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高等数学方明亮版第九章答案__曲线积分与曲面积分习题详解
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官方公共微信曲面积分xyzdS,Σ为抛物面z=x^2+y^2被平面z=1所截下的有限部分在第一卦限内的部分另外,这个曲面积分不是闭曲面,应该不包括z=1所在的平面吧?只用对面积的曲面积分方式做_百度作业帮
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曲面积分xyzdS,Σ为抛物面z=x^2+y^2被平面z=1所截下的有限部分在第一卦限内的部分另外,这个曲面积分不是闭曲面,应该不包括z=1所在的平面吧?只用对面积的曲面积分方式做
曲面积分xyzdS,Σ为抛物面z=x^2+y^2被平面z=1所截下的有限部分在第一卦限内的部分另外,这个曲面积分不是闭曲面,应该不包括z=1所在的平面吧?只用对面积的曲面积分方式做
截面为x^2+y^2=1所以所截的部分的z满足x^2+y^2求函数xy+yz+zx对弧长的曲线积分,弧长为球面x^2+y^2+z^2=a^2与平面x+y+z0的交线_百度作业帮
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求函数xy+yz+zx对弧长的曲线积分,弧长为球面x^2+y^2+z^2=a^2与平面x+y+z0的交线
求函数xy+yz+zx对弧长的曲线积分,弧长为球面x^2+y^2+z^2=a^2与平面x+y+z0的交线
因为xy+yz+zx=(1/2)[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]=-a^2/2所以∫(xy+yz+zx)ds=∫(-a^2/2)ds=(-a^2/2)∫ds=(-a^2/2)*(2πa)=-πa^3计算∫Γxyzds,其中∫Γ是x^2+y^2+z^2=1与x^2+y^2=1/4的交线在第一卦限的部分_百度作业帮
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计算∫Γxyzds,其中∫Γ是x^2+y^2+z^2=1与x^2+y^2=1/4的交线在第一卦限的部分
计算∫Γxyzds,其中∫Γ是x^2+y^2+z^2=1与x^2+y^2=1/4的交线在第一卦限的部分
联立两方程解得z=√3/2,因此这曲线的参数方程可写为：x=cost/2,y=sint/2,z=√3/2,因此√(x'^2+y'^2+z'^2)=√[(sint)^2/4+(cost)^2/4]=1/2,原积分=∫(sint/2)(cost/2)(√3/2)(1/2)dt=(√3/16)∫sintcostdt（积分限0到π/2）=(√3/32)(sint)^2=√3/32.微积分习题课电子教程哈尔滨工程大学理学院工科数学教学中心Department of Mathematics, College of Sciences微积分习题课电子教程主要内容介绍 典型例题选讲 课堂自主练习Department of Mathematics
第十章 曲线积分与曲面积分(第一次习题课) 1 2 第一型曲线积分的练习第一型曲面积分的练习第二型曲线积分的练习3Department of Mathematics基 本 概 念理解的概念第一型曲线(对弧长的)积分、第一型曲面(对面积的)积分、第二型曲线(对坐标的)积分的定义、性质、几何或物理意义以及两型线积分的联系.熟练掌握的内容上述积分的计算 (在各个坐标系下)Department of Mathematics基本计算能力直角坐标系下的计算参数方程下的计算极坐标系下的计算能用线、面积分表达一些几何量和 物理量(空间曲线、曲面的质量、 重心、转动惯量、变力沿有向曲线 作功等)Department of Mathematics主要内容介绍第一型曲线积分?Lf ( x, y, z )ds ? lim? f (? i ,?i , ? i )?si? ?0i ?1n第一型曲线积分的计算公式若空间曲线L的方程为: x ? x( t ), y ? y( t ), z ? z ( t ), 且t 0 ? t ? t1 , 则?Lf ( x , y , z )ds ? ? f [ x( t ), y( t ), z ( t )] [ x?( t )]2 ? [ y?( t )]2 ? [ z ?( t )]2 dtt1 t0Department of Mathematics若平面曲线L的方程为x ? x , y ? y( x ), 且a ? x ? b, 则?Lf ( x , y )ds ??baf [ x , y( x )] 1 ? [ y?( x )]2 dx其重要性质是此类积分与起、终点无关.或者说下限应小于上限.若平面曲线L的方程为r ? r (? ), 且? 0 ? ? ? ?1 , 则?Lf ( x , y )ds ? ? f [r cos? , r sin? ] [r (? )]2 ? [r ?(? )]2 d??0?1Department of Mathematics第一型曲面积分?? f ( x, y, z )dS ? lim? f (? ,? , ? ?? ?0 i ?1 i ini)?Si第一型曲面积分的计算公式若空间曲面?的方程可表示为z ? f ( x , y ), 其在xoy坐标平面上的投影区域 D, 则 为?? f ( x , y, z )dS ? ??? D?z 2 ?z 2 f [ x , y , z( x , y )] 1 ? ( ) ? ( ) dxdy ?x ?y同理,有其它两个公式此类积分与曲面的方向无关.Department of Mathematics第二型曲线积分设F ( x, y, z ) ? { P( x, y, z ),Q( x, y, z ), R( x, y, z )}称? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? Pdx ? ? Qdy ? ? RdzL L L L为组合形式下的第二型 曲线积分.第二型曲线积分的计算1.若空间曲线L的方程为x ? x( t ), y ? y( t ), 且 起点t ? t 0 , 终点t ? t1 ( t 0未必小于t1 ),则有?LPdx ? Qdyt1 t0? ? { P[ x(t ), y(t ), z(t )]x?(t ) ? Q[ x(t ), y(t ), z(t )]y?(t )}dtDepartment of Mathematics2. 若平面曲线L的方程为x ? x , y ? y( x ), 且 起点x ? a , 终点x ? b(a未必小于b),则有?LPdx ? Qdy ? ? { P[ x , y( x )] ? Q[ x , y( x )] y?( x )}dxb a类似的, 若平面曲线L的方程为x ? x( y ), y ? y , 且 起点y ? c , 终点y ? d (c未必小于d ),则有?LPdx ? Qdy ? ? { P[ x( y ), y]x?( y ) ? Q[ x( y ), y]}dyd cDepartment of Mathematics两类曲线积分之间的联系?LPdx ? Qdy ? ? ( P cos? ? Q cos ? )dsL曲线的质量若空间曲线L的线密度为? ( x , y , z ),则空间曲线的 质量为: M ? ? ? ( x , y , z )dS,曲面的质量 若空间曲面?向xoy坐标平面投影,投影区域为D , ?的表达式为z ? f ( x , y ),曲面上的面密度 为? ( x , y , z ),则曲面的质量为?z 2 ?z 2 M ? ?? ? ( x, y, z )dS ? ?? ?[ x, y, z( x, y )] 1 ? ( ) ? ( ) dxdy, ?x ?y ? DDepartment of MathematicsL平面曲线绕已知轴旋转的转动惯量设L为平面曲线, 其线密度为? ( x , y ), 在其上任一点( x , y )到已知轴(直线)的垂直距离 为d ( x , y ),则平面曲线绕转动轴的 转动惯量为 I ? ? d 2 ( x , y ) ? ( x , y )dsL若已知轴为坐标轴, 则平面曲线的转动惯量为 I x ? ? y 2 ? ( x , y )dsLI y ? ? x 2 ? ( x , y )dsLDepartment of Mathematics平面曲线的重心设L为平面曲线, 其线密度为? ( x , y ),曲线质量为 M ? ? ? ( x , y )dsL静力矩分别为 M x ? ? y? ( x , y )ds,LM y ? ? x? ( x , y )dsL则重心坐标( x , y )为 x? My M ?? x? ( x , y )dsL? ? ( x , y )dsL,Mx y? ? M? y? ( x , y )dsL? ? ( x , y )dsL.Department of Mathematics第二型曲线积分的物理意义变力F ( x , y , z ) ? { P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )}, 则 F 沿光滑曲线L从A点移动到B点所作的功为 W ? ? Pdx ? Qdy ? RdzL? ? ( P cos? ? Q cos ? ? R cos? )dsL? ? F ? TdsLT ? {cos? , cos ? , cos? }为弧L上一点( x , y , z )处的 单位切向量, 其方向与A到B的方向一致.Department of MathematicsDepartment of Mathematics1. 第一型曲线积分的计算(1). L1是y 2 ? 4 x自点o(0,0)到A(1,2)的一段弧； 设例1(2). L2 是自点o(0,0)，经B(1,0)到A(1,2)的折线段；两段线状物体的线密度为该点的纵坐标的 值，求这两线状物体的质量。yA解 M ? ?L ? ( x, y)ds ? ?L yds(1). M 1 ? ?L yds1oBx? y ? dy ds ? 1 ? ? ? ? 2?2Department of Mathematics? y ? dy y ? 2t 2 1 1 ? t dt M 1 ? ?0 y 1 ? ? ? ?0 ? 2?12?4 ?2 2 ? 1? 3(2). OA ? OB ? BA OB : y ? 0, ds ? dxBA : x ? 1, ds ? dyyAM 2 ? ?OB yds ? ?BA ydsoBx??0 0 ? dx ? ?0 ydy =2M1 ? M 212Department of Mathematics例4 例2计算?eLx2 ? y2ds. 其中L为曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 ,解?eL直线 x ? 0, y ? x 在第一象限中所围的图 形边界。 y 2 2x ?ydsA Bx2 ? y2? ?ex2 ? y2OAds ? ? eABds ? ? ex2 ? y2OBdso2a 2xoA : x ? 0, 0 ? y ? a.x? ? 0.?ex2 ? y2OAds ? ? e 0a02 ? y 2? 1 ? 0 dy ? ?2a y e dy ? 0e a ? 1.Department of Mathematics? ?t?? . AB : x ? a cos t , y ? a sin t ,x? ? ? a sin t , y? ? a cos t .42?AB ex2 ? y2ds ? ?? 2 ( a cos t )2 ? ( a sin t )2 e ? 4? ( ? a cos t )2 ? (a sin t )2 dt??? 2 aea dt ? 4? a? e a . 6OB : y ? x , 0 ? x ?2 a y ? ? 1. . 22a 2?ex2 ? y2OBds ? ?0? ?0ex2 ? x2? 1 ? 12 dx2a 2e2 x? 2 dx ? e a ? 1.Department of Mathematics于是，? Lex2 ? y2x2 ? y2dsx2 ? y2 x2 ? y2? ?oA eads ? ? AB eds ? ?oB edsa? e a ? (e a ? 1) ? (e ? 1) ? 4 ? ( 2 ? a? )e a ? 2. 4Department of Mathematics说明： 1. 计算第一型曲线积分时，可以用积分曲线L的方程化简被积函数。2. 设L关于x轴对称, 若f(x,-y)=-f(x,y), 则 若f(x,-y)=f(x,y), 则? ?Lf ( x , y )ds ? 0.f ( x, y )ds ? 2? f ( x, y )ds.L1LDepartment of Mathematics练习1计算( x 2 ? y 2 ) n ds , 其中L为圆周 x 2 ? y 2 ? a 2 . ?Ly a解: 分析: (1)画出积分路径的图形,ox(2)把弧微分ds变成参变量的微分式ds ? x? 2 ? y? 2 dt ? a 2 sin 2 t ? a 2 cos 2 t dt ? adt t t?Lf ( x, y )ds ? ? f [? (t ),? (t )] ? ? 2 (t ) ? ? ? 2 (t )dt(? ? ? )??( x ? y ) ds ? ? a 2 n a 2 sin2 t ? a 2 cos2 t dt ?2 2 n 0 L2?? ? a 2 n ?1dt ? 2?a 2 n?1 .02?Department of Mathematics练习2计算?Ly ds,其中L是上半球面 2 2 2 x ? y ?zx2+y2+z2=4a2 ， z≥0与柱面x2+y2=2ax的交线.分析: 曲线是两个曲面的交线,它的投影曲线为x2+y2=2ax.现在我们把曲线L变成参数方程:(1) 曲线变形为x2+y2=2ax→(x-a)2+y2=a2，参数方程为x=a(1+cost) ，y=asint (2)再把它代入上半球面的方程x2+y2+z2=4a2 , 得z=2asint/2.Department of Mathematics(3)于是参数方程为t x ? a(1 ? cost ), y ? a sint , z ? 2a sin , 22 2 2 2 2 2 20 ? t ? 2?2 2t ds ? x? ? y? ? z? dt ? a sin t ? a cos t ? a cos dt t t t 2t ? a 1 ? cos dt 2 2? | a sint | | y| 2 t ?L x 2 ? y 2 ? z 2 ds ? ?0 4a 2 a 1 ? cos 2 dt2? 1 ? 2 t 2 t 2 t ? ? 1 ? cos si ntdt? ? 1 ? cos d (1 ? cos ) 0 2 0 2 2 22 t 3 ? 2 4 2 2 ? ? (1 ? cos ) |0 ? ? ? 2 3 2 3 3Department of Mathematics练习3x2 曲线L为 ? y 2 ? 1, 其周长为S , 4计算?L( xy ? x 2 ? 4 y 2 )ds.解:由对称性必有?Lxyds ? 0,故?L( xy ? x ? 4 y )ds2 2 2 2? ? ( x ? 4 y )dsL? ? 4ds ? 4 S .LDepartment of Mathematics2 2 2 练习4 计算 ( x ? y )ds 其中L为星形线: x 3 ? y 3 ? a 3 ?L4 34 3y a x a解: 由于图形对称,我们只计算第一象限的? (xL4 3? y )ds ? 4 ? ( x ? y )ds?AB4 34 34 3-a-a在第一象限中,星形线的参数方程为x ? a cos 3 t y ? a sin 3 t (0 ? t ? 2? )ds ? ( 3a cos 2 t sin t ) 2 ? ( 3a cos t sin 2 t ) 2 dt ? 3a sin t cos tdtDepartment of Mathematics利用公式直接得到:? (xL4 3? y )ds ? 4 ? ( x ? y )ds?AB4 34 34 3? 4?? /20a (cos 4 t ? sin 4 t ) ? 3a sin t cos tdt4 3? 12a ? 12a7 37 3? ?? /20(cos5 t sint ? sin5 t cos t )dt d (sin6 t ? cos6 t )67 3? /20? 2a [sin t ? cos t ]6? /20? 4a7 3Department of Mathematics练习5计算 I ? ? x ds , 其中L为双纽线 L( x2 ? y2 ) 2 ? a2 ( x2 ? y2 ) ( a ? 0 )解: 在极坐标系下 L : r 2 ? a 2 cos2? ,它在第一象限部分为L1 : r ? a cos 2? (0 ? ? ? ??y4)ox利用对称性 , 得I ? 4? x d s ? 4? 4 r cos ? L10? 2 (? ) d ? r (? ) ? r2? 4? 4 a 2 cos ? d ? ? 2 2 a 20?Department of Mathematics练习6计算 I ? ?? ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) d s , 9 2 2 2 其中?为球面 x ? y ? z ? 与平面x ? z ? 1的交线. 2 解: ? 1 ( x ? 1 )2 ? 1 y 2 ? 1 2 4 ? : ?2 ,化为参数方程 ? x?z ?1?:则 ds ??? 0 ? ? ? 2? ? y ? 2 sin? z ? 1 ? 2 cos? 2( ? 2 sin? ) 2? (2 cos? ) 2 ? ( 2 sin? ) 2 d ?x ? 2 cos? ? 1 2? 2 d?9 2? I ? ? 2 d ? ? 18? 2 0Department of Mathematics2. 第二型曲线积分的计算y (1)计算? arctan dy ? dx, 其中积分路径 OmAnO x 例 3OmA为曲线y ? x 2 , OnA为直线y ? x(如图所示).y 解(1) 原式 ? ? arctan dy ? dx OmA ? AnO x? ? (arctanx ? 2 x ? 1)dx ? ? (1 0 0 1?4? 1)dxnAm? 2? x arctanxdx ?1 0?4??4?1ODepartment of Mathematics( 2).? ( y 2 ? z 2 )dx ? ( z 2 ? x 2 )dy ? ( x 2 ? y 2 )dz,LL为球面在第一象限部分 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1的边界,当沿着它的 正向进行时曲面的外侧 保持在左方.z 1 C解(2) 积分路径如图所示由轮换性知原积分为 ,? 其中AB : x ? cos t , y ? sint , z ? 0, t 从 0 到 , 2?03? ( y 2 ? z 2 )dx ? ( z 2 ? x 2 )dy ? ( x 2 ? y 2 )dzAB1 O 1 x A By2 上式 ? 3? 2 [(sin t ? 0)(? sint ) ? (0 ? cos2 t ) ? cos t ? 0]dt? ?3? 2 (sin3 t ? cos3 t )dt ? ?40?Department of Mathematics练习7其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解: 取 ? 的参数方程x ? cos t , y ? sint ,2? 0z ? 2 ? cost ? sint ( t : 2? ? 0 )? I ? ? ? [ ( 2 ? cos t )(? sint )z?? ( ?2 ? 2 cos t ? sin t ) cos t? (cos t ? sint )(cos t ? sint ) ]d t? ? (1 ? 4 cos 2 t ) d t ? ?2?02?Department of Mathematicso xy练习8 计算? ( y ? z )dx ? ( z ? x )dy ? ( x ? y )dzLx z ? ? 1(a ? 0, h ? 0) 其中:L为柱面 x ? y ? a 与平面 a h2 2 2的交线,从z轴正向看L为逆时针方向? x ? a cos t 解:设L的参数方程为: ? t : 0 ? 2? ? y ? a sint ? z ? h(1 ? cos t ) ? dx ? ? a sintdt, ? ( y ? z )dx ? ( z ? x )dy ? ( x ? y )dzLdy ? a cos tdt, dz ? h sintdt? ? {[a si nt ? h(1 ? cos t 0](? a si nt )02?? [(1 ? cos t ) ? a cos t ]a cos t ? a (cost ? si nt )h si nt }dt ? 2?a 2Department of Mathematics练习9把对坐标的曲线积分: ? xyzdx ? yzdy ? xzdz 化为对弧长的曲线积分,其中Lx ? t , y ? t 2 , z ? t 3响应于t从0到 的弧段 1 L为曲线解: 由 ? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? ( P cos ? ? Q cos ? ? R cos ? )ds? ?而:cos? ?x?( t ) x ? 2 ? y? 2 ? z ? 2 y?( t ) x ? ? y? ? z ? z ?( t )2 2 2? ??1 1 ? 4t 2 ? 9t 4 2t 1 ? 4t ? 9t2 4? ??1 1 ? 4x2 ? 9 y2 2x 1 ? 4x2 ? 9 y23y 1 ? 4x2 ? 9 y2cos ? ?cos ? ?3t 2 1 ? 4t 2 ? 9t 4x? 2 ? y? 2 ? z ? 2Department of Mathematics所以: ? xyzdx ? yzdy ? xzdzL? ?[Lxyz 1 ? 4x2 ? 9 y2 6 xyz 1 ? 4x2 ? 9 y2?2 xyz 1 ? 4x2 ? 9 y2?3 xyz 1 ? 4x2 ? 9 y2]ds??Lds思考从中能得到什么?一个公式Department of Mathematics曲线积分计算方法总结:）利用计算公式: 思想：化为定积分； 方法：“参数法”及要点。 *1 选取合适的参数方程； *2 第一类曲线积分：①定限 ②代换 第一类曲线积分：①定向 ②定限 ③代换 ）特殊情形 *1 对称性轮换性的应用 *2 利用曲线方程简化被积函数*3 两类曲线积分之间的联系Department of Mathematics3. 第一型曲面积分的计算例 5计算?? xyzdS, 其中?是?平面2 x ? 2 y ? z ? 2在第一象限部分.解 ? : z ? 2 ? 2 x ? 2 y在第一象限部分如图 ,dS ? 1 ? ( z? ) 2 ? ( z ? ) 2 dxdy ? 3dxdy x yzz ? 2 ? 2x ? 2 yy?? xyzdS ? ?? xy(2 ? 2 x ? 2 y ) ? 3dxdy? D xy? 6? dx?1 01? x 0xy(1 ? x ? y )dyx1 1 3 ? 6? x (1 ? x ) dx ? . 0 6 201Department of Mathematics2 2 2 2 设 ?: x ? y ? z ? a 例 6 x 2 ? y 2 , 当z ? x 2 ? y 2 f ( x, y, z ) ? 0， 当z ? x 2 ? y 2zo x?1计算 I ? ?? ? f ( x , y, z ) d S .1 2 1 交线为 x ? y ? 2 a , z ? 2 a .2 2Dx yy解: 锥面 z ? x 2 ? y 2 与上半球面 z ? a 2 ? x 2 ? y 2 的设 ?1为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为 D x y ? ? ( x , y ) x 2 ? y 2 ? 1 a 2 ?, 则 2I ? ?? ( x 2 ? y 2 ) d S?1Department of MathematicsI ? ?? ( x 2 ? y 2 ) d S?1? ??0Dx y( x2 ? y2 )1 2a a ?x ?y2 22 22d xd y? ? d? ?2?2aa r2 a ?r0r drz?o xx2 ? y211 ? ? a 4 (8 ? 5 2 ) 6 思考: 若上题 中被积函数改为Dx yyf ( x, y, z ) ?x2 ? y2 , 当 z ? x 2 ? y 20，当z ?计算结果如何 ?Department of Mathematics例 7计算:?? xyz dS?其中∑为闭曲面 x ? y ? z ? 1解: 曲面为中心在坐标原点,且顶点都在坐标轴上,且顶点到原点的距离都等于1的正八面体.设∑ 在第一卦限内的曲面为 ?1 ,由对称性可得z?? xyzdS ? 8?? xyzdS ? 8?? xyzdS? ?1 ?1y?1 : x ? y ? z ? 1, z ? 1 ? x ? ydS ? 1 ? z? ? z? ? 3dxdy2 x 2 yx???3 xyz dS ? 8 ?? xy (1 ? x ? y ) 3dxdy ? 15 ?1Department of Mathematics计算 ?? xyz dS 练习10 ?其中∑为闭曲面 z ? x 2 ? y 2 (0 ? z ? 1)练习112 2 曲面 z ? 13 ? x ? y 将球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25分成三部分,求这三部分曲面面积之比值.Department of Mathematics练习12空间立体V由 x 2 ? y 2 ? 1, z ? 0和 z ? 2 ? x 所围成, S为V的边界曲面,试计算?? xdSSDepartment of MathematicsDepartment of Mathematics
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