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高中“数学情境与提出问题”的教学实践――“等差数列求和”教学试验案例
来源:《现代教育教研》2008年第12期文/刘毅
[导读]以学生在小学熟知的“1+2+3+…+100”求和为例，在认识“1,2,3,…100”为等差数例的基础上，运用特殊到一般的逻辑思维来研究等差数列的求和这一新知识
1．教学整个设想
以学生在小学熟知的&1+2+3+&+100&求和为例，在认识&1,2,3,&100&为等差数例的基础上，运用特殊到一般的逻辑思维来研究等差数列的求和这一新知识，首先，让学生能分析&1+2+3+&+100&求和方法，再让学生去演绎等差数列求和公式，进而利用已学知识，推论得出公式及特殊情况d=0时的求和公式，从而完全达到本堂教学目的。同时，让学生从一个独立的事件中找出一个普通规律，培养学生独立分析问题、研究问题、解决问题的能力，促使学生在探索简单问题中掌握新知识，运用新方法，解决新问题，从中获得学数学的兴趣和快乐。
2．课堂数学目标设计与课前准备
规律是实践应用中发现的，在探索中逐步归纳总结形成的，若能让学生自己动手去证明、归纳得出有关求和公式，这就为提高学生们的分析问题、研究问题、解决问题能力，激发学生学习数学兴趣铺平了道路，学生是易于接受和掌握的，故本数学课运用&数学情境&提出问题&之模式进行教学，设计的教学目标是：教会学生如何求等差数列各项之和，掌握其求和公式及它的特殊情况(d=0)，让学生能正确有效运用从特殊到一般的归纳思维模式解决类似实际问题。
为保证教学课堂内容实施的连贯性，在安排此内容教学之前，需在上一节课，提出下节课的教学内容；在认识等差数列的基础上，求等差数列各项之和，并留下问题：1+2+3+&+100的和是多少？如何算法？
这留下的问题，很容易让学生回忆起小学中，教师所教的求和方法：1+2+3+&+100=［(1+100)+(2+99)+(3+98)+&+(50+51)］=101&50=5050他们在下来的时间，能很快计算之，但如何求等差数列各项之和？很能从这一问题引发大家思考，也就调动学生的思考能力和学习兴趣，并充分考虑之。也为下一节课打下了良好的氛围，提高了同学们对新问题的思考，起到了引导、启发的作用。
3．教学过程
3．1　序&&提出问题
教师：上一节我们提出的一个问题：1+2+3+&+100=？谁能回答？(全班一起举手)
教师：怎样求出来的？
乙：(上黑板演练之)1+2+3+&+100=［(1+100)+(2+99)+(3+98)+&+(50+51)］=101&50=5050
教师：当初你们是这样计算的吗？
丙：不是，我们采用依次相加的方式，很费时间，在教师的指导下得出这一求和方法。
教师：对了，这就符合一个规律：等差数列的求和
3．2　特殊例子&&特殊情况分析：
教师：能分析1,2,3,&100这是一个什么数列？
己：这是一个以首项a1=1,公差d=1的等差数列
教师：设求和字母为S，那么S=1+2+3+&+100可否将数列倒置相加？
学生齐答：可以
教师：S=100+99+98+&+1令上式为①，下式为②，能否利用等式的性质求S？
学生练习得出：①+②有
2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+&+(100+1)=101&100
∴S= =5050
教师总结：对了，这就是求等差数列之和的方法，其关键在于，首末项相加等于第二项加倒数第二项，也等于第三项加倒数第三项,&。
3．3　普通规律&&求和公式：
教师：下面，我给出一个一般地等差数列，同学们能否利用上面的特殊情况归纳出求和公式？
a1,a2,a3,&an
学生齐答：试一试，同学们练习
甲上黑板练习为：
Sn=a1+a2+a3+&+an&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ①
（倒置过来加为）Sn=an+an-1+an-2+&+a1&& ②
①+②得：2 Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+&+（an+a1）=n（a1+an）
∴Sn=
教师评讲每一步，并指出解决问题关键在于：
a1+an=a2+an-1=（a3+an-2）=&=2a1+（n－1）d
因此上式公式推导完全正确。
教师：能否将a1+an=2a1+（n－1）d代入上公式？请同学们练习之：
丙上黑板演练为：
教师：对了，这是等差数列求和的第二个公式，那么当d=0时，等差数列又叫什么？
丁：叫常数数列。
教师：怎样求常数数列的前n项之和？
己：将d=0代入第二个公式得，Sn=na1
教师总结：对了，这一节课我们就是要掌握等差数列求和的二个公式及特殊情况（d=0）求和。同学们能自己推演过程，相信同学们能掌握这节课的重点知识：等差数列的求和。下面举例应用之。
例1：求前1000个正整数的和。
教师：找出其a1=？,an=？,n=？
乙：a1=1，an=1000，n=1000
教师：应用第几个公式
为：第一个公式
教师：请同学代入求S1000
已上黑板演练习：
例2：已知一个等差数列首项为－5，公差为3，求前20项之和。
教师：已知那些条件？
甲：a1=－5，d=3，n=20
教师：应用第几个公式
乙：第二个公式。
教师：请同学们代入求S20，
丙：上黑板演练为：
教师总结：对任何一个问题，要分析其已知条件，不足条件在条件中求出，并代出相立规律的公式解决之。
布置作业：
4．课后探索
此节下课后，与同学们交流，很受同学们欢迎，觉得原来掌握数学知识难，这节课却很容易掌握；原来小学自己不懂的原理，在这节课也解决了，希望以后教学能多用这类方法。这节课成功之处在于：
4．1　引导启发同学们自己运用已掌握的知识，解决新的问题。这得益于情境的再现，并适时提出数学问题，再用演绎的方法去推导得出，利于同学们的掌握。也告诉了同学的一个道理：规律来源于实践应用中，并在探索归纳中形成的。如果能更多使用这样教学方法，这对于培养学生的分析能力、解决问题的能力大有帮助，能形成固定的思维模式，使之成长，并在以后的工作、学习、生活中运用之。
4．2　为学生创建一个自觉学习、自觉思维的氛围。这要求教师一定要熟悉教材的体系，了解每一个教学的知识来源，发现学生有哪些学习兴趣、爱好，从生活生产中来，到生活生产中去。这样，紧扣了自己的教学工作，又使学生对学习产生一定兴趣。
4．3　课堂教学实施中采用了类比的学习方法。深化教学从一个特殊情况到普遍规律的演驿。使学生明白：学习各科知识如此，做人也如此，怎样才能受人尊敬？知道别人怎样做人才能受到尊敬，自己应怎样做人才受到尊敬。在我国就有很多受人尊敬的榜样，他们影响了一代又一代。因此，学生熟悉的很多道理，可用于新知识的学习。这也是我们教师的工作任务之一&&就是引导学生用类比的方法去解决问题，去做受尊敬的人。
4．4　该课堂在培养学生分析问题、解决问题的能力，学生在以后的生活、工作中会遇到很多新问题，那么怎样解决？他们会从中受到启示；可用事物的特殊性去研究事物的普遍性，从中发现解决问题的方法。这样，他们以后干任何工作，都有主动性。并在掌握知识的同时掌握研究事物的能力，使学生健康成长，这也是我们教师的任务之一，也是我们教育所追求的。
本节取得成功，借鉴了《论中小学&数学情境与提出问题&的数学学习》理论（作者：杨孝斌，吕传汉，汪秉彝）。使我们教师感觉轻松，学生学习主动，充分发挥学生的聪明才能，达到了和谐的统一。这对于提倡的素质教育有很大的推动，在今后的教学工作中，结合实际，继续实践，将此方法熟练用之，使学生能在德、智、体、美、劳各方面协调发展，成为社会主义的新型接班人。
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太恶心了中国这教育 - -
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