MMBA数学辅导：极限、连续、导数、积分的概念
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极限的概念是整个微积分的基础，需要深刻地理解，由极限的概念才能引出连续、导数、积分等概念。极限的概念首先是从数列的极限引出的。对于任意小的正数E，如果存在自然数M，使所有N》M时，|A（N）-A|都小于E，则数列的极限为A。极限不是相等，而是无限接近。而函数的极限是指在X0的一个临域内（不包含X0这一点），如果对于任意小的正数E，都存在正数Q，使所有（X0-Q，X0 Q）内的点，都满足|F（X）-A|《E，则F（X）在X0点的极限为A。很多求极限的题目都可以用极限的定义直接求出。 　　例如F（X）=（X^2-3X 2）/(X-2),&X=2不在函数定义域内，但对于任何X不等于2，F（X）=X-1，因此在X无限接近2，但不等于2时，F（X）无限接近1，因此F（X）在2处的极限为1。& 　　连续的概念。如果函数在X0的极限存在，函数在X0有定义，而且极限值等于函数值，则称F（X）在X0点连续。以上的三个条件缺一不可。& 　　在上例中，F（X）在X=2时极限存在，但在X=2这一点没有定义，所以函数在X=2不连续；& 　　如果我们定义F（2）=1，补上“缺口”，则函数在X=2变成连续的；& 　　如果我们定义F（2）=3，虽然函数在X=2时，极限值和函数值都存在，但不相等，那么函数在X=2还是不连续。& 　　由连续又引出了左极限、右极限和左连续、右连续的概念。函数值等于左极限为左连续，函数值等于右极限为右连续。如果函数在X0点左右极限都存在，且都等于函数值，则函数在X=X0时连续。这个定义是解决分段函数连续问题的最重要的、几乎是唯一的方法。& 　　如果函数在某个区间内每一点都连续，在区间的左右端点分别左右连续（对闭区间而言），则称函数在这个区间上连续。& 　　导数的概念。导数是函数的变化率，直观地看是指切线的斜率。略有不同的是，切线可以平行于Y轴，此时斜率为无穷大，因此导数不存在，但切线存在。& 　　导数的求法也是一个极限的求法。对于X=X0，在X0附近另找一点X1，求X0与X1连线的斜率。当X1无限靠近X0，但不与X0重合时，这两点连线的斜率，就是F（X）在X=X0处的导数。关于导数的题目多数可用导数的定义直接解决。教科书中给出了所有基本函数的导数公式，如果自己能用导数的定义都推导一遍，理解和记忆会更深刻。其中对数的导数公式推导中用到了重要极限：limx--&0&(1 x)^(1/x)=e。& 　　导数同样分为左导数和右导数。导数存在的条件是：F（X）在X=X0连续，左右导数存在且相等。这个定义是解决分段函数可导问题的最重要的、几乎是唯一的方法。& 　　如果函数在某个区间内每一点都可导，在区间的左右端点分别左右导数存在（对闭区间而言），则称函数在这个区间上可导。 　　复合函数的导数，例如f[u（x）]，是集合A中的自变量x，产生微小变化dx，引起集合B中对应数u的微小变化du，u的变化又引起集合C中的对应数f(u)的变化，则复合函数的导函数f’[u（x）]=df（u）/dx=df（u）/du&*&du/dx=f’（u）*u‘（x）& 　　导数在生活中的例子最常见的是距离与时间的关系。物体在极其微小的时间内，移动了极其微小的距离，二者的比值就是物体在这一刻的速度。对于自由落体运动，下落距离S=1/2gt^2，则物体在时间t0的速度为V(t0)=[S（t0 a）-S(t0)]/a,&当a趋近于0时的值，等于gt0;&而速度随时间的增加而增加，变化的比率g称为加速度。加速度是距离对时间的二阶导数。& 　　从直观上看，可导意味着光滑的、没有尖角，因为在尖角处左右导数不相等。有笑话说一位教授对学生抱怨道：“这饭馆让人怎么吃饭？你看这碗口，处处不可导！”& 　　积分的概念。从面积上理解，积分就是积少成多，把无限个面积趋近于0的线条，累积在一起，就成为大于0的面积。我们可以把一块图形分割为狭长的长方形（长方形的高度都取函数在左端或右端的函数值），分别计算各个长方形的面积再加总，可近似地得出图形的面积。当我们把长方形的宽度设定得越来越窄，计算结果就越来越精确，与图形实际面积的差距越来越小。如果函数的积分存在，则长方形宽度趋近于0时，求出的长方形面积总和的极限存在，且等于图形的实际面积。这里又是一个极限的概念。 　　如果函数存在不连续的点，但在该点左右极限都存在，函数仍是可积的。只要间断点的个数是有限的，则它们代表的线条面积总和为0，不影响计算结果。& 　　在广义积分中，允许函数在无限区间内积分，或某些点的函数值趋向无穷大，只要积分的极限存在，函数都是可积的。& 　　严格地说，我们只会计算长方形的面积。从我们介绍的积分的求法看，我们实际上是把求面积化为了数列求和的问题，即求数列的前N项和S（N），在N趋近于无穷大时的极限。很多时候，求积分和求无限数列的和是可以相互转换的。当我们深刻地理解了积分的定义和熟练地掌握了积分公式之后，我们同样可用它来解决相当棘手的数列求和问题。& 　　例如：求LIM&Nà正无穷大时，1/N*[1 1/（1 1/N） 1/（1 2/N） 。。。 1/(1 （N-1）/N) 1/2]的值。& 　　看似无从下手，可当我们把它转化为一连串的小长方形的面积之后，不禁会恍然大悟：这不是F（X）=1/X在[1，2]上的积分吗？从而轻松得出结果为ln2。& 　　除了基本的积分公式外，换元法和分步法是常用的积分方法。换元积分法的实质是把原函数化为形式简单的复合函数；分步积分法的要领是：在∫udv=uv-∫vdu中，函数u微分后应该变简单（比如次数降低），而函数v积分后不会变得更复杂。
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已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m﹣2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设，若g（x）＞0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：偏难来源：北京期中题
解：（1）由已知得，∴又f（0）=﹣2∴∴m=﹣1，∴f（x）=ln（x+1）﹣2．（2）由（1）得定义域为（﹣1，+∞），∴．∵a≠0令g'（x）=0得①当a＞0时，且在区间上g′（x）＞0，在区上g′（x）＜0．∴处取得极小值，也是最小值．∴由a+a（﹣lna﹣2）＞0得．∴．②当a＜0时，在区间（﹣1，+∞）上，g′（x）＜0恒成立．g（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减，没有最值综上得，a的取值范围是．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m﹣2f′（1），m∈R，且函数f..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系，导数的运算&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的最值与导数的关系导数的运算
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．常见函数的导数：
（1）C′=0&；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
导数的四则运算：&
（1）和差：（2）积：（3）商：
复合函数的导数：
运算法则复合函数导数的运算法则为：复合函数的求导的方法和步骤：
（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量； （2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数。求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。&
发现相似题
与“已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m﹣2f′（1），m∈R，且函数f..”考查相似的试题有：
284238572306267250440427400827625495设f(x)在(-∞,+∞)上有界,而且又连续的二阶导数,证明：至少存在一点m, 使得f(m)的二阶导等于零.这是原题：
反证法：设没有一点二导为0,且由二导的连续性,则其二导数在R上同号,不妨设其二导一直>0.则选择任意一点（x0,y0）使得f'(x0)不等于0（这样的点一定可以找到,否则每一点都有一导为0,则每一点二导为0）,过此点作直线y=f'(x0)*(x-x0)+y0,从而整个函数图象必在此直线上方（否则由拉格朗日定理可推导出有一点二导小于0,或者学过凸函数的性质的话直接得出）.若f'(x0)>0,则f(x)趋于正无穷,当x趋于正无穷；若f'(x0)
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很简单设这个函数为f(X)=AX^2+bx+c就做出来了
假设这样的点不存在，由于二阶导是连续的，故有二阶导恒正或恒负，不妨设为恒正。于是有一阶导严格单调递增，这样会导致f(x)无上界，与有界矛盾。故假设不成立，于是原命题成立。
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