解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为；（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200=，∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有S2=80000。
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科目：高中数学
（;北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
60（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2=1n[(x1-.x)&2+(x2-.x)&2+…+(xn-.x)&2]，其中.x为数据x1，x2，…，xn的平均数）
科目：高中数学
来源：学年山东省青岛二中高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）
题型：解答题
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2=[++…+]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）
科目：高中数学
来源：学年福建省莆田一中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）
题型：解答题
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2=[++…+]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）
科目：高中数学
来源：2012年北京市高考数学试卷（理科）（解析版）
题型：解答题
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2=[++…+]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）
科目：高中数学
来源：2012年北京市高考数学试卷（文科）（解析版）
题型：解答题
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2=[++…+]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）某校初三年级音乐期末测试已结束，为了解全年级情况，以该年级（1）班学生的测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（说明：A级：90分～100分（均含最小值、最大值，后同）；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是36°；
（3）样本中测试成绩的中位数落在B级；
（4）若该年级有1100名学生，请你用此样本估计音乐期末测试中A级和B级的学生人数约为726人．
（1）根据A级一共10人，占扇形图图的20%，可以求出D级的人数，可以补全条形图；（2）根据D级人数，除以样本总人数，再乘以360°即得出D级在的扇形的圆心角度数；（3）因为样本总人数为：10+23+12+5=50人，第25，26的平均数是中位数，而第25，26个数据都位于B级，得出答案；（4）应首先求出样本中A级和B级的学生所占样本总数的比例，若该年级有1100名学生，用此样本估计音乐期末测试中A级和B级的学生人数约为 6人．（1）10÷20%=50（人），D等级的人数是：50-10-23-12=5（人）（如图所示）（2）5÷50×100%=10%360°×10%=36°；（3）因为样本总人数为：10+23+12+5=50人，第25，26的平均数是中位数，而第25，26个数据都位于B级，故答案为：B；（4）∵样本优秀率为：（10+23）÷50=66%，∴若该年级有1100名学生，用此样本估计音乐期末测试中A级和B级的学生人数约为 6人，故答案为：726．这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~在语音识别中，概率模型占了至关重要的地位，在学习语音识别技术前，自己还是好好整理一下相关的概率知识。
1.似然估计
在中，似然函数是一种关于中的的，表示模型参数中的似然性。似然函数在中有重大作用，如在和之中的应用等等。&似然性&与&或然性&或&&意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在中，&似然性&和&或然性&或&概率&又有明确的区分。用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。
在这种意义上，似然函数可以理解为的逆反。在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作：
因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数，我们估计参数B的可能性。形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的改变了：
注意到这里并不要求似然函数满足归一性：。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有，都可以有似然函数：
两次投掷都正面朝上时的似然函数
考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说，已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是，便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说，投两次都是正面朝上的概率是0.25。用条件概率表示，就是：
其中H表示正面朝上。
在统计学中，我们关心的是在已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。 我们可以建立一个统计模型：假设硬币投出时会有 的概率正面朝上，而有 的概率反面朝上。 这时，条件概率可以改写成似然函数：
也就是说，对于取定的似然函数，在观测到两次投掷都是正面朝上时， 的似然性是0.25（这并不表示当观测到两次正面朝上时 的概率是0.25）。
如果考虑，那么似然函数的值也会改变。
三次投掷中头两次正面朝上，第三次反面朝上时的似然函数
注意到似然函数的值变大了。 这说明，如果参数 的取值变成0.6的话，结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设 时更大。也就是说，参数 取成0.6 要比取成0.5 更有说服力，更为&合理&。总之，似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数，如果存在一个参数值，使得它的函数值达到最大的话，那么这个值就是最为&合理&的参数值。
在这个例子中，似然函数实际上等于：
如果取，那么似然函数达到最大值1。也就是说，当连续观测到两次正面朝上时，假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。
类似地，如果观测到的是三次投掷硬币，头两次正面朝上，第三次反面朝上，那么似然函数将会是：
T表示反面朝上，
这时候，似然函数的最大值将会在的时候取到。也就是说，当观测到三次投掷中前两次正面朝上而后一次反面朝上
2最大后验估计
最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。与最大似然估计类似，但是最大的不同时，最大后验估计的融入了要估计量的先验分布在其中。故最大后验估计可以看做规则化的最大似然估计。
&&& 首先，我们回顾上篇文章中的最大似然估计，假设x为独立同分布的采样，&为模型参数,f为我们所使用的模型。那么最大似然估计可以表示为：
现在，假设&的先验分布为g。通过贝叶斯理论，对于&的后验分布如下式所示：
最后验分布的目标为：
注：最大后验估计可以看做贝叶斯估计的一种特定形式。
假设有五个袋子，各袋中都有无限量的饼干(樱桃口味或柠檬口味)，已知五个袋子中两种口味的比例分别是
樱桃 75% + 柠檬 25%
樱桃 50% + 柠檬 50%
樱桃 25% + 柠檬 75%
如果只有如上所述条件，那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬饼干，那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个？
&&&&& 我们首先采用最大似然估计来解这个问题，写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬饼干的概率为p(我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的)，则似然函数可以写作
由于p的取值是一个离散值，即上面描述中的0,25%，50%，75%，1。我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可，得到为袋子5。这里便是最大似然估计的结果。
上述最大似然估计有一个问题，就是没有考虑到模型本身的概率分布，下面我们扩展这个饼干的问题。
假设拿到袋子1或5的机率都是0.1，拿到2或4的机率都是0.2，拿到3的机率是0.4，那同样上述问题的答案呢？这个时候就变MAP了。我们根据公式
写出我们的MAP函数。
根据题意的描述可知，p的取值分别为0,25%，50%，75%，1，g的取值分别为0.1，0.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为：0,0.,0..由上可知，通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。
上述都是离散的变量，那么连续的变量呢？假设为独立同分布的，&有一个先验的概率分布为。那么我们想根据来找到&的最大后验概率。根据前面的描述，写出MAP函数为：
此时我们在两边取对数可知。所求上式的最大值可以等同于求
的最小值。求导可得所求的&为
以上便是对于连续变量的MAP求解的过程。
在MAP中我们应注意的是：
&&& MAP与MLE最大区别是MAP中加入了模型参数本身的概率分布，或者说。MLE中认为模型参数本身的概率的是均匀的，即该概率为一个固定值。
&3 最大似然估计
给定一个概率分布，假定其（连续分布）或（离散分布）为，以及一个分布参数，我们可以从这个分布中抽出一个具有个值的采样，通过利用，我们就能计算出其概率：
但是，我们可能不知道的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布。那么我们如何才能估计出呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有个值的采样，然后用这些采样数据来估计.
一旦我们获得，我们就能从中找到一个关于的估计。最大似然估计会寻找关于的最可能的值（即，在所有可能的取值中，寻找一个值使这个采样的&可能性&最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如的，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的值。
要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义:
并且在的所有取值上，使这个最大化(一阶导数)。这个使可能性最大的值即被称为的最大似然估计。
这里的是指不变时，关于的一个函数。
最大似然估计函数不一定是惟一的，甚至不一定存在。
考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为，抛出一个反面的概率记为（因此，这里的即相当于上边的）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为, , .这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：
我们可以看到当时，似然函数取得最大值。这就是的最大似然估计。
现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于中的任何一个， 都有一个抛出正面概率为的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：
其中. 我们可以使用来求。方程两边同时对取，并使其为零。
在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线
n = 10；其最大似然估计值发生在其
并在曲线的最大值处。
其解为, ，以及.使可能性最大的解显然是（因为和这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为.
这个结果很容易一般化。只需要用一个字母代替49用以表达中的被观察数据（即样本）的&成功&次数，用另一个字母代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:
对于任何成功次数为，试验总数为的伯努利试验。
最常见的是，其概率密度函数如下：
现在有个正态随机变量的采样点，要求的是一个这样的正态分布，这些采样点分布到这个正态分布可能性最大（也就是概率密度积最大，每个点更靠近中心点），其个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：
这个分布有两个参数：.有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有.
最大化一个似然函数同最大化它的是等价的。因为log是一个且在似然函数的内的上凸函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟以及联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：
这个方程的解是.这的确是这个函数的最大值，因为它是里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。
同理，我们对求导，并使其为零。
这个方程的解是.
因此，其关于的最大似然估计为：
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