向量, 向量的加减法与向量的数乘
向量、向量的加减法与向量的数乘
即有向线段)来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。
为始点，为终点的有向线段所表示的向量记为。
、、或 、、 等等。
与的模记作与。
的向量称作单位向量。
的向量称作零向量，并记作，并规定：零向量的方向为任意的。
引向量，这个向量称作点对于原点 &的向径，常用表示。
切向量的共性是：它们都有大小和方向。因此，在数学上我们只研究与始点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量。
例如：质点运动的速度)，可在一般原则下作特殊处理。
、相等的意义如下：
与向量的模相等，又互相平行，且指向一致，则称向量与向量相等，并记作。
，经过平行移动之后，与能完全重合在一起。
、，以与为边作一平行四边形，取对角线向量，记，称为与之和，并记作
与向量在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量：
与的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和。
与的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差，其方向与模值大的向量方向一致。
出两向量的和向量：
，以的终点为起点作，联接得
向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量。
的模相同而方向相反的向量叫的负向量，记作。我们规定两向量与的差为：。
减去，只要把与长度相同而方向相反的向量加到向量上去。由平行四边形法则，可如下作出向量。
与的乘积规定如下：
时，向量的方向与的方向相同，其模等于的倍，
时，向量是零向量，即 ；
时，向量的方向与的方向相反，其模等于的倍，
，则向量的模与的模相等，而方向相反，由负向量的定义知： 。
乘向量运算符合下列运算规律：
、、的方向是一致，
为数量 )，则向量与向量平行，记作；反之，若向量与向量平行，则 ( 是数量)。
是非零向量，用表示与同方向的单位向量。
与同方向，从而与亦同方向，而且
， 。于是 &。
改写成形式& 。【解析版】甘肃省金昌市永昌一中学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析(数理化网)&&人教版
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学年甘肃省金昌市永昌一中高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知sinα=3cosα，则sin2α+3sinαcosα=（ ）A．B．2C．3D．4 2．已知tan（α）=，则tan（+α）=（ ）A．B．C．D． 3．函数的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应该是（ ）A．10B．11C．12D．13 4．下列关系式中正确的是（ ）A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11° 5．把函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（ ）A．y=sin（2x）B．y=sin（2x+）C．y=cos2xD．y=sin2x 6．已知两不共线的向量，，若对非零实数m，n有m+n与2共线，则=（ ）A．2B．2C．D． 7．若，则等于（ ）A．B．C．D． 8．若A（3，6），B（5，2），C（6，y）三点共线，则y=（ ）A．13B．13C．9D．9 9．如果向量满足，且，则的夹角大小为（ ）A．30°B．45°C．75°D．135° 10．已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k4，与垂直，k的值为（ ）A．6B．6C．3D．3 11．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）A．B．C．4D．12 12．已知α是三角形的一个内角，且，则这个三角形是（ ）A．钝角三角形B．锐角三角形C．不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为 ． 14．设向量=（1，3），=（2，4），=（1，2），若表示向量4，42，2（），的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的坐标是 ． 15．设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是 ． 16．满足tan（x+）≥的x的集合是 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知角α的终边在直线y=x上，求sinα，cosα，tanα的值． 18．化简：（1）．（2）+． 19．已知函数y=34cos（2x+），x∈[，]，求该函数的最大值，最小值及相应的x值． 20．已知在△ABC中，A（2，4），B（1，2），C（4，3），BC边上的高为AD．（1）求证：AB⊥AC；（2）求向量． 21．已知曲线y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（π，0），φ∈（，）．（1）求这条曲线的函数解析式；（2）写出函数的单调区间． 22．设0＜||≤2，函数f（x）=cos2x||sinx||的最大值为0，最小值为4，且与的夹角为45°，求|+|．
学年甘肃省金昌市永昌一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知sinα=3cosα，则sin2α+3sinαcosα=（ ）A．B．2C．3D．4【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】用cosα表示sinα，再运用同角三角函数基本关系，用tanα表示出cosα即可求值．【解答】解：∵sinα=3cosα，∴tanα=3∴sin2α+3sinαcosα=9cos2α+9cos2α=18cos2α===．故选：A．【点评】本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查． 2．已知tan（α）=，则tan（+α）=（ ）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式，两角和的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵tan（α）=，则tan（+α）=tan[π（+α）]=tan（α）=，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式，两角和的正切公式，属于基础题． 3．函数的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应该是（ ）A．10B．11C．12D．13【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】找出ω的值，代入周期公式表示出函数的周期，根据最小正周期不大于2列出不等式，求出正整数k的最小值即可．【解答】解：∵函数y=cos（x+）的最小正周期不大于2，∴T=≤2，即|k|≥4π，则正整数k的最小值为13．故选D【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键． 4．下列关系式中正确的是（ ）A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°【考点】正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案．【解答】解：∵sin168°=sin（180°12°）=sin12°，cos10°=sin（90°10°）=sin80°．又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．关键在于转化，再利用单调性比较大小． 5．把函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（ ）A．y=sin（2x）B．y=sin（2x+）C．y=cos2xD．y=sin2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数解析式即可．【解答】解：把函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x）]=sin（2xπ）=sin2x．故选D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x加与减，上下平移，y的另一侧加与减． 6．已知两不共线的向量，，若对非零实数m，n有m+n与2共线，则=（ ）A．2B．2C．D．【考点】平行向量与共线向量．【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理、向量共面的基本定理即可得出．【解答】解：两不共线的向量，，若对非零实数m，n有m+n与2共线，∴存在非0实数k使得m+n=k（2）=k2k，或k（m+n）=2，∴，或，则=．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面的基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．若，则等于（ ）A．B．C．D．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用．【专题】计算题．【分析】以和为基底表示，设出系数，用坐标形式表示出两个向量相等的形式，根据横标和纵标分别相等，得到关于系数的二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：∵，∴，∴（1，2）=m（1，1）+n（1，1）=（m+n，mn）∴m+n=1，mn=2，∴m=，n=，∴故选B．【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题等． 8．若A（3，6），B（5，2），C（6，y）三点共线，则y=（ ）A．13B．13C．9D．9【考点】三点共线．【专题】平面向量及应用．【分析】三点共线转化为具有公共点的向量共线，即可得出结论．【解答】解：由题意，=（8，8），=（3，y+6）．∵∥，∴8（y+6）24=0，∴y=9，故选D．【点评】本题考查三点共线，考查向量知识的运用，三点共线转化为具有公共点的向量共线是关键． 9．如果向量满足，且，则的夹角大小为（ ）A．30°B．45°C．75°D．135°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】求两向量的夹角需要求出两向量的内积与两向量的模的乘积，由题意两向量的模已知，故由两向量的垂直这个条件求出两个向量的内积即可．【解答】解：由题意故，即故两向量夹角的余弦值为=故两向量夹角的取值范围是45°故选B【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题． 10．已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k4，与垂直，k的值为（ ）A．6B．6C．3D．3【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】压轴题．【分析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．【解答】解：∵=（2+3）（k4）=2k+（3k8）12=0，又∵=0．∴2k12=0，k=6．故选B【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的 11．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）A．B．C．4D．12【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．【解答】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定． 12．已知α是三角形的一个内角，且，则这个三角形是（ ）A．钝角三角形B．锐角三角形C．不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】把所给的等式两边平方，得2sinαcosα=＜0，在三角形中，只能cosα＜0，只有钝角cosα＜0，故α为钝角，三角形形状得判．【解答】解：∵（sinα+cosα）2=，∴2sinαcosα=，∵α是三角形的一个内角，则sinα＞0，∴cosα＜0，∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形．故选A．【点评】把和的形式转化为乘积的形式，易于判断三角函数的符号，进而判断出角的范围，最后得出三角形的形状． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为 ．【考点】弧长公式．【专题】计算题．【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．【解答】解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．Rt△AOC中，r=AO==，从而弧长为αr=2×=，故答案为．【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键，属于基础题． 14．设向量=（1，3），=（2，4），=（1，2），若表示向量4，42，2（），的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的坐标是 （2，6） ．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标运算的法则计算即可．【解答】解：向量4，42，2（），的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量=[4+42+2（）]=（6+44）=[6（1，3）+4（2，4）4（1，2）]=（2，6）=（2，6），故答案为：（2，6）．【点评】本题考查了向量的多边形法则、向量坐标运算、线性运算，考查了计算能力，属于基础题． 15．设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是 ．【考点】三角函数的最值．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】由题意利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数f（x）取得最大值．【解答】解：∵f（x）=cos2x+sinx=1sin2x+sinx=+，故当sinx=时，函数f（x）取得最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题． 16．满足tan（x+）≥的x的集合是 [kπ，+kπ），k∈Z ．【考点】正切函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】有正切函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由tan（x+）≥得+kπ≤x+＜+kπ，解得kπ≤x＜+kπ，故不等式的解集为[kπ，+kπ），k∈Z，故答案为：[kπ，+kπ），k∈Z，【点评】本题主要考查三角不等式的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知角α的终边在直线y=x上，求sinα，cosα，tanα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】分类讨论；分析法；三角函数的求值．【分析】分类讨论，取特殊点的坐标，由三角函数定义可得．【解答】解：直线y=x，当角α的终边在第一象限时，在α的终边上取点（1，），则sinα=，cosα=，tanα=；当角α的终边在第三象限时，在α的终边上取点（1，），则sinα=，cosα=，tanα=．【点评】本题考查三角函数的定义，涉及分类讨论思想的应用，属基础题． 18．化简：（1）．（2）+．【考点】三角函数的化简求值．...
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旺旺：lisi355两个向量相乘,结果是个向量还是一个数?
没错,结果一定是一个数a向量与b向量的数量积可理解为：a向量的模与b向量的a向量方向上的射影的乘积或：b向量的模与a向量的b向量方向上的射影的乘积乘积当然是一个数娄~
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0向量乘一个数=数字0乘一个向量=零向量?
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