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自然数发展历程及其在现代数学教育中作用的研究--优秀毕业论文
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3秒自动关闭窗口《说数》教学设计
必修三·第二单元·科学小品·教学设计
【激趣导入——游戏：神奇的算式】
[(?+52.8)&5-3.-(?&10)= &
教学目标：
1、了解科学小品文的特点；
2、学习运用比喻、拟人等手法把抽象的内容说明得具体生动的写法；
3、培养严谨求实的科学态度。
教学重点：掌握基础知识
教学难点：学习运用比喻、拟人等手法把抽象的内容说明得具体生动的写法
教学内容及步骤：
一、关于科学小品文：
科学小品是一种用通俗平实、形象生动的语言来介绍科学知识的说明文体。它方便灵活适应面广，既可以“小题大做”，也可以“大题小做”。它可以在各学科之间纵横驰骋，甚至将自然科学、现实生活、社会科学联为一体。它融说理抒情于一体，兼有杂文的犀利、论文的深刻、散文的情致、随笔的轻松、诗的醇郁。具有科学性、文学性、趣味性、通俗性的特点。
二、阅读课文扫除障碍：（《赢在课堂》P21）
衍（yǎn）生 &一粲（c&n） &孜孜（zī）以求
&拭（sh&）目以待& 契(q&)机
地老天荒：也说天荒地老。指经过的时间很久。
契机：指事物转化的关键。
王者气象：具有王者的威严气派。
浩如烟海：形容典籍、文献、图书等极为丰富。浩：广大；烟海：茫茫大海。
绵绵：连续不断的样子。
孜孜以求：孜孜：勤勉的样子。不知疲倦地探求。勤奋努力地追求。
迎刃而解：原意是说，劈竹子时，头上几节一破开，下面的顺着刀口自己就裂开了。比喻处理事情、解决问题很顺利。
众星捧月：许多星星衬托着月亮。比喻众人拥护着一个他们所尊敬爱戴的人。
虚无缥缈：虚无：空虚；缥缈：隐隐约约，若有若无的样子。形容空虚渺茫。
拭目以待：拭：擦；待：等待。擦亮眼睛等着瞧。形容期望很迫切。也表示确信某件事情一定会出现。
三、理清思路，明了顺序
1、课文以什么为线索来展开说明的?
以数的发展过程为线索
2、根据作者的思路画出示意图
自然数 → 负数 → 零 → 分数 → 无理数 → 虚数 → 复数 → 期盼未来的发展
3、把课文划分层次，并写出大意。
&第一部分：说明整数（含自然数【即正数】和负数）。
&第二部分：说明实数（含有理数【包括分数】和无理数）。
&第三部分：说明复数（含虚数和实数）。
&第四部分：说明数的发展是无止境的
4、图示数学框架
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
整数 &&负数
有理数&&&&&
实数&&&&&&&&&
复数&&&&&&&&&
5、画出结构简图：
&&&&&&&&&&&&
&作用：数学之起点
自然数&&&&
原型：十个手指
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
作用：解决小数不能减大数的困难
原型：负资产
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
作用：数之基础、进位、运算
&&&&&&&&&&&
零&&&&&原型：一无所有或四大皆空
说&&&&&&&&
作用：解决了不能整除的困难
分数&&&&&&
原型：三人平分一个西瓜
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
作用：表示无法用整数或分数表示的数
无理数&&&&
原型：圆周率
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
作用：解决负数开平方的难题
原形：虚功
作用：反映微观粒子本性实质
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
原形：交流电
6、思考：数由自然数发展到复数说明了什么问题?
数的发展史实际上就是人类科学的发展史，其中凝聚着人类的智慧和对宇宙规律永不停息的追求。
科学的发展需要探索和创新的精神。
四、说明方法及其作用探究
1、说明方法及其作用
《说数》以数的发展过程为文章结构的线索，主要讲了自然数、负数、零、整数、分数、无理数、虚数和复数等数的知识和概念，单纯地看是比较枯燥乏味的，但本文洋溢着浓厚的文学色彩，新颖的修辞、生动的语言、形象的诗歌、亲切的口吻、说明方法的灵活多种，带领读者仿佛走进了一个数的奇妙世界。
分析使用某种说明方法的作用，先要明白各种说明方法通常的作用，再与说明对象的特征和具体语境结合起来。
【公式】作用=方法本身的作用+说明对象及其特征（说明内容）。
文章使用某种说明方法的作用和好处阐释如下：
1．举例子：这种说明方法的作用是使说明的对象具体形象，直观生动，便于读者理解。
2．分类别：分类别的作用是使说明条理清楚。
3．打比方（比喻说明）：它的主要作用是使说明对象生动形象，增强文章的趣味性。
4．列数字：其作用是使说明准确无误，科学具体，令读者信服。
5．作诠释：用于解释被说明内容的成因及内在联系。
6．作比较：作比较用于突出强调被说明对象的特点（地位、影响等）。
7．下定义：其作用是科学准确地解释说明对象的内涵，使说明更严密。
8．画图表：画图表可使说明内容直观形象。
9．摹状貌：摹状貌能使说明生动形象，使文章更具可读性。
10．引用说明：充实文章内容，丰富读者知识；使文字生动活泼，具有文学韵味，引起读者兴趣；寓科技知识于文学描写中，使读者可由文学欣赏而获得科学知识。
2、指出作者在各部分里所用的说明方法。
（【点击链接】说不尽道得明，P52）
第一部分：举例子、下定义、打比方（比喻说明）。
第二部分：举例子、下定义、引用、打比方（比喻说明）。
第三部分：下定义、举例子、打比方（比喻说明）。
总体上还用了“分类”的说明方法。
3、这篇课文运用的说明方法有什么作用？请举例进行简要分析。
（1）举例子：
“有些数根本就无法以整数或分数来表示，最著名的就是圆周率……”
——举出圆周率作为实例，具体形象地说明无理数是怎么一回事。
“负数之引入解决了小数不能减大数的困难，例如１-２＝-１。”
——具体形象地说明负数的实际应用。
“其实虚数和复数都有原型：电工学中利用复数表示交流电，虚数代表虚功，使得电工学计算大为简化。”
——直观具体地说明了虚数和复数的特点及实际应用。
（2）打比方（比喻说明）：
“负数和正数分列左右如雁翅般排开，零居中央，颇有王者气象。”
——把数字比喻成一个不断扩大的数学王国，把零比喻成其中的国王，生动形象地说明了零在数字中的重要性，增强了文章的趣味性。
“从实数轴上的“雁翅排开”，发展到复平面上的“众星捧月”，无论数的概念怎样扩大，零的特殊地位始终不变。”
——用“雁翅排开”“众星捧月”比喻数轴、复平面，生动形象地说明了这个复平面上的水平直线是实数轴，负数正数分列左右，零居中央，与之相垂直的是虚数轴，它上面的点则是虚数，而复平面上的其余任何的点则为复数。同时增强了文章的趣味性。
“难怪你这样美/像中秋夜的一轮明月。”
——以中秋明月喻零，皆为圆形，得其形似；又因零“成十倍地赐予别人”，而月亮把光芒洒向大地，得其神似，可谓形神兼备。
（3）引用说明：
“我有一首小诗单咏零：零赞/你自己一无所有/却成十倍地赐予别人/难怪你这样美/像中秋夜的一轮明月。”
——引用作者自己的小诗，用以形象而又情感丰富地对零加以说明。
“零的原型是什么？是‘一无所有’还是‘四大皆空’？”
——引用佛家的话，说明零的原型，使说明生动活泼，具有文学韵味，引起读者兴趣。
“数学家称之为无理数/诗人赞之为有情人/道是无理却有情/天长地久有时尽/此率绵绵无绝期”
——引用、化用前人诗句，生动形象地说明了圆周率的不可穷尽的特点，理中有情，情中有理，使说明生动活泼，具有文学韵味，引起读者兴趣。
（4）作比较：
“北京图书馆里浩如烟海的藏书所包含的信息虽然极多，但仍是有限的，而圆周率却包含着无限的信息，怎能不令人惊叹！”
——把圆周率无限的信息量与北京图书馆藏书丰富但却有限的信息作比较，突出圆周率（无理数）的特点。
“圆周率则根本不同，3.…既不循环，也无终结，所以包含着无限的信息。”
——文中将圆周率与整数、分数作比较，突出强调了圆周率（无理数）“既不循环、也无终结”的特点。
（5）分类别：
“零是数学史上的一大发明，其意义非同小可。首先，零代表‘无’，没有‘无’何来‘有’？因此零是一切数之基础。其次，没有零就没有进位制，没有进位制就难以表示大数，数学就走不了多远。”
——清楚有条理地说明了零在数学上的意义。
“从自然数到负数和零，再到分数、无理数和复数，数的发展史是否还有更新的篇章？我们且拭目以待。”
——清楚有条理地说明了数的分类和数的发展史。
（6）下定义：
“零和自然数以及带负号的自然数统称为整数。”
——准确地解释整数的内涵和外延。
“有了无理数以后，原来的整数和分数统称为有理数。”
——准确地解释整数的内涵和外延。
五、写法探究
在一般人看来数字是枯燥无味的，课文却把枯燥无味的内容表达得具体生动，趣味盎然。请你说说作者是运用什么方法来达到这种效果的。
⑴从易到难，从少到多，从简单到复杂
⑵运用了多种说明方法，化难为易，便于理解。
⑶语言通俗，生动，亲切。穿插抒情和议论。
六、科学小品文特点
从本文可见科学小品文的一般特点是什么？
选材广泛；
旁征博引，说古道今；
善用多种手法来说明事理；
语言通俗、生动、活泼、亲切，穿插抒情和议论；
具有可读性。
七、总结：
本科学小品生动有趣地介绍了数的发展简史，传播了科学知识和科学创新精神。
八、活动布置：
查找关于数的历史及其它相关知识。
一、导入：
18世纪，英国有位叫桑克斯的数学家，用近二十年的时间，仅凭手算，将л值计算到小数点后707位。如果数字真的枯燥，他能耐住那么长时间的寂寞吗？中国当代数学家陈景润，为了攻克“哥德巴赫猜想”，验算草纸用了几麻袋。如果数字真的乏味，他那持久的兴趣从何而来？
德国著名数学家高斯说：“数学是科学之女王。”今天我们就和物理学家沈致远一起来说数，揭开这位美丽女王的神秘面纱，亲睹其绝代风华。
二、感受文章美
试找出文中所表现出的数学之美
1、数学之美（之一）。
首先，数学与人类生活息息相关。如：“负数概念的形成恐怕与人类早期的商业借贷活动有关。”“分数当然也有原型，例如三人平分一个西瓜，每人得三分之一。”
其次，数学天地充满诗情画意。如：“零就是实轴与虚轴的交点，是整个复平面的中心，仍占有非常特殊的地位。从实数轴上的‘雁翅排开’，发展到复平面上的‘众星捧月’，无论数的概念怎样扩大，零的特殊地位始终不变。难怪最近在网络上评选一千年来最重要的发明时，零也在被提名之列。”
再次，数学的应用相当实际。如：“如果说在电工学中引入复数只是为了计算方便，不用它也行，不过麻烦一点而已。那就请看量子力学：量子力学中的波函数必须以复数表示，这就不是简化计算的问题，而是反映了微观粒子本性的实际问题。换言之，微观世界深层次的自然规律要求复数。”
2、数学之美（之二）。
（1）奇异美：
自然段：圆周率本是圆周与直径之完全确定的比值，但它产生的无穷数列却具有最大的不确定性，我们不能不为大自然的神奇奥妙而感到惊讶和震撼。
（2）对称美：
自然段：每个整数对应于数轴上的一个点，这些点以等距离互相分开，你看！负数和正数分列左右如雁翅般排开，零居中央，颇有王者气象。
（3）创造美：
自然段：“-1的平方根是什么……，据此-1的平方根根本就不存在。但不存在的东西可以创造出来！这就是科学的创造精神。数学家因此创造了‘虚数’……”
3、语言之美。
一是严谨准确。如：“引入虚数固然解决了负数开平方的难题，但也带来了另一个困难——虚数在数轴上没处摆。这迫使数学家创造出一根‘虚数轴’，使之与改称为‘实数轴’的原来之数轴相垂直。由虚、实两根数轴组成的平面称为‘复平面’。”这儿把“复平面”的构成，介绍得很具体、准确。
二是富有文采。
善用修辞。如：“负数和正数分列左右如雁翅般排开，零居中央，颇有王者气象。”
小诗吟咏。如：“零赞：你自己一无所有/却成十倍地赐予别人/难怪你这样美/像中秋夜的一轮明月。”
4、精神之美。
一、赞美了科学家们孜孜以求的科学探究精神。如：“对数的寻求是否到此为止呢？数学家们并不满足，继续孜孜以求，寻找尚未发现的新数，果然找到了。”
二、体现出了科普作家对科学的投入与热爱。纯粹的数字在一般人眼中枯燥乏味，而作者却津津乐道。只有真正热爱数学的人，才能写出这样的文章。
三、体现出科学家对文学的追求与热爱。文中引用的作者本人的小诗，表现出作者的文学天赋。新世纪需要这样的跨学科的人才。
三、联系实际·拓展延伸
数学能借用文学语言表现它的美，其实人们也常借用数学语言来表现生活中的理趣。让我们找来一些例子，加以鉴赏。
如：我们常说“人生的坐标”，这是用来比喻人生的方向、定位，有特殊的韵味。
又如：散文作家余秋雨在回答读者问他是否真的在《借我一生》这部作品后不再写作了，他这样说：“到《借我一生》，我已完成我人生创作的一个抛物线。”抛物线就很形象地说明了他创作从起始到高峰到回落的过程，的确是理趣盎然。
四、作业布置：
1、《赢在课堂》练习
2、仿写。（课后练习四）
作者用诗歌形式“说数”，说得很有魅力，让我们也尝试选择一个数字或一个数学符号或一个标点符号，写一首小诗。
3、写作训练：介绍一种你感兴趣的科学知识或科学现象。
教学反思：
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&&&数系——从自然数到复数
数系——从自然数到复数
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从记数法到复数域：数系理论的历史发展
次 &发布时间： 10:46:00&录入：
　　数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用的数系，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？
　　一、记数法、位置制和零
　　人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识数”的才能，心理学家称这种才能为“数觉”（perceptionofnumber）。动物行为学家则认为，这种“数觉”并非为人类所独有。人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法。《周易?系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡”。以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。直到1826年，英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。随着人类社会的进步，数的语言也在不断发展和完善。数系发展的第一个里程碑出现了：位置制记数法。所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度―阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。
　　最早发展的一类数系应该是简单分群数系（simplegroupingsystem），如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例,它是10进的，但却不是位置的。在公元前年之间，巴比伦人发展了60进位的定位数系（positionalnumeralsystem），它采用了位置制，却不是10进的。而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法。
　　法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,）曾经写道：
　　用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。
　　拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明，10进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后，位置制已在中国存在了两千年。”不过，10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，10进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。
　　“0”作为记数法中的空位，在位置制记数的文明中是不可缺少的。早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零，后来记成点号“?”，最后发展为圈号。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初，意大利的商人斐波那契（LeonadoFibonacci,）编著《算经》（LiberAbacci,1202），把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后，在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。
　　二、大数记法
　　古代希腊人曾经提出一个问题：他们认为世界上的沙子是无穷的，即使不是无穷，也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。阿基米德（Archimedes,BC287-212）的回答是：不。在《数沙术》中，阿基米德以万（myriad）为基础，建立新的记数法，使得任何大的数都能表示出来。他的做法是：从1起到1亿（原文是万万，myriadmyriads,这里按照中文的习惯改称为亿）叫做第1级数；以亿（108）为第2级数的单位，从亿到亿亿（108）2叫做第2级数；在以亿亿为单位，直到亿亿亿（108）3叫做第3级数。直到第1亿级数的最后一数亿亿。阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是1051,即使扩充到“恒星宇宙”，即以太阳到恒星的距离为半径的天球，也不过只能容纳1063个沙粒！
　　同样的问题也出现在中国古代。汉代以前，数皆10进，以10万位亿。韦昭解《国语?郑语》第十六：“计亿事，材兆物，收经入，行垓极”。注称“计，算也；材，裁也。贾唐说皆以万万为亿，郑后司农云：十万曰亿，十亿曰兆，从古数也。”《数术记遗》中则详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法。《数术记遗》称：
　　黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载；三等者，谓上、中、下也。其下数者。十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿、万万亿曰兆，万万兆曰京。上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载，终于大衍。
　　《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法，更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程。客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数。起初，对一些较大的数，人们还可以理解它，还能够利用已有的记数单位去表示它。但是，随着人们认识的发展，这些大数也在迅速的扩张，原有的记数单位难以为用。人们不禁要问：
　　数有穷乎？
　　这是数系发展中的需要回答的重大命题。《数术记遗》中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话，精彩的阐明了“数穷则变”的深刻道理：
　　徐岳问曰：数有穷乎？
　　会稽（刘洪）答曰：吾曾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生，余亦以此意问之。先生曰：世人言三不能比两，乃云捐闷与四维。数不识三，妄谈知十。不辨积微之为量，讵晓百亿于大千？黄帝为法，数有十等。……从亿至载，终于大衍。
　　会稽问曰：先生之言，上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得无穷？
　　先生答曰：数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。循环之理，且有穷乎！
　　天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”，以有限来认识无限，而指引这一途径的重要思想是“言重则变”。即便是今日，“数穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。
　　三、有理数系
　　位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系[2]，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。
　　有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的，埃及采用的是单分数(unitfraction)，阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。
　　原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文?八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓：通分。刘徽在《九章算术注》中所言：
　　众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。
　　有了齐同术，就可将分数化异类为同类，变相违为相通。刘徽深得其中奥秘，称：“然则齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩}解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。”
　　容易证明，分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。历史的事实表明：负数之所以最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学中，算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。负数的概念和算法首先出现在《九章算术》“方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。刘徽的注释深刻的阐明了这点：
　　今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以斜正为异。方程自有赤黑相取，左右数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤黑相消夺之。……故赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率。然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也。
　　负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。如丘凯（NicolasChuquet，）和斯蒂费尔（Stifel,）都把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”。卡丹(Cardan,)把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达(Vieta,)完全不要负数，巴斯卡（Pascal,）则认为从0减去4纯粹是胡说。
　　负数是人类第一次越过正数域的范围，前此种种的经验，在负数面前全然无用。在数系发展的历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。我们将会看到，负数并不是惟一的例子。
　　四、实数理论的完善
　　无理数的发现，击碎了Pythagoras学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数。15世纪达芬奇（LeonardodaVinci,）把它们称为是“无理的数”（irrationalnumber），开普勒（J.Kepler,）称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数，找到虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题。
　　中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进小数来无限逼近无理数。这本是一条完成实数系统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未能引起后人的重视。不过，中国传统数学关注的是数量的计算，对数的本质并没有太大的兴趣。（李）而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希腊数学家，如欧多克斯（Eudoxus）、欧几里得（Euclid）在他们的几何学里，都严格避免把数与几何量等同起来。欧多克斯的比例论（见《几何原本》第5卷），使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍，但就在这以后的漫长时期中，形成了几何与算术的显著分离。
　　17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次突显出来。因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。
　　无理数是什么？法国数学家柯西（A.Cauchy,）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。但是，这个预先存在的“数”，又从何而来呢？在柯西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在的。这表明，柯西尽管是那个时代大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。
　　变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由维尔斯特拉斯（Weierstrass,）、戴德金（R.Dedekind）、康托（G.Cantor,）等人加以完成了。
　　1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱因（F.Kline,）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（ErlangerProgramm），维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。
　　努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。
　　实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。
　　五、复数的扩张
　　复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。
　　1545年，此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们智力又面临一个新的“怪物”的挑战。例如卡丹在所著《重要的艺术》（1545）中提出一个问题：把10分成两部分，使其乘积为40。这需要解方程x(10-x)=40，他求得的根是和，然后说“不管会受到多大的良心责备，”把和相乘，得到25―（―15）=40。于是他说，“算术就是这样神妙地搞下去，它的目标，正如常言所说，是有精致又不中用的。”笛卡尔（Descartes,）也抛弃复根，并造出了“虚数”（imaginarynumber）这个名称。对复数的模糊认识，莱布尼兹（Leibniz,）的说法最有代表性：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的―1的平方根。”
　　直到18世纪，数学家们对复数才稍稍建立了一些信心。因为，不管什么地方，在数学的推理中间步骤中用了复数，结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯（Gauss,）关于“代数基本定理”的证明必须依赖对复数的承认，从而使复数的地位得到了近一步的巩固。当然，这并不是说人们对“复数”的顾虑完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（DeMorgan,）在他的著作《论数学的研究和困难》中依然认为：
　　已经证明了记号是没有意义的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来的，它依赖于一件必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则可以应用于这些式子（复数）。……
　　我们知道，18世纪是数学史上的“英雄世纪”，人们的热情是如何发挥微积分的威力，去扩大数学的领地，没有人会对实数系和复数系的逻辑基础而操心。既然复数至少在运算法则上还是直观可靠的，那又何必去自找麻烦呢？
　　1797年，挪威的韦塞尔（C.Wessel,）写了一篇论文“关于方向的分析表示”，试图利用向量来表示复数，遗憾的是这篇文章的重大价值直到1897年译成法文后，才被人们重视。瑞士人阿甘达（J.Argand,）给出复数的一个稍微不同的几何解释。他注意到负数是正数的一个扩张，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用新增添某种新的概念来扩张实数系？在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效。他不仅将a+bi表示为复平面上的一点(a,b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法。他还说，如果1,―1和原来不称为正、负和虚单位，而称为直、反和侧单位，那么人们对这些数就可能不会产生种种阴暗神秘的印象。他说几何表示可以使人们对虚数真正有一个新的看法，他引进术语“复数”（complexnumber）以与虚数相对立，并用i代替。
　　在澄清复数概念的工作中，爱尔兰数学家哈米尔顿（Hamilton,）是非常重要的。哈米尔顿所关心的是算术的逻辑，并不满足于几何直观。他指出：复数a+bi不是2＋3意义上的一个真正的和，加号的使用是历史的偶然，而bi不能加到a上去。复数a+bi只不过是实数的有序数对（a，b），并给出了有序数对的四则运算，同时，这些运算满足结合律、交换率和分配率。在这样的观点下，不仅复数被逻辑地建立在实数的基础上，而且至今还有点神秘的也完全消除了。
　　回顾数系的历史发展，似乎给人这样一种印象：数系的每一次扩充，都是在旧的数系中添加新的元素。如分数添加于整数，负数添加于正数，无理数添加于有理数，复数添加于实数。但是，现代数学的观点认为：数系的扩张，并不是在旧的数系中添加新元素，而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系，其元素在形式上与旧的可以完全不同，但是，它包含一个与旧代数系同构的子集，这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造。当人们澄清了复数的概念后，新的问题是：是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？答案是否定的。当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时，他发现自己被迫要做两个让步：第一，他的新数要包含四个分量；第二，他必须牺牲乘法交换率。这两个特点都是对传统数系的革命。他称这新的数为“四元数”。“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束。1878年，富比尼（F.Frobenius,)证明：具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数先行结合代数，如果服从结合律，那就只有实数，复数和实四元数的代数。
　　数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会产生无可估量的创造力。哈米尔顿的四元数的发明，使数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的交换性去构造一个有意义、有作用的新“数系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质的代数构造。数系的扩张虽然就此终止，但是，通向抽象代数的大门被打开了。（作者：纪志刚）
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　　来源：牧夫天文网
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