第11章(无穷级数)之内容方法
第11章(无穷级数)之内容方法
无穷级数也是高等数学的重要内容，它在自然科学及工程技术中有着重要而广泛的应用。本章先介绍常数项级数及其收敛问题，然后讨论幂级数及其收敛半径、收敛区间的求法最后讨论函数的幂级数的展开问题。本章的重点是：常数项级数的基本概念，正项级数的审敛准则；幂级数的审敛准则；泰勒公式、泰勒级数及泰勒展开式。难点是：正项级数的审敛准则；泰勒展开式。
11-1 常数项级数的基本概念及其主要性质
1．基本概念
级数；项, 通项：；常数项级数：为常数
部分和：S=;
部分和序列S,S,…,S,…:
级数收敛 ：部分和序列存在有穷极限。
级数发散：部分和序列不存在有穷极限。
主要性质 :（1）级数收敛的必要条件是：其通项趋于0。
（2）如果级数收敛且其和为S ，则各项同乘以常数c 所得级数也收敛且其和为
（3）设有两个收敛级数其部分和分别为和 ，则将它们逐项相加或相减所得的级数也收敛，且其和为 。
（4）收敛级数不改变各项顺序而插入括号后所成的级数仍然收敛且其和不变。
（5）一个级数添入或删除有限项并不影响其敛散性。
11-2正项级数及其审敛准则
基本定理 : 正项级数收敛的充分必要条件是其部分和序列上有界。
等比级数：(0)&
当 &&1 收敛，当 &1 时发散。
p级数： &当 p1 时发散,当 p&1 时收敛。
特别地，调和级数&
第一比较准则：有两个正项级数 &与，
而且(n=1,2,。若收敛，则收敛；
若发散，则也发散。
第二比较准则：设有两个正项级数与，
如果（0〈，
则这两个级数同时收敛，或者同时发散。
达朗贝尔准则(检比法）：设有正项级数。
如果=，那么，当 时级数收敛；
当 ，时，级数发散；
当 时不能判定敛散性。
11-3任意项级数的敛散性
交错级数：各项正负相间的级数。
莱布尼兹准则：设有交错级数 。如果
各项的绝对值单调减；
则交错级数必收敛。
绝对收敛级数：各项取绝对值后得到的正项级数收敛的级数。
条件收敛级数：收敛但不绝对收敛的级数。
绝对收敛准则：绝对收敛级数必收敛。
11-4 幂级数及其性质
函数项级数：各项是 的函数的级数。
幂级数： (是常数)。
和函数（和）：部分和所成函数序列的极限函数。
幂函数的审敛准则：设有幂级数，
如果极限，那么，
当时，幂级数收敛，而且绝对收敛；
当 时，幂级数发散，其中R可以是0,也可以是。
R称为收敛半径，&R称为收敛区间，简称为敛区。
敛域：敛区并上收敛的端点 &或。
可见：当R=0 时，敛域只含一点x=0 ；
当R=时，敛域为（-）。
幂级数的性质
(3)幂级数的和在敛区内是连续的且可逐项求极限。
(4)幂级数的和S(x) 在敛区内的任一点均可导
且有逐项求导公式：，
求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
(5)幂级数的和在敛区内可积，
且有逐项求积分公式：
积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
11-5& 函数的幂级数展开式
函数f（x）在x=a处的泰勒级数：
函数在区间I可展成泰勒级数：
&在区间I可展成泰勒级数的条件是：它与泰勒级数的部分和之差趋于零。
泰勒定理：设函数在的邻域内n+1阶可导，则对位于此邻域内的任一x
，至少存在一点 ，在与之间，使得下述泰勒公式成立：
注：当时，泰勒级数、泰勒展开式、泰勒公式分别称为麦克劳林级数、麦克劳林展开式、麦克劳林公式。
几个初等函数的麦克劳林展开式：
1.& +…++…& ,&
6.+…&&&&&&&&&扬州大学高等数学精品课程
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第十一章 无穷级数
&&&&1．知道无穷级数的通项、部分和、收敛、发散以及余项的定义；
&&&&2．知道几何级数、调和级数及 p－级数的敛散性；
&&&&3．知道正项级数、交错级数和任意项级数的定义及绝对收敛、条件收敛的定义；
&&&&4．知道函数项级数及其收敛域、和函数的定义；
&&&&5．记住e x , sin x，cos x , ln(1+ x), (1+ x)μ 的麦克劳林展开式；
&&&&6．知道泰勒级数和泰勒展开式、麦克劳林级数和麦克劳林展开式的定义；
&&&&7．知道三角函数系及三角函数系的正交性；
&&&&8．知道函数的傅里叶系数和傅里叶级数的定义以及奇、偶函数的傅里叶系数公式；
&&&&9．知道正弦级数和余弦级数的定义、奇延拓和偶延拓的定义；
&&&&10．知道周期为2l的周期函数的傅里叶级数展开式．
&&&&1．领会无穷级数的概念、性质、级数与数列之间的区别和联系；
&&&&2．领会级数的收敛性与级数的部分和数列极限的存在性之间的关系；
&&&&3．领会级数收敛的必要条件和正项级数收敛的充分必要条件；
&&&&4．领会级数收敛、绝对收敛及条件收敛三者之间的区别与联系；
&&&&5．领会正项级数的比较、比值和根值审敛法以及它们之间的关系；
&&&&6．领会幂级数的基本概念及其运算性质；
&&&&7．领会函数的泰勒级数与泰勒展开式和麦克劳林级数与麦克劳林展开式的区别与联系；
&&&&8．领会函数展开成泰勒级数的充分必要条件；
&&&&9．领会函数展开成幂级数的惟一性；
&&&&10．领会函数的傅里叶级数与傅里叶展开式的区别与联系；
&&&&11．领会函数展开成傅里叶级数的狄利克雷定理的条件和结论；
&&&&12．领会函数的傅里叶级数的和函数及其它们的图形之间的区别与联系．
&&&&1．会用数项级数收敛的定义判定一些级数的敛散性以及求一些简单收敛级数的和；
&&&&2．会用数项级数的性质和必要条件，几何级数、调和级数及p－级数的敛散性判定一些较简单级数的敛散性；
&&&&3．会用比较、比值及根值法判定正项级数的敛散性；
&&&&4．会用莱布尼兹审敛法判定交错级数的敛散性；
&&&&5．会求幂级数的收敛半径和收敛区间；
&&&&6．会用几何级数和幂级数的代数运算性质与分析运算性质在其收敛域内求一些幂级数的和函数；
&&&&7．会用直接展开法和间接展开法将一些函数展开成幂级数；
&&&&8．会用幂级数进行一些近似计算；
&&&&9．会求以2π为周期和以2l为周期的周期函数的傅里叶级数；
&&&&10．会求定义在[-π, π]和[- l , l]上的函数的傅里叶级数；
&&&&11. 会求定义在[0, π]和[0 , l]上的函数的正弦级数和余弦级数．
四、分析综合
&&&&1．综合运用数项级数多方面的知识判定级数的收敛、发散、绝对收敛或条件收敛；
&&&&2．综合运用函数的幂级数展开式，求一些函数的高阶导数在某点的值及一些数项级数的和；
&&&&3．综合运用无穷级数多方面的知识，特别是正项级数的比值审敛法，几何级数的求和公式及幂级数的分析运算性质，求级数的收敛区间及和函数．
第一节 常数项级数的概念和性质
&&&&重点：常数项级数的概念、性质，常见级数的敛散性。
&&&&难点：调和级数发散的判断方法。
第二节 常数项级数的审敛法
&&&&重点：正项级数与交错级数的审敛法。
&&&&难点：级数绝对收敛与条件收敛的判断。
第三节 幂级数
&&&&重点：幂级数的收敛半径与收敛域。
&&&&难点：利用逐项求导或积分求幂级数的和函数。
第四节 函数展开成幂级数
&&&&重点：利用基本公式把函数间接展开成幂级数。
&&&&难点：常见的五个函数的麦克劳林展开式的推导。
第五节 函数的幂级数展开式的应用
&&&&重点：利用函数的幂级数展开式进行近似计算。
&&&&难点：余项问题，误差分析。
第六节 傅里叶级数
&&&&重点：将定义在[－π，π] 上的函数展开成傅里叶级数，函数傅里叶级数的和函数。
&&&&难点：傅里叶系数的具体计算。
第七节 一般周期函数的傅里叶级数
&&&&重点：将定义在[－l , l ] 上的函数展开成傅里叶级数。
&&&&难点：一般周期函数与周期为2π的周期函数的转化。
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2016考研数学：无穷级数七大考察点
10:55:28 来源：新东方在线
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& 无穷级数是考研数学的重要考察内容，考生要把握其内容要点及考察要点，下面新东方在线就为大家解读无穷级数的七大考察点及所涉及的测试点，想对大家复习有帮助。　　1、数项级数的基本概念和性质　　内容要点：(1)无穷级数的收敛与发散;(2)等比级数、调和级数;(3)级数的基本性质　　测试点：(1)判定级数的敛散性;(2)级数的基本性质　　2、正项级数　　内容要点：(1)正项级数的收敛准则;(2)比较判别法;(3)比值判别法;(4)根植判别法　　测试点：灵活利用收敛准则、比较判别法、比值判别法和根植判别法判定正项级数的敛散性　　13、任意项级数　　内容要点：(1)交错级数的莱布尼茨判别法;(2)级数的绝对收敛与条件收敛　　测试点：利用莱布尼茨判别法、级数的绝对收敛与条件收敛性质判别级数的敛散性　　4、幂级数　　内容要点：(1)函数项级数的基本概念;(2)幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域;幂级数的运算性质(非常重要，一定要熟练掌握)　　测试点：(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域;(2)利用幂级数的运算性质求幂级数的和函数　　5、泰勒级数　　内容要点：(1)泰勒级数;(2)函数展成泰勒级数的方法　　测试点：(1)熟记常见函数的泰勒级数;(2)利用逐项求导、逐项积分的性质把函数展开成泰勒级数　　6、傅立叶级数(只要求数一考生掌握、数三考生不要求)　　内容要点：(1)正交函数系;(2)傅立叶级数的概念;(3)狄利克雷定理;(4)把函数展开成傅立叶级数;(5)奇偶函数的傅立叶级数　　测试点：(1)利用狄利克雷定理判断收敛点;(2)把函数展开成傅立叶级数，奇偶函数的傅立叶级数　　7、综合例题　　针对本章所学内容复习巩固，每个例题独立求解，然和和答案对比，对自己所学情况进行简单的测评。
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无穷级数的概念性质
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无穷级数基本性质中有两个收敛级数相加减，其收敛性不变，请问这里的两个级数是否必须是不同的级数？
老师请看这道题无穷级数基本性质中有两个收敛级数相加减，其收敛性不变，请问这里的两个级数是否必须是不同的级数？如果不是，那为什么选项C不对？如果两个级数需要时不同的级数，那不不是很理解本题给出的解答如图，红框中 un 和 un+1 这两个级数是否同一个级数？如果不是，那C选项的两个级数应该也算两个不同的级数，为什么根据性质判断C应该正确，但却可以举出反例证明C错？请问老师这道题以及级数的性质的理解，我到底错在哪里？
提问时间： 14:02:14提问者：
&老师，我这里还是不太理解主要是un这块un是说级数的第n项，那我为什么不能把 u(2n-1) 理解为级数的第 2n-1 项呢？请教这里的 un 和 u(2n-1) &到底是怎么理解的。看老师您给出的图片，u(2n-1)好像是理解为 是级数 u 的第 m 项，而 m =2n-1
&好像是理解为 是级数 u 的第 m 项，而 m =2n-1这是对的，但u(2n-1)是级数U的一部分，而非全部。故有可能不收敛。比如说图中举的例子。欢迎登陆新东方在线欢迎到新东方在线论坛感谢您对新东方在线的支持和信任如您的问题未能得到妥善解决或有其他问题请访问：或联系售后客服：400 676 2300
回答时间： 16:08:23
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