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线性代数 135-求解一个2×2矩阵的特征值的一个例子
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------分隔线----------------------------线性代数求特征值时 行列式如何化简求出λ_百度知道
线性代数求特征值时 行列式如何化简求出λ
例如：（1） λ-1
λ+1应该是有技巧的 求详细解答····
提问者采纳
三阶行列式还要什么技巧 最简单的行列式了 你还指望考二阶的么 正常乘一下就行了。。
你乘着解一个试试？这种行列式明显用正常的乘开方法做起来麻烦的多
(1)式我试算了下 如果化简无误应该是λ³-10λ²+28λ-30=0，其解是一个有理根，两个无理根，如果你的题没有错 那么就是这么个结果 (2)式没有细算 求特征根的问题只能按照求|A-λI|=0的方法求 然后展开 没有别的什么方法 这是精确求解 如果近似求解的话 那就有很多迭代的方法来求了 至于这个 我只能说 没有什么方法 只能展开 如果有好的方法 你告诉我 谢谢
··我就是算不出来才问的 算的好窝火 答案没有过程是直接出到多项式相乘等于0的结果的
所以我才说可能是有因式分解或是配凑的之类的技巧在里面
就本题而言是不会的 因为本身根就是一个无理数两个虚数 我用matlab解了下方程 所以以普通手段真是很难分解 不过这样的题如果考试中出就是老师脑子有病 我相信谁也解不出来除非是近似解 一般正负12345根号12345或者变态点出个0.618...黄金比就不错了 普通考试一定能分解 相信我 除非你作研究 那样一般软件数值计算就行 还有你确信上面式子无误么
提问者评价
式子确认无误的 就是配凑 想办法让一行或者一列中有两个0 然后行列式展开来计算就好了 还是谢谢你！
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出门在外也不愁A\b或者inv(A)*b
一、 特殊矩阵的实现
常见的特殊矩阵有零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、三角形矩阵等，这类特殊矩阵在线性代数中具有通用性；还有一类特殊矩阵在专门学科中有用，如有名的希尔伯特(Hilbert)矩阵、范德蒙(Vandermonde) 矩阵等。
1.零矩阵:所有元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可以用zeros函数实现。zeros是MATLAB内部函数，使用格式如下：zeros(m)：产生m& m阶零矩阵；zeros(m,n)：产生m &n阶零矩阵，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 当m=n时等同于zeros(m)；zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。
2.幺矩阵:所有元素值为1的矩阵称为幺矩阵。幺矩阵可以用ones函数实现。它的调用格式与zeros函数一样。【例1】 试用ones分别建立3&2阶幺矩阵、和与前例矩阵A同样大小的幺矩阵。用ones(3,2) 建立一个3&2阶幺阵：ones(3,2) % 一个3&2阶幺阵ans =1&&&& 1&&&& 1&&&& 1&&&& 1&&&& 1
3.单位矩阵:主对角线的元素值为1、其余元素值为0的矩阵称为单位矩阵。它可以用MATLAB内部函数eye建立，使用格式与zeros相同。4.数量矩阵:主对角线的元素值为一常数d、其余元素值为0的矩阵称为数量矩阵。显然，当d=1时，即为单位矩阵，故数量矩阵可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。
5.对角阵:对角线的元素值为常数、其余元素值为0的矩阵称为对角阵。我们可以通过MATLAB内部函数diag，利用一个向量构成对角阵；或从矩阵中提取某对角线构成一个向量。使用格式为：
diag(V), diag(V,k)设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m&m阶对角阵，其主对角线的元素值即为向量的元素值；diag(V,k)将产生一个n&n(n=m+|k|，k为一整数)阶对角阵，其第k条对角线的元素值即为向量的元素值。注意：当k＞0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k＜0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于diag(V)。用diag建立的对角阵必是方阵。
6.上三角阵：使用格式为triu(A)、triu(A,k)设A为m&n阶矩阵，triu(A)将从矩阵A中提取主对角线之上的上三角部分构成一个m & n阶上三角阵；triu(A,k)将从矩阵A中提取主对角线第|k|条对角线之上的上三角部分构成一个m & n阶上三角阵。注意：这里的k与diag(A,k)的用法类似，当k＞0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k＜0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于triu (A)
8.下三角阵：使用格式为tril(A)、tril(A,k)tril的功能是从矩阵A中提取下三角部分构成下三角阵。用法与triu相同。
9.空矩阵在MATLAB里，把行数、列数为零的矩阵定义为空矩阵。空矩阵在数学意义上讲是空的，但在MATLAB里确是很有用的。例如A=[0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6];B=find(A&1.0) %返回向量A中符合条件的元素的位置B = [ ]这里[ ]是空矩阵的符号，B=find(A&1.0)表示列出矩阵A中值大于1.0的元素的序号。当不能满足括号中的条件时，返回空矩阵。另外，也可以将空矩阵赋给一个变量，如：B=[ ]B = [ ]
&二、矩阵的特征值&&& 与特征向量
对于N&N阶方阵A，所谓A的特征值问题是：求数&和N维非零向量x（通常为复数），使之满足下式：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& Ax=&x则称&为矩阵A的一个特征值（特征根），而非零向量x为矩阵A的特征值&所对应的特征向量。对一般的N&N阶方阵A，其特征值通常为复数，若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数。
MATLAB提供的内部函数eig可以用来计算特征值与特征向量.eig函数的使用格式有五种,其中常见的有&&&&&&&&&&&& E=eig(A),&&&&&&&&&&&& [V,D]=eig(A),
(1) E=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值，构成向量E；(2) [V,D]=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值，构成N&N阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的特征值，同时将返回相应的特征向量赋予N&N阶方阵V的对应列;
&三、行列式的值
MATLAB提供的内部函数det用来计算矩阵的行列式的值。设矩阵A为一方阵(必须是方阵)，求矩阵A的行列式值的格式为：det(A)。注意：本函数同样能计算通过构造出的稀疏矩阵的行列式的值。
【例6】利用随机函数产生一个三阶方阵A，然后计算方阵之行列式的值。A=rand(3)A =&&& 0.9501&&& 0.4860&&& 0.4565&&& 0.2311&&& 0.8913&&& 0.0185&&& 0.6068&&& 0.7621&&& 0.8214det(A)ans =&&& 0.4289
四、&& 矩阵求逆及其&& 线性代数方程组求解
1.矩阵的基本性质
① 矩阵的秩：矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。 &&&&& ② 矩阵的迹：等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。 ③向量的范数：用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。(1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2&范数。 &&&& (2) norm(V,1)：计算向量V的1&范数。 &&&& (3) norm(V,inf)：计算向量V的&&范数。④ 矩阵的范数：MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。⑤& 矩阵的条件数：在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是： (1) cond(A,1)：&& 计算A的1&范数下的条件数。 (2) cond(A)或cond(A,2)：&& 计算A的2&范数数下的条件数。 (3) cond(A,inf)：&& 计算A的 &&范数下的条件数。
矩阵条件数
　　矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖&‖A-1‖，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。 函数 cond(A,1)、cond(A)或cond(A) 是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大矩阵越病态。
　　条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。
2 . 矩阵求逆若方阵A,B满足等式A*B = B*A = I& (I为单位矩阵)则称A为B的逆矩阵，或称B为A的逆矩阵。这时A，B都称为可逆矩阵(或非奇异矩阵、或满秩矩阵)，否则称为不可逆矩阵(或奇异矩阵、或降秩矩阵)。
【例7】试用inv函数求方阵A的逆阵A-1赋值给B，且验证A与A-1是互逆的。A=[1 -1 1;5 -4 3;2 1 1];B=inv(A)B =&& -1.4000&&& 0.4000&&& 0.2000&&& 0.2000&& -0.2000&&& 0.4000&&& 2.6000&& -0.6000&&& 0.2000A*Bans =&&& 1.0000&&& 0.0000&&& 0.0000&&& 0.0000&&& 1.0000&&& 0.0000&&& 0.0000&&& 0.0000&&& 1.0000
五 、多项式运算及其求根
&MATLAB语言把多项式表达成一个行向量。鉴于MATLAB无零下标，故把多项式的一般形式表达为：
&在MATLAB里，多项式由一个行向量表示，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 &&&&&&&&&&&&& P=[a1& a2& && an& an+1]&&&&&&&& 注意，必须包括具有零系数的项 。
1.多项式求根
命令格式：x=roots(A)。这里A为多项式的系数A(1),A(2),&,A(N),A(N+1)；解得的根赋值给数组X，即X(1),X(2), &,X(N)。【例9】试用ROOTS函数求多项式x4+8x3-10的根这是一个4次多项式，它的五个系数依次为：1,8,0,0,-10。下面先产生多项式系数的向量A，然后求根：A=[1 8 0 0 -10]A =&&&& 1&&&& 8&&&& 0&&&& 0&& -10x=roots(A)
x =& -8.0194&&&&&&&&& & -0.5075 + 0.9736i& -0.5075 - 0.9736i&& 1.0344
&2.多项式的建立
若已知多项式的全部根，则可以用POLY函数建立起该多项式；也可以用POLY函数求矩阵的特征多项式。POLY函数是一个MATLAB程序，调用它的命令格式是：&&&&&&&&&&&&&&&&& A=poly(x)若x为具有N个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋值给向量A。
例:a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];&&&& p=poly(a)&&&& p1=poly2str(p,'x')&& %显示数学多项式的形式
3.求多项式的值
POLYVAL函数用来求代数多项式的值，调用的命令格式为：&&&&&&&&&&&&&& Y=polyval(A,x)本命令将POLYVAL函数返回的多项式的值赋值给Y。若x为一数值，则Y也为一数值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。
【例10】以例9的4次多项式、分别取x=1.2和下面的矩阵的2&3个元素为自变量计算该多项式的值。A=[1 8 0 0 -10];&&&&&&&&&&&& % 例9的4次多项式系数x=1.2;&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& % 取自变量为一数值y1=polyval(A,x)y1 =& -97.3043x=[-1 1.2 -1.4;2 -1.8 1.6]&&&&& % 给出一个矩阵xx =&& -1.0000&&& 1.2000&& -1.4000
4.多项式的四则运算
(1)多项式加、减对于次数相同的若干个多项式，可直接对多项式系数向量进行加、减的运算。如果多项式的次数不同，则应该把低次的多项式系数不足的高次项用零补足，使同式中的各多项式具有相同的次数。
(2)多项式乘法若A、B是由多项式系数组成的向量，则CONV函数将返回这两个多项式的乘积。调用它的命令格式为：C=conv(A,B)命令的结果C为一个向量，由它构成一个多项式。
【例11】 a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6;&&&&&&&&&&&&&&&&&&& c(x) = (x2+2x+3)(4x2+5x+6)
(3)多项式除法当A、B是由多项式系数组成的向量时，DECONV函数用来对两个多项式作除法运算。调用的命令格式为：[Q,r]=deconv(A,B)本命令的结果：多项式A除以多项式B获商多项式赋予Q（也为多项式系数向量）；获余项多项式赋予r（其系数向量的长度与被除多项式相同，通常高次项的系数为0）。DECONV是CONV的逆函数，即有A=conv(B,Q)+r。
【例12】试用例9的4次多项式与多项式2x2-x+3相除。A=[1 8 0 0 -10];B=[2 -1 3];[P,r]=deconv(A,B)P =&&& 0.5000&&& 4.2500&&& 1.3750r =&&& 0&&&&&&&& 0&&&&&&&& 0& -11.3750& -14.1250商多项式P为 0.5x2+4.25x+1.375，余项多项式r为 -11.375x-14.125。
&(4)多项式的求导matlab提供了polyder函数多项式的微分。命令格式：polyder(p): 求p的微分polyder(a,b): 求多项式a,b乘积的微分例：a=[1 2 3 4 5]; poly2str(a,'x')ans = x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 4 x + 5b=polyder(a)b = 4&&&& 6&&&& 6&&&& 4poly2str(b,'x')ans =4 x^3 + 6 x^2 + 6 x + 4
阅读(...) 评论()2015考研数学线性代数典型题型分析
2015考研数学线性代数典型题型分析：特征值和特征向量(1)在考研数学中，特征值和特征向量是线性代数的重要考点之一，每年必考，并且往往是以一道解答题的形式出现，占11分，因此各位考生应该重视并熟练掌握其解题方法。特征值和特征向量的考题，是与行列式和矩阵的知识紧密结合的，计算特征值时常常需要计算行列式，求特征向量时往往要用矩阵的性质和解线性方程组。为了帮助广大考生了解特征值和特征向量方面的典型考题和解题方法，老师对其进行了细致的分析总结，供各位考生参考，希望对大家有所帮助。下面对特征值和特征向量这一章的典型题型进行分析。特征值和特征向量典型题型：1）计算矩阵的特征值和特征向量；2）将矩阵对角化或判断可否对角化；3）判断或证明矩阵相似；特征值的计算方法：1）根据定义： 2）解特征方程： 3）利用特征值性质：（1） ， ；（2）若 的特征值，则 的特征值，多项式 的特征值；（3）当 时， 是 的特征值， 是 特征值；（4）相似矩阵具有相同的特征值。特征向量的计算方法：1）根据定义： 2）解方程： 3）根据特征向量的性质：若 是 的特征向量，则 也是 和 、 、 的特征向量典型例题分析：例1. 求矩阵 的所有特征值。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&& &&& &&& &&& &&& &&&（2009年考研真题数学（一）第21（Ⅰ）题）解析：特征方程 ，所有特征值为 &（注：上面计算行列式也可按行或列展开，然后分解因式）例2. 设 为三阶实对称矩阵， 的秩为2，且 ，（Ⅰ）求 的所有特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵 （2011年考研真题数学（一）第21题）分析：观察题目条件的特点可知，可以利用特征向量和特征值的定义及特征方程计算解析：（Ⅰ）因为 的秩为2，所以 ，因此0是 的特征值 ；由条件得 ，因此 都是 的特征向量，其对应的特征值分别为-1和1。因为实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交，所以属于特征值0的特征向量 与 正交，令 ，则 ， ，解之得 任意，故 ，因此 的所有特征值为0，-1,1，特征向量为 为任意非零常数。（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，其中 ， ，代入计算得 老师对考研数学中线性代数部分的特征值和特征向量方面的典型题型及解题方法进行了分析，在以前的文章中，我们已向大家介绍了行列式和矩阵、向量及线性方程组方面的典型题型及解题方法，在以后的时间里，老师还会陆续向大家介绍线性代数其它部分的典型考题和解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩，成功实现自己的人生梦想。
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