上限为无穷积分1 1 x 2的∫(1/x^2)dx

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-03-03 10:00 标签： 根号1 x 2 dx
积分下限负无穷,上限正无穷 dx/(1＋x^2)=_百度作业帮
积分下限负无穷,上限正无穷 dx/(1＋x^2)=
∫(-∞,+∞)dx/(1＋x^2)=2∫(0,+∞)dx/(1＋x^2)=2arctanx ( 0,+∞)=2[(π/2)-0]=π
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专题：导数的综合应用
分析：由定积分的公式和定积分的几何意义计算可得．
解：∫10（1+1-x2）dx=∫101dx+∫101-x2dx=1+∫101-x2dx∵由定积分的几何意义可知∫101-x2dx表示圆x2+y2=1在第一象限的面积，即单位圆的四分之一，∴∫101-x2dx=14×π×12=π4，∴∫10（1+1-x2）dx=1+π4，故选：C
点评：本题考查定积分的计算，利用定积分的几何意义是解决本题的关键，属基础题．．
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一道高数题：反常积分∫（上限正无穷,下限1）1/(x^2*(1+x))dx的值为（） A.无穷 B.0 C.ln2 D.1-ln2
小小小圣手84
问题：原积分 = ∫｛x = 1 →∞｝ 1 / [ x²(1+x)] dx = 方法1：1 / [ x²(1+x)] = [1 - x² +x²] / [ x²(1+x)] = [1 - x² ] / [ x²(1+x)] + x² / [ x²(1+x)]= (1 - x) / x² + 1 / (1+x)= [1 / x² - 1 / x + 1 / (1+x) ] 所以：原积分 = ∫｛x = 1 →∞｝ 1 / [ x²(1+x)] dx = ∫｛x = 1 →∞｝ [1 / x² - 1 / x + 1 / (1+x) ] dx= - 1 / x + Ln[(1+x) / x] ----------- x = 1 →∞ = 1 - Ln2 --------------- 选 D 方法2：设 x = 1 / t ｛x = 1 →∞｝ →→→→→ ｛t = 1 →0｝ 原积分 = ∫｛x = 1 →∞｝ 1 / [ x²(1+x)] dx = ∫｛t = 1 →0｝ - t / (1+t) dt= ∫｛t = 0 →1｝ t / (1+t) dt ----------- t / (1+t) = 1 - 1 / (1 + t)= t - Ln(1+t) t = 0 →1= 1 - Ln2
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设A(n)=(-∞,+∞)∫dx/[(x^2+1)^n],则A(1)=(-∞,+∞)arctanx=π.A(n)=(-∞,+∞)x/[(x^2+1)^n-) - (-∞,+∞)∫xd[1/(x^2+1)^n]（分布积分,前一项趋于0）=-(-∞,+∞)∫xd[1/(x^2+1)^n]=2n(-∞,+∞)∫x^2/[(x^2+1)^(n+1)]dx（将分子拆开：x^2=x^2+1-1,可得：）=2nA(n)-2nA(n+1).所以得递推公式：A(n+1)=[(2n-1)/(2n)]A(n) (n=1,2,...).因此：A(n)=π[(1*3*5*...*(2n-3)]/[2*4*6*...*(2n-2)] (n=2,3,...).
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