高数，微积分。谁能给我说一下啥时候只能用初等行变换？啥时候行列都能用？详细一点，比如：求r化简时怎么怎么样…就是考研数学。_百度作业帮
高数，微积分。谁能给我说一下啥时候只能用初等行变换？啥时候行列都能用？详细一点，比如：求r化简时怎么怎么样…就是考研数学。
大家都说去你妈，这就是同等学历一个列向量乘以一个行向量 秩为1的问题这里B矩阵做初等变换是如何到y1&y2&.yn的郁闷是数学一的复习全书_百度作业帮
一个列向量乘以一个行向量 秩为1的问题这里B矩阵做初等变换是如何到y1&y2&.yn的郁闷是数学一的复习全书
这里B矩阵做初等变换是如何到y1&y2&.yn的郁闷是数学一的复习全书
这里需要 x≠0.此时 存在 xi ≠ 0则 B 的第i行乘 1/xi ,第i行变为 y1,y2,...,yn其余行 加上 第i行的一个适当倍数即化为0
您可能关注的推广万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—年万学海文线性代数 2011 年万学海文线性代数 春季基础班考研辅导讲义主讲 铁军 教授铁军教授简介：著名考研数学辅导专家， 铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国 各大城市声名鹊起，成为与王式安、 各大城市声名鹊起，
成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学 辅导“三驾马车”之一。 辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以 来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、 以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、 重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、 重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责 的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。 的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁 军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、 军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统 性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱 性和考生的数学成绩大面积高分而受 到广大莘莘学子的爱 考研竞争空前激烈！ 戴！2011 年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲 临面授，为您考研成功保驾护航。 临面授，为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同 努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！ 努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。 线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突 以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此， 出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌 握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象， 握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综 合性强，特别是关于向量的线性相关性、 合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题 难度较大，必须突破这一难点。 难度较大，必须突破这一难点。第一章行列式行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法， 行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按 行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等 按列展开公式将行列式降阶。 变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。 变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。 【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。 大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（ 展开定理。 大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行 展开定理计算行列式。 （列）展开定理计算行列式。 考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少 纯粹考行列式的题目很少， 【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题 纯粹考行列式的题目很少，但行 式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用： 列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：1 内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线1．判定方阵是否可逆以及应用公式 A ?1 = ．1 ? 求逆矩阵； A 求逆矩阵； A2．判定 n 个 n 维向量的线性相关性； ． 维向量的线性相关性； 3．计算矩阵的秩； ．计算矩阵的秩； 4．讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解； ．讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解； 5．求方阵的特征值； ．求方阵的特征值； 6．判定二次型及实对称矩阵的正定性。 ．判定二次型及实对称矩阵的正定性。 同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中， 同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中， 的题型 请大家注意及时归纳总结。 请大家注意及时归纳总结。 【重要考点】 重要考点】 1．行列式按行、按列展开公式为： ．行列式按行、按列展开公式为：D = a k1 Ak1 + a k 2 Ak 2 + L + a kn Akn= a1k A1k + a 2 k A2 k + L + a nk Ank (k = 1,2 L n)2．两个特殊公式：设 A 是 m 阶方阵， B 是 n 阶方阵，则 ．两个特殊公式： 阶方阵， 阶方阵， （1） ）A O A C O A C A = = A B ； ） （2） = = (?1) mn A ? B （ C B O B B C B O1 x2 2 x2 M n ?1 x2 L L L 1 xn 2 xn = Π ( xi ? x j ) 1≤ j & i ≤ n M n L x n ?11 x1 3．范德蒙行列式： x12 ．范德蒙行列式： M n ?1 x14 ． 余子式和代数余子式的定义 ， 其中 a ij 的余子式为 M ij ， a ij 的代数余子式为Aij = (?1) i + j M ij 。【典型例题】 典型例题】 1. 计算 n 阶行列式x 0 0 Dn = 0 0 an?1 x 0 0 0 a n?10 ?1 x 0 0 an?2L 0 0 0 L 0 0 0 L 0 0 0 O O L x ?1 0 L 0 x ?1 L a 3 a 2 a1内部教材 严禁复制2海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—a b 0 L 0 0 0 a b L 0 0 a L 2. n 阶行列式 M M M 0 0 0 L 0 0 0 0 = _____________________ . M M a bb 0 0 L 0 a1 x1范德蒙行列式： ★ 范德蒙行列式： Dn = x121 x2L L1 xnM x1n ?12 2 x2 L xn = Π ( xi ? x j ) ， 1≤ j &i ≤ n M M n n x2 ?1 L xn ?1n 阶范德蒙行列式 Dn 的结构特点是每列元素 1, xi , xi2 ,L , xin ?1 按 xi 的升幂排列，构 的升幂排列，成一个等比数列。 成一个等比数列。1计算四阶行列式 3. 计算四阶行列式 D =1 31 11?4 . 4 9 1 16 8 27 1 ?6424. 计算四阶行列式3 a1 2 a b1 D= 1 2 a1b1 3 b1 3 a2 2 a 2 b2 2 a 2 b2 3 b3 3 a3 2 a 3 b3 2 a 3 b3 3 b3 3 a4 2 a 4 b4 2 a 4 b4 3 b4（其中 a1 , a 2 , a 3 , a 4 均不为 0） ）3内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线5. 计算四阶行列式1 D=11 1 + sin ? 3 sin ? 3 + sin 2 ? 3 sin 2 ? 3 + sin 3 ? 31 1 + sin ? 4 sin ? 4 + sin 2 ? 4 sin 2 ? 4 + sin 3 ? 41 + sin ?1 1 + sin ? 2 2 sin ?1 + sin ?1 sin ? 2 + sin 2 ? 2 sin 2 ?1 + sin 3 ?1 sin 2 ? 2 + sin 3 ? 2O O★ 形如O O O O O O O O的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式。 的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式。三对角型行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角型行 式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角型行 列式通常可用递推法。 列式通常可用递推法。 6. 计算 n + 1 阶行列式1 0 0 0 0 b1 ?1 0 0 0 0 b2 1 ? b2 O 0 0 0 0 O O 0 0 0 0 0 O 1 ? bn ?1 ?1 0 0 0 0 bn 1 ? bn ? 1 1 ? b1 D n +1 =4 3 0 0 0 1 4 3 0 07．五阶行列式 D5 = 01 4 3 0 的值为 _________ . 0 0 1 4 3 0 0 0 1 4内部教材 严禁复制4海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—8. 五阶行列式1? a ?1 D= 0 0 0a0001? a a 0 0 ?1 1 ? a a 0 = _____________ . 0 ?1 1 ? a a 0 0 ?1 1 ? a? L L L M O 的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主 ★ 形如 的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主 M O M O对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、 对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、 爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（ 爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角型行列式进行计 算。 9.计算 n + 1 阶行列式a0 1 = 1 M 1 1 a1 0 M 0 1 0 a2 M 0 L 1 L 0 L 0 O M L anD n +1(a1 a 2 L a n ≠ 0)10. 计算 n 阶行列式0 1 Dn = 1 M 1 1 2 0 0 0 1 L 1 0 0 0 3 0 0 0 O 0 0 0 n5内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线11. 11. 计算 n 阶行列式a1 bb a2b bb Lb b(a i ≠ b, i = 1,2, L n)Dn = b b a3 L b L L L L L b b b L an计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式： ★ 计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式： 阶方阵， 阶方阵， 设 A 是 m 阶方阵， B 是 n 阶方阵，则 （1） ）A O A C O A C A = = A B； ） （2） = = (?1) mn A ? B . （ C B O B B C B O12． 12． 计算1 0 0 7 ?12 1 0 11 80 0 0 63 4 5 50 0 0 71 8 113. 计算五阶行列式0 0 D= 1 0 00 0 2 5 00 1 0 ?3 3 7 6 8 5 92 4 6 7 8内部教材 严禁复制6海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—? A 3 A* ? ?， 14． 阶矩阵， 14．设 A, B 均是 n 阶矩阵， A = a, B = b, C = ? 1 ?1 ? ( B) O ? ? ? ? 2 ?则 C = _________ .a1 0 15. 四阶行列式 0 b40 a2 b3 00 b2 a3 0b1 0 的值等于( 的值等于 0 a4)（A） a1a2 a3a4 ? b1b2b3b4 ）（B） a1a2 a3a4 + b1b2b3b4 ）（C） ( a1 a 2 ? b1b2 )( a3 a 4 ? b3 b4 ) （D） ( a 2 a 3 ? b2 b3 )(a1 a 4 ? b1b4 ) ） ）★的多项式， 若行列式中含有变量 x ，则该行列式展开后成为关于 x 的多项式，可考查该多项式 的次数、零点等问题。 的次数、零点等问题。5x 1 216. 16. 设行列式 D4 =3，2 x 11 x 3 的展开式中， ，则 D 4 的展开式中， x 4 的系数是 x 2 3 2 1 ?3 x。x 3 的系数是7内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线17. 设行列式f ( x) =x?2 2x ? 2x ?1 x ? 2 x?3 2x ?1 2x ? 2 2x ? 33x ? 3 3x ? 2 4 x ? 5 3x ? 5 4x 4x ? 3 5x ? 7 4x ? 3） （B）2 ） （C）3 ），则方程 f ( x) = 0 的根的个数为（ 的根的个数为（ （A）1 ）（D）4 ）18.设多项式 18.设多项式a11 + x p( x) =a12 + xa13 + xa14 + xa21 + x a22 + x a23 + x a24 + x a31 + x a32 + x a33 + x a34 + x a41 + x a42 + x a43 + x a44 + x。 ） （C）3 ） （D）4 ）的次数至多是（ 则 p(x) 的次数至多是（ （A）1 ） （B）2 ）计算代数余子式线性组合的值 代数余子式线性组合的值： ★ 计算代数余子式线性组合的值： 1．余子式和代数余子式 ． 在 n 阶行列式 Dn中, 划去元素aij 所在的第i行和第j列 ，余下的元素按原有顺序构成的n ? 1 阶行列式，称为元素 aij 的余子式，记作 M ij . 阶行列式， 的余子式，余子式M ij 之前加上符号，称为元素 aij 的代数余子式，记作 之前加上符号， 的代数余子式，Aij = (?1)i + j M ij内部教材 严禁复制 8 海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—2．代数余子式的性质： ．代数余子式的性质： 的大小无关； （1） Aij 和 aij 的大小无关； ） （2） ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain = A ，a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj = A（3） ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + L + ain A jn = 0(i ≠ j )(i, j = 1, 2L n)（4） A 的伴随矩阵 A* = ( A ji ) n×n? A11 ? A = ? 12 ? M ? ?A ? 1nA21 L A22 M A2 nAn1 ? ? L An 2 ? ， 则 M M ? ? ? L Ann ??1①由 于 A* = ( A ji ) n×n 中 的 元 素 为 A ji ， 可 先 求 A* = A A，再求Ai1 + Ai 2 + L + Ain 和 A1 j + A2 j + L + Anj② 设 A* 的特征值为 λ1 , λ2 ,L , λn ，则A11 + A22 + L + Ann = λ1 + λ2 + L + λna11 L 评注】 【评注】设 A = ai1 L an1L L L L La1 j L aij L anjL L L L La1n L ain ， aij 的代数余子式为 Aij ，则 Aij 只与 aij 的位 L ann置有关， 的大小无关。 的值而其他元素不变 他元素不变， 置有关，而与 aij 的大小无关。所以若改变 A 中 aij 的值而其他元素不变，则 Aij 的值 不变，因此可用元素置换法计算代数余子式线性组合的值。 不变，因此可用元素置换法计算代数余子式线性组合的值。 计算代数余子式线性组合的值1 0 1 2 1 1 019. 19. 设 A =?1 1 0 3 1 ?1 2 5 4，（2） 求（1） A12 ? A22 + A32 ? A42 ； ） A41 + A42 + A43 + A44 . ） （9内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线20. 20. 设行列式3 D= 2 5 0 2 3 4 2 0 0 2 00 ?7，则第四行各元素余子式之和的值为。?2 2?1 21 ． 设 A 是 三 阶 可 逆 矩 阵 ， A 的 特 征 值 为 1, 2,3, 求 A 的 代 数 余 子 式 之 和 ：A11 + A22 + A33 .计算抽象矩阵的行列式：主要利用矩阵行列式的性质。 ★ 计算抽象矩阵的行列式：主要利用矩阵行列式的性质。 阶矩阵， 设 A 为 n 阶矩阵，则有 （1） kA = knAk k（2） AB = A B , A = AT T T T （ 3） A = A , A + B = ( A + B ) = A + B（4）设 A 为 n 阶可逆矩阵，则 A 阶可逆矩阵，?1=1 A（5）利用行列式加法运算的性质： 利用行列式加法运算的性质： 设 α i 为 n 维列向量， βi 为 n 维行向量，则 维列向量， 维行向量，α1 α 2 α 3 + α1 α 2 α 4 = α1 α 2 α 3 + α 4 ，内部教材 严禁复制10海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—β1 β1 β1 β2 + β2 = β2 β3 β 4 β 3 + β 422. 22. 设 A 为 3×3 矩阵， A = ?2 ，把 A 按列分块为 ( A1 , A2 , A3 ) ，其中 A j ( j = 1,2,3) 是 A 的 × 矩阵， 第 j 列，则 A3 ? 2 A1 ,3 A2 , A1 = 。23. 维列向量， 23. 设 α 1 , α 2 , α 3 , β , γ 均为 4 维列向量 ， 且 α 1 , α 2 , α 3 , β = a ， β + γ , α 2 , α 3 , α 1 = b ， 则2γ , α 1 , α 2 , α 3 =.24. B 24. 设 n 阶矩阵 A = (α 1 , α 2 , L , α n ) ， = (α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , L , α n + α 1 ) ， 其中 α1 , α 2 ,L , α n 为n 维列向量。已知行列式 A = a (a ≠ 0) ，求行列式 B 的值。 维列向量。 的值。11内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线25． 阶方阵， 25．若 A 是 n 阶方阵，且 AAT = E ， A = ?1 ，证明 A + E = 0 .26． 阶矩阵， 26．设 A、B 均为 n 阶矩阵， A = 2,B = ?3 ，则 2 A ? B ?1 = __________第二章矩阵矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。 矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。矩阵考试的重点 是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵。以计算题为主，技巧性强。 矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵。以计算题为主，技巧性强。 【大纲内容】矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的幂；方阵乘积的行列式； 大纲内容】矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的幂；方阵乘积的行列式； 矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵； 条件； 矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等变 初等矩阵；矩阵的等价；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法； 换；初等矩阵；矩阵的等价；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；分块矩阵 及其运算。 及其运算。 大纲要求】掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算，特别是矩阵的乘法、矩阵的转置、 【大纲要求】掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算，特别是矩阵的乘法、矩阵的转置、逆矩 方阵的行列式等。要掌握它们的运算规律、逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件， 阵、方阵的行列式等。要掌握它们的运算规律、逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件， 会用各种方法求出矩阵的逆矩阵， 会用各种方法求出矩阵的逆矩阵，矩阵的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各 种问题的重要方法，因此必须掌握矩阵的初等变换，会用初等变换解决有关问题。 种问题的重要方法，因此必须掌握矩阵的初等变换，会用初等变换解决有关问题。 考点分析】矩阵乘法有分配律，结合律，但是没有交换律，没有消去律。 【考点分析】矩阵乘法有分配律，结合律，但是没有交换律，没有消去律。 1.矩阵乘法运算一般不满足交换律， 矩阵乘法运算一般不满足交换律 因此要注意运算次序。 1.矩阵乘法运算一般不满足交换律，即 AB ≠ BA ，因此要注意运算次序。 2.一般地， 2.一般地， AB = 0 ? A = 0 或 B = 0 ， A = 0 ? A = 0 ； 一般地 / /k内部教材 严禁复制12海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—3. AB = AC ? B = C ，除非 A 是列满秩矩阵 4. ( AB) T = B T A T? a1 ? ? ? ?a ? T 5.设 维行向量， 5.设 A = α β ，其中 α , β 均为 n 维行向量，即 A = ? 2 ?(b1b2 L bn ) ，则 M ? ? ?a ? ? n?非零阵 A 可表为 α T β 的形式的充要条件为： A = α T β ? 秩 A = 1 。 的形式的充要条件为： 注意： 相关的问题，是考研数学中常见题型。 注意：与 α T β 相关的问题，是考研数学中常见题型。【典型例题】 典型例题】 ★ 计算 n 阶矩阵的高次幂是一种重要题型，包括： 阶矩阵的高次幂是一种重要题型，包括： （1） 计算一般矩阵的高次幂； ） 计算一般矩阵的高次幂； 计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的高次幂； 行向量乘积的矩阵的高次幂 （2） 计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的高次幂； 计算分块对角矩阵的高次幂 高次幂： （3） 计算分块对角矩阵的高次幂：? A1 ? 设 A=? ? ? ? ?A2? A1n ? ? ? ? ，则 A n = ? ? ? O ? ? ? ? As ? ?An 2? ? ? ? O ? ? Asn ?（4）计算能相似对角化的矩阵的高次幂 计算能相似对角化的矩阵的高次幂?1 0 1? ? ? 为正整数， 1．设 A = ? 0 2 0 ? ，而 n ≥ 2 为正整数，则 ?1 0 1? ? ?An ? 2 An ?1 = _____, An = _____ .13内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线2．设 p = ? ． ??1 2? ?1 0 ? ?? 4 2 ? 2n ?, Λ = ? ? ? 0 ? 1? , Q = ? 3 ? 1? ，令 A = pΛQ ，求 A 。 ? ? ? 3 4? ? ? ? ? ?2 ? 1? ? 1 ? ? 20 ? 3．已知 A = ? ? 2 ? 4 2 ? ，则 A = ____ , A = ______ . ? 3 6 ? 3? ? ?4．已知 α = (1,2,3) ， β = (1, , ) ，设 A = α T β ，则 A n =1 1 2 3T T 5．设 n 维行向量 α = ( ,0, L ,0, ) ，矩阵 A = E ? α α , B == E + 2α α ，其中 E 为 n 阶单1 21 2位矩阵， 等于（ 位矩阵，则 AB 等于（ （A）O ） （B） ? E ）） （C） E ） （D） E + α α ）T内部教材 严禁复制14海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—? 2 ?1 3 ? ? ? 6．设 A = ? a 1 b ? ，若存在秩大于 1 的三阶矩阵 B ，使得 AB = O ，则 A n = ? 4 c 6? ? ??1 0 ? ? 0 ?1 7． 设 A = ? 0 0 ? ?0 0 ?0 0 ?0 0 0? ? 0 0 0? 0 1 0 ? ，求 A10 。 ? 0 0 1? ? 0 0 0?逆矩阵与伴随矩阵： ★ 逆矩阵与伴随矩阵： 1. 求逆矩阵方法：用初等变换（不能行、列变换混用） 求逆矩阵方法：用初等变换（不能行、列变换混用）( A E ) ?只用行变换 →( E ??? ? A ?1 ) ，? A ? 只用列变换 ? E ? ? ? ?? ??→? ?1 ? ?E? ?A ? ? ? ? ?2. 矩阵 A 可逆的充要条件： 可逆的充要条件： （1）存在 n 阶方阵 B，使 AB = BA = E ） ， （2） A ≠ 0 ） 阶方阵） （3）秩 A = n （A 为 n 阶方阵） ） （4）A 与同阶单位矩阵 E 等价 ） （5）A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积 ） （6）齐次线性方程组 AX = 0 只有零解 ） 有唯一解。 （7）对任意 n 维列向量 b ，非齐次线性方程组 AX = b 有唯一解。 ） 向量组线性无关。 （8）A 的行（列）向量组线性无关。 ） 的行（ （9）A 的特征值均不为 O(Q A = λ1λ 2 L λ n ) ）15 内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线3. 逆矩阵常用公式： 逆矩阵常用公式： （1） A ?1 ）( )?1=A（2） A T ）( ) = (A )?1?1 T（3） ( AB )?1 = B ?1 A ?1 ） （5） (kA) ?1 = ）1 ?1 A ( k ≠ 0) k（4） A ?1 = ）1 A有关， 4. 思维定势： ）题设条件与 A ? 有关，则立即联想到用公式 AA ? = A ? A = A E 思维定势： （1） （ （2）若涉及到 A、B 是否可交换，即 AB = BA ，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析 ） 、 是否可交换， 可逆， （3）若题设 n 阶方阵 A 满足 f ( A) = 0 ，要证 aA + bE 可逆，则先分解出因子 aA + bE 再 ） 说。 5.伴随矩阵的主要定理和公式 伴随矩阵的主要定理和公式 （1） AA ? = A ? A = A E ） （3） A ? ） （2） A ?1 = ）1 ? A (当 A ≠ 0时) A( )?1=1 A(当 A ≠ 0时) A为常数， 阶矩阵， （4） (kA)? = k n ?1 A ? （ k 为常数，A 为 n 阶矩阵， n ≥ 2 ） ） （5） A ? = A ） （6） A ? ）n ?1阶矩阵， （A 为 n 阶矩阵， n ≥ 2 ）A （A 为任 n 阶矩阵， n ≥ 2 ） 阶矩阵，( )?= An?2（7） A ? ）( ) = (A )TT ?（8） ( AB )? = B ? A ? ）? n, 若秩A = n ? （9）设 A 是 n 阶矩阵 (n ≥ 2) ，则 秩A = ?1, 若秩A = n ? 1 ?0, 若秩A & n ? 1 ??阶非零矩阵， 可逆。 8．设 A 为 n 阶非零矩阵，证明当 A ? = A T 时，A 可逆。9 ． 设 n 维 向 量 α = (a, o, L , o, a )T , a & o ； E 为 n 阶 单 位 矩 阵 ， 矩 阵 A = E ? αα T ，1 B = E + αα T ，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a = _____ 。 ， a内部教材 严禁复制16海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—10． 证明： （1） 10．设 n 阶可逆矩阵 A 中每行元素之和均为常数 a 。证明： ）常数 a ≠ 0 （ （2） A ?1 的每行元素之和均为 a ?1 。 ）11． 阶方阵， 11． 设 A、B 均为 n 阶方阵，且 AB = A ? B 。 、 证明： （1） （2） 证明： ） ( A + E ) ?1 = E ? B ； ） AB = BA . （ （12． 可逆， 也可逆， 12．已知 E + AB 可逆，试证 E + BA 也可逆，并求 ( E + BA) ?1 .13． 阶方阵， 13．设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 = 0 ，则（ 不可逆； （A）A 不可逆，且 E ? A 不可逆； ） 不可逆， 不可逆； （B）A 可逆，但 E+A 不可逆； ） 可逆， 均可逆； （C） A 2 ? A + E 及 A 2 + A + E 均可逆； ） （D）A 不可逆，且必有 A = 0 . ） 不可逆，2）17内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线14． 阶矩阵， 阶单位矩阵。 （1 证明： 14．已知 A、B 为 3 阶矩阵，且满足 2 A ?1 B = B ? 4 E ，其中 E 是 3 阶单位矩阵。 1）证明： （?1 ? 2 0? ? ? 可逆； （2 矩阵 A-2E 可逆； 2）若 B = ? 1 2 0 ? ，求矩阵 A . （ ? 0 0 2? ? ??1 0 0? ? ? 15． 为单位矩阵， 15．设矩阵 A、B 满足 A BA = 2 BA ? 8E ，其中 A = ? 0 ? 2 0 ? ，E 为单位矩阵， A ? 为 A 的伴 ?0 0 1? ? ??随矩阵， B=__________。 __________ 随矩阵，则 B=__________。16． 16．已知三阶矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 = ?1 2 1 ? ，试求 ( A ? ) ?1 。?1 1 3 ? ? ??1 1 1 ? ? ?? 1 1 ? 1? ? ? 17． 17． 设矩阵 A = ? ? 1 1 1 ? ，矩阵 X 满足 A ? X = A ?1 + 2 X ，求矩阵 X 。 ? 1 ?1 1 ? ? ?内部教材 严禁复制18海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—的伴随矩阵， 的转置矩阵. 18. 设矩阵 A= ( aij ) 3×3 满足 A = A ，其中 A 是 A 的伴随矩阵， A 为 A 的转置矩阵 若* T * Ta11 , a12 , a13 为三个相等的正数，则 a11 为( 为三个相等的正数，(A))3 . 3(B)3.(C)1 . 3(D)3.★只要把子块或子矩阵当做通常的矩阵元素，分块矩阵的加、 乘法、 1. 只要把子块或子矩阵当做通常的矩阵元素，分块矩阵的加、减、乘法、数乘与转 置等运算就与通常矩阵的相应运算基本相同。 置等运算就与通常矩阵的相应运算基本相同。 均为可逆方阵， 2. 设 A、B 均为可逆方阵，则 ①? ?? A O? ? ? ?O B ??1 ?1? A ?1 =? ? O ?O ? ? B ?1 ? ?②? ??O A? ? ? ? B O??1?1? O = ? ?1 ?A ?B ?1 ? ? O ? ? O ? ? 。 B ?1 ? ?③? ?? A C? ? ? ?O B ?? A ?1 =? ? O ?? A ?1CB ?1 ? ? ? B ?1 ?④? ?? A O? ? ? ?C B ?? A ?1 =? ? ? B ?1CA ?1 ?19． 阶非奇异矩阵， 维列向量， 为常数， 19． 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， α 为 n 维列向量， b 为常数，记分块矩阵I ? P=? ? ? α T A? ? O? ? A ?, Q = ? T ?α A? ? ?α?? ，其中 A ? 是矩阵 A 的伴随矩阵，I 为 n 阶单位矩阵。 的伴随矩阵， 阶单位矩阵。 b? ?（1）计算并化简 PQ（2）证明：矩阵 Q 可逆 ? α T A ?1α ≠ b . ） （ ）证明：阶矩阵， 分别为 对应的伴随矩阵， 20． 20．设 A、B 为 n 阶矩阵， A ? , B ? 分别为 A 、 B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 C = ? ? C 的伴随矩阵 C ? = （ （ A） ?? A A? ? O ? ? A B? ? O ? O ? ? B B? ? ? O ? ? B A? ? ?? A O? ? ，则 ? ?O B ?。 ） （ B） ?? B B? ? O ? ? B A? ? O ?19O ? ? A A? ? ? O ? ? A B? ? ?内部教材 严禁复制（ C） ?（ D） ?万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线初等矩阵与初等变换 初等变换： ★ 初等矩阵与初等变换： 1. 单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 2. 对应于三种初等变换的三种初等矩阵为： 对应于三种初等变换的三种初等矩阵为： （1） E (i, j ) ：交换 E 的两行或两列得到 列得到； （2） E [i (k )] ：非零常数 k 乘 E 的 i 行或 i 列得到； （3） E [i, j (k )] ：E 的 j 行（列）的 k 倍加到 i 行（列）. 3.初等矩阵的逆矩阵： 3.初等矩阵的逆矩阵： 初等矩阵的逆矩阵 （1） E (i, j ) ?1 = E (i, j ) （2） E (i (k )) ?1 = E (i ( ))1 k (k ≠ 0)（3） E (i, j (k )) ?1 = E (i, j (?k )) 4.（ 同样的初等行变换。 4.（1）初等矩阵 P 左乘 A 所得 PA 就是 A 作了一次与 P 同样的初等行变换。 同样的初等列变换。 （2）初等矩阵 P 右乘 A 所得 AP 就是 A 作了一次与 P 同样的初等列变换。?0 1 0? ? ? 21． 21．计算 ? 1 0 0 ? ?0 0 1? ? ?2003? 1 2 3 ?? 0 0 1 ? ? ?? ? ? 4 5 6 ?? 0 1 0 ? ? 7 8 9 ?? 1 0 0 ? ? ?? ?2004.22． 阶可逆矩阵， 可逆， 22．设 A 是 n 阶可逆矩阵，将 A 的第 i 行与第 j 行对调后得到的矩阵记为 B，证明 B 可逆， ， 并求 AB ?1 。内部教材 严禁复制20海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—? a11 ? ?a 23． 23．设 A = ? 21 a ? 31 ?a ? 41?0 ? ?0 P1 = ? 0 ? ?1 ?a12 a 22 a 32 a 42a13 a 23 a 33 a 43a14 ? ? a14 ? ? a 24 ? ? a 24 ? ， B = ?a a 34 ? ? 34 ? a4 a 44 ? ? ?a13 a 23 a 33 a 43a12 a 22 a 32 a 42a11 ? ? a 21 ? a 31 ? ? a 41 ? ?0 0 1? ?1 0 ? ? 1 0 0? ?0 0 ， P2 = ? 0 1 0? 0 1 ? ? ? ?0 0 0 0 0? ?0 0? ? 1 0? 可逆， 等于（ ，其中 A 可逆，则 B ?1 等于（ 0 0? ? 0 1? ?）（A） A ?1 P1 P2 （B） P1 A ?1 P2 （C） P1 P2 A ?1 （D） P2 A ?1 P1* * 阶可逆矩阵， 24． 24．设 A 为 n（ n ≥ 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, A , B 分别为 （A,B 的伴随矩阵，则（ 的伴随矩阵，）(A) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 B * . (B) 交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 B * . (C) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 ? B * . (D) 交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 ? B * .21内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线第三章向量本章是考研复习的重点，也是难点。一定要吃透线性相关、线性无关的概念、 本章是考研复习的重点，也是难点。一定要吃透线性相关、线性无关的概念、性质和 判别法，并能灵活运用。熟记一些常见结论，并能将线性相关、 判别法，并能灵活运用。熟记一些常见结论，并能将线性相关、线性无关的概念与矩阵的 线性方程组的解的结构定理进行转换、连接，开阔思路，提高综合能力。 秩、线性方程组的解的结构定理进行转换、连接，开阔思路，提高综合能力。 向量的线性组合和线性表示； 【大纲内容】向量的概念;向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关与线性无关；向 大纲内容】向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关； 量组的极大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。 量组的极大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。 数学一还要求掌握： 向量空间以及相关概念； 维向量空间的基变换和坐标变换； n 过渡矩阵； 数学一还要求掌握： 向量空间以及相关概念； 维向量空间的基变换和坐标变换； 过渡矩阵； 向量的内积；线性无关向量组的正交规范化方法；规范正交基；正交矩阵及其性质。 向量的内积；线性无关向量组的正交规范化方法；规范正交基；正交矩阵及其性质。 大纲要求】 维向量的概念、向量的线性组合与线性表示 表示； 【大纲要求】理解 n 维向量的概念、向量的线性组合与线性表示；理解向量组线性相关与 线性无关的概念；了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法， 线性无关的概念；了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法，会求向量 组的极大线性无关组和向量组的秩；了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系， 组的极大线性无关组和向量组的秩；了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，会用矩阵的 秩解决有关问题。数学一还要求： 维向量空间、 维数、坐标等概念， 秩解决有关问题。数学一还要求：了解 n 维向量空间、基、维数、坐标等概念，会求基变 换的过渡矩阵，并通过过渡矩阵求向量在新、旧基下的坐标；了解内积的概念， 换的过渡矩阵，并通过过渡矩阵求向量在新、旧基下的坐标；了解内积的概念，掌握向量 组正交规范化的施密特（ 组正交规范化的施密特（Schmidt）方法，以及正交矩阵的概念与性质。 ）方法，以及正交矩阵的概念与性质。 考点分析】判别向量组线性相关、线性无关的方法： 【考点分析】判别向量组线性相关、线性无关的方法： 1．定义法： 1）若存在不全为 0 的数 k1 , k 2 , L , k m ，使 ．定义法： ） （k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = 0 ，则 α 1 , α 2 , L , α m 线性相关； 线性相关；（2）令 k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = 0 而 k1 = k 2 + L = k m = 0 ，则 ） α 1 , α 2 , L , α m 线性无关。定义法的关键是恒等变形。 线性无关。定义法的关键是恒等变形。 线性无关， 2．思维定势： ）若要证明向量组 α 1 , α 2 , L , α s 线性无关，先考虑用定义 （1） ．思维定势： （ 再说； 再说； 定义处理一下再说。 （2）若已知条件涉及线性相关的话，先用定义处理一下再说。 ）若已知条件涉及线性相关的话，先用定义处理一下再说 3．利用向量组的秩： ．利用向量组的秩： （1）当秩（ α 1 , α 2 , L , α m ） & m 时，向量组 α 1 , α 2 , L , α m 线性相关； ）当秩（ 线性相关； 线性无关。 （2）当秩（ α 1 , α 2 , L , α m ） = m 时，向量组 α 1 , α 2 , L , α m 线性无关。 ）当秩（ 4．利用矩阵的秩： ．利用矩阵的秩： 线性无关， 线性表示。 设向量组 α 1 , α 2 , L , α s 线性无关，向量组 β 1 , β 2 , L , β t 可用 α 1 , α 2 , L , α s 线性表示。且 有矩阵 A，使得 ( β 1 , β 2 , L , β t ) = (α 1 , α 2 , L , α s ) A ， 则（1）秩 ( β 1 , β 2 , L , β t ) =秩 A ） 秩 （2）向量组 β 1 , β 2 , L , β t 线性无关 ? 秩 A = t 。 ） 5．利用行列式： ．利用行列式： 阶方阵。 设 A = (α 1 , α 2 , L , α n ) 为 n 阶方阵。当 A = 0 时， n 维向量组α 1 , α 2 , L , α n 线性相关；当 A ≠ 0 时， n 维向量组 α 1 , α 2 , L ,0 线性无关。 线性相关； 线性无关。6．利用线性表示： ．利用线性表示： 至少存在一个向量可以用其余向量线性表示； （1） 向量组 α 1 , α 2 , L , α m 线性相关 ? 至少存在一个向量可以用其余向量线性表示； ） 线性无关， 线性相关， （2） 若向量组 α 1 , α 2 , L , α m 线性无关，而向量组 β，α 1 , α 2 , L , α m 线性相关，则 β 能 ） 线性表示，且表示式是唯一的。 由 α 1 , α 2 , L , α m 线性表示，且表示式是唯一的。内部教材 严禁复制 22 海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—线性相关。 （3）若 β 1 , β 2 , L , β t 可由 α 1 , α 2 , L , α s 线性表示且 t & s ，则 β 1 , β 2 , L , β t 线性相关。 ） 简记为：多数向量能用少数向量表示，则线性相关。 简记为：多数向量能用少数向量表示，则线性相关。 线性表示， 线性无关， （4）逆否命题：若 β 1 , β 2 , L , β t 可由 α 1 , α 2 , L , α s 线性表示，且 β 1 , β 2 , L , β t 线性无关， ）逆否命题： 则必有 t ≤ s 。 7．利用定理： ．利用定理： 维向量必线性相关； （1）任 n + 1 个 n 维向量必线性相关； ） 的一个部分组线性相关， 亦线性相关； （2） ） 若向量组 α 1 , α 2 , L , α s 的一个部分组线性相关， 则向量组 α 1 , α 2 , L , α s 亦线性相关； 线性无关，则它的任一部分组都线性无关。 反之，若 α 1 , α 2 , L , α s 线性无关，则它的任一部分组都线性无关。 反之， 此定理简记为：部分组线性相关，则整体组线性相关；整体组线性无关， 此定理简记为：部分组线性相关，则整体组线性相关；整体组线性无关，则其任 一部分组也线性无关。 一部分组也线性无关。 （ 3 ） 设 α1 , α 2 , L , α s 是 m 维 向 量 ， β1 , β 2 , L , β s 是 n 维 向 量 ， 令?α ? ?α ? ?α ? γ 1 = ? 1 ?, γ 2 = ? 2 ?, L , γ s = ? s ? ， 其 中 γ 1 , γ 2 , L γ s 是 m + n 维 向 量 。 通 常 称 ?β ? ?β ? ?β ? ? 1? ? 2? ? s?γ 1 , γ 2 , L γ s 是向量组 α 1 , α 2 , L , α s 的延伸组； α 1 , α 2 , L , α s 称为 γ 1 , γ 2 , L γ s 的缩短 的延伸组；组。 若缩短组线性无关，则延伸组也线性无关；若延伸组相关， 若缩短组线性无关，则延伸组也线性无关；若延伸组相关，则缩短组也线性相 关。 （4）相同结论：对线性无关向量组中每个向量在相同位置上任意添加分量，所得向量 ）相同结论： 线性无关向量组中每个向量在相同位置上任意添加分量， 组仍线性无关；对线性相关向量组中每个向量去掉相同位置上的分量， 组仍线性无关；对线性相关向量组中每个向量去掉相同位置上的分量，则所得向 量组仍线性相关。 量组仍线性相关。 8．用反证法； 9．用观察法； ．用反证法； ．用观察法； 10．向量组 α 1 , α 2 , L , α m 线性无关 ? 对任意一组不全为 0 的数 ． k1 , L , k m ，都有 k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m ≠ 0 。 【典型例题】 典型例题】 线性无关， 1．设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关，则（ ） （A） α 1 + α 2 ， α 2 + α 3 ， α 3 ? α 1 线性无关； 线性无关； 线性无关； （B） α 1 + α 2 ， α 2 + α 3 ， α 1 + 2α 2 + α 3 线性无关； ） 线性无关； （C） α 1 + 2α 2 ， 2α 2 + 3α 3 ， 3α 3 + α 1 ，线性无关； ） 线性无关。 （D） α 1 + α 2 + α 3 ， 2α 1 ? 3α 2 + α 3 ， 4α 1 ? α 2 + 3α 3 线性无关。 ）2. 设向量组 I： α 1 , α 2 , L , α r 可由向量组Ⅱ： β 1 , β 2 , L , β s 线性表示，则（ ： 可由向量组Ⅱ 线性表示， 向量组Ⅱ必线性相关； （A）当 r & s 时，向量组Ⅱ必线性相关； ） 向量组Ⅱ 线性相关； （B）当 r & s 时，向量组Ⅱ必线性相关； ） 必线性相关； （C）当 r & s 时，向量组 I 必线性相关； ） 必线性相关。 （D） r & s 时，向量组 I 必线性相关。 ）） 。23内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线线性无关的向量组是（ 3. 对任意实数 a, b, c ，线性无关的向量组是（ （A） (a, 1, 2) ， (2, b, 3) ， (0, 0, 0) ； ） （B） (b, 1, 1) ， (1, a, 3) ， (2, 3, c) ， (1, ）。 ）0, c) ；（C） (1, a, 1, 1) ， (1, b, 1, 0) ， (1, c, 0, 0) ； ） （D） (1, 1, 1, a) ， (2, 2, 2, b) ， (0, 0, 0, c) . ）4 ． 设 A 是 n 阶 矩 阵 ， α1 , α 2 , α 3 是 n 维 列 向 量 ， 且 α1 ≠ 0 ， Aα 1 = α 1 , Aα 2 = α 1 + α 2 , Aα 3 = α 2 + α 3 。证明： α 1 , α 2 , α 3 线性无关。 证明： 线性无关。5. 设向量组 α1 = (1, 1,2, 1), α 2 = (1, 0, 0, 2), ? 8, k ) 线性相关，则参数 k = 线性相关，。α 3 = (?1, -4,6. 设三阶矩阵 A = ? 2 1? 1 2 ? 2? ? ? 2 ?, 三 维向量 α = (a, 1, 1) T 。 已 知 Aα 与 α ?3 0 4 ? ? ?线性相 关 ， 则a=。内部教材 严禁复制24海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—线性无关， 7. 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关，若向量组 k1α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , k 2α 3 + α 1 也 线 性 无 关 ， 则 参 数 k1 , k 2 满 足 的 条 件 是 。α 8． 设在向量组 α 1 , α 2 , L , α m 中， ≠ 0 ， 且每一个 α i (i = 1, 2, L , m) 都不能由 α 1 , α 2 , L , α i ?1线性表示。证明：此向量组线性无关。 线性表示。证明：此向量组线性无关。线性相关， 线性无关。 9． 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性相关，向量组 α 2 , α 3 , α 4 线性无关。问： 线性表出？证明你的结论； （1） α 1 能否由 α 2 , α 3 线性表出？证明你的结论； ） （2） α 4 能不由 α 1 , α 2 , α 3 线性表出？证明你的结论。 ） 线性表出？证明你的结论。10． 线性无关， 线性相关， 10． 若向量组 α , β , γ 线性无关， α , β , δ 线性相关，则（ 线性表示。 （A） α 必可由 β , γ , δ 线性表示。 ） （B） β 必不可由 α , ）。 ）γ , δ 线性表示。 线性表示。线性表示。 （C） δ 必可由 α , β , γ 线性表示。 ） 线性表示。 （D） δ 必不可由 α , β , γ 线性表示。 ）25内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线线性表示， 线性表示。 11. 设向量 β 可由向量组 α 1 , α 2 , L , α r 线性表示，但不能由 α 1 , α 2 , L , α r ?1 线性表示。 线性表示。 证明： （1） 证明： ） α r 不能由 α 1 , α 2 , L , α r ?1 线性表示。 （ 线性表示。 （2） α 1 能由 α 1 , α 2 , L , α r ?1 , β 线性表示。 ）线性表示， 12. 设向量 β 可由向量组 α 1 , α 2 , L , α m 线性表示， 但不能由向量组 I） α1 , α 2 , L , α m ?1 线 （） ： 性表示，记向量组（ ： 性表示，记向量组（Ⅱ） α1 , α 2 , L , α m ?1 ，则（ ） 不能由（ ）线性表示，也不能由（ 线性表示。 （A） α m 不能由（I）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示。 ） 不能由（ ）线性表示，但可由（ 线性表示。 （B） α m 不能由（I）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示。 ） 可由（ ）线性表示，也可由（ 线性表示。 （C） α m 可由（I）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示。 ） 可由（ ）线性表示，但不可由（ 线性表示。 （D） α m 可由（I）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示。 ）线性表示？表示法是否唯一？ ，这就是问： ★ 1．判别“ β 是否可以由 α 1 , α 2 , L , α s 线性表示？表示法是否唯一？” 这就是问： ．判别“ 是否有解？解是否唯一？ 向量方程 x1α 1 + x 2α 2 + L + x s α s = β ，是否有解？解是否唯一？ 为增广矩阵的线性方程组。 这个向量方程用分量写出来就是以 (α 1 , α 2 , L , α s β ) 为增广矩阵的线性方程组。 具 体 解 法 是 ： 作 初 等 变换 ， 由 计 算 系 数 矩 阵 (α 1 , α 2 , L , α s ) 的 秩 与 增 广 矩 阵(α 1 , α 2 , L , α s β ) 的秩是否相等来判定。 的秩是否相等来判定。 当秩 (α 1 , α 2 , L , α s ) =秩 (α 1 , α 2 , L , α s β ) 时， 秩即秩相等时， β 可由 α 1 , α 2 , L , α s 线性表示。 即秩相等时， 线性表示。 2． n 维向量 β 可由 α 1 , α 2 , L , α s 线性表示 ． ? 秩 (α 1 , α 2 , L , α s ) =秩 (α 1 , α 2 , L , α s , β ) ； 秩 n 维向量 β 不可由 α 1 , α 2 , L , α s 线性表示 ? 秩 (α 1 , α 2 , L , α s , β ) =秩 (α 1 , α 2 , L , α s ) + 1 。 秩 3． n 维列向量组 α 1 , α 2 , L , α s 与 β1 , β 2 ,L , β t 等价的充要条件为 ．秩（A）=秩（B）=秩（A,B） ，其中A = (α1 , α 2 ,L , α s ), B = ( β1 , β 2 ,L , β t )4．设 A = (α 1 , α 2 , L , α n ) 为 m × n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有 ． 矩阵， 有非零解Ax = 0秩A&nA 的列向量组 α 1 , Lα n 线性相关只有零解内部教材 严禁复制秩A=n26A 的列向量组 α 1 , Lα n 线性无关海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—5．设 A = α 1 , L , α n 为 m × n 矩阵， β 为 m 维非零列向量，令 A = ( A β ) ，则 n 元非齐次 ． 矩阵， 维非零列向量， 线性方程组 Ax = β 有：无解秩 A & 秩Aβ 不能由 A 的列向量组线性表出Ax = β有唯一解秩 A = 秩A = nβ 可由 A 的列向量组唯一表出 β 可由 A 的列向量组线性表出，但 的列向量组线性表出，表示法不唯一 表示法不唯有无穷多解秩 A=秩 A & n 秩T 13 ． 确定常数 a, 使向量组 α 1 = (1,1, a ) ,α 2 = (1, a,1) T , α 3 = (a,1,1) T 可由向量组β1 = (1,1, a ) T , β 2 = (?2, a,4) T , β 3 = (?2, a, a ) T 线性表示， 线性表示， 但向量组 β 1 , β 2 , β 3 不线性表示. 能由向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性表示14. 已知向量组 α1 = (1,2,? 1, 3)T , α 2 = (2, 5, a, 8)T , ? 5, 7)T ,α 3 = (?1, 0, 3, 1)T 及向量组 β1 = (1, a, a 2 ,β 2 = (3, 3 + a, 3, 11)T , β 3 = (0, 1, 6, 2)T .若 β 1 可由 若α 1 , α 2 , α 3 线性表示，判断这两个向量组是否等价？并说明理由。 线性表示，判断这两个向量组是否等价？并说明理由。27内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线15． 15．已知两个向量组 α1 = (1,2, 3),α 2 = (1, 0, 1) 与β 1 = (? 1, 2, t ) ， β 2 = (4, 1, 5), 问 t 取何值时，两个向量组等价？并写出等 取何值时，两个向量组等价？价时的线性表示式。 价时的线性表示式。最大线性无关组： ★ 1. 最大线性无关组： 设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量 a1 , a 2 , L , a r ，满足 ， 线性无关， （1） a1 , a 2 , L , a r 线性无关， ） 个向量（ 个向量）都线性相关， （2）向量组 A 中任意 r+1 个向量（如果 A 中有 r+1 个向量）都线性相关，则称 ） 的一个最大线性无关组，简称最大无关组。 向量组 a1 , a 2 , L , a r 是向量组 A 的一个最大线性无关组，简称最大无关组。 一般来说，向量组的最大线性无关组不是惟一的， 一般来说，向量组的最大线性无关组不是惟一的，但这些最大线性无关组是等价 的，从而每个最大线性无关组中所含向量的个数都是 r，即个数 r 是由原向量组惟 ， 一确定的。 一确定的。 2． 向量组的秩： ． 向量组的秩： 向量组的最大线性无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩。 向量组的最大线性无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩。 只含零向量的向量组没有最大线性无关组， 只含零向量的向量组没有最大线性无关组，规定它的秩为 0。 。 线性表出， 的秩。 因此， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表出， 向量组 B 的秩不大于向量组 A 的秩。 则 因此， 等价的向量组有相同的秩。 等价的向量组有相同的秩。 3． 向量组的秩与矩阵的秩的关系： ． 向量组的秩与矩阵的秩的关系： 的行向量组的秩=矩阵 的列向量组的秩=矩阵 的秩。 因此， 矩阵 A 的行向量组的秩 矩阵 A 的列向量组的秩 矩阵 A 的秩。 因此， 求向量组的 最大线性无关组和向量组的秩时，可把此向量组的向量作为列（ 最大线性无关组和向量组的秩时，可把此向量组的向量作为列（行）向量构成矩 再由矩阵的初等行（ 变换化成行（ 阶梯形或行（ 阵，再由矩阵的初等行（列）变换化成行（列）阶梯形或行（列）最简形矩阵的 方法解之。 方法解之。 16. 设向量组 α1 = [1,1,1, 3] , α 2 = [ ?1, ?3,5,1] ,T Tα 3 = [3, 2, ?1, p + 2]T α 4 = [?2,?6,10, p]T , 问：p为何值时, 该向量组线性无关 ? 并在此时将向量α = [4,1, 6,10]T无关组。 无关组。内部教材 严禁复制 28 海口扬天教育科技有限公司用α1 , α 2 , α , α 4线性表出； 为何值时，该向量组线性相关？ 线性表出； p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个最大线性万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—?0? ?a? ?b? ? 1 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17. 17. 已 知 向 量 组 β 1 = ? 1 ? ， β 2 = ? 2 ? ， β 3 = ? 1 ? 与 向 量 组 α 1 = ? 2 ? ， α 2 = ? 0 ? ， ? ? 1? ?1? ? 0? ? ? 3? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 ? ? ? α 3 = ? 6 ? 具有相同的秩，且 β 3 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示， 具有相同的秩， 线性表示， ? ? 7? ? ?求 a, b 的值。 的值。18 ． 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关 ， 已知 β 1 = 2α 1 + α 3 + α 4 ， β 2 = 2α 1 + α 2 + α 3 ， β3 = α 2 ?α 4 , β 4 = α3 +α 4 , β5 = α 2 +α3 。 （1）试求秩（ β 1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ） ）试求秩（ 的一个极大无关组。 （2）试求向量组 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 的一个极大无关组。 ）试求向量组阶非零子式， ★ 1．秩 A = r ? A 中至少存在一个 r 阶非零子式，且 A 中所有 r + 1 阶子式全为 0。 ． 。 2．设 A 为 m × n 矩阵，则 0 ≤ 秩A ≤ min{m,n} 。 ． 矩阵， 3．秩 A=秩 AT ． 秩 4．设 A、B 均为 m × n 矩阵，则 矩阵， ． 、秩A ? 秩B ≤ 秩(A ± B) ≤ 秩A + 秩B5． 秩? ． ??A 0? ?0 ? = 秩A + 秩B = 秩? ? ?B ? 0 B? ? A? ? 0? ?6．若 A 可逆，则秩（AB）=秩 B；若 B 可逆，则秩（AB）=秩 A。 ． 可逆，则秩（ ） 秩 ； 可逆，则秩（ ） 秩 。29 内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线7 ． 设 A 为 m × n 矩阵 ， 秩 A = r ， 则 存在 m 阶 可逆阵 P 及 n 阶 可 逆阵 Q， 使 ，?E pAQ = ? r ? 0 ? 0? ? ，称为 A 的等价标准形。 的等价标准形。 0? ?8．设 A 为 m × n 矩阵，B 为 n × p 矩阵，若 AB = 0 ，则 秩A + 秩B ≤ n 。 ． 矩阵， 矩阵， 9．设 A 为 m × n 矩阵，B 为 n × p 矩阵，则 ． 矩阵， 矩阵，秩A + 秩B - n ≤ 秩(AB) ≤ min{秩A , 秩B}。的秩分别为 19. 若矩阵 A ? E 和 B ? E 的秩分别为 p 和 q ，则矩阵 AB ? E 的秩不大于 p + q ，其中 E 是单位阵。 是单位阵。? x1 + 2 x 2 ? 2 x 3 = 0 ? 20. 设线性方程组 ?2 x1 ? x 2 + λx 3 = 0 的系数矩阵为 A，3 阶矩阵 B ≠ 0 ，且 AB = 0 ，试 ， ?3 x + 2 x ? x = 0 2 3 ? 1的值。 求 λ 的值。阶非零矩阵， 21. 已知 Q = ? 2 4 t ? ， p 为 3 阶非零矩阵，且满足是 PQ = 0 ，则（? 3 6 9? ? ?? 1 2 3? ? ?）（A） t = 6 时， P 的秩必为 1； ） ； （B） t = 6 时， P 的秩必为 2； ） ； （C） t ≠ 6 时， P 的秩必为 1； ） ； （D） t ≠ 6 时， P 的秩必为 2。 ） 。内部教材 严禁复制30海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—? 1 2 ? 2? ? ? 22. 阶非零矩阵， ___________。 3 ? ，B 为 3 阶非零矩阵，且 AB = 0 ，则 t = ___________。 22.设 A = ? 4 t ? 3 ?1 1 ? ? ?B、 n 矩阵， 秩 证明： 23. 设 A、 、 分别是 m × n ， × p 和 p × s 矩阵， 秩A = n ， C = P 。 、 C 且 证明： ABC = 0 当 时，必有 B = 0 。阶非零矩阵， 的秩（ 24. 设 A、B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0 ，则 A 和 B 的秩（ 、 （A）必有一个等于零 ） （B）都小于 n 。 ） （C）一个小于 n ，一个等于 n ） （D）都等于 n . ）。 ）阶矩阵， 证明： 25. 设 A、B 是 n 阶矩阵，且 ABA = B ?1 。证明： 、秩( E + AB) + 秩( E-AB) = n .31内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线26. 已知 n 阶方阵 A 的秩为 n ? 1(n ≥ 2) ，则秩 ? ?? 0 ? ?AA? ? = _____。 。 0? ??a b b? ? ? ，则必有（ 27. 设三阶矩阵 A = ? b a b ? ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有（ ?b b a? ? ?。 ）（A） a = b 或 a + 2b = 0 ； （B） a = b 或 a + 2b ≠ 0 ； ） ） ） （C） a ≠ b 且 a + 2b = 0 ； （D） a ≠ b 且 a + 2b ≠ 0 . ）阶实矩阵，证明： 28. 设 A 是 n 阶实矩阵，证明： 同解； （1）齐次线性方程组 A T Ax = 0 与 Ax = 0 同解； ） （2） 秩A T A = 秩AA T = 秩A . ）阶实矩阵， 的转置矩阵，则对于线性方程组（ ） 29. 设 A 为 n 阶实矩阵， AT 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组（I） ： T Ax = 0 和（Ⅱ） A Ax = 0 ，必有（ 必有（ ： ） （Ⅱ 的解是（ ）的解， （I） 的解； （A） Ⅱ）的解是（I）的解， ）的解也是（Ⅱ）的解； ） （ （ 的解也是（ （Ⅱ 的解是（ ）的解， 的解； （B） Ⅱ）的解是（I）的解，但（I）的解不是（Ⅱ）的解； ） （ ）的解不是（ （I） 的解， （Ⅱ 的解也不是（ ）的解； （C） ）的解不是（Ⅱ）的解， Ⅱ）的解也不是（I）的解； ） （ 的解不是（ （ （I） 的解， 的解不是（ ）的解。 （D） ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（I）的解。 ） （ 的解是（内部教材 严禁复制32海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—向量空间： ★ 向量空间： 维向量空间。 1． n 维向量的全体所构成的集合 R n 称为 n 维向量空间。 ． 2．设 V 是 n 维向量的非空集合，若 维向量的非空集合， ． （1） ?α , β ∈ V ，必有 α + β ∈ V 。 ） 维向量空间的子空间， （2） ?α ∈ V 及任一实数 k 必有 kα ∈ V ，则称 V 是 n 维向量空间的子空间，简称向量 ） 空间。 空间。 3．设 V 是向量空间，若 V 中 r 个向量 α 1 , α 2 , L , α r 满足： 是向量空间， 满足： ． （1） α 1 , α 2 , L , α r 线性无关 ） 线性表出， （2） ?β ∈ V ，均有 β = x1α 1 + x 2α 2 + L + x r α r ，即 β 可由 α 1 , α 2 , L , α r 线性表出，则 ） 的一个基， 的维数， 称 α 1 , α 2 , L , α r 是 V 的一个基，称 r 为 V 的维数，向量 β 的表示系数 x1 , x 2 , L , x r 称 下的坐标。 为 β 在 α 1 , α 2 , L , α r 下的坐标。 4．设 V 是 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量的集合，根据齐次线性方程的性质，若 ． 的解向量的集合，根据齐次线性方程的性质， 的解向量， 的解向量， α , β 是 Ax = 0 的解向量，则 α + β , kα 是 Ax = 0 的解向量，所以 V 是 n 维向量空间的子 空间， 的解空间， 的一个基， 空间，常称为 Ax = 0 的解空间，而基础解系就是解空间 V 的一个基，所以解空间的 维数是 （ n —秩 A） ） 。 的两个基， 5．设 α 1 , α 2 , L , α r 与 β 1 , β 2 , L , β r 是 r 维向量空间 V 的两个基，且 ．? β 1 = C11α 1 + C12α 2 + L + C r1α r ? ? β 2 = C12α 1 + C 22α 2 + L + C r 2α r ? β = C α + C α +L+ C α 1r 1 2r 2 rr r ? r ? C11 ? 则 ( β 1 , β 2 , L , β r ) = (α 1 , α 2 , L , α r )C 其 中 C = ? C 21 ?C ? r1 C12 C 22 Cr 2 L C1r ? ? L C 2r ? ， 称 C 为 由 基 L C rr ? ?α 1 , α 2 , L , α r 到基 β 1 , β 2 , L , β r 的过渡矩阵，且该矩阵 C 为可逆矩阵。 的过渡矩阵， 为可逆矩阵。 6．由向量组 α 1 , α 2 , L , α m 生成的向量空间为 ．V = {x = x1α 1 + x 2α 2 + L + x mα m x1 L x m ∈ R}，且 V 的维数等于 α 1 , α 2 , L , α m 的秩。 的秩。7 ． 设 r 维 向 量 空 间 V 有 两 组 基 α1 , α 2 , L , α r 及 β1 , β 2 , L , β r ， 且ζ = x1α1 + x2α 2 + L + xrα r = y1β1 + y2 β 2 + L + yr β r ， 则 坐 标 变 换 公 式 为? x1 ? ? y1 ? ? ? ? ? ? x2 ? ? y2 ? 的过渡矩阵。 ? M ? = C ? M ? ，其中 C 为由基 α 1 , α 2 , L , α r 到基 β 1 , β 2 , L , β r 的过渡矩阵。 ? ? ? ? ?x ? ?y ? ? r? ? r?8．若 n 维向量 α 1 , α 2 , L , α r 非零且两两正交，则 α 1 , α 2 , L , α r 线性无关。 ． 非零且两两正交， 线性无关。 9．若 e1 , e 2 , L , e n 是规范正交基，设 (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) = (e1 , e 2 , L , e n )C ，则 ε 1 , ε 2 , L , ε n 是标 是规范正交基， ． 为正交矩阵。 准正交基 ? C 为正交矩阵。 10．施密特正交化方法（线性无关向量组的正交规范化） ．施密特正交化方法（线性无关向量组的正交规范化） 规范化 是一组线性无关的向量， 设 α 1 , α 2 , L , α r 是一组线性无关的向量 ， 则可用下述方法把 α 1 , α 2 , L , α r 规范正交 化。 令 β1 = α1 ,33 内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线β2 =α2 ? β3 = α3 ? βr =αr ?(α 2 , β 1 ) β1 , ( β 1 , β1 ) (α 3 , β 1 ) (α , β ) β1 ? 3 1 β 2 , ( β 1 , β1 ) (β 2 , β 2 ) (α r , β 1 ) (α , β ) (α , β ) β 1 ? r 2 β 2 , ? L r r ?1 β r ?1 ( β1 , β 1 ) (β 2 , β 2 ) ( β r ?1 , β r ?1 )等价。 则 β 1 , β 2 , L , β r 两两正交且与 α 1 , α 2 , L , α r 等价。 单位化： 再把 β 1 , β 2 , L , β r 单位化：令 ε 1 =β1 β β , ε 2 = 2 ,L , ε r = r . β1 β2 βr30. 已知向量组 α 1 = (1, 1, 1, 1) ， α 2 = (2, 3, 4, 4) ， α 3 = (3, 2, 1, k ) 所生成的向量 空间的维数是 2， k = _____。 ， 。31. 设 R 3 中的向量 ζ 在基 α1 = (1,? 2, 1)T , α 2 = (0, 1, 1)T ,x2 , x3 )T , 而 ζ 在 基 β1 , β 2 , β 3 下 的 坐 标 为α 3 = (3, 2, 1)T 下 的 坐 标 为 ( x1 ,( y1 , y 2 , y 3 ) T , 且 y1 = x1 ? x2 ? x3 , y2 = ? x1 + x2 ,y3 = x1 + 2x3 , 则由基 β 1 , β 2 , β 3 到基 α 1 , α 2 , α 3 的过渡矩阵 P = __________。 。?1 2 1 2? ? ? ， 。 32. 设 A = ? 0 1 a a ? ，且方程组 Ax = 0 的解空间的维数为 2，则 a = _________。 ?1 a 0 1? ? ?内部教材 严禁复制 34 海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—33． 33．求齐次线性方程组 ?? x1 ? x 3 + x 4 = 0 解空间的规范正交基。 解空间的规范正交基。 ?x2 ? x4 = 0第四章线性方程组线性方程组的理论及其解法是线性代数的重要内容之一。 线性方程组有三种等价形式： 线性方程组的理论及其解法是线性代数的重要内容之一。 线性方程组有三种等价形式： 价形式 线性方程组形式，矩阵方程形式，向量的线性组合方程形式， 线性方程组形式，矩阵方程形式，向量的线性组合方程形式，在讨论相关问题时可以相互 转换。本章的题型均围绕线性方程组的解的结构和性质进行命题，历年的真题灵活多变， 转换。本章的题型均围绕线性方程组的解的结构和性质进行命题，历年的真题灵活多变， 题目众多，是复习中最好的资料。 题目众多，是复习中最好的资料。 【大纲内容】线性方程组的克莱姆（Cramer）法则；齐次线性方程组有非零解的充分必要 大纲内容】线性方程组的克莱姆（ ）法则； 条件；非齐次线性方程组有解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构； 条件；非齐次线性方程组有解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构；齐次线 性方程组的基础解系和通解；非齐次线性方程组的通解。 性方程组的基础解系和通解；非齐次线性方程组的通解。 大纲要求】理解齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的充分必要条件； 【大纲要求】理解齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的充分必要条件；理 解齐次线性方程组的基础解系 通解和解空间的概念； 解系、 解齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念；掌握非齐次线性方程组的解集的结 掌握用初等行变换求齐次和非齐次线性方程组的通解的方法。 构；掌握用初等行变换求齐次和非齐次线性方程组的通解的方法。 考点分析】 【考点分析】 1．根据克莱姆法则可知： ．根据克莱姆法则可知： 无解或有无穷多组解，则该方程组的系数行列式必为零， （1）若线性方程组 Ax=b 无解或有无穷多组解，则该方程组的系数行列式必为零， ） 即|A|=0； ； （2）当 b=0，即为齐次线性方程组 Ax=0 时，它有非零解的充分必要条件是 A 的行 ） ， 列式|A|=0。 列式 。 2．齐次线性方程组 Ax=0（其中 A 是 m × n 矩阵）解的性质： 矩阵）解的性质： ． （ 是齐次线性方程组的解 组的解， 也是该齐次方程组的解； （1）若 ξ 1 , ξ 2 是齐次线性方程组的解，则 ξ 1 + ξ 2 也是该齐次方程组的解； ） 是齐次线性方程组的解， 为任意实数， 也是该齐次方程组的解。 （2）若 ξ 是齐次线性方程组的解，k 为任意实数，则 kξ 也是该齐次方程组的解。 ） 必有解， 是它的解，称为零解。 （3）齐次线性方程组 Ax=0 必有解，至少 x=0 是它的解，称为零解。其仅有零解的 ） 充分必要条件是 r ( A) = n 。Ax=0 有非零解的充 特别地， 必有非零解。 分必要条件是 r ( A) & n. 特别地，若 m & n ，则 Ax=0 必有非零解。 3. 向量组 η1 , η 2 , Lη t 称为 Ax = 0 的基础解系，如果： 的基础解系，如果： （1） η1 , η 2 , Lη t 是 Ax = 0 的解 ） （2） η1 , η 2 , Lη t 线性无关 ） 线性表出。 （3） Ax = 0 的任一解都可由 η1 , η 2 , Lη t 线性表出。 ）Ax = 0 的基础解系中向量个数为 n -秩 A。 的基础解系中向量个数为 秩 。35 内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线4．判定向量组 η1 , η 2 , Lη t 是 Ax = 0 的基础解系的条件为： ． 的基础解系的条件为： （1） η1 , η 2 , Lη t 是 Ax = 0 的解 ） （2） η1 , η 2 , Lη t 线性无关 ） （3） t = n ? 秩 A ） 5．非齐次线性方程组 Ax = b 有解 ? 秩A = 秩A ． 【典型例题】 典型例题】? a 1 1 ?? x1 ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? 有无穷多解， 。 1. 设方程组 ? 1 a 1 ?? x 2 ? = ? 1 ? 有无穷多解，则 a = __________。 ? 1 1 a ?? x ? ? ? 2 ? ? ?? 3 ? ? ?2. 已知 4 阶方阵 A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ， α 1 , α 2 , α 3 , α 4 均为 4 维列向量，其中 α 2 , α 3 , α 4 线性 维列向量， 的通解。 无关， 无关， α 1 = 2α 2 ? α 3 。如果 β = α 1 + α 2 + α 3 + α 4 ，求线性方程组 Ax = β 的通解。3. 证 明 ： 对 任 意 n 阶 实 矩 阵 A ， A T Ax = A T b 一 定 有 解 ， 其 中 x = ( x1 , x 2 , L , x n ) T ，b = (b1 , b2 ,L bn )T 。矩阵， 为一非齐次线性方程组，则必有（ 4. 设 A 是 m × n 矩阵， Ax = b 为一非齐次线性方程组，则必有（ （A）如果 m & n ，则 Ax = b 有非零解 ） （B）如果秩 A = m ，则 Ax = 0 有非零解 ） （C）如果 A 有 n 阶子式不为 0，则 Ax = b 有唯一解 ） ， 只有零解。 （D）如果 A 有 n 阶子式不为 0，则 Ax = 0 只有零解。 ） ，。 ）内部教材 严禁复制36海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—阶矩阵， 维列向量， 5. 设 A 是 n 阶矩阵， α 是 n 维列向量，若秩 ? ? （A） Ax = α 必有无穷多解 ） （B） Ax = α 必有唯一解 ） ? A α ?? x ? ?? ? = 0 仅有零解 （C） ? T ）? 0 ?? y ? ?α ?? ? （D） ? ）?? AT ?α? A ?αTα?? = 秩 A，则线性方程组（ ，则线性方程组（ 0? ?。 ）α ?? x ??? ? = 0 必有非零解 0 ?? y ? ?? ?6．设向量组 α 1 , α 2 , L , α t 是齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系，向量 β 不是方程组 ． 的一个基础解系，Ax = 0 的解，即 Aβ ≠ 0 。试证明：向量组 β , β 的解， 试证明：+ α1 , β + α 2 ,L, β + α t 线性无关。 线性无关。7．设四元非齐次线性方程组 Ax = b 的系数矩阵 A 的秩为 3，且它的三个解 η1 , η 2 , η 3 满足 ． ，η1 + η 2 = (2, 0, ? 2, 4) T ， η1 + η 3 = (3, 1, 0, 5) T ，则 Ax = b 的通解为 的通解为__________。 。8．已知 ζ 1 = (?9, 1, 2, 11) T ， ζ 2 = (1, ? 5, 13, 0) T ， ．?a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 = d1 ? ?9 x + 4 x + x + c x = d 2 3 4 4 3 ? 1ζ 3 = (?7, ? 9, 24, 11) T 是方程组 ?3 x1 + b2 x 2 + 2 x 3 + b4 x 4 = d 2的三个解， 的三个解 ， 求此方程组的通解。 组的通解。37内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线? x1 + x 2 + x 3 = 0 ? 9．已知线性方程组 ?ax1 + bx 2 + cx3 = 0 ． ?a 2 x + b 2 x + c 2 x = 0 1 2 3 ?满足何种关系时，方程组仅有零解？ （1） a, b, c 满足何种关系时，方程组仅有零解？ ） 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。 （2） a, b, c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。 ）10．设 α i = (a i1 , a i 2 , L , a in ) T ．(i = 1, 2,L , r & n) 是 n 维实向量，且 α 1 , α 2 , L , α r 线性无 维实向量，关，已知 β = (b1 , b2 , L , bn ) T 是线性方程组? a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = 0 ? ?a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = 0 ?a x + a x +L+ a x = 0 r2 2 rn n ? r1 1的非零解向量， 的线性相关性。 的非零解向量，试判断向量组 α 1 , α 2 , L , α r , β 的线性相关性。11．已知齐次线性方程组（I） ? ax1 + a 2 x 3 = 0 的解都满足方程 x1 + x 2 + x 3 = 0 ，求 a 和方 ．已知齐次线性方程组（ ）? ax + a 2 x = 0 4 ? 2? x1 + x 2 + x 4 = 0 ?程组（ ）的通解。 程组（I）的通解。内部教材 严禁复制38海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—12．已知 ζ 1 = (0, 0, 1, 0) T ， ζ 2 = (?1, 1, 0, 1) T 是齐次线性方程组 （ I）的基础解系 ， ． 是齐次线性方程组（ ） 的基础解系，η1 = (0, 1, 1, 0) T ， η 2 = (?1, 2, 2, 1) T 是齐次线性方程组（Ⅱ）的基础解系，求齐 是齐次线性方程组（ 的基础解系，次线性方程组（ ）（Ⅱ 的公共解。 次线性方程组（I）（Ⅱ）的公共解。 ，?(a1 + b) x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + L + a n x n ?a x + ( a + b ) x + a x + L + a x ? 2 2 3 3 n n 13． 已知齐次线性方程组 ? 1 1 ． a1 x1 + a 2 x 2 + (a 3 + b) x 3 + L + a n x n ? ?a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + L + (a n + b) x n ?a1 , a 2 , L , a n 和 b 满足何种关系时=0 =0 =0 =0，其中 ∑ a i ≠ 0 ，试讨论i =1n（1）方程组仅有零解 ） （2）方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。 ）方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。? x1 + 2 x 2 ? 2 x 3 = 0 ? 14． 设齐次线性方程组 ． 设齐次线性方程组 ?2 x1 ? x 2 + λx 3 = 0 的系数矩阵为 A， 3 阶非零矩阵 B 满足 AB = 0 ， ， 且 ?3 x + x ? x = 0 2 3 ? 1的值。 试求 λ 及 B 的值。39内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线?1 2 3 ? ? ? 15．已知 3 阶矩阵 A 的第一行是 ( a, b, c ), a, b, c 不全为零，矩阵 B = 2 4 6 （k 为常 不全为零， ． ? ? ?3 6 k ? ? ?，且 的通解. 数） 且 AB=O, 求线性方程组 Ax=0 的通解 ，16． α 1 = (a1 , a 2 , a 3 ) T ， 2 = (b1 , b2 , b3 ) T ， 3 = (c1 , c 2 , c 3 ) T 。 3 条直线 ?a 2 x + b2 y + c 2 = 0 ． 设 α α 则?a x + b y + c = 0 3 3 ? 3? a1 x + b1 y + c1 = 0 ?交于一点的充要条件是（ （其中 a i2 + bi2 ≠ 0 ， i = 1, 2, 3 ）交于一点的充要条件是（ 线性相关； （A） a1 , a 2 , a 3 线性相关； ） 线性无关； （B） a1 , a 2 , a 3 线性无关； ） （C）秩 {a1 , a 2 , a 3 } = 秩{a1 , a 2 } ； ） 线性相关， 线性无关。 （D） a1 , a 2 , a 3 线性相关， a1 , a 2 线性无关。 ））内部教材 严禁复制40海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—第五章特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量问题是线性代数的主要研究对象之一， 矩阵的特征值和特征向量问题是线性代数的主要研究对象之一，它不仅在理论上有重 要意义，而且在工程技术的实际应用中也起着重要的作用。本章主要包括特征值与特征向 要意义，而且在工程技术的实际应用中也起着重要的作用。本章主要包括特征值与特征向 量的计算及证明与相似矩阵及矩阵对角化。本章是数学一、 均包括的重点内容， 量的计算及证明与相似矩阵及矩阵对角化。本章是数学一、二、三均包括的重点内容，应 予以高度重视。 予以高度重视。 【大纲内容】矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法；相似变换、相似矩阵的概念 大纲内容】矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法；相似变换、 及性质；矩阵可对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 要条件及相似对角矩阵； 及性质；矩阵可对角化的充分必要条件及相似对角矩阵；实对称矩阵的特征值和特征向量 及相似对角矩阵。 及相似对角矩阵。 大纲要求】理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量； 【大纲要求】理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量； 了解相似变换、相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件及其方法； 了解相似变换、相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件及其方法； 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质， 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩 阵的方法。 阵的方法。 考点分析】 ． 阶方阵， 【考点分析】1．设 A 为 n 阶方阵，若存在数 λ 与非零的 n 维列向量 ζ ，使 Aζ = λζ ，则称 λ 的特征值， 的特征向量。 是方阵 A 的特征值， ζ 称为 A 的对应于特征值 λ 的特征向量。 2． A ? λE 及 λE ? A 均称为方阵 A 的特征多项式，而方程 λE ? A = 0 及 A ? λE = 0 均称为 ． 的特征多项式， A 的特征方程。 的特征方程。 3．性质定理：设 λ1 , λ 2 , L , λ n 是 n 阶方阵 A 的特征值，则 ．性质定理： 的特征值， （1） λ1 + λ 2 + L + λ n = a11 + a 22 + L + a nn ） （2） λ1 , λ 2 , L , λ n = A ） 线性无关。 （3）若 λ1 ≠ λ 2 ，则 λ1 与 λ 2 对应的特征向量 ζ 1 与 ζ 2 线性无关。 ） 重特征值， （4）设 λ i 是矩阵 A 的 k 重特征值，则矩阵 A 属于 λ i 的线性无关的特征向量的 ） 个数不超过 k 个。 4．设 λ 是 A 的特征值， f ( x) 是 x 的多项式，则 f (λ ) 是 f ( A) 的特征值。 ． 的特征值， 的多项式， 的特征值。 5．设 A 和 B 为 n 阶方阵，若存在可逆矩阵 P ，使 B = P ?1 AP ，则称 A 与 B 相似。 ． 阶方阵， 相似。 6．相似矩阵性质：若 n 阶方阵 A 与 B 相似，则有： 相似，则有： ．相似矩阵性质： A=秩 相似； ① A = B ；②秩 A=秩 B；③ A ?1 与 B ?1 相似；T T 有相同的特征值； 相似。 ④A 与 B 有相同的特征值；⑤ A 与 B 相似。7． n 阶方阵 A 与对角矩阵相似 ? A 有 n 个线性无关的特征向量 ? A 的每个特征值中线性无关的特征向量的个数，恰好等于该特征值的重根数。 的每个特征值中线性无关的特征向量的个数，恰好等于该特征值的重根数。? 对于特征方程 λE ? A = 0 的每个 k i 重根 λ i ，秩 (λ i E ? A) = n ? k i 。 对于特征方程8．若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值，则 A 与对角矩阵相似。 个不同的特征值， 与对角矩阵相似。 ． 9．设 A 为 n 阶实对称矩阵，则有： ． 阶实对称矩阵，则有： （1）实对称矩阵必可对角化 ） （2）A 的特征值全是实数，特征向量都是实向量。 ） 的特征值全是实数，特征向量都是实向量。 （3）属于不同特征值的特征向量必正交（也线性无关） ）属于不同特征值的特征向量必正交（也线性无关） 。41 内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线个线性无关的特征向量， （4） k 重特征值必有 k 个线性无关的特征向量，即秩 (λE ? A) = n ? k 。 ）? λ1 ? ? T ?1 （5）存在正交矩阵 P ，使 P AP = P AP = ? ） ? ? ?λ2? ? ? ?。 O ? λn ? ?【典型例题】 典型例题】 1．已知 n 阶矩阵 A 的特征值 λ1 , λ 2 , L , λ n ，且 A 可逆。 可逆。 ． （1）证明： A ?1 的特征值为 ）证明： （2）求 A ? + 2 E 的特征值。 ） 的特征值。1λ1 λ 2,1,L,1λn。2．设 A，B 均是 n 阶矩阵，且秩 A+秩 B & n 。 ． 阶矩阵， ， 秩 证明： ， 有公共的特征向量。 证明：A，B 有公共的特征向量。?1? ? a ?1 2 ? ? ? ? ? 3．已知 ζ = ? 1 ? 是矩阵 A = ? 5 b 3 ? 的特征向量，求 a, b 的值，并证明 A 的任一特 的特征向量， 的值， ． ? ? 1? ? ?1 0 ? 2? ? ? ? ?线性表出。 征向量均能由 ζ 线性表出。4．下列条件中，不是“ ?1 是 A 的特征值”的充分条件的是（ ．下列条件中，不是“ 的特征值”的充分条件的是（ （A） A 2 = E ） （B）秩 ( A + E ) & n ））（C）A 中每行元素之和为 ?1 。 ） 的特征值。 （D） AT = ? A ，且 1 是 A 的特征值。 ）内部教材 严禁复制42海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—? 3 2 2? ?0 1 0? ? ? ? ? 5． 设矩阵 A = ? 2 3 2 ? ， P = ? 1 0 1 ? ， B = P ?1 A ? P ，求 B + 2 E 的特征值与特征向量， 的特征值与特征向量， ． ? 2 2 3? ?0 0 1? ? ? ? ?的伴随矩阵， 阶单位矩阵。 其中 A ? 为 A 的伴随矩阵， E 为 3 阶单位矩阵。?2 1 1? ?1? ? ? ? ? 可逆， 的一个特征向量， 6． 设矩阵 A = ? 1 2 1 ? 可逆，向量 α = ? b ? 是矩阵 A ? 的一个特征向量， λ 是 α 对应的特 ． ?1 1 a? ?1? ? ? ? ?征值， 的伴随矩阵。 的值。 征值，其中 A ? 是矩阵 A 的伴随矩阵。试求 a, b 和 λ 的值。7． 设 A 是 n 阶实对称矩阵， P 是 n 阶可逆矩阵。已知 n 维向量 α 是 A 的属于特征值 λ 的 ． 阶实对称矩阵， 阶可逆矩阵。 特征向量， 的特征向量是（ 特征向量，则矩阵 ( P ?1 AP) T 属于特征值 λ 的特征向量是（ （A） P ?1α ） （B） P T α ）Pα）（D） ( P ?1 ) T α ）8． 设 A = ? x 1 y ? 有三个线性无关的特征向量，求 x 和 y 应满足的条件。 ． 有三个线性无关的特征向量， 应满足的条件。?1 0 0? ? ??0 0 1? ? ?43内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线? λ1 ? 9．设三阶矩阵 A 相似于对角矩阵 λ = ? ． ? ?λ2? ? ? ，且 λ3 ? ?B = ( A ? λ1 E )( A ? λ 2 E )( A ? λ 3 E ) ,则 B = ________。 则 。10．设 A，B 是 n 阶矩阵，且 A 相似于 B，则必有（ ． 阶矩阵， ， ，则必有（ （A） λE ? A = λE ? B ） 有相同的特征值和特征向量。 （B）A 和 B 有相同的特征值和特征向量。 ） 都相似于一个对角阵。 （C）A 与 B 都相似于一个对角阵。 ） （D）对任意常数 k ， (kE ? A) 均相似于 (kE ? B) 。 ））11．设 A 是 3 阶矩阵，已知 E + A ， 3E ? A ， E ? 3 A 均不可逆，问 A 是否相似于对角阵， ． 阶矩阵， 不可逆， 是否相似于对角阵， 说明理由。 说明理由。12．已知 A = ? a ．?0 ?3 3 ? ?0 0 0 ? ? ? ? b c ? ， B = ? 0 ? 1 1 ? ，且 A 与 B 相似，求 a, b, c 的值。 相似， 的值。 ? 2 ? 14 ? 10 ? ? 0 0 ? 1? ? ? ? ?内部教材 严禁复制44海口扬天教育科技有限公司万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—13．若四阶矩阵 A 与 B 相似， ． 相似， 矩阵 A 的特征值为 , , , ， 则行列式 B ?1 ? E = _______。 。1 1 1 1 2 3 4 5的值， 14．若矩阵 A = ? 8 2 a ? 相似于对角矩阵 Λ ， 试确定常数 a 的值 ， 并求可逆矩阵 P 使 ．?0 0 6? ? ?P ?1 AP = ∧ 。?2 2 0? ? ??1 1 a? ? 1 ? ? ? ? ? 15．设矩阵 A = ? 1 a 1 ? ， β = ? 1 ? ，已知线性方程组 Ax = β 有解但不唯一，试求： ） 有解但不唯一，试求： （1） ． （ ?a 1 1? ? ? 2? ? ? ? ?a 的值； ）正交矩阵 Q ，使 Q T AQ 为对角矩阵。 的值； （2） 为对角矩阵。 （16．设三阶实对称矩阵 A 的特征是 1，2，3，矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别 ． ， ， ， ， 是 α 1 = (?1,?1,1) T ， α 2 = (1,?2,?1) T 。 的特征向量； （1）求 A 的属于特征值 3 的特征向量； ） （2）求矩阵 A。 ） 。17．设 A = ? ． ??1 2? ? ， ）求正交矩阵 P ，使 P ?1 AP 为对角矩阵； （1） 为对角矩阵； （ 2 1? ? ?是正整数） （2）求 A n （ n 是正整数） ） 。45内部教材 严禁复制万学教育· 万学教育·海文考研2011 春季数学基础班—线性代数 春季数学基础班—海南分校报名热线: 海南分校报名热线?1? ? 2 ?1 2 ? ? ? ? ? 18．已知 ζ = ? 1 ? 是矩阵 A = ? 5 a 3 ? 的一个特征向量 ． ? ? 1? ? ?1 b ? 2? ? ? ? ?所对应的特征值。 （1）试确定参数 a, b 及特征向量 ζ 所对应的特征值。 ） 能否相似于对角阵？说明理由。 （2）问 A 能否相似于对角阵？说明理由。 ）19． 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ， 使得向量组 x ， Ax ， A 2 x 线性无关 ， 且满足 ． 线性无关， 3 2 A x = 3 Ax ? 2 A x 。2 （1）记 P = ( x, Ax, A x) ，求 3 阶矩阵 B，使 A = PBP ?1 。 ） ，（2）计算行列式 A + E 。 ）内部教材 严禁复制46海口扬天教育科技有限公司
2011年考研数学春季基础班高数下讲义-铁军1——提供以文本文档的格式的各类文档免费下载和在线浏览。