边长为×2=1；②等边△A2B2A1中，A1B=b，所以BB2=btan60°=b，B2点坐标为（b，1+b）代入解析式得1+b，解得b=-（舍去）或b=1，于是等边△A2B1A1的边长为1×2=2；③等边△A2B3A3中，A2C=c，所以CB3=btan60°=c，B3点坐标为（c，3+c）代入解析式得×（c）2=3+c，解得c=-1（舍去）或c=，于是等边△A3B3A2的边长为×2=3．于是△A2007B2008A2008的边长为2008．
此题将二次函数和等边三角形的性质结合在一起，是一道开放题，有利于培养同学们的探索发现意识．
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一道数学题（二次函数）
，使得横断面的面积最大？最大面积是多少？
先改正打字错误：
某村计划修筑一条水渠，其横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与底的和为6m.问应如何设计，使得横断面的面积最大？最大面积是多少？
解：以横断面开口的梯形底边为对称轴作横断面的对称图形，两者构成等角六边形（每个角都是120°），其周长是12m,当它是正六边形时，它的面积最大，为6√3m^2.这时，横断面的两腰与底都是2m,横断面面积最大，为3√3m^2.
大家还关注（1）根据图中得出：当P点运动到A点时，△POC的面积为12，∴AO=22+32=13，∴m=13，故答案为：13；（2）∵图1中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为D（m，12），∴yE=yD=12，此时图2中点P运动到与点B重合，∵点B在x轴的正半轴上，∴S△BOC=12×OB×|yC|=12×OB×3=12．解得OB=8，点B的坐标为（8，0）．此时作AM⊥OB于点M，CN⊥OB于点N．（如图2）．∵点C的坐标为C（n，-3），∴点C在直线y=-3上．又∵由图1中四边形ODEF是等腰梯形可知图2中的点C在过点O与AB平行的直线l上，∴点C是直线y=-3与直线l的交点，且∠ABM=∠CON．又∵|yA|=|yC|=3，即AM=CN，可得△ABM≌△CON．∴ON=BM=6，点C的坐标为C（6，-3）．∵图2中AB=AM2+BM2=32+62=35．∴图1中DE=35，OF=2xD+DE=213+35．（3）①当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，作PG⊥OB于点G．（如图3）∵O，B两点的坐标分别为O（0，0），B（8，0），∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4．由tan∠ABM=AMBM=36=PGBG可得PG=2．∴点P的坐标为P（4，2），设抛物线W的解析式为y=ax（x-8）（a≠0）．∵抛物线过点P（4，2），∴4a（4-8）=2．解得a=-18．∴抛物线W的解析式为y=-18x2+x．②如图4．i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的边时，∵点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，点P为抛物线W的顶点，结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况，点Q与原点重合，其坐标为Q1（0，0）．ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时，可知BP的中点的坐标为（6，1），BP的中垂线的解析式为y=2x-11．∴点Q2的横坐标是方程-18x2+x=2x-11的解．将该方程整理得x2+8x-88=0．解得x=-4±226．由点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，结合图4可知点Q2的横坐标为226-4．∴点Q2的坐标是Q2（226-4，426-19）．综上所述，符合题意的点Q的坐标是Q1（0，0），Q2（226-4，426-19）．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB．（1）求b+c的值；（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P（不与A、C重合）是抛物线上的一点，点M是y轴上一点，当△BPM是等腰直角三角形时，求点M的坐标．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，已知抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1），且经过点B（52，34），抛物线对称轴左侧与x轴交于点A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线解析式y1和直线BC的解析式y2；（2）连接AB、AC，求△ABC的面积．（3）根据图象直接写出y1＜y2时自变量x的取值范围．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD．直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系，若抛物线y=ax2-2ax-3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）______．②求抛物线的解析式．③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．（1）求该抛物线的解析式．（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
小明代表班级参加校运会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢”，于是找来小刚做了如下的探索：小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30°、45°、60°方向推了三次．铅球推出后沿抛物线形运动．如图，小明推铅球时的出手点距地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立直角坐标系，分别得到的有关数据如下表：铅球的方向与水平线的夹角300450600铅球运行所得到的抛物线解析式y1=-0.06（x-3）2+2.5y2=______（x-4）2+3.6y3=-0.22（x-3）2+4估测铅球在最高点的坐标P1（3，2.5）P2（4，3.6）P3（3，4）铅球落点到小明站立处的水平距离9.5m______m7.3m（1）请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填入表格中的横线上；（2）请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为xm．（1）要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？（2）如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较（1）（2）的结果，你能得到什么结论？
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，直线AB、CD分别经过点（0，1）和（0，2）且平行于x轴，图1中射线OA为正比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的部分图象，射线OB与OA关于y轴对称；图2为二次函数y=ax2（a＞0）的图象．（1）如图l，求证：ABCD=12；（2）如图2，探索：ABCD的值．2012年二次函数中考大题总结(1)及答案详解_百度文库
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2012年二次函数中考大题总结(1)及答案详解
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