（1）90°；（2）120°，证明见试题解析；（3）（也可以写成）．【解析】试题分析：（1）由AB=AC、AD=AE，得BD=CE，再根据G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，可得出PG∥BD，PF∥CE．则∠GPF=180°﹣∠α=90°；（2）连接BD，连接CE，由已知可证明△ABD≌△ACE，则∠ABD=∠ACE．因为G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，则PG∥BD，PF∥CE．进而得出∠GPF=180°﹣∠α=120°；（3）当D在BA的延长线上时，CE=BD最长，此时BD=AB+AD=5+2=7，再由三角形中位线定理即可算出PG=3．5，在Rt△GPH中，由三角函数的定义即可求出GH，进一步求出FG．试题解析：（1）∵AB=AC、AD=AE，∴BD=CE，∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=90°，即∠GPF=90°；（2）∠FPG=120°；理由：连接BD，连接CE．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=120°，即∠GPF==120°；（3）连结BD，CE，过P作PH⊥FG于H，由（2）可知，△ABD≌△ACE，∴BD=CE，且PG=PF=BD，当D在BA的延长线上时，CE最长，即BD最长，此时BD=AB+AD=5+2=7，∴PG=3.5，∵PF=PG，PH⊥FG，∴∠GPH=∠FPG=（180°﹣∠α）=90°﹣α，FG=2HG，∴FG=2HG=2PG•sin∠GPH=2×3.5×=．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰三角形的性质；4．等边三角形的性质．
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以下事件为必然事件的是（
）A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0
B．多边形的内角和是C．二次函数的图象必过原点
D．半径为2的圆的周长是
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如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠AOC等于(
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，图中阴影部分的面积为
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）．A．0.845×104亿元
B．8.45×103亿元
C．8.45×104亿元
D．84.5×102亿元如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长_百度知道
如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长
hiphotos，DE=2://e.baidu，AB=AC://e://e，在△ABC中.hiphotos.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink">如图所示，若BE=6，D.com/zhidao/pic/item/fd6fbae215.jpg" esrc="http./zhidao/wh%3D450%2C600/sign=4fb17bcb520fd9f9adf81c/fd6fbae215，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=cf2a97af02cd6ce2a7c7d37/fd6fbae215、E是△ABC内两点<a href="http
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∴BN=4，∵AB=AC，BN=CN，AD平分∠BAC延长ED交BC于M.baidu，作DF∥BC，∴△BEM为等边三角形，延长AD交BC于N，∵BE=6，DE=2://hiphotos，∴BC=2BN=8，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∴∠NDM=30°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴NM=2，∴AN⊥BC，∵∠EBC=∠E=60°，∴△EFD为等边三角形
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出门在外也不愁在△ABC中,∠BAC=90°,△ACD是等边三角形,连接BD,若∠DBC=2∠DBA,求∠DBA的度数?_百度作业帮
在△ABC中,∠BAC=90°,△ACD是等边三角形,连接BD,若∠DBC=2∠DBA,求∠DBA的度数?
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证明：如图,以AB为一边,向下作一个等边三角形△ABE连接ED,EC,EC交BD于F点∵∠BAC=90°
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△DAB 与△DAE中
∠DAB=∠DAE
AB=AE∴△DAB ≌△DAE
△DAB 与△CAE中
∠DAB=∠CAE
AB=AE∴△DAB ≌△CAE∴有△DAB ≌△DAE≌△CAE∴∠AED=∠CEA=∠ABD
∠ADB=∠ACE 又∵∠DBC=2∠ABD∴有∠DBC=∠CED∴B,E,D,C四点共圆∴有∠EBD=∠ECD
又∵∠EBD=∠EBA+∠ABD =60°+∠ABD
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…………（见备注）又∵∠EBD=∠EBA+∠ABD =60°+∠ABD
∠ECD=∠ACD+∠ACE=60°+∠ACE∴∠ABD =∠ACE又∵∠ADB=∠ACE∴∠ABD=∠ADB∵∠BAD=150°∴∠ABD=∠ADB=15°
□ By euler27知识点梳理
1.定义：就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似。2.判定：&&（1）平行与三角形一边的(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似&&（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似&&（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似&&（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似&直角三角形相似判定定理&&（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。直角三角形相似判定定理&&（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。3.性质：&&(1)相似三角形的对应角相等.&&(2)相似三角形的对应边成比例.&&(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.&&(4)相似三角形的周长比等于相似比.&&(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.&（6）相似三角形的传递性。
判定：&&(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。&&(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。&&(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。&&(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)&&(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)&所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。性质：&&(1)的对应角相等。&&(2)全等三角形的对应边相等。&&(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。&&(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。&&(5)全等三角形的对应边上的中线相等。&&(6)全等相等。&&(7)全等三角形周长相等。&&(8)全等三角形的对应角的相等。
【生物定义】三边都相等的叫做等边三角形（equilateral&triangle），也属于．【等边三角形的性质】三个内角都相等，并且每一个角都等于&60°．
直角性质定理：1.直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即a?+b?=c?。2.在直角三角形中，两个锐角互余。3.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。4.直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。5.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。其逆定理也成立，即在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。7.直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D&则BD:DC=AB:AC
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知：如图，在△ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，若A...”，相似的试题还有：
在△ABC中，已知∠CAB=60°，D，E分别是边AB，AC上的点，且∠AED=60°，ED+DB=CE，∠CDB=2∠CDE，则∠DCB=()
如图所示，已知在△ABC中，∠BAC=90&，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：=．
如图所示，已知在△ABC中，∠BAC=90&，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：=．当前位置：
＞＞＞如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．..
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）
题型：解答题难度：中档来源：重庆市中考真题
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°，∵∠BAC=90°，∴∠C=180°﹣90°﹣60°=30°，∴BC=2AB=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===2，∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2．答：△ABC的周长是6+2．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．..”主要考查你对&&三角形的周长和面积，等边三角形，勾股定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
三角形的周长和面积等边三角形勾股定理
三角形的概念：由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。构成三角形的元素：边：组成三角形的线段叫做三角形的边；顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段；（2）三条线段不在同一直线上；（3）首尾顺次相接。三角形的表示：用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。三角形的分类：（1）三角形按边的关系分类如下：；（2）三角形按角的关系分类如下：把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。三角形的周长和面积：三角形的周长等于三角形三边之和。三角形面积=（底×高）÷2。等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说，就是分三步走：第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。
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